Álgebra Lineal/Sistema de ecuaciones lineales

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Ecuaciones lineales[editar]

Una ecuación lineal es una ecuación que tiene la forma:

a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b

Donde a1,a2 son escalares y se denominan coeficientes de la ecuación y b se denomina término constante. Generalmente las variables en una ecuación se denotan como xn, en lugar de x, y, z, etc. Esto se debe porque, en un sistema real, pueden existir miles de variables. Los problemas en este texto no tendrán mas de 5 o 6 variables. Todas las variables tendrán que estar elevadas a la primer potencia.

Ejemplos[editar]

1. 2x_1 - 5x_2 + x_3 = 9 \!
es una ecuación lineal


Resultado

de una función lineal de dos variable x_1 

2. <math>x_1 + 2x_2 + 2\sqrt{x_3} = 1 \!
NO ES una ecuación lineal porque un término contiene una raíz cuadrada. La raíz \sqrt{x_3} es igual que x3 a la 1/2 potencia. Para ser lineal tendría que estar a la primera potencia.

3. -10x_1 + 2x_2 = 0 \!
es una ecuación lineal

4. x_1x_2 + 2x_3 = 0 \!
NO ES una ecuación lineal porque x_1x_2 es un término elevado a la segunda potencia.

Funciones Lineales[editar]

Definición: Una función f: V \rightarrow K , donde V es un espacio vectorial sobre K, llamada función lineal entonces, \forall u, v \in V e  \forall \lambda \in K:

f(u + v) = f(u) + f(v)
f(\lambda v) = \lambda f(v)

Teorema de existencia y unicidad: Sea V un espacio vectorial de dimensión n y \alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \} una base de V, entonces existe una única función f, tal que f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K

Teorema da base dual: Sea V un espacio vectorial y, \mathrm{dim} V = n e \beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_3\} una base de V, entonces existe una única base \beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\} de V^* tal que f_i(v_j) = \delta_{ij}

Definiciones:

\beta^* será llamada de base dual de \beta.
V^* será llamado espacio dual de V.

Corolarios:

f = \sum f(v_i)f_i
v = \sum f_i(v)v_i

Teorema de representación de funciones lineales[editar]

Sea V un espacio vectorial sobre K, \mathrm{dim} V = n, con producto escalar, y f: V \rightarrow K una función lineal, entonces existe un único vector v_o \in V, tal que f(v) = \langle v, v_o \rangle, \forall v \in V.

Demostrándose que v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i

---++ Adjunta de un operador linear

Sea V un espacio vectorial.

El operador adjunto, T^* : V \rightarrow V , de un determinado operador lineal T : V \rightarrow V está definido por la igualdad:

 \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V

Demostrándose que todo operador linear posee un y apenas un operador correspondiente.

A partir de la definición, podemos obtener las siguientes consecuencias (prove!):

(S + T)^* = S^* + T^*
(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*
(S \circ T)^* = T^* \circ S^*

Proposición: Sea V un espacio vectorial sobre K, \mathrm{dim} V = n, con producto escalar. Sea \alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} una base ortonormal de V. Entonces [T]_\alpha = (a_{ij}), donde a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle

Corolario: Sea V un espacio vectorial sobre K, \mathrm{dim} V = n, con producto escalar. Entonces, para qualquer base \alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} ortonormal de V, tenemos que la matriz [T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.