Álgebra Lineal/Sistema de ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una ecuación que tiene la forma: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$

Donde a₁,a₂ son escalares y se denominan coeficientes de la ecuación y b se denomina término constante. Generalmente las variables en una ecuación se denotan como x_n, en lugar de x, y, z, etc. Esto se debe porque, en un sistema real, pueden existir miles de variables. Los problemas en este texto no tendrán mas de 5 o 6 variables. Todas las variables tendrán que estar elevadas a la primer potencia.

Ejemplos

1. $2x_{1}-5x_{2}+x_{3}=9\!$
es una ecuación lineal

Resultado

de una función lineal de dos variable $x_{1}2.<math>x_{1}+2x_{2}+2{\sqrt {x_{3}}}=1\!$
NO ES una ecuación lineal porque un término contiene una raíz cuadrada. La raíz ${\sqrt {x_{3}}}$ es igual que x₃ a la $1/2$ potencia. Para ser lineal tendría que estar a la primera potencia.

3. $-10x_{1}+2x_{2}=0\!$
es una ecuación lineal

4. $x_{1}x_{2}+2x_{3}=0\!$
NO ES una ecuación lineal porque $x_{1}x_{2}$ es un término elevado a la segunda potencia.

Funciones Lineales

Definición: Una función $f:V\rightarrow K$, donde V es un espacio vectorial sobre K, llamada función lineal entonces, $\forall u,v\in V$ e $\forall \lambda \in K$:

$f(u+v)=f(u)+f(v)$

$f(\lambda v)=\lambda f(v)$

Teorema de existencia y unicidad: Sea V un espacio vectorial de dimensión n y $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ una base de V, entonces existe una única función f, tal que $f(v_{i})=\lambda _{i},i=1,2,\ldots ,n,\lambda _{i}\in K$

Teorema da base dual: Sea V un espacio vectorial y, $\mathrm {dim} V=n$ e $\beta =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{3}\}$ una base de V, entonces existe una única base $\beta ^{*}=\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}$ de $V^{*}$ tal que $f_{i}(v_{j})=\delta _{ij}$

Definiciones:

$\beta ^{*}$ será llamada de base dual de $\beta$.

$V^{*}$ será llamado espacio dual de V.

Corolarios:

$f=\sum f(v_{i})f_{i}$

$v=\sum f_{i}(v)v_{i}$

Teorema de representación de funciones lineales

Sea V un espacio vectorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n$, con producto escalar, y $f:V\rightarrow K$ una función lineal, entonces existe un único vector $v_{o}\in V$, tal que $f(v)=\langle v,v_{o}\rangle$, $\forall v\in V$.

Demostrándose que $v_{o}=\sum {\overline {f(e_{i})}}e_{i}$

---++ Adjunta de un operador linear

Sea V un espacio vectorial.

El operador adjunto, $T^{*}:V\rightarrow V$, de un determinado operador lineal $T:V\rightarrow V$ está definido por la igualdad:

$\langle T(u),v\rangle =\langle u,T^{*}(v)\rangle ,\quad \forall u,v\in V$

Demostrándose que todo operador linear posee un y apenas un operador correspondiente.

A partir de la definición, podemos obtener las siguientes consecuencias (prove!):

$(S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}$

$(\lambda T)^{*}={\bar {\lambda }}T^{*}$

$(S\circ T)^{*}=T^{*}\circ S^{*}$

Proposición: Sea V un espacio vectorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n$, con producto escalar. Sea $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ una base ortonormal de V. Entonces $[T]_{\alpha }=(a_{ij})$, donde $a_{ij}=\langle T(e_{j}),e_{i}\rangle$

Corolario: Sea V un espacio vectorial sobre K, $\mathrm {dim} V=n$, con producto escalar. Entonces, para qualquer base $\alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ ortonormal de V, tenemos que la matriz $[T^{*}]_{\alpha }=({\overline {[T]_{\alpha }}})^{t}$.