Ecuación cuadrática/Conceptos previos

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Contenido

1 ¿Qué es una Ecuación?
2 Raíz
3 Propiedad raíz cuadrada
4 Propiedad Cero
5 Productos notables

[editar] ¿Qué es una Ecuación?

Ver artículo: Ecuación.
Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:

3x - 8 = 10

sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

[editar] Raíz

Representación de "raíz cuadrada de x".

Ver artículo:Raíz cuadrada
En matemática, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por $\sqrt{x}$ .

Ejemplo, $\sqrt{16} = 4$ , ya que $4 x 4 = 16$

Ejemplo. $\sqrt{144} = 12$ , ya que $12 x 12 = 144$

No todos los números reales no negativos tienen una raíz cuadrada exacta.

Ejemplo. $\sqrt{2} = 1,41421...$ .

[editar] Propiedad raíz cuadrada

$Si \quad x^2=a \quad \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{a} \quad con \quad a > 0$

La raíz tiene sentido en el conjunto de los números reales si a es no negativo.

Ejemplo: x²= 9
usando la propiedad raíz cuadrada nos queda:
x = ±√9 → x= ±3
x=3 y x=-3
Respuesta: Los números multiplicados dos veces a si mismos que dan como resultado 9 son 3 y -3

Nótese que aquí $\quad x^2=a \quad \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{a} \quad con \quad a > 0$ . Esto significa que (-a) y (a) satisfacen la ecuación. Esto es debido a que es una ecuación de segundo grado y ésta tiene a lo más dos soluciones. Si a es distinto de cero las soluciones serán distintas. Debe tenerse presente que la raíz cuadrada de un número real positivo es siempre positiva.

[editar] Propiedad Cero

El producto de dos números es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.
$a \cdot b = 0 \quad \iff \quad a=0 \quad \lor \quad b=0$

Ejemplo: 3 x a = 0
por propiedad : 3=0 o a=0
la igualdad 3=0 es un absurdo y se descarta, por tanto nos queda
a = 0
Respuesta: 3 x a = 0 si y solo si a = 0