Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 063b

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Mathematik auf Deutsch - 13

BM601 - BM610[editar]

BM601

Durchschnitt

---

Den Durchschnitt von Größen berechnet man, indem man die Summe der Einzelangaben durch die Anzahl der Angaben dividiert.

5 Personen haben folgendes Alter:

73 Jahre

25 Jahre

32 Jahre

43 Jahre

27 Jahre

---

Wir rechnen: 73 + 25 + 32 + 43 + 27

 73  
 25  
 32  
 43  
+27
---
200 
---
---

Dann dividieren wir die Summe durch die Anzahl der einzelnen Positionen.

200 : 5 = 40

Antwort: Das durchschnittliche Alter der 5 Personen beträgt 40 Jahre.

Das Durchschnittsalter beträgt 40 Jahre.

BM602

3 Hunde essen in einem Jahr durchschnittlich 291 kg Hundefutter.

Wie viel Hundefutter verbrauchen dann 5 Hunde?

---

Lösung:

291 kg : 3 = x

291 kg : 3 = 97 kg

Ein Hund verbraucht im Jahr 97 kg Hundefutter.

Weiter rechnet man:

97 kg * 5 = x

 97*5=
 35
45
---
485
---
---

5 Hunde werden 485 kg Hundefutter im Jahr verbrauchen.

BM603

Bilde jeweils den Mittelwert!

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a) 525; 615; 598; 582; 601; 590; 565

b) 650; 715; 688; 742; 673; 709; 695

c) 630; 580; 475

d) 653; 622; 465

e) 76; 13; 25

f) 54; 92; 37

g) 5 Maschinen verarbeiten täglich 375 Teile. Wie viel Teile verarbeiten 8 Maschinen?

BM604

Schriftliche Division mit einem Divisor der ein Vielfaches von 10 ist

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750 : 3 = x

Wir rechnen:

7	5	0	:	3	0	=	2	5
6	0
1	5	0
1	5	0

Überschlag:

600 : 30 = 20

x ≈ 20

Vergleich:

25 ≈ 20

Kontrolle:

25 * 30 = 660

BM605

660 : 30 = x

660:30
60
--
 60
 60
 --

BM606

Schriftliche Division mit einem zweistelligen Divisor

---

Oft kann erst durch Überschlag ermittelt werden, welcher Teilquotient der richtige ist.

1798 : 31 = x

Überschlag:

1500 : 30 = 50; x ≈ 50

Deshalb versucht man:

5 * 31 = 155

1798:31=5
155
---
 248

Nun versucht man:

7 * 31 = 217 (passt NICHT)

9 * 31 = 279 (Passt auch NICHT)

8 * 31 = 248 (Passt!)

Es ist viel Probieren und Raten dabei!

Das Raten wird genauer, wenn man immer wieder eine Überschalgsrechnung macht:

248 ≈ 240; 31 ≈ 30

240 : 30 = 8

8 * 31 = 248 (Passt!)

Für die Überschlagsrechnung auch zur Ermittlung der Zwischenergebnisse benutzt man häufig Näherungswerte. Diese werden ohne Beachtung der Rundungsregeln so gewählt, dass man bequem rechnen kann. Darum wählt man Vielfache des Divisors oder Vielfache eines Näherungswertes des Divisors.

BM607

3066 : 42 = x

Überschlag:

2800 : 40 = 70

x ≈ 70

7 * 42 = 294

3066:42=73
294
---
 126
 126
 ---

3 * 42 = 126

BM608

15708 : 51 = x

Überschlag:

15000 * 50 = 300

3 * 51 = 153

Jetzt müssen wir etwas raten:

7 * 51 = 357 (passt NICHT)

9 * 51 = 459 (passt NICHT)

8 * 51 = 408 (passt!)

15708:51=308
153
---
 40
  0
 ---
 408
 408
 ---

BM609

Vier Rechenschritte zur Division:

1. Dividieren

2. Multiplizieren (zur Kontrolle)

3. Resterechnen

4. Nächste Stelle zum Rest aufschreiben

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Rechne schriftlich!

Falls die Aufgabe nicht lösbar ist, dann schreibe den Rest auch auf.

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2516 : 31

2993 : 62

420 : 12

552 : 12

885 : 15

795 : 15

850 : 25

925 : 25

473 : 11

605 : 11

7497 : 21

2856 : 21

3875 : 31

9765 : 31

23328 : 72

12616 : 83

BM610

9374 : 29 = x

Überschlag:

9000 : 30 = 300

Also fangen wir mit der 3 an.

3 * 29 = 87

9374:29=3
87
--
 67

Nun folgt noch mal ein Überschlag mit dem Zwischenergebnis:

67 : 29 wird zu einem Überschlag:

60 : 30 = 2

2 * 29 = 58

Nun machen wir noch mal einen Überschlag:

94 : 29 wird zum Überschalg:

90 : 30 = 3

3 * 29 = 87

9374:29=323
87
--
 67
 58
 --
  94
  87
  --
   7 (Rest)

Ergebnis:

9374 : 29 = 323 (Rest 7)

9374 : 29 ist mit natürlichen Zahlen nicht lösbar

BM611 - BM620[editar]

BM611

Rechne!

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72 : 36

87 : 29

95 : 19

93 : 31

195 : 65

138 : 46

172 : 86

329 : 47

---

2178 : 66

8151 : 57

23896 : 29

3465 : 58

1281 : 67

4703 : 89

BM612

Beachte: Jede Null muss bei der Rechnung berücksichtigt werden!

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40500 : 75 = x

Überschlag: 40000 : 80 = 500; x ≈ 500

Also fangen wir mit einer 5 an.

5 * 75 = 375

40500:75=3
375
---
 300

Es erfolgt die nächste Überschlagsrechnung:

320 : 80 = 4

4 * 75 = 300

40500:75=34
375
---
 300
 300
 ---
   0

Beachte: Jede Null muss bei der Rechnung berücksichtigt werden!

40500:75=340
375
---
 300
 300
 ---
   00

BM613

Teilbarkeitsregeln

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Wenn die Division a : b ausführbar ist, nennt man b einen Teiler von a.

Man sagt auch: „a ist teilbar durch b“ bzw. „a ist ein Vielfaches von b“.

16 : 6 = 3 (6 ist Teiler von 18); (18 ist teilbar durch 6)

6 * 3 = 18

---

19 : 6 = 3 Rest 1 (6 ist nicht Teiler von 19); (19 ist nicht teilbar durch 6)

6 * 3 + 1 = 19

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Alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind, haben als letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8.

Alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind, haben als letzte Ziffer ein 0 oder 5.

Alle Zahlen, die durch 10 teilbar sind, haben als letzte Ziffer ein 0.

Alle Zahlen, die durch 100 teilbar sind, haben als letzte Ziffern zwei Nullen.

BM614

Schriftliche Division mit dreistelligem Divisor

Im Prinzip erfolgt die Division wie mit zweistelligem Divisor.

Es ist immer wieder ein Überschlag und notfalls mehrer Versuche erforderlich.

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Rechne!

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50184 : 408

837600 : 400

940080 : 120

4.109.130 : 890

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3421 : 311

3094 : 442

1768 : 221

17510 : 515

104000 : 832

66526 : 899

BM615

Teile eines Ganzen

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Bild 1: Ein Rechteck wird in zwei gleiche kleine Rechtecke geteilt. Jedes ist halb so groß wie das ganze Rechteck.

Für „ein halb“ schreibt man

{\tfrac {1}{2}}

.

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Wenn man beide Hälften zusammensetzt, so erhält man wieder das ganze Rechteck.

BM616

Bild 2 zeigt ein Rechteck, das in drei gleiche Rechtecke geteilt ist.

Jeden dieser Teile nennt man ein Drittel.

Für „ein Drittel“ schreibt man

{\tfrac {1}{3}}

.

---

Wenn man die drei kleinen Rechtecke zusammensetzt, so erhält man wieder das ganze Rechteck.

BM616

Bild 3 zeigt einen Kreis, der vier gleich große Teile geteilt ist.

Jeden dieser Teile nennt man einen Viertelkreis. Für „ein Viertel“ schreibt man

{\tfrac {1}{4}}

.

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Wenn man die vier Viertelkreise zusammensetzt, so erhält man wieder den ganzen Kreis.

BM617

Gegenseitige Lage von Punkten und Geraden

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Bild 1:

Wenn ein Punkt einer Geraden g angehört, so sagt man:

„Der Punkt liegt auf der Geraden g“ oder

„Die Gerade g geht durch den Punkt P“

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Bild 2:

Wenn ein Punkt einer Geraden g nicht angehört, so sagt man:

„Der Punkt liegt nicht auf der Geraden g“ oder

„Die Gerade g geht nicht durch den Punkt P“

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Bild 3:

Zwei Punkte lassen sich stets nur durch eine einzige Gerade verbinden.

Die Gerade, die zwei Punkte A und B verbindet, nennt man die Verbindungsgerade von A und B.

Man bezeichnet diese Gerade

{\overline {AB}}

.

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Bild 4:

Durch zwei Punkte geht genau eine einzige Gerade.

Jeder Geraden gehören beliebig viel Punkte an,

Je zwei Punkte bestimmen die betreffende Gerade eindeutig.

Durch eine Zeichnung kann immer nur ein Teil einer Geraden veranschaulicht werden, weil jede Gerade unbegrenzt ist.

BM618

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

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Bild 1:

Zwei Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Zwei Geraden, die einen Punkt gemeinsam haben, schneiden einander.

Den gemeinsamen Punkt nennt man Schnittpunkt.

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Bild 2:

Zwei Geraden einer Ebene, die keine Punkt gemeinsam haben, nennt man parallel.

Sind zwei GEraden parallel, so heißt jede der beiden Geraden eione Parallele der anderen.

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Bild 3:

Der Schnittpunkt zweier Geraden kan auch außerhalb des benutzten Zeichenblattes (hier rot dargestellt) liegen.

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Bild 4:

Zwei parallele Geraden haben auch außerhalb des Zeichenblattes keinen Schnittpunkt.

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Bild 5:

Durch einen Punkt gibt es zu einer Geraden genau eine Parallele.

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Sind zwei Geraden parallel, so sagt man auch, dass sie die gleiche Richtung haben.

Zwei Geraden, die einander schneiden, haben verschiedene Richtungen.

BM619

Wie viel verschiedene Richtungen weden durch die Seiten

a) eines Parallelogramms

b) eines Trapezes festgelegt?

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Zeichne jeweile ein Viereck, dessen Seiten

c) vier verschiedene Richtungen,

d) drei verschiedene Richtungen,

e) zwei verschiedene Richtungen festlegen!

BM620

a)

Zeichne eine Gerade g!

Zeichne dann einen Punkt P, der auf g liegt!

Zeichne die Senkrechte zu g durch P!

Lösung BM620 a
a

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b)

Zeichne eine Gerade g!

Zeichne dann zwei Punkte P und Q, die nicht auf g liegen!

Zeichne die Parallelen zu g durch P und Q!

Lösung BM620 b
b

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c)

Zeichne eine Gerade g!

Zeichne dann einen Punkt P, der nicht auf g liegt!

Zeichne dann die Senkrechte zu g durch P!

Lösung BM620 c
c

BM621 - BM630[editar]

BM621

Richtung und Richtungssinn

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Wird eine Gerade mit g bezeichnet, so sagt man:

„Durch die Gerade g wird die Richtung g festgelegt.“

Jede Parallele zur Geraden g hat die gleiche Richtung g wie die Gerade g.

Jede Gerade, die die Gerade g schneidet, hat nicht die Richtung g.

BM622

Jede Gerade legt genau eine Richtung fest.

Richtungssinn einer Geraden g.

Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Gerade g mit den Punkten A und B zu durchlaufen.

a) Wir durchlaufen die Gerade g von A nach B. Diesen Fall veranschaulichen wir durch eine Pfeilspitze bei B.

b) Wir durchlaufen die Gerade g von B nach A. Diesen Fall veranschaulichen wir durch eine Pfeilspitze bei A.

BM623

Durch die Angaben von A nach B bzw. von B nach A wird auf der Geraden g jeweils ein Richtungssinn festgelegt.

Man sagt: „Der Richtungssinn von B nach A ist dem Richtungssinn von A nach B entgegengesetzt.“

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Wir erläutern den Begriff „Richtungssinn“ an einem Beispiel:

Zwei Orte A und B sind durch eine neue STraße geradlinig miteinander verbunden. Durch diese STraße wird die Richtung festgelegt. Zwei Fahrzeuge, die zum Beispiel von A nach B fahren, fahren mit dem gleichen Richtungssinn.

Zwei Fahrzeuge, die einander begegnen, fahren mit entgegengesetztem Richtungssinn.

BM624

Strahlen

---

Jeder Punkt A, der auf einer Geraden g liegt, zerlegt die Gerade g in zwei Strahlen.

Den Punkt A nennt man den Anfangspunkt beider Strahlen.

Daraus folgt: Zu einem Strahl gehören ein Punkt einer Geraden als Anfangspunkt und alle Punkte dieser Geraden, die auf derselben Seite von seinem Anfangspunkt aus liegen.

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Durch eine Zeichnung kann ein Strahl niemals vollständig veranschaulicht werden, weil jeder Strahl unbegrenzt ist.

Man kann auch sagen: „Ein Strahl ist eine gerade Linie, die auf der einen Seite einen Anfangspunkt hat und auf der anderen Seite ungebgrenzt ist.“

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Einen Strahl mit dem Anfangspunkt A, der auf dem Punkt B liegt, bezeichnet man als Strahl AB. Strahlen werden auch mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet.

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In Bild 5 und 6 sind je zwei Strahlen h und k angegeben, die den gemeinsamen Anfangspunkt A haben.

BM625

Gegenseitige Lage zweier Strahlen g und h.

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Bild 1: verschiedene Richtungen

Welche Strahlen schneiden sich? Welche Straheln schneiden sich nicht?

Beachte: Geraden, die nicht parallel zueinander sind schneiden sich immer. Das trifft nicht für Strahlen zu.

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Strahlen mit gleicher Richtung, aber mit entgegengesetztem Richtungssinn.

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Strahlen mit gleicher Richtung und mit mit gleichem Richtungssinn.

BM626

a) Betrachte Bild 1: Nenne zwei Strahlen, die P als Anfangspunkt haben!

Lösung BM626a
Bild 1a Strahl PO Strahl PQ

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b) Betrachte Bild 2: Nenne zwei Strahlen, die P als Anfangspunkt haben!

Lösung BM626b
Bild 2a Strahl PQ Strahl PR

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c) Zeichne drei Strahlen g, m und k, die einen gemeinsamen Anfangspunkt P haben.

Lösung BM626c
Bild 3

BM627

Strahlen

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Lichtstrahl

Wasserstrahl

Urinstrahl

Laserstrahl

Elektronenstrahl

Sonnenstrahl

Röntgenstrahl

Leitstrahl

Infrarotstrahlung

UV-Strahlung

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Bestrahlung - bestrahlen

Ausstrahlung - ausstrahlen

strahlen

Sandstrahlen - ausstrahlen - abstrahlen

verstrahlt

erstrahlen

strahlenförmig (Beispiel: Die Korridore waren strahlenförmig angeordnet.)

anstrahlen - Strahlemann

BM628

Ebene

Halbebene

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Ein Zeichenblatt, das auf einem Tisch liegt, lässt sich in Gedanken nach allen Seiten beliebig weit ausdehnen. Man kann sich auf diese Weise eine Ebene vorstellen.

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Jede Gerade einer Ebene zerlegt diese Ebene in zwei Halbebenen.

In Bild 1 wird diese Ebene durch die Gerade g in zwei Halbebenen zerlegt.

In Bild 2 liegen die Punkte A und B in verschiedenen Halbebenen. In diesem Fall sagt man: „Die Punkte A und B liegen auf verschiedenen Seiten von g.“

Dagegen liegen die Punkte A und B in Bild 3 in der gleichen Halbebene.

Dazu sagt man auch: „Die Punkte A und B liegen auf derselben Seite von g.“

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Eine Gerade zerlegt eine Ebene in zwei Halbebenen.

Halbebenen im kartesischen Koordinatensystem:

Bild 1: obere Halbebene - oberhalb der x-Achse

Bild 2: linke Halbebene - links der y-Achse

BM629

Zwei Linien, die in einer Ebene (zweidimensionale Fläche) liegen und sich schneiden haben einen Schnittpunkt. (Sie haben einen Schnittpunkt = genau einen Schnittpunkt = einen einzigen Schnittpunkt) (Bild 1)

Zwei Ebenen, die im dreidimensionalen Raum liegen und sich schneiden bilden an der Schnittstelle eine Gerade. (Bild 2)

BM630

Antragen und Abtragen von Strecken

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Auf einer Geraden liegen beliebig viele Punkte (Bild 1). Wir wählen davon zwei verschiedene Punkte A und B aus (Bild 2). Die Punkte A und B sind dann Endpunkte einer Strecke, die man mit Strecke ${\overline {AB}}$ (oder Strecke

{\overline {BA}}

) bezeichnet.

Zu einer Strecke

{\overline {AB}}

gehören die Endpunkte A und B und alle die Punkte der Geraden, die zwischen A und B liegen.

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abtragen

ab- = sich ablösen, etwas abtrennen

abmessen

absetzen

abtasten

abbezahlen

abbilden

abblasen

abbuchen

abfahren

abfertigen

abformen

abreißen

abhacken

abschneiden

abknöpfen

abkühlen

abnutzen

abreagieren

abreisen

abschicken

abseilen

BM631 - BM640[editar]

BM631

Abtragen einer Strecke

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Zeichne zwei Strecken

{\overline {AB}}

und

{\overline {PQ}}

! (Bild 1)

Trage die Strecke

{\overline {PQ}}

im Punkt A an die Strecke

{\overline {AB}}

an! (Bild 2 und 3)

Beschreibe die einzelnen Schritte!

BM632

Ein Strecke

{\overline {AB}}

soll auf einer Geraden g von einem Punkt P aus abgetragen werden.

Man zeichnet um P auf g einen Kreis mit dem Radius

{\overline {AB}}

. Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Punkten C und C' (Lies: C Strich).

Eine Strecke kann auf einer Geraden von einem Punkt aus nach beiden Seiten abgetragen werden.

Man sagt dazu auch: „Diese Aufgabe hat zwei Lösungen.“

BM633

Auf einer Geraden liegen drei Punkte A, B und C.

Wie viel Strecken werden durch diese drei Punkte bestimmt?

Lösung BM633
drei Strecken: Strecke ${\overline {AB}}$ Strecke ${\overline {BC}}$ Strecke ${\overline {AC}}$

BM634

Vergleichen von Strecken

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Jede Strecke hat eine Länge. Die Länge einer Strecke

{\overline {AB}}

gibt die Entfernung der beiden Eckpunkte A und B voneinander an.

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Hat eine Strecke

{\overline {AB}}

eine Länge 3 cm, so schreibt man:

{\overline {AB}}

= 3 cm. (Lies: Die Länge der Strecke

{\overline {AB}}

beträgt 3 cm.)

Werden gleich lange Strecken mit ein und derselben Längeneinheit gemessen, so werden ihnen gleiche Maßzahlen zugeordnet.

Zwei Strecken

{\overline {AB}}

und

{\overline {CD}}

kann man miteinander vergleichen, indem man die Längen dieser Strecken misst und dann die Längen vergleicht.

Man kann zwei Strecken

{\overline {AB}}

und

{\overline {CD}}

auch miteinander vergleichen, ohne deren Länge zu messen.

Man trägt dazu die beiden Strecken auf ein und demselben Strahl von dessen Anfangspunkt P aus ab.

Es sollen die beiden Strecken

{\overline {AB}}

und

{\overline {CD}}

(Bild 1) und die beiden Strecken

{\overline {PQ}}

und

{\overline {RS}}

(Bild 2) miteinander verglichen werden.

Liegt wie in Bild 1 der Punkt D zwischen den Punkten A und B, so sagt man: „Die Strecke

{\overline {CD}}

ist kleiner als die Strecke

{\overline {AB}}

.“ bzw. „Die Strecke

{\overline {AB}}

ist größer als die Strecke

{\overline {CD}}

.“

Man schreibt dafür kurz:

{\overline {AB}}

>

{\overline {CD}}

bzw.

{\overline {CD}}

<

{\overline {AB}}

.

Fallen wie im Bild 2 die Punkte R unt T zusammen, so sagt man: „Die Strecken

{\overline {QR}}

und

{\overline {ST}}

sind gleich lang.“

Dafpr schreibt man kurz:

{\overline {QR}}

=

{\overline {ST}}

BM635

Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.

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Eine Strecke (auch Geradenabschnitt oder Geradenstück) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird; sie ist die kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte. Die Begrenzung einer Strecke durch diese Punkte unterscheidet sie von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Halbgeraden, die nur auf einer Seite begrenzt sind.

---

Wird durch die Reihenfolge der Punkte

A

und

B

eine Orientierung der Strecke vorgegeben, spricht man von einer gerichteten Strecke

{\overrightarrow {AB}}

.

BM636

Gegenseitige Lage von drei Generaden

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Bild 1: Drei Geraden haben drei verschiedene Schnittpunkte. Die drei Geraden haben in diesem Fall verschiedene Richtungen.

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Bild 2: Drei Geraden haben zwei verschiedene Schnittpunkte. In diesem Fall haben zwei Geraden gleiche Richtungen. Die dritte Gerade hat eine andere Richtung.

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Bild 3: Drei Geraden haben 'einen Schnittpunkt. (Drei Geraden haben 'einen gemeinsamen Schnittpunkt.) Die drei Geraden haben in diesem Fall verschiedene Richtungen. Man sagt dafür auch: „Die drei Geraden bilden ein Geradenbüschel.“

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Bild 4: Die drei Geraden haben keinen Schnittpunkt. Die drei Geraden haben in diesem Fall alle die gleiche Richtung. Die drei Geraden liegen parallel zueinander.

---

Drei Geraden haben je nach ihrer Lage drei, zwei, einen oder keinen Schnittpunkt.

BM637

Geradenbüschel und Strahlenbüschel

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Wenn sich mehrere Geraden in einen gemeinsamen Schnittpunkt kreuzen, so sagt man: „Die Geraden bilden ein Geradenbüschel.“

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Wenn mehrere Strahlen einen gemeinsamen Anfangspunkt haben, so sagt man: „Die Strahlen bilden ein Strahlenbüschel.“

BM638

Dreiecke

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Welche Möglichkeiten gibt es für die gegenseitige Lage dreier Punkte?

Durch drei Punkte kann man je nach Lage drei Geraden oder nur eine Gerade zeichnen (Bild 1).

Liegen drei Punkte auf einer Geraden, so liegt genau einer von ihnen zwischen den beiden anderen.

Liegen drei Punkte nicht auf einer Geraden, so kann man drei verschiedene Geraden zeichnen (Bild 2).

BM639

Drei Punkte A, B und D, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen genau ein Dreieck.

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Die Punkte A, B und C heißen die Eckpunkte, die Strecken

{\overline {AB}}

,

{\overline {BC}}

und

{\overline {CA}}

heißen die Seiten des Dreiecks ABC.

Für „Dreieck ABC“ schreibt man auch „

\triangle ABC

“.

Zu einem Dreieck ABC gehören alle Punkte, die auf den Strecken

{\overline {AB}}

,

{\overline {BC}}

oder

{\overline {CA}}

liegen (Bild 1).

---

Der Teil der Ebene, der von einem Dreieck begrenzt wird, heißt Dreiecksfläche (Bild 2).

BM640

Vergleiche in den Bildern 1 bis 3 jeweils die Seiten eines Dreiecks miteinander!

Bild 1: Dreiecke, in denen alle drei Seiten verschieden lang sind, nennt man unregelmäßige Dreiecke.

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Bild 2: Dreiecke, in denen zwei Seiten gleich lang sind, nennt man gleichschenklige Dreiecke.

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Bild 3: Dreiecke, in denen alle drei Seiten gleich lang sind, nennt man gleichseitige Dreiecke.

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Begründe, warum jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig ist!

BM641 - BM650[editar]

BM641

Verschiebung von Dreiecken

Verschiebungspfeil

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1.) verschieben = etwas von einem an einen anderen Ort bewegen

z. B.: Schiebetür

2.) verschieben = etwas zeitlich verschieben

z. B.: Wir können das Treffen leider nicht verschieben.

z. B.: Was du heute kannst besorgen, das verschiebe nicht auf morgen.

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Eine Verschiebung in der Geometrie erfolgt stets in einer festgelegten Richtung nach einem vorgegebenen Richtungssinn.

Bild 1 und 2 zeigen eine Verschiebung eines Dreiecks ABC in Richtung der Geraden g mit dem Richtungssinn von P nach Q.

BM642

Original und Bild

Bild 1 zeigt ein Dreieck ABC und die Gerade g mit der Strecke

{\overline {PQ}}

mit dem Richtungssinn von P nach Q.

---

Bild 2 zeigt eine Verschiebung eines Dreiecks ABC in Richtung der Geraden g mit dem Richtungssinn von P nach Q.

Bild 2 zeigt eine Verschiebung des Dreiecks ABC um die Strecke

{\overline {PQ}}

.

Erkläre, wie die Verschiebung gemacht wird!

Beachte: Aus A wird A' (Lies: A Strich)

Das Dreieck A'B'C' (sprich: A-Strich, B-Strich, C-Strich) ist das Bild des Dreiecks ABC bei dieser Verschiebung.

Man sagt auch: „Die Dreieck ABC und A'B'C' entsprechen einander.“

Ebenso nennt man den Punkt A' Bild des Punktes A,

und die Strecke

{\overline {A'B'}}

Bild der Strecke

{\overline {AB}}

.

Die Gerade

{\overline {A'B'}}

ist Bild der Geraden

{\overline {AB}}

.

Der Strahl A'B' ist Bild des Strahls AB.

---

Dafür sagt man auch: „Dem Punkt A entspricht der Punkt A'“ bzw.

„Der Strecke

{\overline {AB}}

entspricht die Strecke

{\overline {A'B'}}

.“

„Der Geraden AB entspricht die Gerade A'B'.“

„Dem Strahl AB entspricht der Strahl A'B'.“

---

Im Bild 2 stellt man fest:

a) Entsprechende Geraden sind jeweils zueinander parallel.

b) Entsprechende Strahlen besitzen jeweils gleiche Richtungen und gleichen Richtungssinn.

BM643

Verschiebung

---

Bei einer Verschiebung

sind entsprechende Geraden parallel,

sind entsprechende Strecken gleich lang,

haben entsprechende Strahlen gleichen Richtungssinn.

---

Im Bild 1 sind die Punkt A, B und C des Originals (links) mit den entsprechenden Punkten A', B' bzw. C' des Bildes (rechts) dieser Verschiebung jeweils durch Pfeile verbunden. Die Pfeilspitze weist stets auf den Bildpunkt.

Man bezeichnet die Pfeile mit

{\vec {AA'}}

,

{\vec {BB'}}

und

{\vec {CC'}}

.

Auf der Geraden g ist außerdem der Peil

{\vec {PQ}}

gezeichnet.

---

Wird die Verschiebung wie im Bild 1 durch einen Pfeil

{\vec {PQ}}

angegeben, so spricht man von einer Verschiebung ${\vec {PQ}}$ .

Den Pfeil

{\vec {PQ}}

nennt man auch Verschiebungspfeil ${\vec {PQ}}$ .

Der Verschiebungspfeil legt die Richtung und den Richtungssinn der Verschiebung und die Verschiebungsweite fest.

Die Verschiebungsweite ist die Länge der Strecke, die durch die Punkte P und Q des Versc hiebungspfeils

{\vec {PQ}}

bestimmt wird.

Die Verschiebungsweite kann man z. B. so schreiben:

{\vec {PQ}}

= 7 cm

BM644

Eine Verschiebung ist durch die Angabe eines einzigen Verschiebungspfeils bestimmt.

Pfeile, die bei einer Verschiebung

{\vec {PQ}}

entsprechende Punkte verbinden, haben die gleiche Richtung, den gleichen Richtungssinn und die gleiche Länge wie der Verschiebungspfeil

{\vec {PQ}}

.

BM645

Verschiebung von Dreiecken

---

Sind ein Dreieck und ein Verschiebungspfeil gegeben, so kann man das Bild des Dreiecks bei eienr Verschiebung mit Hilfe von Zirkel, Lineal und Zeichendreieck konstruieren.

---

Bild 1:

Gegeben seien ein Dreieck ABC und der Verschiebungspfeil

{\vec {PQ}}

---

Bild 2:

Man zeichnet durch die Punkte A, B und C STrahlen. Diese Strahlen müssen zum Verschiebungpfeil

{\vec {PQ}}

parallel sein und den gleichen Richtungssinn wie der Verschiebungspfeil

{\vec {PQ}}

haben.

Man trägt auf den Strahlen jeweils vom Anfangspunkt aus die Strecke

{\vec {PQ}}

als Verschiebungsweite ab. man erhält so die Punkte A', B' und C'.

---

Bild 3:

Man verbindet die Punkte A', B' und C' miteinander und erhält als Bild das Dreieck A'B'C'.

BM646

Verschiebung eines Vierecks

Beschreibe die Verschiebung eines Vierecks!

BM647

Nacheinanderausführung von Verschiebungen

---

Im Bild 1 sind ein Dreieck ABC und zwei verschiedene Verschiebungspfeile

{\vec {PQ}}

und

{\vec {QR}}

gegeben.

Durch die Pfeile

{\vec {PQ}}

und

{\vec {QR}}

sind zwei Verschiebungen festgelegt.

---

Man bestimmt zunächst das Bild des Dreiecks ABC bei der Verschiebung

{\vec {PQ}}

und erhält das Dreieck A'B'C'.

Dann bestimmt man das Bild des Dreiecks A'B'C' mit der Verschiebung

{\vec {QR}}

und erhält das Dreieck A''B''C\'' (lies: A-zwei-Strich, B-zwei-Strich, C-zwei-Strich).

Das Dreieck A''B''C'' ist das Bild des Dreiecks ABC nach den zwei Verschiebungen

{\vec {PQ}}

und

{\vec {QR}}

.

Man sagt: „Die Verschiebungen

{\vec {PQ}}

und

{\vec {QR}}

werden nacheinander ausgeführt.“

---

Bild 3:

Man kann diese Konstruktion auch kürzer ausführen. Man führt nur die Verschiebung

{\vec {PR}}

aus und erhält dabei sofort das Bilddreick A''B''C''.

BM648

Die Nacheinanderausführung zweier Verschiebungen kann auch durch eine einzige Verschiebung angegeben werden.

Zwei gegebene Verschiebungen, die nacheinander ausgeführt werden, können uach in derselben Richtung und in demselben Richtungssinn erfolgen.

Auf ein Dreieck ABC seien die Verschiebungen

{\vec {DE}}

und

{\vec {FG}}

anzuwenden. Die Geraden DE und FG sollen die gleiche Richtung haben. Man trägt zunächst den Verschiebungspfeil

{\vec {FG}}

im Punkt E an den Verschiebungspfeil

{\vec {DE}}

an. Man erhält den Punkt G'. Man bestimmt jetzt das Bild des Dreiecks ABC bei der Verschiebung

{\vec {DG'}}

BM649

Verschiebung von Geraden

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Es soll das Bild einer Geraden g bei einer Verschiebung

{\vec {AB}}

bestimmt werden.

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Dazu kennzeichnet man auf der Geraden g einen beliebigen Punkt P (irgendeinen Punkt). Dann bestimmt man das Bild P' des Punktes P bei der Verschiebung

{\vec {AB}}

.

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Durch den Punkt P' zeichnet man die Parallele zu g.

Diese Parallele ist das Bild g' der Geraden g bei der Verschiebung

{\vec {AB}}

.

BM650

Abstand von Geraden

Breite eines Streifens

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Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden rechwinklig geschnitten, so wird durch die entstehenden Schnittpunkte eine Strecke bestimmt.

In Bild 1 wurde diese Strecke blau gekennzeichnet. Diese Strecke steht ebenfalls senkrecht auf den beiden Parallelen. Die Länge dieser Strecke nennt man Abstand der parallelen Geraden.

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Zwei parallele Geraden bestimmen eine Figur, die Streifen genannt wird. Der Abstand der beiden parallelen Geraden wird auch als Breite des betreffenden Streifens bezeichnet.

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