Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 086b

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Lección 086


Mathematik auf Deutsch - 36


BM1751 - BM1760[editar]

BM1751

Bild 1
Bild 2
Bild 3
Viereck
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Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten).
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Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.
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Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck) - Bild 2, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck) - Bild 3.
Überhaupt ist das Viereck des "erste" Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks
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Bild 4
Bild 5
Überschlagenes oder verschränktes Trapez:
Beim überschlagenen oder verschränkten Trapez sind nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten durch die übrigen Seiten verbunden, sondern die gegenüberliegenden. Diese Seiten überkreuzen sich also im Mittelpunkt des Trapezes - Bild 4 und 5. Man kann sich ein überschlagenes Trapez vorstellen als das Viereck, das aus den Grundseiten und den Diagonalen eines konvexen Trapezes gebildet wird. Die beiden Teilflächen sind einander ähnliche Dreiecke. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gerechnet.
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Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.


BM1752

Viereck-Hierarchie.png
Spezielle Vierecke
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Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große (Innen-)Winkel (90°, siehe rechter Winkel) hat, ist ein Rechteck. Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und auch vier gleich große (Innen-)Winkel (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.


BM1753

Bild 1
Bild 2
Verschränktes Viereck
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Drei Punkte A, B und C, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, können nur auf eine Weise durch drei Strecken miteinander verbunden werden. (Bild 1)
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um vier Punkte A, B, C und D, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, durch vier Strecken miteinander zu vebinden. Wie viel Möglichkeiten gibt es? (Wir fangen immer bei A an!) (Bild 2)
Lösung BM1753
Bild 3: ABC wäre eine Startmöglichkeit
Bild 4: Aber ABCA geht nicht, denn ein Viereck muss einen geschlossenen Streckenzug haben. Uns fehlt aber noch Punkt D.
Bild 5

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Theoretisch gibt es 6 Möglichkeiten, wenn man bei A beginnt und danach die übrigen 3 Punkte verbindet und dann wieder bei A endet.
1.) ABCDA
2.) ABDCA
3.) ACBDA
4.) ACDBA
5.) ADBCA
6.) ADCBA
Allerdings ist 1. und 6. das gleiche Viereck. Der Streckenzug verläuft lediglich in die andere (entgegengesetzte) Richtung.
Das Gleiche gilt für das Viereck 2 und 4.
Ebenso gilt das für das Viereck 3 und 5.
Es gibt also insgesamt 3 verschiedene Möglichkeiten, um vier Punkte mit vier Linien zu verbinden. (Bild 6 - 8)
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Bild 6
Bild 7
Bild 8


BM1754

Bild 1
Viereck
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Definiton: Unter einem Viereck versteht man eine Punktmenge mit folgenden Eigenschaften:
  • Von den Punkten , , und liegen je drei nicht auf ein und derselben Geraden.
  • Der Punktmenge gehören genau die Punkte der Strecken , , und an. Diese Strecken heißen die Seiten des Vierecks.
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Die Strecken und heißen Diagonalen des Vierecks ABCD.
Ein Viereck, in dem die beiden Diagonalen innerhalb der Vierecksfläche liegen, heißt konvex.
Je zwei Seiten eines (konvexen) Vierecks, die keinen gemeinsamen Eckpunkt haben, nennen wir Gegenseiten.
Je zwei Seiten mit einem gemeinsamen Eckpunkt heißen benachbart.
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Bild 2: Viereck mit den Winkeln Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ) und Delta (δ)
Bild 3: Außenwinkel am Viereck
Wie bei den Dreiecken unterscheiden wir auch bei den Vierecken Innenwinkel und Außenwinkel. Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Diagonalen sind, heißen Gegenwinkel.
Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Seite sind, heißen benachbart.
Die Seiten, Diagonalen und Innenwinkel eines Vierecks sowie die Winkel, die von je zwei Seiten und eines Diagonalen mit einem gemeinsamen Eckpunkt bestimmt werden, nennt man die Stücke eines Vierecks.
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Ein Vieeck hat zwei Diagonalen.
Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.
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Ein Vieeck lässt sich aus fünf geeigneten Stücken konstruieren: Für die Konstruktion des ersten Teildreiecks braucht man drei geeignete Stücke. (sss, sws, wsw oder ssw). Für die Konstruktion des zweiten Teildreiecks braucht man dann nur noch zwei geeignete Stücke, denn die Diagonal des Vierecks ist schon durch das erste Teildreieck bekannt.
Unter den fünf gegebenen Stücken muss also mindesten eine Seite oder Diagonale sein.


BM1755

Bild 1: konkav = nach innen gewölbt
Bild 2: konvex = nach außen gewölbt
Bild 3: Eselsbrücke: Der Podex ist konvex. (Podex = Po)
Bild 4: verschiedene Linsenarten
Bild 5: bikonvexe Linse
Bild 6: Glaszylinder mit einer konvexen Fläche (links) und einer mit einer konkaven Fläche (rechts)
Bild 7: Der Stirnspiegel hat eine konkave Fläche (Konkavität) - er ist ein Hohlspiegel
Bild 8: konvexer Spiegel (Konvexspiegel) im Straßenverkehr
konkav
konvex
---
gerade
gekrümmt
Krümmung
Bogen (Pl. Bögen)
gebogen
biegen - bog - hat gebogen
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Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Linsen. Die wichtigste Unterscheidung ist die zwischen Sammellinsen (konvexen Linsen) und Zerstreuungslinsen (konkaven Linsen)
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konvex (Synonym: gekrümmt, geschwungen, gewölbt, erhaben)
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Sammellinsen oder konvexe Linsen sind in der Mitte, im Bereich der Optischen Achse, dicker als am Rand
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bikonvex
plankonvex
konkavkonvex
konvexkonkav
Konvexität
Konvexlinse
Konvexspiegel
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konkav (Synonym: vertieft)
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Zerstreuungslinsen oder konkave Linsen sind am Rand dicker als in der Mitte.
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bikonkav
plankonkav
konkavkonvex
konvexkonkav
Konkavität
Konkavspiegel
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Eselsbrücke:
War die Tochter brav, bleibt der Bauch konkav. (nicht schwanger)
Hatte die Tochter Sex, so wird der Bauch konvex. (schwanger)
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Bild 9: verschiedene Linsenarten
Benenne die verschiedenen Linsenarte in Bild 9!
Lösung BM1755
1.) bikonvex
2.) bikokav
3.) konvexkonkav
4.) plankonkav
5.) plankonvex
6.) konvexkonkav
7.) konvexkonkav


BM1756

Bild 1:
Innenwinkel im Viereck
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SATZ:
Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad.
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Beweise diesen Satz!
Lösung BM1756
Bild 2
Wie wählen ein beliebiges Viereck
Die Diagonale zerlegt das Vieeck in die Dreiecke und .
Die Summe der Innenwinkel jedes der beiden Dreiecke beträgt 180°.
Die Winkel der beiden Dreiecke bilden zusammen die Innenwinkel des Vierecks.
Ihre Summe beträt also .
w.z.b.w.


BM1757

Trapeze
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Definition:
Jedes konvexe Viereck mit einem Paar zueinander paralleler Geraden heißt Trapez.
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Besitzt ein Trapez genau ein Paar zueinander paralleler Gegenseiten, so heißen sie seine Grundseiten.
Die beiden anderen (nicht parallelen) Gegenseiten werden Schenkel des Trapezes genannt.
Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißen Mittellinie im Trapez.
Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite nennt man Höhe im Trapez.
Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite oder deren Verlängerung nennt man Höhe im Trapez. Ihre Länge ist gleich dem Abstand diese Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.


BM1758

Bild 1: Aus den gegebenen Seiten a, b, c und d soll ein Trapez konstruiert werden.
Gegeben sind die 4 Seiten eines Trapezes.
Gegeben sind die vier Seitenlängen eines Trapezes.
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a = 7 cm
b = 4,5 cm
c = 2,5 cm
d = 3 cm
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Wie kann man das Trapez konstruieren?
(Beginne mit der Seite a!)
1. Lösung BM1758
Bild 2
Das Ergebnis soll also so ähnlich wie in Bild 2 aussehen.
Im Gegensatz zu Dreiecken, wo der Eckpunkt A der Seite a gegenüberliegt, werden bei Vierecken, also auch beim Trapez, die Seiten und Eckpunkt üblicherweise so bezeichnet, dass die jeweilige Seite bei dem entsprechenden Punkt beginnt: also Seite a beginnt bei Punkt A, Seite b beginnt bei Punkt B usw.
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Hast Du eine Idee, wie man das Trapez mit vier gegebenen Seiten konstruieren kann?
2. Lösung BM1758
Bild 3
Die Grundidee bei der Konstruktion ist, dass man zuerst ein Dreieck konstruiert: mit den Seiten d, e und einem Teil der Basislinie a.
Dabei ist die Seite e genauso lang wie die Seite b.
Und der Teil der Basislinie a ist so lang, dass rechts neben dem Dreieck ein Parallelogramm entsteht.
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Bild 4
Bei diesem Parallelogramm (rechts vom Dreieck) sind die obere und untere Seite parallel und gleich lang: oben ist die Seite c und unten ein Teil der Seite a mit der Länge von c.
Bei dem Parallelogramm sind die rechte und die linke Seite parallel und gleich lang: .
Den Schnittpunkt von e mit a bezeichnen wir mit E.
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Bild 5
Die Strecke bezeichnen wir mit f. Und die Strecke mit .
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Wenn wir jetzt wüssten wie lang f ist dann hätten wir drei Seiten um das Dreieck AED eindeutig zeichnen zu können.
Wie lang ist f?
3. Lösung BM1758
Bild 6:
also: . Die Länge von und ist bekannt. Also können wir auch die Länge von f mit Zirkel und Lineal konstruieren.
Und schon haben wir drei Seiten, um das Dreieck zu konstruieren.
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Wie gehen wir dazu vor?
4. Lösung BM1758
Bild 7
Für die Konstruktion benötigen wir ein Lineal und einen Zirkel.
Wir zeichnen die Grundlinie a (= Strecke )
Dann tragen wir mit dem Zirkel von B aus die Strecke c ab: Dazu schlagen wir mit unserem Zirkel um den Punkt B einen Kreisbogen mit dem Radius c (2,5 cm; grün). Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit a gibt und den Punkt E.
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Bild 8
Um A schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius d (blau).
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Bild 9
Um E schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius c (rot).
Der Schnittpunkt des roten und des blauen Kreisbogens gibt uns den Punkt D.
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Bild 10
Und schon haben wir das Dreieck .
Jetzt fehlt nur noch das Parallelogramm und fertig ist das Trapez.
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Wie geht es weiter?
5. Lösung BM1758
Bild 11
Um D schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius c (grün).
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Bild 12
Um B schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius b (rot).
Der Schnittpunkt dieser beiden Kreisbögen (rot und grün) gibt uns den Punkt C.
Der Schnittpunkt der Kreisbögen um D und B ergibt C.
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Bild 13
Damit haben wir alle 4 Punkte, um das Trapez zu zeichnen.
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Bild 14
Hier noch einmal das Trapez ohne überflüssige, zusätzliche Linien.


BM1759

Bild 1
Gegeben sind 3 Seiten a, b und c. Daraus soll ein Dreieck konstruiert werden.
Ist das in jedem Fall möglich? In welchen Fällen ist es nicht möglich aus drei gegebenen Seiten ein Dreieck zu konstruieren?
1. Lösung BM1759
Bild 2
Man kann nich in jedem Fall aus drei gegebenen Seiten a, b und c ein Dreieck konstruieren.
Wir erinnern uns an die Dreiecksungleichung. - (s. Übung BM1680 in Lektion 084b)
In Worten: Der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“
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Wenn also für drei gegebene Seiten a, b und c gilt, dass größer ist als , dann kann man mit diesen Seiten kein Dreieck konstruieren.
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Und wie ist es, wenn man die drei gegebenen Seiten beliebig anordnen darf?
2. Lösung BM1759
Bild 3
Die Sache sieht auch nicht anders sieht aus, wenn man die drei gegebenen Seiten beliebig anordnen darf, denn das ergibt nur eine spiegelverkehrte Figur, aus der man immer noch nicht ein Dreieck konstruieren kann.
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Wir können also ganz allgemein sagen:
Um ein Dreieck konstruieren zu können darf keine Seite länger sein, als die Summe der anderen beiden Seiten.


BM1760

In einem Trapez beträgt die Winkelsumme so wie in jedem anderen Viereck 360°.
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Bild 1
SATZ:
Die Innenwinkel eines Trapezes, die ein und demselben Schenkel anliegen, betragen zusammen 180°.
(Als Schenkel werden die nicht parallelen Seiten bezeichnet.)
Wie könnte man das beweisen?
Lösung BM1760
Bild 2
Seite d schneidet zwei Parallelen (Seite a und c)
Linke Seite:
(Stufenwinkel an Parallelen)
(Nebenwinkel)
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Rechte Seite:
(Stufenwinkel an Parallelen)
(Nebenwinkel)
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Bild 3
Alternativ könnte man auch den Beweis folgendermaßen führen:
In einem Trapez verlaufen zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander (Seiten a und c).
Wir zeichnen an einer beliebigen Stelle eine Senkrechte (= Normale) auf die Seite a bzw. Seite c. Dadurch entstehen zwei neue Vierecke, deren Winkelsumme jeweils wieder 360° beträgt.
Wenn wir das linke Viereck betrachten, dann können wir sagen: Alle vier Winkel müssen 360° betragen. Zwei davon sind rechte Winkel (90°), also:
Es bleiben also für die beiden Winkel und übrig.
Das gleiche gilt auch für das rechte Viereck.

BM1761 - BM1770[editar]

BM1761

Bild 1
SATZ:
In jedem Trapez ist die Mittellinie parallel zu den Grundseiten.
(Die Verbindungsstrecke der Mitten der Schenkel heißt Mittellinie m.)
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Beweis:
und seien die Mittelpunkte der Schenkel und in einem beliebigen Trapez .
Wir errichten in und die Senkrechte auf der Geraden und bezeichne ihre Schnittpunkte mit den Geraden und entsprechend Bild 1 mit , , bzw. .
1.) Die Dreiecke und sind nach dem Kongruenzsatz (wsw) kongruent. Daraus folgt: .
---
„sind nach dem Kongruenzsatz (wsw) kongruent“
Welche Seiten und Winkel sind gemeint?
1. Lösung BM1761
1. Winkel: (Scheitelwinkel)
2. Seite: (E ist der MIttelpunkt des Schenkels))
3. Winkel: (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen)
Für die Dreiecke auf der rechten Seite des Trapezes gilt das Gesagte anlalog.
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Bild 1
2.) Bei der Spiegelung an ist also das Bild von . Und ist das Bild von . Demnach sind die Winkel und kongruent. Da sie außerdem als entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen zusammen 180° betragen, ist jeder von ihnen ein rechter.
3.) Aus der Kongruenz der Stufenwinkel und an den geschnittenen Geraden und folgt der Parallelität der Geraden und . Entsprechend ergibt sich die Parallelität der Geraden und .
w.z.b.w.


BM1762

Bild 1
SATZ:
In jedem Trapez ist die Mittelllinie halb so lang wie die Summe der beiden Grundseiten.
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Wie geht der Beweis?
1. Lösung BM1762
Bild 2
Bild 3
Beweis:
Wir wählen ein beliebiges Trapez ABCD mit den Grundseiten a und c sowie mit der Mittellinie .
Das Trapez sei das Bild des Trapezes bei der Drehung um F mit einem positiv orientierten Drehwinkel von 180°.
Der Bildpunkt liegt auf der Geraden , der Bildpunkt auf der Geraden AB. (Bild 2 und 3)
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Bild 4
Die Dreiecke und sind kongrunte. Damit ergibt sich die Beziehung .
Wegen und erhalten wir .
Wegen und gilt also:
oder .
w.z.b.w.
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Stimmt das wirklich? Erkläre den letzten Abschnitt noch einmal ausführlich, Schritt für Schritt!
Wegen und erhalten wir .
Wegen und gilt also:
oder .
2. Lösung BM1762
Bild 5
Wegen und erhalten wir .
Wegen und gilt also:
oder .
---
Für können wir wegen auch oder noch kürzer schreiben.
Für dürfen wir wegen auch schreiben.
Nun dividieren wir auf beiden Seiten durch zwei, um auf der linken Seite das m zu isolieren und erhalten
.
Genau so, wie in der 1. Lösung dargestellt.


BM1763

Trapez mit Umkreis.svg
Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez
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Sind in einem Trapez die Schenkel gleich lang, so heißt es gleichschenklig. Gleichschenklige Trapeze sind achsensymmetrisch.
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In Lehrbüchern finden sich mehrere Varianten zur Charakterisierung eines gleichschenkligen Trapezes, insbesondere:
1.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Seiten, die nicht Grundseiten sind, gleich lang sind.
2.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich groß sind.
3.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn es eine zu einer Seite senkrechte Symmetrieachse besitzt.
Die erste Charakterisierung schließt formal auch Parallelogramme mit ein, die aber manchmal – wenn auch nicht ausdrücklich – ausgeschlossen werden. Die letzten beiden Charakterisierungen sind gleichwertig und in diesem Fall wird das gleichschenklige Trapez wegen der Achsensymmetrie auch symmetrisches Trapez genannt. Daher sind die Innenwinkel an beiden parallelen Seiten jeweils gleich groß. Die beiden Diagonalen sind im symmetrischen Trapez gleich lang.
Die Eckpunkte eines symmetrischen Trapezes liegen auf einem Kreis k, dem Umkreis des Trapezes. Das Trapez ist somit ein Sehnenviereck dieses Kreises. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes.


BM1764

Bild 1
Gleichschenklige Trapeze
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Gleichschenklig heißt ein Trapez mit genau einem Paar paralleler Gegenseiten, dessen Schenkel gleich lang sind.
Die Diagonalen des gleichschenkligen Trapezes sind gleich lang. Sie schneiden einander auf der Symmetrieachse.
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SATZ:
In jedem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel, die ein und derselben Grundseite anliegen, kongruent.
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Beweis:
Wir wählen ein beliebiges gleichschenkliges Trapez , dessen Grundseite größer als die Grundseite sei. Die Fußpunkte der Lote von und auf dei SEite bezeichnen wir mit bzw. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle L_"} . (Bild 1)
Dann sind die Dreiecke und nach dem Kongruenzsatz (ssw) kongruent. Damit ergibt sich die Kongruenz der Winkel und .
Die Kongruenz der Winkel und folgt aus der Kongruenz der Winkel und .
w.z.b.w.





11111111111111111111111111




BM1234????

Rechtwinkliges Trapez.svg
Rechtwinkliges Trapez
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Ein Trapez heißt rechtwinklig (oder auch orthogonal), wenn es mindestens einen rechten Innenwinkel besitzt. Da in einem Trapez alle Winkel an einer der parallelen Grundseiten anliegen, muss ein rechtwinkliges Trapez immer mindestens zwei rechte Winkel besitzen, die nebeneinander liegen. Ein Rechteck ist der Spezialfall eines rechtwinkligen Trapezes; es besitzt sogar vier rechte Innenwinkel.







Um- und Inkreis.
rechtwinkliges Trapez
Ein allgemeines Trapez hat keinen Um- oder Inkreis. Es gibt Sonderfälle.
Tangentenvierck: Man gibt einen Kreis vor und zeichnet zwei parallele Tangenten. Man ergänzt die Figur durch zwei weitere Tangenten, die dann die Schenkel bilden.
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Inkreis.
Die Seiten sind Tangenten. So entsteht der Name.
Es gibt Trapeze, die auch Tangentenvierecke sind. Dazu zeichnet man an einen Kreis zwei horizontal liegende Parallelen. Zwei weitere Tangenten rechts und links an den Kreis ergänzen die Figur zum Tangentenviereck.




BM1759?????????

Konstruiere ein Trapez aus zwei gegebenen Seiten und zwei gegebenen Winkeln!
???


BM1759?????????

Ist es in jedem Fall möglich aus zwei gegebenen Seiten ein Parallelogramm zu konstruieren?



BM1759?????????

Ist es in jedem Fall möglich aus vier gegebenen Seiten ein Trapel zu konstruieren?


BM1759?????????

Begründe die folgende Aussage:
Ein Trapez lässt sich bereits aus vier geeigneten Stücken eindeutig konstruieren.


Ausstehende Beweise
1.
Beweis: Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich stets.
2.
Beweis:
Bild 1
SATZ:
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt (Q).
3.
Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks fällt mit dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zusammen


???
Erkläre die Konstruktion eines Trapezes!
Erkläre die Konstruktion eines Sechsecks!
Erkläre die Konstruktion eines Fünfecks!
Tangenten an zwei Kreisen



BM12345???

Bild 3
Erkläre die Konstruktion eines Trapezes an Hand der Abbildung!




Humboldt Uni Elementargeometrie





„“







≠ ungleich

≈ ungefähr

Proportionalität:
Lösung ???
???




   // * 60

BM1771 - BM1780[editar]

BM1781 - BM1790[editar]

BM1791 - BM1800[editar]

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