Den Durchschnitt von Größen berechnet man, indem man die Summe der Einzelangaben durch die Anzahl der Angaben dividiert.
5 Personen haben folgendes Alter:
73 Jahre
25 Jahre
32 Jahre
43 Jahre
27 Jahre
---
Wir rechnen: 73 + 25 + 32 + 43 + 27
73
25
32
43
+27
---
200
---
---
Dann dividieren wir die Summe durch die Anzahl der einzelnen Positionen.
200 : 5 = 40
Antwort: Das durchschnittliche Alter der 5 Personen beträgt 40 Jahre.
Das Durchschnittsalter beträgt 40 Jahre.
BM602
3 Hunde essen in einem Jahr durchschnittlich 291 kg Hundefutter.
Wie viel Hundefutter verbrauchen dann 5 Hunde?
---
Lösung:
291 kg : 3 = x
291:3=97
27
--
21
21
--
0
291 kg : 3 = 97 kg
Ein Hund verbraucht im Jahr 97 kg Hundefutter.
Weiter rechnet man:
97 kg * 5 = x
97*5=
35
45
---
485
---
---
5 Hunde werden 485 kg Hundefutter im Jahr verbrauchen.
BM603
Bilde jeweils den Mittelwert!
---
a) 525; 615; 598; 582; 601; 590; 565
b) 650; 715; 688; 742; 673; 709; 695
c) 630; 580; 475
d) 653; 622; 465
e) 76; 13; 25
f) 54; 92; 37
g) 5 Maschinen verarbeiten täglich 375 Teile. Wie viel Teile verarbeiten 8 Maschinen?
BM604
Schriftliche Division mit einem Divisor der ein Vielfaches von 10 ist
---
750 : 3 = x
Wir rechnen:
7
5
0
:
3
0
=
2
5
6
0
1
5
0
1
5
0
Überschlag:
600 : 30 = 20
x ≈ 20
Vergleich:
25 ≈ 20
Kontrolle:
25 * 30 = 660
BM605
660 : 30 = x
660:30
60
--
60
60
--
BM606
Schriftliche Division mit einem zweistelligen Divisor
---
Oft kann erst durch Überschlag ermittelt werden, welcher Teilquotient der richtige ist.
1798 : 31 = x
Überschlag:
1500 : 30 = 50; x ≈ 50
Deshalb versucht man:
5 * 31 = 155
1798:31=5
155
---
248
Nun versucht man:
7 * 31 = 217 (passt NICHT)
9 * 31 = 279 (Passt auch NICHT)
8 * 31 = 248 (Passt!)
Es ist viel Probieren und Raten dabei!
Das Raten wird genauer, wenn man immer wieder eine Überschalgsrechnung macht:
248 ≈ 240; 31 ≈ 30
240 : 30 = 8
8 * 31 = 248 (Passt!)
Für die Überschlagsrechnung auch zur Ermittlung der Zwischenergebnisse benutzt man häufig Näherungswerte. Diese werden ohne Beachtung der Rundungsregeln so gewählt, dass man bequem rechnen kann. Darum wählt man Vielfache des Divisors oder Vielfache eines Näherungswertes des Divisors.
BM607
3066 : 42 = x
Überschlag:
2800 : 40 = 70
x ≈ 70
7 * 42 = 294
3066:42=73
294
---
126
126
---
3 * 42 = 126
BM608
15708 : 51 = x
Überschlag:
15000 * 50 = 300
3 * 51 = 153
Jetzt müssen wir etwas raten:
7 * 51 = 357 (passt NICHT)
9 * 51 = 459 (passt NICHT)
8 * 51 = 408 (passt!)
15708:51=308
153
---
40
0
---
408
408
---
BM609
Vier Rechenschritte zur Division:
1. Dividieren
2. Multiplizieren (zur Kontrolle)
3. Resterechnen
4. Nächste Stelle zum Rest aufschreiben
---
Rechne schriftlich!
Falls die Aufgabe nicht lösbar ist, dann schreibe den Rest auch auf.
---
2516 : 31
2993 : 62
420 : 12
552 : 12
885 : 15
795 : 15
850 : 25
925 : 25
473 : 11
605 : 11
7497 : 21
2856 : 21
3875 : 31
9765 : 31
23328 : 72
12616 : 83
BM610
9374 : 29 = x
Überschlag:
9000 : 30 = 300
Also fangen wir mit der 3 an.
3 * 29 = 87
9374:29=3
87
--
67
Nun folgt noch mal ein Überschlag mit dem Zwischenergebnis:
„Durch die Gerade g wird die Richtung g festgelegt.“
Jede Parallele zur Geraden g hat die gleiche Richtung g wie die Gerade g.
Jede Gerade, die die Gerade g schneidet, hat nicht die Richtung g.
BM622
Jede Gerade legt genau eine Richtung fest.
Richtungssinn einer Geraden g.
a)b)
Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Gerade g mit den Punkten A und B zu durchlaufen.
a) Wir durchlaufen die Gerade g von A nach B. Diesen Fall veranschaulichen wir durch eine Pfeilspitze bei B.
b) Wir durchlaufen die Gerade g von B nach A. Diesen Fall veranschaulichen wir durch eine Pfeilspitze bei A.
BM623
Durch die Angaben von A nach B bzw. von B nach A wird auf der Geraden g jeweils ein Richtungssinn festgelegt.
Man sagt: „Der Richtungssinn von B nach A ist dem Richtungssinn von A nach B entgegengesetzt.“
---
Wir erläutern den Begriff „Richtungssinn“ an einem Beispiel:
Zwei Orte A und B sind durch eine neue STraße geradlinig miteinander verbunden. Durch diese STraße wird die Richtung festgelegt. Zwei Fahrzeuge, die zum Beispiel von A nach B fahren, fahren mit dem gleichen Richtungssinn.
Zwei Fahrzeuge, die einander begegnen, fahren mit entgegengesetztem Richtungssinn.
BM624
Strahlen
---
Bild 1Bild 2Bild 3
Jeder Punkt A, der auf einer Geraden g liegt, zerlegt die Gerade g in zwei Strahlen.
Den Punkt A nennt man den Anfangspunkt beider Strahlen.
Daraus folgt: Zu einem Strahl gehören ein Punkt einer Geraden als Anfangspunkt und alle Punkte dieser Geraden, die auf derselben Seite von seinem Anfangspunkt aus liegen.
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Durch eine Zeichnung kann ein Strahl niemals vollständig veranschaulicht werden, weil jeder Strahl unbegrenzt ist.
Man kann auch sagen: „Ein Strahl ist eine gerade Linie, die auf der einen Seite einen Anfangspunkt hat und auf der anderen Seite ungebgrenzt ist.“
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Bild 4
Einen Strahl mit dem Anfangspunkt A, der auf dem Punkt B liegt, bezeichnet man als Strahl AB. Strahlen werden auch mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet.
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Bild 5Bild 6
In Bild 5 und 6 sind je zwei Strahlen h und k angegeben, die den gemeinsamen Anfangspunkt A haben.
BM625
Gegenseitige Lage zweier Strahlen g und h.
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Bild 7
Bild 1: verschiedene Richtungen
Welche Strahlen schneiden sich? Welche Straheln schneiden sich nicht?
Beachte: Geraden, die nicht parallel zueinander sind schneiden sich immer. Das trifft nicht für Strahlen zu.
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Bild 8Bild 9Bild 10
Strahlen mit gleicher Richtung, aber mit entgegengesetztem Richtungssinn.
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Bild 11Bild 12Bild 13
Strahlen mit gleicher Richtung und mit mit gleichem Richtungssinn.
BM626
Bild 1
a) Betrachte Bild 1: Nenne zwei Strahlen, die P als Anfangspunkt haben!
Lösung BM626a
Bild 1a
Strahl PO
Strahl PQ
---
Bild 2
b) Betrachte Bild 2: Nenne zwei Strahlen, die P als Anfangspunkt haben!
Lösung BM626b
Bild 2a
Strahl PQ
Strahl PR
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c) Zeichne drei Strahlen g, m und k, die einen gemeinsamen Anfangspunkt P haben.
Lösung BM626c
Bild 3
BM627
Strahlen
---
Lichtstrahl
Wasserstrahl
Urinstrahl
Laserstrahl
Elektronenstrahl
Sonnenstrahl
Röntgenstrahl
Leitstrahl
Infrarotstrahlung
UV-Strahlung
---
Bestrahlung - bestrahlen
Ausstrahlung - ausstrahlen
strahlen
Sandstrahlen - ausstrahlen - abstrahlen
verstrahlt
erstrahlen
strahlenförmig (Beispiel: Die Korridore waren strahlenförmig angeordnet.)
anstrahlen - Strahlemann
BM628
Ebene
Halbebene
Bild 1Bild 2
---
Ein Zeichenblatt, das auf einem Tisch liegt, lässt sich in Gedanken nach allen Seiten beliebig weit ausdehnen. Man kann sich auf diese Weise eine Ebene vorstellen.
---
Jede Gerade einer Ebene zerlegt diese Ebene in zwei Halbebenen.
In Bild 1 wird diese Ebene durch die Gerade g in zwei Halbebenen zerlegt.
In Bild 2 liegen die Punkte A und B in verschiedenen Halbebenen. In diesem Fall sagt man: „Die Punkte A und B liegen auf verschiedenen Seiten von g.“
Bild 3
Dagegen liegen die Punkte A und B in Bild 3 in der gleichen Halbebene.
Dazu sagt man auch: „Die Punkte A und B liegen auf derselben Seite von g.“
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Eine Gerade zerlegt eine Ebene in zwei Halbebenen.
Halbebenen im kartesischen Koordinatensystem:
Bild 1
Bild 1: obere Halbebene - oberhalb der x-Achse
Bild 2
Bild 2: linke Halbebene - links der y-Achse
BM629
Bild 1
Zwei Linien, die in einer Ebene (zweidimensionale Fläche) liegen und sich schneiden haben einen Schnittpunkt. (Sie haben einen Schnittpunkt = genau einen Schnittpunkt = einen einzigen Schnittpunkt) (Bild 1)
Bild 2
Zwei Ebenen, die im dreidimensionalen Raum liegen und sich schneiden bilden an der Schnittstelle eine Gerade. (Bild 2)
BM630
Bild 1Bild 2
Antragen und Abtragen von Strecken
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Auf einer Geraden liegen beliebig viele Punkte (Bild 1). Wir wählen davon zwei verschiedene Punkte A und B aus (Bild 2). Die Punkte A und B sind dann Endpunkte einer Strecke, die man mit Strecke (oder Strecke ) bezeichnet.
Zu einer Strecke gehören die Endpunkte A und B und alle die Punkte der Geraden, die zwischen A und B liegen.
Trage die Strecke im Punkt A an die Strecke an! (Bild 2 und 3)
Beschreibe die einzelnen Schritte!
BM632
Ein Strecke soll auf einer Geraden g von einem Punkt P aus abgetragen werden.
Man zeichnet um P auf g einen Kreis mit dem Radius . Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Punkten C und C' (Lies: C Strich).
Eine Strecke kann auf einer Geraden von einem Punkt aus nach beiden Seiten abgetragen werden.
Man sagt dazu auch: „Diese Aufgabe hat zwei Lösungen.“
BM633
Auf einer Geraden liegen drei Punkte A, B und C.
Wie viel Strecken werden durch diese drei Punkte bestimmt?
Lösung BM633
drei Strecken:
Strecke
Strecke
Strecke
BM634
Vergleichen von Strecken
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Jede Strecke hat eine Länge. Die Länge einer Strecke gibt die Entfernung der beiden Eckpunkte A und B voneinander an.
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Hat eine Strecke eine Länge 3 cm, so schreibt man: = 3 cm. (Lies: Die Länge der Strecke beträgt 3 cm.)
Werden gleich lange Strecken mit ein und derselben Längeneinheit gemessen, so werden ihnen gleiche Maßzahlen zugeordnet.
Zwei Strecken und kann man miteinander vergleichen, indem man die Längen dieser Strecken misst und dann die Längen vergleicht.
Bild 1Bild 2
Man kann zwei Strecken und auch miteinander vergleichen, ohne deren Länge zu messen.
Man trägt dazu die beiden Strecken auf ein und demselben Strahl von dessen Anfangspunkt P aus ab.
Es sollen die beiden Strecken und (Bild 1) und die beiden Strecken und (Bild 2) miteinander verglichen werden.
Liegt wie in Bild 1 der Punkt D zwischen den Punkten A und B, so sagt man: „Die Strecke ist kleiner als die Strecke .“ bzw. „Die Strecke ist größer als die Strecke .“
Man schreibt dafür kurz: > bzw. < .
Fallen wie im Bild 2 die Punkte R unt T zusammen, so sagt man: „Die Strecken und sind gleich lang.“
Dafpr schreibt man kurz: =
BM635
Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.
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Eine Strecke (auch Geradenabschnitt oder Geradenstück) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird; sie ist die kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte. Die Begrenzung einer Strecke durch diese Punkte unterscheidet sie von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Halbgeraden, die nur auf einer Seite begrenzt sind.
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Wird durch die Reihenfolge der Punkte und eine Orientierung der Strecke vorgegeben, spricht man von einer gerichteten Strecke.
BM636
Gegenseitige Lage von drei Generaden
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Bild 1
Bild 1: Drei Geraden haben drei verschiedene Schnittpunkte. Die drei Geraden haben in diesem Fall verschiedene Richtungen.
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Bild 2
Bild 2: Drei Geraden haben zwei verschiedene Schnittpunkte. In diesem Fall haben zwei Geraden gleiche Richtungen. Die dritte Gerade hat eine andere Richtung.
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Bild 3
Bild 3: Drei Geraden haben 'einen Schnittpunkt. (Drei Geraden haben 'einen gemeinsamen Schnittpunkt.) Die drei Geraden haben in diesem Fall verschiedene Richtungen. Man sagt dafür auch: „Die drei Geraden bilden ein Geradenbüschel.“
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Bild 4
Bild 4: Die drei Geraden haben keinen Schnittpunkt. Die drei Geraden haben in diesem Fall alle die gleiche Richtung. Die drei Geraden liegen parallel zueinander.
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Drei Geraden haben je nach ihrer Lage drei, zwei, einen oder keinen Schnittpunkt.
BM637
Geradenbüschel und Strahlenbüschel
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Geradenbüschel
Wenn sich mehrere Geraden in einen gemeinsamen Schnittpunkt kreuzen, so sagt man: „Die Geraden bilden ein Geradenbüschel.“
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Strahlenbüschel
Wenn mehrere Strahlen einen gemeinsamen Anfangspunkt haben, so sagt man: „Die Strahlen bilden ein Strahlenbüschel.“
BM638
Bild 1
Dreiecke
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Welche Möglichkeiten gibt es für die gegenseitige Lage dreier Punkte?
Durch drei Punkte kann man je nach Lage drei Geraden oder nur eine Gerade zeichnen (Bild 1).
Liegen drei Punkte auf einer Geraden, so liegt genau einer von ihnen zwischen den beiden anderen.
Bild 2
Liegen drei Punkte nicht auf einer Geraden, so kann man drei verschiedene Geraden zeichnen (Bild 2).
BM639
Bild 1: Dreieck ABCBild 2: Dreiecksfläche ABC
Drei Punkte A, B und D, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen genau ein Dreieck.
---
Die Punkte A, B und C heißen die Eckpunkte, die Strecken , und heißen die Seiten des Dreiecks ABC.
Für „Dreieck ABC“ schreibt man auch „“.
Zu einem Dreieck ABC gehören alle Punkte, die auf den Strecken , oder liegen (Bild 1).
---
Der Teil der Ebene, der von einem Dreieck begrenzt wird, heißt Dreiecksfläche (Bild 2).
BM640
Bild 1
Vergleiche in den Bildern 1 bis 3 jeweils die Seiten eines Dreiecks miteinander!
Bild 1: Dreiecke, in denen alle drei Seiten verschieden lang sind, nennt man unregelmäßige Dreiecke.
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Bild 2
Bild 2: Dreiecke, in denen zwei Seiten gleich lang sind, nennt man gleichschenklige Dreiecke.
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Bild 3
Bild 3: Dreiecke, in denen alle drei Seiten gleich lang sind, nennt man gleichseitige Dreiecke.
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Begründe, warum jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig ist!
1.) verschieben = etwas von einem an einen anderen Ort bewegen
z. B.: Schiebetür
2.) verschieben = etwas zeitlich verschieben
z. B.: Wir können das Treffen leider nicht verschieben.
z. B.: Was du heute kannst besorgen, das verschiebe nicht auf morgen.
---
Eine Verschiebung in der Geometrie erfolgt stets in einer festgelegten Richtung nach einem vorgegebenen Richtungssinn.
Bild 1 und 2 zeigen eine Verschiebung eines Dreiecks ABC in Richtung der Geraden g mit dem Richtungssinn von P nach Q.
BM642
Bild 1
Original und Bild
Bild 1 zeigt ein Dreieck ABC und die Gerade g mit der Strecke mit dem Richtungssinn von P nach Q.
---
Bild 2
Bild 2 zeigt eine Verschiebung eines Dreiecks ABC in Richtung der Geraden g mit dem Richtungssinn von P nach Q.
Bild 2 zeigt eine Verschiebung des Dreiecks ABC um die Strecke .
Erkläre, wie die Verschiebung gemacht wird!
Beachte: Aus A wird A' (Lies: A Strich)
Das Dreieck A'B'C' (sprich: A-Strich, B-Strich, C-Strich) ist das Bild des Dreiecks ABC bei dieser Verschiebung.
Man sagt auch: „Die Dreieck ABC und A'B'C' entsprechen einander.“
Ebenso nennt man den Punkt A' Bild des Punktes A,
und die Strecke Bild der Strecke .
Die Gerade ist Bild der Geraden .
Der Strahl A'B' ist Bild des Strahls AB.
---
Dafür sagt man auch: „Dem Punkt A entspricht der Punkt A'“ bzw.
„Der Strecke entspricht die Strecke .“
„Der Geraden AB entspricht die Gerade A'B'.“
„Dem Strahl AB entspricht der Strahl A'B'.“
---
Im Bild 2 stellt man fest:
a) Entsprechende Geraden sind jeweils zueinander parallel.
b) Entsprechende Strahlen besitzen jeweils gleiche Richtungen und gleichen Richtungssinn.
BM643
Verschiebung
---
Bei einer Verschiebung
sind entsprechende Geraden parallel,
sind entsprechende Strecken gleich lang,
haben entsprechende Strahlen gleichen Richtungssinn.
---
Bild 1: Verschiebung
Im Bild 1 sind die Punkt A, B und C des Originals (links) mit den entsprechenden Punkten A', B' bzw. C' des Bildes (rechts) dieser Verschiebung jeweils durch Pfeile verbunden. Die Pfeilspitze weist stets auf den Bildpunkt.
Man bezeichnet die Pfeile mit , und .
Auf der Geraden g ist außerdem der Peil gezeichnet.
---
Wird die Verschiebung wie im Bild 1 durch einen Pfeil angegeben, so spricht man von einer Verschiebung .
Den Pfeil nennt man auch Verschiebungspfeil .
Der Verschiebungspfeil legt die Richtung und den Richtungssinn der Verschiebung und die Verschiebungsweite fest.
Die Verschiebungsweite ist die Länge der Strecke, die durch die Punkte P und Q des Versc hiebungspfeils bestimmt wird.
Die Verschiebungsweite kann man z. B. so schreiben: = 7 cm
BM644
Verschiebungspfeil
Eine Verschiebung ist durch die Angabe eines einzigen Verschiebungspfeils bestimmt.
Pfeile, die bei einer Verschiebung entsprechende Punkte verbinden, haben die gleiche Richtung, den gleichen Richtungssinn und die gleiche Länge wie der Verschiebungspfeil .
BM645
Verschiebung von Dreiecken
---
Sind ein Dreieck und ein Verschiebungspfeil gegeben, so kann man das Bild des Dreiecks bei eienr Verschiebung mit Hilfe von Zirkel, Lineal und Zeichendreieck konstruieren.
---
Bild 1
Bild 1:
Gegeben seien ein Dreieck ABC und der Verschiebungspfeil
---
Bild 2
Bild 2:
Man zeichnet durch die Punkte A, B und C STrahlen. Diese Strahlen müssen zum Verschiebungpfeil parallel sein und den gleichen Richtungssinn wie der Verschiebungspfeil haben.
Man trägt auf den Strahlen jeweils vom Anfangspunkt aus die Strecke als Verschiebungsweite ab. man erhält so die Punkte A', B' und C'.
---
Bild 3
Bild 3:
Man verbindet die Punkte A', B' und C' miteinander und erhält als Bild das Dreieck A'B'C'.
BM646
Verschiebung eines Vierecks
Bild 7
Beschreibe die Verschiebung eines Vierecks!
BM647
Nacheinanderausführung von Verschiebungen
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Bild 1
Im Bild 1 sind ein Dreieck ABC und zwei verschiedene Verschiebungspfeile und gegeben.
Durch die Pfeile und sind zwei Verschiebungen festgelegt.
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Bild 2
Man bestimmt zunächst das Bild des Dreiecks ABC bei der Verschiebung und erhält das Dreieck A'B'C'.
Dann bestimmt man das Bild des Dreiecks A'B'C' mit der Verschiebung und erhält das Dreieck A''B''C\'' (lies: A-zwei-Strich, B-zwei-Strich, C-zwei-Strich).
Das Dreieck A''B''C'' ist das Bild des Dreiecks ABC nach den zwei Verschiebungen und .
Man sagt: „Die Verschiebungen und werden nacheinander ausgeführt.“
---
Bild 3
Bild 3:
Man kann diese Konstruktion auch kürzer ausführen. Man führt nur die Verschiebung aus und erhält dabei sofort das Bilddreick A''B''C''.
BM648
Die Nacheinanderausführung zweier Verschiebungen kann auch durch eine einzige Verschiebung angegeben werden.
Verschiebungen
Zwei gegebene Verschiebungen, die nacheinander ausgeführt werden, können uach in derselben Richtung und in demselben Richtungssinn erfolgen.
Auf ein Dreieck ABC seien die Verschiebungen und anzuwenden. Die Geraden DE und FG sollen die gleiche Richtung haben. Man trägt zunächst den Verschiebungspfeil im Punkt E an den Verschiebungspfeil an. Man erhält den Punkt G'. Man bestimmt jetzt das Bild des Dreiecks ABC bei der Verschiebung
BM649
Verschiebung von Geraden
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Bild 1
Es soll das Bild einer Geraden g bei einer Verschiebung bestimmt werden.
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Bild 2
Dazu kennzeichnet man auf der Geraden g einen beliebigen Punkt P (irgendeinen Punkt). Dann bestimmt man das Bild P' des Punktes P bei der Verschiebung .
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Bild 3
Durch den Punkt P' zeichnet man die Parallele zu g.
Diese Parallele ist das Bild g' der Geraden g bei der Verschiebung .
BM650
Abstand von Geraden
Breite eines Streifens
---
Bild 1
Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden rechwinklig geschnitten, so wird durch die entstehenden Schnittpunkte eine Strecke bestimmt.
In Bild 1 wurde diese Strecke blau gekennzeichnet. Diese Strecke steht ebenfalls senkrecht auf den beiden Parallelen. Die Länge dieser Strecke nennt man Abstand der parallelen Geraden.
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Bild 2Bild 3
Zwei parallele Geraden bestimmen eine Figur, die Streifen genannt wird. Der Abstand der beiden parallelen Geraden wird auch als Breite des betreffenden Streifens bezeichnet.
