Ecuación cuadrática/Conceptos previos

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¿Qué es una Ecuación?[editar]

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ejemplo. 3x - 8 = 10

sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

Vease el artículo:Ecuación

Qué es una Raíz[editar]

Representación de "raíz cuadrada de x".

En matemática, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por \sqrt{x}.

Ejemplo. \sqrt{16} = 4, ya que 4 \cdot 4 = 16

Ejemplo. \sqrt{144} = 12 , ya que 12 \cdot 12 = 144

No todos los números reales no negativos tienen una raíz cuadrada exacta.

Ejemplo. \sqrt{2} = 1,41421... .

Vease el artículo:Raíz cuadrada

Propiedad raíz cuadrada[editar]

Si \quad x^2=a \quad \Rightarrow \quad  x= \pm \sqrt{a} \quad con \quad a > 0

Esto significa que \sqrt{a} y - \sqrt{a} satisfacen la ecuación. Esto es debido a que es una ecuación de segundo grado y ésta tiene a lo más dos soluciones. Ademas, la raíz tiene sentido en el conjunto de los números reales si a es no negativo.


Ejemplo. Encontrar el valor de x en la ecuación: x2= 9
Usando la propiedad nos queda: x= \sqrt{9} \Rightarrow x= \pm 3. Por lo tanto la incognita x tiene dos valores: x=3 y x=-3
Respuesta: Los números multiplicados dos veces a si mismos que dan como resultado 9 son 3 y -3

Propiedad Cero[editar]

'Propiedad'. El producto de dos números es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.

a \cdot b = 0 \quad \iff \quad a=0 \quad \lor \quad b=0


Ejemplo. Encontrar el valor de a en: 3 \cdot a = 0
Por propiedad : 3=0 o a=0. La igualdad 3=0 es un absurdo y se descarta, por tanto nos queda a = 0
Respuesta: 3 \cdot a = 0 si y solo si a = 0

Productos notables[editar]

  • (a + b)2 =a2+ 2ab + b2
  • (a + b)(a - b) = a2 - b2
  • (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab

Vease el artículo:Productos notables

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