Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 086b

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Lección 086


Mathematik auf Deutsch - 36


BM1751 - BM1760[editar]

BM1751

Bild 1
Bild 2
Bild 3
Viereck
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Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten).
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Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.
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Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck) - Bild 2, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck) - Bild 3.
Überhaupt ist das Viereck des "erste" Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks
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Bild 4
Bild 5
Überschlagenes oder verschränktes Trapez:
Beim überschlagenen oder verschränkten Trapez sind nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten durch die übrigen Seiten verbunden, sondern die gegenüberliegenden. Diese Seiten überkreuzen sich also im Mittelpunkt des Trapezes - Bild 4 und 5. Man kann sich ein überschlagenes Trapez vorstellen als das Viereck, das aus den Grundseiten und den Diagonalen eines konvexen Trapezes gebildet wird. Die beiden Teilflächen sind einander ähnliche Dreiecke. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gerechnet.
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Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.


BM1752

Viereck-Hierarchie.png
Spezielle Vierecke
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Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große (Innen-)Winkel (90°, siehe rechter Winkel) hat, ist ein Rechteck. Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und auch vier gleich große (Innen-)Winkel (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.


BM1753

Bild 1
Bild 2
Verschränktes Viereck
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Drei Punkte A, B und C, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, können nur auf eine Weise durch drei Strecken miteinander verbunden werden. (Bild 1)
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um vier Punkte A, B, C und D, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, durch vier Strecken miteinander zu vebinden. Wie viel Möglichkeiten gibt es? (Wir fangen immer bei A an!) (Bild 2)
Lösung BM1753
Bild 3: ABC wäre eine Startmöglichkeit
Bild 4: Aber ABCA geht nicht, denn ein Viereck muss einen geschlossenen Streckenzug haben. Uns fehlt aber noch Punkt D.
Bild 5

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Theoretisch gibt es 6 Möglichkeiten, wenn man bei A beginnt und danach die übrigen 3 Punkte verbindet und dann wieder bei A endet.
1.) ABCDA
2.) ABDCA
3.) ACBDA
4.) ACDBA
5.) ADBCA
6.) ADCBA
Allerdings ist 1. und 6. das gleiche Viereck. Der Streckenzug verläuft lediglich in die andere (entgegengesetzte) Richtung.
Das Gleiche gilt für das Viereck 2 und 4.
Ebenso gilt das für das Viereck 3 und 5.
Es gibt also insgesamt 3 verschiedene Möglichkeiten, um vier Punkte mit vier Linien zu verbinden. (Bild 6 - 8)
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Bild 6
Bild 7
Bild 8


BM1754

Bild 1
Viereck
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Definiton: Unter einem Viereck versteht man eine Punktmenge mit folgenden Eigenschaften:
  • Von den Punkten , , und liegen je drei nicht auf ein und derselben Geraden.
  • Der Punktmenge gehören genau die Punkte der Strecken , , und an. Diese Strecken heißen die Seiten des Vierecks.
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Die Strecken und heißen Diagonalen des Vierecks ABCD.
Ein Viereck, in dem die beiden Diagonalen innerhalb der Vierecksfläche liegen, heißt konvex.
Je zwei Seiten eines (konvexen) Vierecks, die keinen gemeinsamen Eckpunkt haben, nennen wir Gegenseiten.
Je zwei Seiten mit einem gemeinsamen Eckpunkt heißen benachbart.
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Bild 2: Viereck mit den Winkeln Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ) und Delta (δ)
Bild 3: Außenwinkel am Viereck
Wie bei den Dreiecken unterscheiden wir auch bei den Vierecken Innenwinkel und Außenwinkel. Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Diagonalen sind, heißen Gegenwinkel.
Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Seite sind, heißen benachbart.
Die Seiten, Diagonalen und Innenwinkel eines Vierecks sowie die Winkel, die von je zwei Seiten und eines Diagonalen mit einem gemeinsamen Eckpunkt bestimmt werden, nennt man die Stücke eines Vierecks.
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Ein Vieeck hat zwei Diagonalen.
Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.
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Ein Vieeck lässt sich aus fünf geeigneten Stücken konstruieren: Für die Konstruktion des ersten Teildreiecks braucht man drei geeignete Stücke. (sss, sws, wsw oder ssw). Für die Konstruktion des zweiten Teildreiecks braucht man dann nur noch zwei geeignete Stücke, denn die Diagonal des Vierecks ist schon durch das erste Teildreieck bekannt.
Unter den fünf gegebenen Stücken muss also mindesten eine Seite oder Diagonale sein.


BM1755

Bild 1: konkav = nach innen gewölbt
Bild 2: konvex = nach außen gewölbt
Bild 3: Eselsbrücke: Der Podex ist konvex. (Podex = Po)
Bild 4: verschiedene Linsenarten
Bild 5: bikonvexe Linse
Bild 6: Glaszylinder mit einer konvexen Fläche (links) und einer mit einer konkaven Fläche (rechts)
Bild 7: Der Stirnspiegel hat eine konkave Fläche (Konkavität) - er ist ein Hohlspiegel
Bild 8: konvexer Spiegel (Konvexspiegel) im Straßenverkehr
konkav
konvex
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gerade
gekrümmt
Krümmung
Bogen (Pl. Bögen)
gebogen
biegen - bog - hat gebogen
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Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Linsen. Die wichtigste Unterscheidung ist die zwischen Sammellinsen (konvexen Linsen) und Zerstreuungslinsen (konkaven Linsen)
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konvex (Synonym: gekrümmt, geschwungen, gewölbt, erhaben)
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Sammellinsen oder konvexe Linsen sind in der Mitte, im Bereich der Optischen Achse, dicker als am Rand
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bikonvex
plankonvex
konkavkonvex
konvexkonkav
Konvexität
Konvexlinse
Konvexspiegel
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konkav (Synonym: vertieft)
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Zerstreuungslinsen oder konkave Linsen sind am Rand dicker als in der Mitte.
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bikonkav
plankonkav
konkavkonvex
konvexkonkav
Konkavität
Konkavspiegel
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Eselsbrücke:
War die Tochter brav, bleibt der Bauch konkav. (nicht schwanger)
Hatte die Tochter Sex, so wird der Bauch konvex. (schwanger)
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Bild 9: verschiedene Linsenarten
Benenne die verschiedenen Linsenarte in Bild 9!
Lösung BM1755
1.) bikonvex
2.) bikokav
3.) konvexkonkav
4.) plankonkav
5.) plankonvex
6.) konvexkonkav
7.) konvexkonkav


BM1756

Bild 1:
Innenwinkel im Viereck
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SATZ:
Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad.
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Beweise diesen Satz!
Lösung BM1756
Bild 2
Wie wählen ein beliebiges Viereck
Die Diagonale zerlegt das Vieeck in die Dreiecke und .
Die Summe der Innenwinkel jedes der beiden Dreiecke beträgt 180°.
Die Winkel der beiden Dreiecke bilden zusammen die Innenwinkel des Vierecks.
Ihre Summe beträt also .
w.z.b.w.


BM1757

Trapeze
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Definition:
Jedes konvexe Viereck mit einem Paar zueinander paralleler Geraden heißt Trapez.
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Besitzt ein Trapez genau ein Paar zueinander paralleler Gegenseiten, so heißen sie seine Grundseiten.
Die beiden anderen (nicht parallelen) Gegenseiten werden Schenkel des Trapezes genannt.
Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißen Mittellinie im Trapez.
Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite nennt man Höhe im Trapez.
Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite oder deren Verlängerung nennt man Höhe im Trapez. Ihre Länge ist gleich dem Abstand diese Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.





11111111111111111111111111



Ausstehende Beweise
1.
Beweis: Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich stets.
2.
Beweis:
Bild 1
SATZ:
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt (Q).
3.
Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks fällt mit dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zusammen






Humboldt Uni Elementargeometrie





„“






≠ ungleich

≈ ungefähr

Proportionalität:
Lösung ???
???




   // * 60

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