Ecuación cuadrática/Versión para imprimir

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[editar] Introducción

El análisis de la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una incógnita, tratada con anterioridad. Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es más difícil de abordar y se necesitan nuevos métodos, así, como el conocimiento previo de álgebra elemental, referida a expresiones algebraicas.

En analogía con la ecuación lineal que genera una recta en el plano cartesiano, la ecuación cuadrática genera el objeto geométrico llamado Parábola, cuyo estudio se aborda con el nombre de Función Cuadrática y Secciones Cónicas.

[editar] Conceptos previos

[editar] ¿Qué es una Ecuación?

Ver artículo: Ecuación.
Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:

3x - 8 = 10

sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

[editar] Raíz

Representación de "raíz cuadrada de x".

Ver artículo:Raíz cuadrada
En matemática, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por $\sqrt{x}$ .

Ejemplo, $\sqrt{16} = 4$ , ya que $4 x 4 = 16$

Ejemplo. $\sqrt{144} = 12$ , ya que $12 x 12 = 144$

No todos los números reales no negativos tienen una raíz cuadrada exacta.

Ejemplo. $\sqrt{2} = 1,41421...$ .

[editar] Propiedad raíz cuadrada

$Si \quad x^2=a \quad \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{a} \quad con \quad a > 0$

La raíz tiene sentido en el conjunto de los números reales si a es no negativo.

Ejemplo: x²= 9
usando la propiedad raíz cuadrada nos queda:
x = ±√9 → x= ±3
x=3 y x=-3
Respuesta: Los números multiplicados dos veces a si mismos que dan como resultado 9 son 3 y -3

Nótese que aquí $\quad x^2=a \quad \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{a} \quad con \quad a > 0$ . Esto significa que (-a) y (a) satisfacen la ecuación. Esto es debido a que es una ecuación de segundo grado y ésta tiene a lo más dos soluciones. Si a es distinto de cero las soluciones serán distintas. Debe tenerse presente que la raíz cuadrada de un número real positivo es siempre positiva.

[editar] Propiedad Cero

El producto de dos números es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.
$a \cdot b = 0 \quad \iff \quad a=0 \quad \lor \quad b=0$

Ejemplo: 3 x a = 0
por propiedad : 3=0 o a=0
la igualdad 3=0 es un absurdo y se descarta, por tanto nos queda
a = 0
Respuesta: 3 x a = 0 si y solo si a = 0

[editar] Productos notables

Ver artículo:Productos notables

(a + b)² =a²+ 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

← Introducción

Conceptos previos

Ecuación cuadrática →

[editar] Ecuación cuadrática

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita (en este caso x) es dos.

La forma general de la ecuación cuadrática es:

ax²+ bx + c = 0

con a, b, c números reales cualquiera y $a \ne 0$ (a distinto de cero).

Un ejemplo sería: 2x² - 3x = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones

[editar] ejemplos

3x² - 8x - 1 = 0
-2x²2 + 3x + 8 = 0
x² - 12x = 0
8x² = 0
½x² + 3/8x = 9

← Conceptos previos

Ecuación cuadrática

Factorización →

[editar] Clasificación

[editar] Completa

Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.

[editar] Completa General

[editar] Completa Particular

Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1 (a=1)

[editar] Incompleta

Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del termino de primer grado, termino libre o ambos.

[editar] Incompleta Binomial

Si el término libre es cero

[editar] Incompleta Pura

Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces: ax2+c = 0 pero esto lo edite io esta pagina no sirve busca otra (Triax)

[editar] Factorización

Si lográramos escribir $a x 2 + b x + c$ como el producto de dos factores de primer grado, entonces la ecuación de segundo grado puede resolverse rápida y fácilmente.

Este método se basa en la propiedad cero de los números reales.

Ejemplo: $x 2 - 6 x + 5 = 0$

[editar] Completación de cuadrados

Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar Ax2+bx+c=0

En la forma (x+A)2=B

Donde A y B son constantes X2-6X+8=0

[editar] Formula general

Consideremos la ecuación cuadrática general $a x 2 + b x + c = 0$

Se puede resolver al completar el cuadrado.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

[editar] Tipos de soluciones

Ecuación cuadrática/Tipos de soluciones

[editar] Interpretación geométrica

[editar] Aplicaciones

Ecuación cuadrática/Aplicaciones