Ecuación cuadrática/Versión para imprimir

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Introducción[editar]

El análisis de la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una incógnita, tratada con anterioridad. Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es más difícil de abordar y se necesitan nuevos métodos, así, como el conocimiento previo de álgebra elemental en especial de expresiones algebraicas.

En analogía con la ecuación lineal que genera una recta en el plano cartesiano, la ecuación cuadrática genera el objeto geométrico llamado Parábola, cuyo estudio se aborda con el nombre de Función Cuadrática y Secciones Cónicas.

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Conceptos previos[editar]

¿Qué es una Ecuación?[editar]

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ejemplo. 3x - 8 = 10

sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

Vease el artículo:Ecuación

Qué es una Raíz[editar]

Representación de "raíz cuadrada de x".

En matemática, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por \sqrt{x}.

Ejemplo. \sqrt{16} = 4, ya que 4 \cdot 4 = 16

Ejemplo. \sqrt{144} = 12 , ya que 12 \cdot 12 = 144

No todos los números reales no negativos tienen una raíz cuadrada exacta.

Ejemplo. \sqrt{2} = 1,41421... .

Vease el artículo:Raíz cuadrada

Propiedad raíz cuadrada[editar]

Si \quad x^2=a \quad \Rightarrow \quad  x= \pm \sqrt{a} \quad con \quad a > 0

Esto significa que \sqrt{a} y - \sqrt{a} satisfacen la ecuación. Esto es debido a que es una ecuación de segundo grado y ésta tiene a lo más dos soluciones. Ademas, la raíz tiene sentido en el conjunto de los números reales si a es no negativo.


Ejemplo. Encontrar el valor de x en la ecuación: x2= 9
Usando la propiedad nos queda: x= \sqrt{9} \Rightarrow x= \pm 3. Por lo tanto la incognita x tiene dos valores: x=3 y x=-3
Respuesta: Los números multiplicados dos veces a si mismos que dan como resultado 9 son 3 y -3

Propiedad Cero[editar]

'Propiedad'. El producto de dos números es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.

a \cdot b = 0 \quad \iff \quad a=0 \quad \lor \quad b=0


Ejemplo. Encontrar el valor de a en: 3 \cdot a = 0
Por propiedad : 3=0 o a=0. La igualdad 3=0 es un absurdo y se descarta, por tanto nos queda a = 0
Respuesta: 3 \cdot a = 0 si y solo si a = 0

Productos notables[editar]

  • (a + b)2 =a2+ 2ab + b2
  • (a + b)(a - b) = a2 - b2
  • (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab

Vease el artículo:Productos notables

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Ecuación cuadrática[editar]

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita (en este caso x) es dos.

La forma general de la ecuación cuadrática es:

ax2+ bx + c = 0

con a, b, c números reales cualquiera y a \ne 0(a distinto de cero).

Un ejemplo sería: 2x2 - 3x = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones

ejemplos[editar]

  • 3x2 - 8x - 1 = 0
  • -2x22 + 3x + 8 = 0
  • x2 - 12x = 0
  • 8x2 = 0
  • ½x2 + 3/8x = 9


← Conceptos previos Ecuación cuadrática Factorización →


Clasificación[editar]

Completa[editar]

Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.

Completa General[editar]

es C.general porque es mas de 1 es decir como ej: aX2=2X2 o 5X2 u otros que sean mayor a 1...

ax²+bx+c=0

ej: 3x²+5x+7

Completa Particular[editar]

Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1 (a=1) ejemplo: x² + 3x + 1 = 50.44

Incompleta[editar]

Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del termino de primer grado, termino libre o ambos.

Incompleta Binomial[editar]

Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0

ej: 4X2 -5x=0

Incompleta Pura[editar]

¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces: ax2+c = 0?

bx=0

ej: -5x2-1=0

Factorización[editar]

Si lográramos escribir ax^2+bx+c como el producto de dos factores de primer grado, entonces la ecuación de segundo grado puede resolverse rápida y fácilmente.

Este método se basa en la propiedad cero de los números reales.


Ejemplo: x^2-6x+5=0

Completación de cuadrados[editar]

Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar Ax2+bx+c=0

En la forma (x+A)2=B


Donde A y B son constantes

Formula general[editar]

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: ax^2+bx+c=0.

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de x que cumplen con la expresión, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta").

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

X_1,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si b^2 es menor que -4ac los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.
Si b^2 es mayor que -4ac obtendremos dos valores distintos de X reales.
Y si b^2 es igual que -4ac obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término b^2-4ac se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²-6x+9

Tipos de soluciones[editar]

Ecuación cuadrática/Tipos de soluciones

Interpretación geométrica[editar]

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Aplicaciones[editar]

Ecuación cuadrática/Aplicaciones