Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 075b

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Lección 075
Mathematik auf Deutsch - 25

BM1201 - BM1210[editar]

BM1201

Erweitere auf den vorgegebenen Nenner!
---
48: ; ; ; ; ;
105: ; ; ; 17; ;
36: ; 5; 7; 3; ; 2;


BM1202

gemischte Zahlen
---
5 = 5 + = + = + =
---
Durch gemischte Zahlen (z. B. 5) vermeidet man unnötig große Zähler. Außerdem kann man gebrochene Zahlen in dieser Schreibweise leichter vergleichen. So erkennt man sofort, dass z. B. 14 zwischen 14 und 15 liegt. Dagegen erkennt man dies in der Darstellung derselben Zahl nicht ohne weiteres.
Die gemischten Zahlen sind keien neue Arten von Zahlen. Es handelt sich vielmehr um eine andere Schreibweise gebrochener Zahlen.


BM1203

+ + = =
+ + = 1
---
7 + = 12 + = 12 + = 13
---
7 - 3 = - = - =


BM1204

Berechne! Gib die Summe auch als gemeinen Bruch an!
---
a) 0,3 + 0,77 + 1,82
b) 0,7 + 0,89 + 11,2 + 7,23
c) 1,39 + 0,094 + 27,2 + 0,801 + 0,309
d) 18,28 + 19,72 + 0,43 + 5,55 + 10,02
e) 0,021 + 0,0021 + 0,21 + 0,00021


BM1205

Berechne! Gib die Summe auch als gemeinen Bruch an!
---
a) 0,7 + 0,33 + 1,98
b) 0,93 + 9,712 + 4,3 + 0,2 + 0,1
c) 12,19 + 11,2 + 0,002 + 0,77 + 11,01
d) 0,041 + 13,82 + 0,55 + 7,22
e) 0,17 + 0,00017 + 0,017 + 0,0017 + 1,7


BM1206

Bild 1
gemischte Zahlen mit dem Taschenrechner addieren
---
Zur Eingabe von gemischten Zahlen haben wissenschaftliche Taschenrechner oft eine spezielle Eingabetaste. Bild 1 zeigt drei mögliche Beschriftungen einer solchen Taste.
Bild 2
Bild 2 zeigt beispielhaft die Eingabe der Rechnung
2 + 4
Dazu tippt man ein: 2; Taste drücken (Bild 1); 4; wieder Taste drücken (Bild 1); +; 4; Taste drücken (Bild 1); 3; Taste drücken (Bild 1); 8; =
Die unterste Zeile in Bild 2 zeigt das Ergebnis 6 in dem Format, wie es am Taschenrechner angezeigt wird.
---
In der Anzeige am Taschenrechner werden gemischte Zahlen mit einem „Haken“ rechts unten zwischen den einzelnen Ziffern angezeigt.


BM1207

Das Verfahren zum schriftlichen Subtrahieren wurde in der Lección 057b bereits erklärt. Hier nochmals 3 Aufgaben zur Wiederholung. Beachte den Übertrag!
---
  5 7 0 0
- 2 8 6 7
ÜT 1 1 1
  2 8 3 3
  5 0 5 6
- 1 7 5 9
ÜT 1 1 1
  3 2 9 7
  4 0 0 6
- 2 5 6 4
ÜT 1 1
  1 4 4 2


BM1208

Die drei obigen Beispiele in Übung BM1207 zeigen nochmals die schriftliche Subtraktion. Dieses Verfahren ist in Deutschland üblich.
Dagegen gibt es in den USA (und in vielen anderen Ländern) eine kleine Modifikation, die die Rechnung etwas logischer macht: Der Übertrag wird nicht unter den Subtrahenden geschrieben und zu diesem addiert (wie in Deutschland üblich), sondern der Übertrag wird vom Minuenden „geborgt“.
---
Du erinnerst Dich hoffentlich noch:
a - b = c
Minuend - Subtrahend = Differenz
---
Bild 1
Das Verfahren wird im Folgenden erklärt: Wenn der Minuend an der entsprechenden Position zu klein ist, macht man immer drei Schritte.
1.) Man streicht den Minuenden an der nächsten Position (links von der aktuellen Position weg; also den Minuenden der nächstgrößeren Position im Positionssystem).
2.) Schreibt man über die durchgestrichene Ziffer eine um „1“ verkleinerte Ziffer.
3.) Schreibt man eine kleine „1“ zu dem Minuenden an der aktuellen Position dazu.
Und dann kann man an dieser Position ganz normal subtrahieren.
Für die danach folgende Postion muss man diese Schritte eventuell wiederholen.
---
Diese Methode der schriftlichen Subtraktion nennt man „Abziehverfahren“.
Das in Deutschland übliche Verfahren heißt „Ergänzungsverfahren“. Es wird auch österreichische oder südeutsche Methode genannt.
---
Das deutsche Ergänzungsverfahren ist aber international wenig gebräuchlich. Es ist auch eine häufige Fehlerquelle in der Schule. Für Schüler ist das Verfahren schwer einzusehen. Sie führen es praktisch mechanisch aus und haben den rechnerischen Hintergrund meist gar nicht verstanden.
Dagegen ist das weiter unten beschriebenen „Abziehverfahren“ besser zu verstehen, es ist intuitiver, die Schüler sehen den Hintergrund des Verfahrens.
Das „Abziehverfahren“ wird u. a. in den USA, Kanada, den Niederlanden, Großbritannien, Italien, Spanien, Portugal, der Türkei, Japan, China, Finnland, Schweden, Indonesien und Israel angewendet.


BM1209

Bild 1
Noch einmal das amerikanische „Abziehverfahren“:
---
„94 - 37“
Bild 1: Es muss zuerst „4-7“ gerechnet werden. Das geht nicht ohne Weiteres.
---
Bild 2
Bild 2: Also wandeln wir im Minuenden die 90 (die „9“ an der Zehnerposition) in 80 und 10 um: Wir schreiben nun an die Stelle der „9“ eine „8“ und die so gewonnene 10 können wir mit der „4“ zusammenrechnen, wir erhalten 14 und schreiben diese hin. Nun können wir „14 - 7“ rechnen und erhalten 7.
---
Bild 3
Bild 3:
„8 - 3“ ist kein Problem. Und schon haben wir das Endergebnis
94 - 37 = 57
---
Bild 4:
Bild 4
Bild 4: Nochmals zum Vergleich
oben das amerikanische „Abziehverfahren“
unten das deutsche „Ergänzungsverfahren“
Natürlich führen beiden Rechemethoden zum gleichen Ergebnis.


BM1210

Bild 1
Und nochmals das „Abziehverfahren“
„521 - 378“
---
1. Schritt:
„1“ Einer minus „8“ Einer geht nicht. Man muss also einen Zehner wechseln und erhält „10“ Einer. Man wechselt also einen Zehner um in „10“ Einer). Nun kann man ganz einfach rechnen: 11 minus 8 ist gleich 3.
(wechseln: ich wechsele einen Zehner in „10“ Einer um) (ein 10 Euro-Schein = zehn Ein-Euro-Münzen)
(entbündeln; wechseln; borgen)
---
2. Schritt:
„1“ Zehner minus „7“ Zehner geht nicht. Man entbündelt „1“ Hunderter und erhält „10“ Zehner. Nun kann man wieder ganz einfach rechnen: 11 minus 7 ist gleich 4.
---
3. Schritt:
4 minus 3 ist gleich 1
---
Bild 2
Eine mögliche Kurzform für die Schreibung des Abziehverfahrens ist ins Bild 2 zu sehen
11 - 8 = 3
11 - 7 = 4
4 - 3 = 1

BM1211 - BM1220[editar]

BM1211

Bild 1
Schreibweise
---
Bild 1 zeigt die ausführliche Schreibweise.
1.) wegstreichen („einwechseln“; „entbündeln“) (grün)
2.) die so gewonnene „10“ hinschreiben und mit der Ziffer addieren (rot)
3.) die durch das „einwechseln“ reduzierte Ziffer hinschreiben (schwarz)
---
Bild 2
Bild 2 zeigt zwei mögliche Kurzformen. Dabei muss man sich eben kurz etwas merken.


BM1212

Bild 1
Bild 2
Erkläre mit Deinen eigenen Worten die Rechnung nach dem „Abziehverfahren“ in Bild 1 und 2!



BM1213

Bild 1
Bild 2
Bild 3
Bild 4
Erkläre die Rechnung nach dem „Abziehverfahren“ in Bild 1 bis 4!


BM1214

Rechne nach dem „Abziehverfahren“! Rechne laut! Erkläre dazu was du machst!
---
a)
ÜT * *
  8 2 0
- 5 7
  7 6 3
---
b)
ÜT * * *
  5 7 0 0
- 2 8 6 7
  2 8 3 3
---
c)
ÜT * * *
  5 0 5 6
- 1 7 5 9
  3 2 9 7
---
d)
ÜT * *
  4 0 0 6
- 2 5 6 4
  1 4 4 2


BM1215

Beschreibung des Entbünderlungsverfahrens (aus der Wikipedia)
Entbündelungsverfahren = „Abziehverfahren“
Abziehen mit „Entbündeln“ bedeutet, dass der zu kleine Minuend bei seinem linken Nachbarn eine „Anleihe“ macht. Der Minuend wird um 10 erhöht und der linke Nachbar um 1 erniedrigt. Das Verfahren wird an den Grundschulen z. B. der Vereinigten Staaten als Standardmethode gelehrt. Der reine Rechenaufwand ist ähnlich wie beim Ergänzungsverfahren; wenn von einer Null „geliehen“ werden muss, muss diese jedoch bei ihrem eigenen linken Nachbarn eine „Anleihe“ machen – eine Technik, die zusätzlich erlernt werden muss (beim Ergänzungsverfahren wird sie nicht gebraucht). Außerdem muss beim Entbündeln mehr geschrieben werden.
Beispiel
Beschreibung
3 − 1 = ...
Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
5 − 9 = ...
Der Minuend (5) ist zu klein!
Er wird darum um 10 erhöht. Diese 10 wird von der links daneben stehenden Ziffer (7) „geliehen“; diese wird um 1 erniedrigt.
15 − 9 = ...
Die Subtraktion kann jetzt durchgeführt werden. Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
6 − 4 = ...
Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
Das Gesamtergebnis.


BM1216

Vorab-Entbündelung (aus der Wikipedia)
---
Eine Variante des Entbündelungsverfahrens besteht darin, dass alle Stellen in einem ersten Arbeitsgang vollständig entbündelt werden, sodass für den zweiten Arbeitsgang, bei dem nur noch subtrahiert wird, hinreichend große Minuenden zur Verfügung stehen.
Beispiel
Beschreibung
1 − 3 = nicht möglich.
Die 1 wird um 10 erhöht. Da die 10 bei der links benachbarten 5 „geliehen“ ist, muss diese um 1 erniedrigt werden.
4 − 9 = nicht möglich.
Darum dieselbe Vorgehensweise wie in Schritt 1.
Abarbeitung der Stellen:
11 − 3 = 8
14 − 9 = 5
6 − 4 = 2


BM1217

Berechne!
---
a) 2,88 - 0,33 - 1,47
b) 0,044 - 0,013 - 0,009 - 0,018
c) 23,8 - 20,9 - 2,09 - 0,209


BM1218

Berechne!
---
a) 3,07 - 0,98 - 2,07
b) 0,0098 - 0,0002 - 0,0076 - 0,001
c) 33,4 - 28,7 - 2,87 - 0,287


BM1219

Berechne!
---
a) 2,074 - 1,382 - 0,377 - 0,298
b) 15,008 - 7,403 - 0,0201 - 3,004
c) 2700,4 - 328,9 - 1999,8 - 32,07


BM1220

Berechne!
---
a) 1,021 - 0,8074 - 0,0928 - 0,1
b) 11,003 - 2,807 - 5,041 - 3,027
c) 2500,8 - 1328,7 - 13,5 - 1111,1


BM1221 - BM1230[editar]

BM1221

Gib die Summe als gemeinen Bruch an, der sich nicht weiter kürzen lässt!
---
a) + 0,7
b) + 3,68
c) 0,9 +
d) 0,6 +
e) 12,7 + +
f) + 0,35 + 0,45 +


BM1222

Gib die Summe als gemeinen Bruch an, der sich nicht weiter kürzen lässt!
---
a) 1,9 +
b) + 2,6
c) + 0,89
d) 0,39 +
e) + 11{,}5 +
f) + 1{,}47 + 3,24 +


BM1223

Verwandle den Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch und berechne!
---
a) 0,8 -
b) 0,92 -
---
c) - 0,7
d) - 0,85


BM1224

Verwandle den Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch und berechne!
---
a) 0,6 -
b) 0,68 -
---
c) - 0,9
d) - 0,92


BM1225

Schreibe als gemischte Zahl!
---
a)
b)
c)
---
d)
e)
f)


BM1226

Schreibe als gemischte Zahl!
---
a)
b)
c)
---
d)
e)
f)


BM1227

Schreibe die folgenden Zahlen als gemeine Brüche, die sich nicht mehr kürzen lassen!
---
a) 4
b) 2
c) 6
---
d) 5
e) 11
f) 8


BM1228

Schreibe die folgenden Zahlen als gemeine Brüche, die sich nicht mehr kürzen lassen!
---
a) 2
b) 8
c) 5
---
d) 7
e) 9
f) 10


BM1229

Berechne!
---
a) 2 + 7
b) 1 + 9
---
c) 5 + 2
d) 10 + 3


BM1230

Berechne!
---
a) 3 + 2
b) 4 + 5
---
c) 6 + 3
d) 5 + 2


BM1231 - BM1240[editar]

BM1231

Berechne!
---
a) 3 + 2
b) 11 + 1
---
c) 5 + 2
d) 7 + 6


BM1232

Berechne!
---
a) 5 + 4
b) 13 + 10
---
c) 8 +
d) 6 + 3


BM1233

Berechne!
---
a) x + =
b) x + =
c) x + =
---
d) x + =
e) x + =


BM1234

Die Differenz zweier gebrochener Zahlen ist .
Der Minuend sei:
a)
b)
c)
---
d)
e)
Wie groß ist der Subtrahend?
---
Du erinnerst Dich hoffentlich noch:
a - b = c
Minuend - Subtrahend = Differenz


BM1235

Ermittle die Zahl, die um
a)
b)
c)
---
d)
e)
größer als ist!


BM1236

Ermittle die Zahl, die um
a)
b)
c)
---
d)
e)
kleiner als ist!


BM1237

Textaufgabe
Sachaufgabe
---
Mit Textaufgabe wird im Mathematikunterricht die Vorgabe einer mathematischen Problemstellung durch eine längere Fließtextbeschreibung bezeichnet. Die Aufgabe besteht immer aus den drei Teilen Frage, Rechenvorgang und Antwort. Die Schwierigkeit für die Schüler liegt dabei nicht in den Rechenvorgängen selbst, sondern darin, zu erkennen, welche Rechenoperationen zur Lösung führen und welche Textinformationen relevant und welche irrelevant sind.
---
Die Aufgabenstellung wird in der Regel in einem abschließenden Fragesatz zusammengefasst. Um zur Lösung zu gelangen, muss man die Problemstellung in Einzelschritte aufteilen und jedem dieser Schritte einen entsprechenden Rechenvorgang zuordnen. Damit dokumentiert der Schüler gleichzeitig seine logischen Gedankengänge.


BM1238

Textaufgabe
---
Ein von Boston kommendes mit Baumwolle beladenes Schiff von 200
Registertonnen segelt nach LeHavre, am Heck befindet sich
ein Schiffsjunge, zwölf Passagiere sind an Bord,
der Wind steht Ostnordost
die Schiffsuhr zeigt viertel nach drei am Nachmittag und es ist Mai.
Wie alt ist der Kapitän?


BM1239

Textaufgabe
---
Eine Fabrik produziert mit fünf Angestellten in sechs Tagen fünfhunderttausend Blechdosen. Wie viele Personen müssen neu eingestellt werden, um in derselben Zeit 2 Millionen Blechdosen zu produzieren? Die Maschinenkapazitäten dafür sind vorhanden.
---
Antwort: Viermal so viele Angestellte müssen arbeiten, das heißt, 15 Personen müssen neu eingestellt werden.


BM1240

Textaufgabe
---
Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
---
Ein 27 Jahre alter Hirte hat 25 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Hirte?


BM1241 - BM1250[editar]

BM1241

Textaufgabe
---
Zwei Wanderer laufen einander von zwei Orten aus entgegen. Der erste legt die Entfernung zwischen den beiden Orten in 8 h, der zweite in 6 h zurück. Um welchen Teil der gesamten Strecke nähern sie sich einander in 1 h an?


BM1242

Textaufgabe
---
Zwei Radfahrer starten von einem Ort aus gleichzeitig. Der erste erreicht das gemeinsame Ziel in 9 h, der zweite in 6 h. Um welchen Teil der gesamten Strecke ist der zweite Radfahrer nach 1 h dem ersten voraus?


BM1243

Multiplizieren gebrochener Zahlen in Dezimaldarstellung
---
a * = (z = Zähler; n = Nenner)
3 * = =
3 * = =
3 * = = = 1
---
Die Multiplikation von Brüchen ist wesentlich einfacher als die Addition von Brüchen.
Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler und Nenner getrennt multiplizeirt.
* =
* = =


BM1244

a) Wie viel ist die Hälfte von einer halben Torte?
Lösung BM1244-a
* = =
Die Hälfte von einer halben Torte ist eine Viertel-Torte. Das muss man nicht rechnen, das weiß man - aber man KANN es rechnen.
Wer das nicht sieht braucht eine Brille.
b) Wie viel ist die Hälfte von einer Zwei-Drittel-Torte?
Lösung BM1244-b
* = = =
Pie 2.svg
c) Wie viel sind zwei Drittel von einer Zwei-Drittel-Torte?
Lösung BM1244-c
* = =
Kann mann kürzen?
Nein!
Warum nicht?
=
Weil es keinen gemeinsamen Faktor gibt!
d) Wie viel sind zwei Drittel von einer halben Torte?
Lösung BM1244-d
* = = =


BM1245

Kehrwert (umkehren; umdrehen; vertauschen)
---
* = = 1
* = = 1
---
* = = 1
---
ist der Kehrwert von
Umgekehr kann man das auch sagen:
ist der Kehrwert von
---
ist der Kehrwert von
---
Merken! der Kehrwert (Das kommt in der nächsten Lektion noch mal dran.)


BM1246

Kehrwert
---
Der Kehrwert (auch der reziproke Wert oder das Reziproke) einer von verschiedenen Zahl ist in der Arithmetik diejenige Zahl, die mit multipliziert die Zahl ergibt; er wird als oder notiert.
---
der Kehrwert = der Kehrbruch
---
Beispiel:
Wir haben eine Zahl x.
Sagen wir mal x =
Nun ist der Kehrwert (k) diejenige Zahl, die mit x multipliziert genau „1“ ergibt.
Also:
* k = 1
Na, das hatten wir doch gerade in der vorhergehenden Übung:
* = = 1
Also ist der Kehrwert von .
Da = 2 ist könnten wir auch sagen:
„2“ ist der Kehrwert von .
---
Beispiele für den Kehrwert:
  • Der Kehrwert von 1 ist wiederum 1. (Denn 1 * k = 1; also ist k=1)
  • Der Kehrwert von 0,001 ist 1000. (Denn: 0,001 = ; Der Kehrwert ist = 1000)
  • Der Kehrwert von ist
  • Der Kehrwert des Bruches ist


BM1247

a)
4,6 * 2,7 = * = = = 12,42
---
b)
0,721 * 0,308 = * = = * = = = 501,99


BM1248

Multiplizieren gebrochener Zahlen in Dezimaldarstellung
---
Man multipliziert Dezimalbrüche miteinander, indem man sie zunächst ohne Rücksicht auf das Komma wie natürliche Zahlen multipliziert. Das Komma setzt man so, dass das Ergebnis so viel Dezimalstellen hat, wie die beiden Faktoren zusammen.
---
Wir können auf diese Weise die drei Rechnungen in Übung BM1249 vereinfachen:
a)
4,6 * 2,7
---------
    92
    322
  -----
   1242
Nun setzen wir das Komma: Der erste Faktor (4,6) hat eine Dezimalstelle. Der zweite Faktor (2,7) hat ebenfalls eine Dezimalstelle. Also hat das Ergebnis zwei Dezimalstellen (1+1=2). Wir setzen also beim Ergebnis das Komma so, dass das Ergebnis zwei Dezimalstellen hat: Aus 1242 wird 12,42
4,6 * 2,7
---------
    92
    322
  -----
  12,42
---
b)
0,721 * 0,308
-------------
      2163
        5768
   ---------
      222068
Nun setzen wir das Komma: Der erste Faktor (0,721) hat drei Dezimalstelle. Der zweite Faktor (0,308) hat ebenfalls drei Dezimalstelle. Also hat das Ergebnis sechs Dezimalstellen (3+3=6). Wir setzen also beim Ergebnis das Komma so, dass das Ergebnis sechs Dezimalstellen hat: Aus 222068 wird 0,222068
Wenn wir nach der Multiplikation das Komma setzen wollen, müssen wir manchmal vor das Ergebnis noch Nullen schreiben, um die richtige Anzahl von Dezimalstellen zu erhalten.
0,721 * 0,308
-------------
      2163
        5768
   ---------
    0,222068
---
c)
17,31 * 29
----------
     3462
     15579
   -------
     50199
Nun setzen wir das Komma: Der erste Faktor (17,31) hat zwei Dezimalstelle. Der zweite Faktor (29) hat Null Dezimalstellen. Also hat das Ergebnis drei Dezimalstellen (3+0=3). Wir setzen also beim Ergebnis das Komma so, dass das Ergebnis drei Dezimalstellen hat: Aus 50199 wird 501,99
17,31 * 29
----------
     3462
     15579
   -------
    501,99


BM1249

Wenn wir nach der Multiplikation das Komma setzen wollen, müssen wir manchmal vor das Ergebnis noch Nullen schreiben, um die richtige Anzahl von Dezimalstellen zu erhalten.
---
Beispiel:
0,051 * 0,003
0,051 * 0,003
-------------
          153
Nun setzen wir das Komma: Der erste Faktor (0,051) hat zwei Dezimalstelle. Der zweite Faktor (0,003) drei Dezimalstellen. Also hat das Ergebnis sechs Dezimalstellen (3+3=6). Wir setzen also beim Ergebnis das Komma so, dass das Ergebnis drei Dezimalstellen hat: Aus 153 wird 0,000153
---
Dagegen können wir Nullen fortlassen, die hinter de letzten von Null verschiedenen Dezimalstelle stehen. Das bedeutet nichts anderes, als dass das Endergebnis gekürzt wird.
---
Beispiel:
8,64 * 14,5
8,64 * 14,5
-----------
     864
     3456
      4320
   -------
    125280
Nun setzen wir das Komma: Der erste Faktor (8,64) hat zwei Dezimalstelle. Der zweite Faktor (14,5) hat eine Dezimalstelle. Also hat das Ergebnis drei Dezimalstellen (2+1=3). Wir setzen also beim Ergebnis das Komma so, dass das Ergebnis fünf Dezimalstellen hat: Aus 125280 wird 125,280
8,64 * 14,5
-----------
     864
     3456
      4320
   -------
   125,280
Das Ergebnis ist 125,280. Die letzte Null können wir weglassen, also: 125,28

BM1250

Die Multiplikation von Dezimalbrüchen mit 10; 100; 1000 usw. ist kinderleicht.
Man multipliziert einen Dezimalbruch mit 10; 100; 1000 usw., indem man das Komma um 1; 2; 3 usw. Stellen nach rechts versetzt.
---
4,37 *     10 =     43,7
4,37 *    100 =    437
4,37 *   1000 =   4370
4,37 *  10000 =  43700
4,37 * 100000 = 437000


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