Matemáticas/Generalidades/Texto completo

Generalidades

La topología es la rama de las matemáticas que trata las propiedades espaciales de los objetos que quedan inalteradas bajo deformaciones continuas: por ejemplo, que estiran o contraen, pero no cortan ni pegan. En topología se generalizan nociones propias de los espacios métricos, como continuidad y convergencia. La Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.

Topología general

Introducción a la topología

• Espacios métricos

Definición de Grafo

Un grafo está determinado por dos conjuntos finitos, uno de vértices y otro de aristas, los cuales llamaremos normalmente $V$ y $E$ respectivamente. La notación usual para decir que $G$ es un grafo formado por los conjuntos $V$ y $E$ será $G=(V,E)$.

El conjunto $E$ tendrá la forma $V\times V$.

(en breve será extendido este artículo)

Introdución

El conocimiento es un conjunto de información adquirida a través de la experiencia o de la introspección. Puede ser organizado sobre la estructura de hechos objetivos y accesibles a distintos observadores, a través de un conjunto de técnicas y métodos que se conoce como ciencia. El vocablo proviene del latín scientia y, justamente, significa conocimiento.

Ciencia

La aplicación sistemática de dichos métodos genera nuevos conocimientos objetivos (científicos), que toman la forma de predicciones concretas, cuantitativas y comprobables. Las predicciones son susceptibles de ser estructuradas en leyes o reglas universales, que describen el funcionamiento de un sistema y predicen cómo será su actuación bajo ciertas circunstancias.

División

La ciencia puede dividirse en ciencia básica y ciencia aplicada (cuando se aplica el conocimiento científico a las necesidades humanas). Existen además otras clasificaciones de las ciencias, como las planteadas por el epistemólogo alemán Rudolf Carnap, quien las dividió en ciencias formales (no tienen contenido concreto, como la lógica y la matemática), ciencias naturales (su objeto de estudio es la naturaleza. Ejemplo: biología, química, geología) y ciencias sociales (se ocupan de aspectos de la cultura y la sociedad, como la historia, la economía y la psicología).

Métodos

Aunque cada ciencia cuenta con su propio método de investigación, los métodos científicos deben cumplir con varios requisitos, como la reproducibilidad (la capacidad de repetir un experimento en cualquier lugar y por cualquier persona) y falsabilidad (la capacidad de una teoría de ser sometida a pruebas que la contradigan).

Proceso científico

Los pasos propios del proceso científico son la observación (se toma una muestra), la descripción detallada, la inducción (cuando se extrae el principio general implícito de los resultados observados), la hipótesis (que explica los resultados y su relación causa-efecto), la experimentación controlada (para comprobar la hipótesis), la demostración o refutación de la hipótesis y, por último, la comparación universal (para contrastar la hipótesis con la realidad).

Reglas de derivación

Regla de derivación general:

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

Derivada de una suma:

${\frac {d}{dx}}(x^{a}+x^{b})=ax^{a-1}+bx^{b-1}$

Derivada de un producto:

${\frac {d}{dx}}(uv)=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

Derivada de un cociente:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

Derivada de una constante

${\frac {d}{dx}}(a)=0$

Regla de la cadena:

${\frac {d}{dx}}f(u)={\frac {df}{du}}{\frac {du}{dx}}$

La derivada direccional

Una forma de determinar, para una función $z=f(x,y)$, el aumento en la dirección de un cierto vector $u=(u_{1},u_{2})$ a partir del punto genérico $(x,y)$ es a través de la recta

$L(h)=(x,y)+h(u_{1},u_{2})=(x+hu_{1},y+hu_{2})$,

situación que se muestra en la figura 3, de tal forma que si $u=(u_{1},u_{2})$ es unitario, es decir, $||u||=1$, se puede establecer el cociente de diferencias de la función $z$ respecto del incremento en la dirección de $u$.

Figura 3. Recta en dirección de $(u_{1},u_{2})$

Definición

Sea la función escalar $z=f(x)$ que depende del vector n-dimensional $x$, se define la derivada direccional en dirección del vector $u$ como

$f'(x;u)=lim_{h\to 0}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}$

Ejemplo 1

Sea la función $g(x,y):=3x^{2}-2xy+y^{2}$. Determine la derivada direccional en dirección del vector $u=(u_{1},u_{2})$ y evalúela en los puntos P1 = (1, - 1) y P2 = (2,1).

Solución

Se debe hallar explícitamente $g(\mathbf {x} +hu)$, donde $\mathbf {x} =(x,y)$. Así

${\begin{aligned}g(\mathbf {x} +hu)&=g((x,y)+h(u_{1},u_{2}))\\&=g(x+hu_{1},y+hu_{2}),\end{aligned}}$

lo que nos conduce a

$g(x+hu_{1},y+hu_{2})=3(x+hu_{1})^{2}-2(x+hu_{1})(y+hu_{2})+(y+hu_{2})^{2}.$

Expandiéndolo nos queda

${\begin{aligned}g(x+hu_{1},y+hu_{2})=&3x^{2}+3h^{2}u_{1}^{2}+6hxu_{1}\\&-2xy-2hxu_{2}-2hyu_{1}-2h^{2}u_{1}u_{2}\\&+y^{2}+h^{2}u_{2}^{2}+2hyu_{2}.\end{aligned}}$

Se realiza el cociente de diferencias como

${\begin{aligned}{\frac {g(\mathbf {x} +hu)-g(\mathbf {x} )}{h}}=&{\frac {3x^{2}}{h}}+3hu_{1}^{2}+6xu_{1}\\&-{\frac {2xy}{h}}-2xu_{2}-2yu_{1}-2hu_{1}u_{2}\\&+{\frac {y^{2}}{h}}+hu_{2}^{2}+2yu_{2}.\\&-{\frac {3x^{2}}{h}}+{\frac {2xy}{h}}-{\frac {y^{2}}{h}}\end{aligned}}$

Vemos que todos los términos que dividen por $h$ se anulan. Ahora, tomamos el límite cuando $h$ tiende a cero para obtener la derivada direccional.

${\begin{aligned}g'(x,y;u)&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+hu_{1},y+hu_{2})-g(x,y)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}3hu_{1}^{2}+6xu_{1}-2xu_{2}-2yu_{1}-2hu_{1}u_{2}+hu_{2}^{2}+2yu_{2}\\&=6xu_{1}-2xu_{2}-2yu_{1}+2yu_{2}\\&=(6x-2y,2y-2x)\cdot (u_{1},u_{2}).\end{aligned}}$

Ahora evaluamos en el punto (1, - 1)

$g'(1,-1;u)=(8,-4)\cdot (u_{1},u_{2})=8u_{1}-4u_{2}$

y en el punto (2,1)

$g'(2,1;u)=(10,-2)\cdot (u_{1},u_{2})=10u_{1}-2u_{2}$

Véase que el valor de la derivada depende de la dirección que se tome, si por ejemplo el vector unitario de dirección es (sqrt (2)2, -sqrt (2) 2) el valor de la derivada en el punto (1, - 1) es g '((1, - 1);(sqrt (2)2,- sqrt (2)2)) = 8(sqrt (2)2) - 4(sqrt (2)2) = 2.8284, cuya interpretación es que en el punto (1, - 1), en la dirección (sqrt (2)2, -sqrt (2)2), la función tiene un incremento de 2.83 unidades por cada unidad de incremento; pero si se elige, por ejemplo, la dirección (1sqrt (5),2sqrt (5)) queda g '((1, - 1);(1 sqrt (5),2sqrt (5))) = 8(1sqrt (5)) - 4(2sqrt (5)) = 0 lo que significa que en esta dirección en el punto (1, - 1) la función g no tiene algún tipo incremento. A continuación un par de gráficas que se espera clarifiquen más lo expuesto en este ejemplo.

Figura 4. Superficie g(x,y): = 3 x^2 - 2 x y + y^2 Figura 5. Curva de nivel de g(x,y) que pasa por (1, - 1)

En la gráfica 4 se ve la función con sus curvas de nivel, en la gráfica 5 se ha dibujado la curva de nivel que pasa por el punto (1, - 1) y los vectores dirección a partir de este punto, nótese que el vector dirección ( 1 sqrt (5) , 2 sqrt (5) ) es tangente a la curva de nivel, es decir que caminando en esa dirección en ese punto no hay incremento ni decremento en la altura z , cosa que no sucede cuando nos dirigimos en la dirección ( sqrt (2) 2 , - sqrt (2) 2 ).

Ejercicios

Aplicando la definición de derivada direccional, haga el cálculo para las siguientes funciones escalares:

Ejercicio 1

f(x) = x⋅x siendo x = (x,y) en el punto (1,1) en la dirección del vector

( - 1,1)

Ejercicio 2

f(x,y,z) = 3 x^2 - 2 x y + y^2 + z2 en el punto ( - 1,0,0) y en la dirección del vector (2,1,2)

Derivadas parciales

Hablar de las derivadas parciales es hablar de un caso particular de las derivadas direccionales puesto que las direcciones generalmente son paralelas al eje z pero también a cualquiera de los ejes de las variables involucradas, es decir, si ei = (01,02,⋯,1i, 0n - 1,⋯,0n) el vector unitario en la dirección del eje de la variable i-ésima se tiene que la definición de la derivada parcial es entonces:

Definición

Se dice que una función $f'_{i}(x)$ es la derivada parcial de una función multivaluada escalar $f(x)$ si queda definida como

$f_{i}'(x)=f'(x;e_{i})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+he_{i})-f(x)}{h}}$

otras formas de escribirla son ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$, $D_{x_{i}}f$, $D_{i}f$ y $fxi$.

Nótese que

$x+he_{i}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{i}+h,\cdots ,x_{n})$

y véase además que el vector dirección no es otra cosa que el vector unitario en dirección del eje de la variable $x_{i}$, así la derivada parcial mantiene todas las variables fijas a excepción de la variable con respecto de la cual se está derivando.

Ejemplo

Determine la derivada parcial respecto de las variables x e y para la función f(x,y)≔x^2 + 3 x y + y4

Al utilizar la definición se tiene: fx(x,y) = limh→0 f(x + h,y) - f(x,y) h = limh→0 y4 + 3 (x + h) y + (x + h)2 - (y4 + 3 x y + x^2) h = limh→0 3 h y + 2 h x + h2 h = 3y + 2x

Nótese que fx mantiene como fija la variable y, la cual es considerada como constante, y se deriva con respecto a la variable x.

Por otro lado hallamos ∂f ∂y ( x , y ): ∂f ∂y = limh→0 f(x,y + h) - f(x,y) h = limh→0 y4 + 4 h y3 + 6 h2 y^2 + 3 x y + 4 h3 y + x^2 + 3 h x + h4 - (y4 + 3 x y + x^2) h = limh→04 y3 + 6 h y^2 + 4 h2 y + 3 x + h3 = 4 y3 + 3 x

Esta vez la variable x se considera como una constante junto con las demás constantes numéricas y se deriva la variable y.

Estrategia

Para determinar la derivada parcial de una función multivaluada escalar respecto de una de las variables, se debe considerar a todas las demás como constantes, y la derivada se halla con las reglas de derivación de la derivada corriente.

Según la regla anterior aplicada a f ( x , y ) ≔ x 2 + 3 x y + y 4 , derivando respecto de x , se ve que y es considerada como constante y se deriva como una ordinaria, así resulta que ∂f ∂x = 2 x + 3 y + 0, la derivada de ( x 2 )' = 2 x , la derivada de (3 x y )' = 3 y puesto que se considera y como una constante y finalmente ( y 4 )' = 0 por la misma razón. En consecuencia ∂f ∂x = 2 x + 3 y .

Vector gradiente

El vector gradiente es un vector que se construye con las derivadas parciales de una función.

== Definición ==.

El vector gradiente escrito como ∇f(x) se define como

∇f(x) = ( ∂f(x) ∂x1 , ∂f(x) ∂x^2 ,⋯, ∂f(x) ∂xn ) (3)

Ejemplo

Determine el gradiente de la función escalar h(x,y,z): = 2 x y z + x^2 + ( - x) y + y^2 - z2.

Solución

Determinamos las derivadas parciales hx = 2 y z - y + 2 x, hy = 2 x z + 2 y - x y finalmente hz = 2 x y - 2 z, de modo que el vector gradiente es pues ∇f(x,y,z) = (2 y z - y + 2 x,2 x z + 2 y - x,2 x y - 2 z)

Sistema de medida Imperial, Inglés o Anglosajón

Al sistema de medición inglés de unidades se lo conoce también con el nombre de sistema imperial. Se trata de la unión de todas las unidades no métricas que en la actualidad son empleadas en Estados Unidos y otros países que tienen como idioma principal el inglés, como el caso, por supuesto, de Inglaterra. Sin embargo, entre ambos países existe una serie de diferencias en las unidades, así como también existen numerosas discrepancias entre los sistemas que se emplean en la actualidad con los que se utilizaban en otras épocas.
Como origen o influencia absoluta de estos sistemas tenemos que mencionar a las unidades que se utilizaban en la Roma antigua. Luego el proceso continuó con la evolución que se produjo de todas las unidades locales que con el correr del tiempo se fueron perfeccionando. Y finalmente, el sistema actual es un derivado del conjunto de aproximaciones que se han venido haciendo en Inglaterra, en especial en cuanto a la estandarización de los métodos y las técnicas.
Sin embargo, con el correr de los años, este sistema fue reemplazado de manea paulatina por otro mucho más abarcativo: el Sistema Internacional de Unidades. A pesar de esto, dos factores esenciales fueron los que produjeron una fuerte resistencia al cambio de método: la inercia del sistema primigenio y el costo sumamente elevado de la migración.

Sistema Internacional

Al sistema Internacional de medición se lo conoce con la abreviatura SI. Se trata del sistema internacional de medidas y, por ende, el que se usa con una frecuencia mayor a otros sistemas. Su denominación muchas veces es la de sistema métrico, ya que se encuentra emparentado con el sistema métrico decimal de la antigüedad. Su origen, por otro lado, data de comienzos de la década del sesenta, cuando la Conferencia General de Pesas y Medidas terminó de idear sus principios básicos. La misma pensó y posteriormente esbozó una serie de unidades – seis para ser más precisos – pertenecientes al grupo de las físicas (además de ser básicas) y a la cual, con el tiempo, aproximadamente una década después, se le agregó una séptima, conocida con el nombre de unidad de mol .
En cuanto a las características principales del sistema, es importante mencionar el hecho de que sus unidades están basadas en ciertos fenómenos físicos, no de los más extraños, sino de aquellos que se tienen en cuenta como fundamentales. Sin embargo, se presenta una excepción a la regla con la unidad de magnitud de masa, que se relaciona con el tema que nos ocupa. Es decir, se trata de una masa que se constituyó en una suerte de prototipo internacional para designar al kilogramo. Su conformación es, esencialmente, un cilindro realizado en platino con iridio, al cual se lo debió almacenar en una caja de seguridad, que se encuentra en la Oficina Internacional encargada del sector de pesos y medidas.

Unidades fundamentales del sistema internacional

Este sistema presenta siete unidades básicas. A las mismas se las emplea con el objetivo de expresar todas las magnitudes de la física que se conciben como fundamentales. Entre ellas es importante destacar a la longitud metro, que se define siempre en relación con la velocidad de la luz. Por otro lado, nos encontramos con la masa de kilogramo, la cual no puede ser definida como si se tratase de mil gramos.
Asimismo, podemos destacar a la intensidad con la que cuenta la corriente eléctrica del tipo de ampere o amperio, la cual debe ser irremisiblemente definida a partir del campo eléctrico.
Otras unidades del sistema de medición son el tiempo segundo, la temperatura kelvin, la cantidad de la sustancia mol y la intensidad luminosa candela. En el primer caso, tenemos que definirla siempre en relación al tiempo atómico. En el segundo caso, por otra parte, debe ser definida en función de la temperatura termodinámica que posee el punto llamado triple del agua. En tercer lugar, se la puede denominar también como Número de Avogadro. Cabe decirse que todas las unidades fundamentales tienen tanto sus múltiplos como sus submúltiplos. Debido a esto, hay que enunciarlos correctamente cuando se emplea el sistema de medición internacional, es decir, a través del uso de prefijos.
Ahora estudiaremos un poco más a fondo los conjuntos de números que emplearemos en este libro. El primer conjunto que estudiaremos es el de los números naturales,

(1.2.1) $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$

que es ciertamente el más sencillo de todos los conjuntos de números. Nótese que hemos incluido el cero dentro de los números naturales. Aunque rara vez tiene importancia si los números naturales parten del cero o del uno, es conveniente hacer una aclaración a este respecto. Lo mejor que podemos decir es que nosotros, al haber incluido el cero entre los números naturales, nos hemos ajustado a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que incluye el cero como número natural. No entraremos aquí en detalles, así es que a un lector más ambicioso lo remitimos a una sección incluida en el Apéndice A donde se profundiza más en este asunto.

Lo primero a notar es que, si bien, los números naturales tienen un primer elemento (el cero), no tienen un último, y esto es precisamente lo que se pretende indicar con los tres puntos en la expresión (1.2.1). Otra cosa es que los números naturales tienen, en el sentido técnico de la palabra, un buen ordenamiento, pues todo subconjunto de $\mathbb {N}$ tiene un primer elemento. Por supuesto, para apreciar que el conjunto de los números naturales es bien ordenado, es necesario definir aquella relación que le da el orden. Estudiar esto nos llevaría de nuevo lejos de nuestro propósito, por lo que aquí también remitimos al lector a la segunda sección del Apéndice A.

Los números naturales son, valga la redundancia, muy "naturales", y es quizá por ello que raras veces se pregunta uno el por qué de sus características o propiedades. Sin entrar mucho en el trasfondo del asunto, mencionaremos aquellos principios básicos que dan su estructura a los números naturales. Estos principios son los llamados axiomas de Peano, en honor al lógico-matemático Giuseppe Peano, quien los expuso por primera vez en su obra Arithmetices principia (1889). Los axiomas de Peano, que en la obra original de este matemático eran nueve, hoy han podido ser reducidos a los cinco siguientes:

1. $0\in \mathbb {N}$
2. para todo $n\in \mathbb {N}$, existe $n^{+}\in \mathbb {N}$, llamado sucesor de $n$
3. $0\neq n^{+}$ para todo $n\in \mathbb {N}$
4. si $~m^{+}=n^{+}$, entonces $~m=n$
5. si $S\subseteq \mathbb {N}$ con $0\in S$, y si para todo $n\in S$ se tiene que $n^{+}\in S$, entonces $S=\mathbb {N}$.

El primer axioma nos dice que el conjunto $\mathbb {N}$ contiene, para empezar, un elemento (el cero). El segundo afirma que para todo número natural, existe un sucesor, el cual es también un número natural. El tercer axioma dice que el cero no es sucesor de ningún número natural, es decir, es el primer número natural. El cuarto axioma dice que dos números naturales distintos tienen sucesores distintos. Y finalmente, el quinto axioma dice que cualquier subconjunto de $\mathbb {N}$ que contenga al cero y al sucesor de cualquiera de sus elementos habrá de ser forzosamente el mismo $\mathbb {N}$. En otras palabras, el quinto axioma dice que el conjunto de los números naturales es el menor conjunto que puede tener al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos. De este quinto axioma surge lo que se conoce como principio de inducción matemática (véase la sección 2, Apéndice A).

El siguiente conjunto de números es, por su sencillez, el de los números enteros, que se representa por $\mathbb {Z}$. La diferencia es que este conjunto incluye también números negativos. Es decir,

$\mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}.$

Puede decirse que el conjunto $\mathbb {Z}$ incluye a los números naturales así como a una replica de ellos, cuya diferencia es un signo de menos. Estos enteros negativos nos dan solución para la ecuación

$x+b=c\$

aún cuando $b$ sea mayor que $c$. Por ejemplo, para

$x+5=4\$

se tiene $x=-1\$, un número no natural pero si entero.

Es posible dar una definición más rigurosa de $\mathbb {Z}$ a partir de los números naturales, y así se ha hecho en el Apéndice A. Lo que ya observamos aquí es que, siendo $b$ y $c$ números naturales, la ecuación

$x+b=c\$

puede no tener solución dentro del mismo $\mathbb {N}$ (esto sucede cuando $b$ es mayor que $c$). Sin embargo, esta ecuación encuentra siempre solución, siendo $b$ y $c$ enteros cualesquiera, dentro de $\mathbb {Z}$. Vemos pues que $\mathbb {Z}$ presenta una ventaja sobre $\mathbb {N}$ ¿Pero qué sucede con la ecuación

$a\cdot b=c$,

donde $a$, $b$ y $c$ son números enteros? Ciertamente, para que esta ecuación tenga siempre solución, hemos de buscarlas en el conjunto de los números racionales, $\mathbb {Q}$. Este conjunto es descrito frecuentemente como el que incluye a todos los números que pueden expresarse de la forma ${\frac {a}{b}}$, con $a$ y $b\neq 0$ enteros (es decir, $\mathbb {Q}$ incluye también fracciones). Puesto que todo entero $a$ puede expresarse como un cociente de enteros (por ejemplo ${\frac {a}{1}}$), resulta que $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$.

Notemos que existen expresiones decimales de números racionales donde aparecen infinitas cifras, aunque siempre repetidas. Por ejemplo, la representación decimal de la fracción

${\frac {1}{3}}$

es $0.3333\ldots$, una repetición de puros 3, mientras que la expresión decimal de

${\frac {47}{11}}$

es $4.272727\ldots$, una repetición de 2 y 7 siempre en el mismo orden. Este tipo de expresiones se dicen decimales periódicas infinitas, y es fácil demostrar que toda expresión decimal periódica infinita representa un número racional, y recíprocamente.

A pesar de ser el conjunto $\mathbb {Q}$ mas grande en apariencia que el conjunto $\mathbb {Z}$, aquél no es suficiente para resolver todas las ecuaciones. Por ejemplo, ningún $x\in \mathbb {Q}$ cumple con

$x^{2}=2\$.

Nos encontramos pues ante la necesidad de un conjunto más amplio, que nos de soluciones para la ecuación anterior, y muchas otras. Éste conjunto puede ser el de los números reales, $\mathbb {R}$. El conjunto de los números reales incluye números que son soluciones para ecuaciones como la anterior y que, por no ser números racionales, son llamados números irracionales. Como es de esperarse, la representación decimal de estos números es infinita y no periódica. Por ejemplo, ${\sqrt {2}}$ es un número irracional, y la siguiente es su representación decimal aproximada con cien cifras:

1.414213562373095048801688724209

69807856967187537694807317667973

79907324784621070388503875343276

41573...

La constante $\pi$, que equivale a la razón entre el diámetro de una circunferencia y su perímetro, es otro ejemplo de número irracional. Su representación decimal aproximada con cien cifras es

3.141592653589793238462643383279

50288419716939937510582097494459

23078164062862089986280348253421

17068...

Veamos ahora lo que sucede con ecuaciones del tipo

$x^{2}=c\$.

Si $c$ es un número real positivo, o cero, la ecuación encuentra solución en $\mathbb {R}$. No obstante, al ser $c$ un número real negativo la ecuación queda sin solución en $\mathbb {R}$, como sucede, por ejemplo, en la ecuación

$x^{2}=-1\$.

Lo que sucede es que, como se demostrará más adelante en este libro, el cuadrado de todo número real es siempre positivo. Para remediar esto, se crean los número imaginarios, que, unidos con los reales, forman el conjunto de los números complejos, $\mathbb {C}$. Pero para poder entender mejor las características de estos números, son necesarios conocimientos que se presentan en capítulos posteriores de este libro, de modo que pospondremos el estudio de los números complejos hasta que sea el momento apropiado.

Un sistema de ecuaciones es una cantidad determinada de igualdades con determinadas incógnitas.

Por ejemplo:

$x+y=3$

Esta es una sola ecuación, pero también puede considerarse un sistema de ecuaciones.

Es una ecuación (igualdad) de dos variables. Nótese que despejando cualquiera de las dos variables (x o y) su valor dependerá de una y la otra. Entonces hay infinitas soluciones a esta ecuación. El sistema se dice compatible indeterminado.

Si:

$\left.{\begin{array}{l}x+y=4\\x-y=0\end{array}}\right\}$

tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Entonces el sistema tiene una única solución y se llama compatible determinado.

En este caso

$\left\{{\begin{array}{l}y=2\\x=2\end{array}}\right.$

Compruébelo usted mismo

Operaciones (Matemáticas)

Definición de Operación

Definición 2.1. Sea E un conjunto no vacío. Llamamos operación (binaria) en E a una función de E x E --> E.

Es decir que una operación en un conjunto E asigna a cada par de elementos de E, otro (no necesariamente distinto) elemento de E. Por tradición, si * es una operación en E, al eleemnto que * asigna al para (a,b) de E x E se simboliza por a * b; esto es, el símbolo de la operación se colca entre los argumentos de la función, que se llamsn los operandos. Tradicionalemente, los símbolos más usados, en álgebra, para operaciones son +, •, -, ÷, *, etc.

Ejemplos 1.

a. La adición, sustracción y multiplicación son operaciones en el conjunto de los números enteros, $\mathbb {Z}$;.

b. Las operaciones del mismo nombre son operaciones en los Racionales, $\mathbb {Q}$; igual situación tenemos en los Reales, $\mathbb {R}$;.

Observemos que es necesario especificar como diferentes la adición en Los Enteros, de la adición en los Racionales y de la adición de los Reales, ya que por la definición dada son diferentes, ya que sus dominios como funciones son diferentes. Aunque en rigor debiéramos usar nombre y símbolos diferentes para cosas diferentes, la costumbre hace que usemos el mismo nombre y símbolo en esos casos. Tal situación no produce problemas cuando nos interesan los resultados específicos de una de esas operaciones, ya que producen el ``mismo resultados; sin embargo, más adelante, veremos que hay diferencias algebraicas entre ellas.

Ejemplos 2. Sea X un conjunto cualquiera y sea E el conjunto de los subconjuntos de E. La (re)union y la intersección de subconjuntos son operaciones en E.

Ejemplo 3. Sea X un conjunto cualquiera no vacío y sea E el conjunto de todas las funciones de E en E. La composición de funciones es una operación en E, denotada por °.

²== Propiedades Generales de Operaciones ==

Las operaciones binarias, como abstracciones de las operaciones clásicas, reciben una atención especial y se destacan algunas propiedades de las mismas.

Definición 2. Sea * una operación cualquiera en un conjunto E. Decimos que la operación es

a. asociativa, ssi, x * (y * z) = (x * y)* z, para todo x,y,z de E.

b. conmutativa, ssi, x * y = y * x, para todo x, y de E.

c. distributiva respecto a una operación #, ssi, x * (y # z) = x * y # x * z, , (y #z) * x = y * x # z * x.

• La adición y la multiplicación en los conjuntos numéricos son asociativas y conmutativas.

• La sustración en cualquiwera de los sistemas numéricos no es ni asociativa ni conmutativa.

• La reunión y la intersección de subconjuntos son operaciones asociativas y conmutativas.

• La composición de funciones es asociativa ni conmutativa.

• La multiplicación es distributiva respecto a la adición en los conjuntos numéricos.

• La reunión y la intersección son mutuamente distributivas.

Subconjuntos Cerrados

Definición. Sea * una operación en un conjunto E. Decimos que un subconjunto S no vacío de E es cerrado o estable respecto a la operación, ssi, el resultado de la operación en dos elementos cualesquiera de S es un elemento de S. ES decir, ssi, Para todo a, b en S, se cumple que a * b está en S.

• Los Enteros como subconjunto de los Reales son cerrados respecto a la adición y a la multiplcación.

• El subconjunto de los Enteros formado por todos los cuadrados perfectos es cerrado respecto a la multiplicación, pero no respecto a la adición. En efecto, tenemos que a^2 b^2 = (ab)^2, pero 2^2 + 3^2 = 13 que no es un cuadrado perfecto.

• El subconjunto de los enteros pares es cerrado respecto a la adición y multiplicación; mientras que el subconjunto de los impares lo es respecto a la multiplicación, pero no frespecto a la adición.

Proposición . Cuando dos o más subconjuntos cerrados respecto a una operación tienen

Elementos Destacados

Definición Sea * una operación en un conjunto E. Llamamos elemento neutro (respecto a la operación *) a un elemento e de $E tal que para todo elemento a de E se cumpla que a * e = e = e * a".

• El cero, 0, es un elemento neutro respecto a la adición en los conjuntos numéricos; mientras que el 1 es neutro respecto a la multiplicación.

• El conjunto vacío es un neutro respecto a la reunión de conjuntos, mientras que el conjunto del que estamos considerando los subconjuntos es un neutro respecto a la intersección.

• Con respecto a la composición de funciones del conjunto E en sí mismo, la función identidad, 1_E es un neutro.

Proposición 1. Sea * una operación cualquiera en un conjunto E. El elemento neutro, si existe, es único.

Demostración. Supongamos que e y e' fueran neutros respecto a la operación *. Evaluemos e * e'.

Como e es neutro, tenemos que e * e' = e'. Análogamente, como e' es un neutro, e * e '= e. Por lo tanto, e = e'.

Estructuras Algebraicas

• Genéricos

• Aritmética y Álgebra

• Lógica proposicional

• Lógica de predicados

• Teoría de conjuntos

• Funciones

• Números

• Órdenes parciales

• Geometría euclídea

• Combinatoria

• Análisis funcional

• Cálculo

• Ortogonalidad

• Álgebra matricial

• Teoría de rejas

Véase también

• Wikipedia: Cómo se edita una página contiene información acerca de cómo producir símbolos matemáticos en otros artículos

Enlaces externos

• Quick Reference Card

• Math Quick Reference Card http://www.3con14.com/35-%C3%BAtiles/f%C3%B3rmulas/9-s%C3%ADmbolos-matem%C3%A1ticos-f%C3%B3rmulas.html

Fuentes

http://lalupa3.webcindario.com/matematicas/simbolos%20matematicos.htm

http://www.epsilones.com/paginas/signos/signos-000-indice.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos

http://www.3con14.com/35-%C3%BAtiles/f%C3%B3rmulas/9-s%C3%ADmbolos-matem%C3%A1ticos-f%C3%B3rmulas.html

Definición

Una factorización consiste en escribir una expresión algebraica como el producto de dos o más factores algebraicos.

Para ello, primero se debe identificar qué tipo de factorización tenemos que realizar.

Primero caso: Cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común

En este caso se deben reconocer el factor numérico y luego el factor literal, para proceder a escribir la expresión original como el producto de factores, considerando los siguientes pasos:

a) Para encontrar el factor numérico, se busca el mayor número que está contenido en todos los factores numéricos que aparecen en la expresión.

b) El factor literal es la expresión algebraica formada por el producto de todas las variables literales que aparecen en cada uno de los términos, elevadas a la menor potencia con la que aparecen.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $9xy^{2}+6y^{4}-12y^{3}z+2y$.

Sol:

Ejemplo Factor Común

Segundo caso: Cuando el factor común es un polinomio

Este caso se produce cuando el factor común no es un monomio, si no que es una expresión algebraica con más de un término.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $a^{2}+ab+ax+bx$

Sol:

Factorización por agrupación

Tercer caso: cuando la expresión es un cuadrado perfecto

Decimos que una expresión algebraica es un cuadrado perfecto cuando éste es el producto de dos factores iguales.

Por ejemplo, el término $9x^{2}$ es un cuadrado perfecto, pues $9x^{2}=(3x)(3x)$.

Nos interesa reconocer un trinomio como cuadrado perfecto. Esto pasa cuando el trinomio es el cuadrado perfecto de un binomio, lo que se conoce como cuadrado de un binomio.

La forma genérica de un cuadrado de binomio es la siguiente:

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$

Un trinomio ordenado, con relación a una variable, es un cuadrado perfecto cuando los términos primero y tercero son cuadrados perfectos, y cuando el segundo término es el doble del producto de las raíces de esos cuadrados perfectos.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $a^{2}-10ab+25b^{2}$

Sol:

Factorización por Cuadrado de Binomio

Cuarto caso: cuando la expresión es una diferencia de cuadrados perfectos

Un binomio es una suma por diferencia cuando tiene la forma $a^{2}-b^{2}$.

Esta expresión algebraica, que es un producto notable, puede ser factorizada de la forma

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $25-36x^{2}$

Sol:

Diferencia de Cuadrados Perfectos

Quinto caso: cuando el trinomio es de la forma $x^{2}+(a+b)x+ab$

Esta factorización funciona cuando se cumplen las siguientes condiciones

a) El coeficiente del primero término es $1$.

b) El primer término es una letra cualquier elevada al cuadrado.

c) El segundo término tiene la misma letra que el primero, con exponente $1$.

d) El tercer término es independiente de la letra que aparece en los primeros dos términos, y es una cantidad cualquier, positiva o negativa.

e) Además, se cumple lo siguiente: el coeficiente del segundo término es la suma de dos términos, cuyo producto es el tercer término.

La factorización bajo estas condiciones está dada por

$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

Ejemplo

Queremos factorizar el trinomio $x^{2}+7x+10$

Sol:

Factorización Trinomio de la Forma

Caso seis: cuando el binomio es una suma o diferencia de cubos perfectos

Este producto notable se conoce por la forma $x^{3}\pm y^{3}$, y se factoriza de la siguiente manera:

$x^{3}\pm y^{3}=(x\pm y)(x^{2}\mp xy+y^{2})$

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $27x^{3}-125y^{3}z^{9}$

Sol:

Diferencia de Cubos Perfectos

Ejercicios Propuestos

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Álgebra/Capítulos a reubicar/Ejercicios Propuestos de Casos de Factorización. Factorizar las siguientes expresión algebraicas

1. $9xy^{2}+6y^{4}-12y^{3}z$
2. $9a^{2}-12ab+15a^{3}b^{3}-24ab^{3}$
3. ${\frac {2}{3}}x^{2}y^{4}-{\frac {4}{12}}x^{3}y^{5}+{\frac {14}{18}}x^{3}y^{2}$
4. $a^{20}-a^{19}+4a^{12}-a^{8}+3a^{5}+2a^{3}$

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

1. $a^{2}+ab+ax+bx$
2. $3abx^{2}-2y^{2}-2x^{2}+3aby^{2}$
3. $6ax+3a+1+2x$
4. $4a^{3}x-4a^{2}b+3bm-3amx$

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

1. $a^{2}-10ab+25b^{2}$
2. $1-16ax^{2}+64a^{2}x^{4}$
3. $a^{4}-a^{2}b^{2}+{\frac {b^{4}}{4}}$
4. ${\frac {n^{2}}{9}}+2mn+9m^{2}$

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

1. $25-36x^{2}$
2. $a^{2}b^{8}-c^{2}$
3. $25x^{2}y^{4}-121$
4. ${\frac {x^{2}}{100}}-{\frac {y^{2}z^{4}}{81}}$

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

1. $x^{2}+7x+10$
2. $x^{2}-5x-36$
3. $x^{2}-15x+54$
4. $x^{2}-4x-320$

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

1. $27x^{3}-125y^{3}z^{9}$
2. $x^{6}-y^{6}$
3. ${\frac {1}{8}}+{\frac {z^{3}}{27}}$
4. ${\frac {x^{12}}{y^{9}}}+{\frac {y^{3}}{x^{6}}}$

---