Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 234c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Vierunddreißigstes Kapitel

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Analytische Geometrie der Geraden und des Kreises

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Wir wollen zuerst die Bedingungsgleichung für eine Gerade finden. Hierzu ziehen wir innerhalb eines rechtwinkligen Koordinatensystems eine beliebige Gerade g, die zur x-Achse, die wir (nur für diesen Zweck) als stets positiv betrachten, im Winkel $\alpha$ geneigt ist.

Wenn wir vom Schnittpunkt unserer Geraden mit der Ordinatenachse eine zur Abszissenachse parallele Hilfslinien g' ziehen, entsteht auch zwischen g und g' der Winkel $\alpha$, weil die Schenkel beider Winkel paarweise parallel sind. Oder weil x und g' parallel sind, g aber eine Transversale ist und es sich dann bei den beiden Winkeln $\alpha$ um Gegenwinkel handelt. Nun entstehen soviel ähnliche Dreiecke als man will, wenn man von Punkten der Geraden g Lote auf die x-Achse fällt. Diese haben, weil sie ja rechtwinklig sind, als Katheten $x_{1},y_{1}-c$; $x_{2},y_{2}-c$; $x_{3},y_{3}-c$ usw. bis $x_{n},y_{n}-c$, wobei n auch gleich unendlich sein darf. Nun verhalten sich nach den Ähnlichkeitsgesetzen

$(y_{1}-c):x_{1}=(y_{2}-c):x_{2}=(y_{3}-c):x_{3}=\dotsc \dotsc =(y_{n}-c):x_{n}$

woraus folgt, daß das Verhältnis der um eine gleichbleibende Größe c verminderten Ordinate und der Abszisse stets konstant bleibt, wo immer wir auch auf der Geraden unseren Punkt annehmen. Daher dürfen wir dieses Verhältnis, weil es immer gleich bleibt, einfach mit a bezeichnen. Irgend ein Punkt der Geraden g genügt also stets der Gleichung ${\frac {y-c}{x}}=a$, wodurch wir als Gleichung der Geraden die allgemeine Funktion $y=a\cdot x+c$erhalten. Dabei sehen wir aus der Figur zwei wichtige Beziehungen. Unser a ist eigentlich nichts anderes als die trigonometrische Tangensfunktion des Neigungswinkel $\alpha$, bzw. deren ausgerechneter Wert, und gibt damit die Richtung der Geraden an. Das c hinwiederum zeigt mir an, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Wir werden die zweite Behauptung gleich prüfen: Auch die Koordinatenachsen sind ja Gerade. Die Gleichung der y-Achse muß aber einfach lauten $x=0$, weil dies die einzige Bedingung ist, der jeder Punkt dieser Achse entspricht. Analog hatte die x-Achse die Gleichung $y=0$. Nun soll sich also unsere Gerade $y=ax+c$ mit der Ordinatenachse $x=0$ schneiden. Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich aber sofort $y=c$ und $x=0$ als Schnittpunkt der beiden Geraden, was wir ja behaupteten. Damit aber außerdem der Einfluß der sogenannten Gleichungskonstanten c auf den Schnittpunkt mit der Abszisse klar werde, wollen wir auch diesen berechnen. Wir hätten $y=a\cdot x+c$ und die Abszissenachse $y=0$. Dadurch wird $a\cdot x+c=0$ oder $x=-{\frac {c}{a}}$. Die Verschiebung gegenüber der x-Achse hängt also sowohl vom Neigungswinkel als von der Konstanten c ab, was eigentlich aus der Anschauung unmittelbar klar ist. Wenn wir nun das ganze Koordinatensystem so verschieben wollten, daß unsere Gerade durch den Ursprungspunkt geht, dann würde das c wegfallen müssen und die Gleichung der Geraden müßte lauten $y=a\cdot x$, was wir auch unmittelbar aus Ähnlichkeitssätzen hätten ableiten können.

Wir schalten hier ein, daß sich aus der Tatsache unserer Richtungskonstanten a sofort ein Übergang zum Differentialquotienten ergibt, der ja auch den numerischen Wert des Tangens a hat. Darüber aber wird hier nicht näher gesprochen und wir müssen wieder auf unser Buch „Mathematik von A bis Z“ verweisen.

Wir stellen nun an unsere Gleichung $y=a\cdot x+c$ einige Anforderungen, um zu sehen, wie weit unsere analytische Denkmaschine funktioniert. Wir wollten etwa die Gleichung für eine Gerade erfahren, die durch einen gegebenen Punkt $P_{1}(x_{1},y_{1})$ und für eine andere Gerade, die durch zwei gegebene Punkte $P_{1}(x_{1},y_{1})$ und $P_{2}(x_{2},y_{2})$ geht.

Wenn nun g durch $P_{1}(x_{1},y_{1})$ gehen soll, so muß ihre Gleichung an dieser Stelle auch der Gleichung $y_{1}=a\cdot x_{1}+c$entsprechen. Da aber c alsdann gleich ist $y_{1}-a\cdot x+b$, so müßte unsere allgemeine Gleichung $y=a\cdot x+$ somit lauten: $y=a\cdot x+y_{1}-a\cdot x_{1}$ oder $y-y_{1}=a\cdot (x-x_{1})$. Das a bleibt willkürlich und wir dürfen ihm daher jeden Wert zwischen $+\infty$ und $-\infty$ erteilen. Das heißt aber nichts anderes, als daß durch einen Punkt stets unendlich viele Gerade (oder ein Büschel) gelegt werden können. Nehme ich aber zu $P_{1}(x_{1},y_{1})$ einen zweiten Punkt $P_{2}(x_{2},y_{2})$ hinzu, dann muß die Gleichung lauten $y_{1}-y_{1}=a\cdot (x_{2}-x_{1})$, woraus sich sofort a eindeutig als $a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ ergibt. Denn durch zwei Punkte ist eine Gerade stets bestimmt. Wenn wir jetzt in die allgemeine Gleichung einsetzen, erhalten wir $y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+c$. Nun berechneten wir das c aber schon früher als $y_{1}-a\cdot x_{1}$, wodurch sich weiter $y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}$, somit endlich $y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})$ ergibt.

Schließlich wollen wir nach kurz erwähnen, daß die sogenannte „Normalform“ der Gleichung einer Geraden $A\cdot x+B\cdot y+C=0$ lautet. Natürlich können A, B und C auch negative Größen sein, so daß sich dann einige oder alle Vorzeichen ändern. Um diese Gleichung auf unsere erste Form zu bringen, muß man das y „isolieren“, also etwa $y={\frac {-A\cdot x-C}{B}}$ oder $y=-{\frac {A}{B}}\cdot x-{\frac {C}{B}}$ Dabei entspricht dann $-{\frac {A}{B}}$ unserem früheren a und $-{\frac {C}{B}}$ unserem früheren c.

Wir haben schon erwähnt, daß a der Tangens von $\alpha$ sei. Will ich also eine andere Gerade finden, die parallel ist zu g und dazu noch durch den Punkt $P_{1}(x_{1},y_{1})$ geht, dann muß wohl die Gerade als Parallele dieselbe Richtungskonstante a haben. Sie muß aber zudem noch durch den Punkt $P_{1}$ gehen. Also $y-y_{1}=a\cdot (x-x_{1})$. Soll sie durch $P_{1}$ gehen und zu g normal stehen, dann muß ihr Neigungswinkel $(\alpha +90^{\circ })$ sein. Tangens von $(\alpha +90^{\circ })$ ist aber gleich (- Cotangens $\alpha$) oder $-{\frac {1}{tg\ \alpha }}$. Wenn also $a=tg\ \alpha$, dann ist $-{\frac {1}{a}}=-{\frac {1}{tg\ \alpha }}$. Und unsere Gleichung hätte zu lauten $y-y_{1}=-{\frac {1}{a}}(x-x_{1})$.

Bisher fanden wir etwas, das bei allen Operationen charakteristisch war: Es kam nämlich sowohl x als y stets nur in der ersten Potenz vor. Da dies nun bei jeder Geraden (linea) so sein muß, nennt man alle Gleichungen, bei denen x und y nur in der ersten Potenz vorkommen, „lineare“ Gleichungen oder die Funktionen dieses Typus „lineare Funktionen“. Wir werden sofort bemerken, daß die Krümmung die Potenz der Funktion erhöht. Und wir bemerken vorwegnehmend, daß alle Kegelschnittskurven (also Kreise, Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln) Kurven zweiter Ordnung sind und somit Gleichungen zweiter Ordnung oder quadratischen Gleichungen (Funktionen) entsprechen.

Zuerst der Kreis. Wieder zeichnen wir uns eine Figur, bei der irgendwo ein Kreis. in einem rechtwinkligen Koordinatensystem liegt.

Jeder beliebige Punkt des Kreises muß denselben Bedingungen entsprechen wie der beliebige Punkt P. Dieser nun ist einerseits durch die relative Lage des Kreises zum Koordinatensystem, also durch die konstanten Koordinaten oder einfach die „Konstanten“ p und q bestimmt, die seinen Mittelpunkt festlegen. Zweitens durch den Radius des Kreises r und drittens durch die veränderlichen oder „laufenden“ Koordinaten x und y, die zwar für jeden Punkt andere sind, zueinander jedoch in einem gleichbleibenden Verhältnis stehen müssen, da sonst eine Gleichung nicht gebildet werden könnte. Wir benützen beim Kreis den „Pythagoras“. Und zwar finden wir aus dem Dreieck mit den Seiten $r$, $(x-p)$, $(y-q)$, daß stets sein muß $r^{2}=(x-p)^{2}+(y-q)^{2}$. Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprungspunkt, dann fallen p und fort, da sie Null werden, und wir erhalten als Kreisgleichung $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Diese Form heißt die „Mittelpunktsgleichung" des Kreises.

Bringen wir jetzt den Kreis mit einer Geraden zum Schnitt, dann erhalten wir nach Ausrechnung aus den beiden Gleichungen $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$ und $y=a\cdot x+c$ folgende Werte für das x und y des Schnittpunktes:

$x={\frac {1}{1+a^{2}}}[p+aq-ac\pm {\sqrt {(1+a^{2})r^{2}-(ap+c-q)^{2}}}]$ und

$y={\frac {1}{1+a^{2}}}[ap+a^{2}q+c\pm a{\sqrt {(1+a^{2})r^{2}-(ap+c-q)^{2}}}]$

Wenn nun der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen negativ würde, dann entständen imaginäre (komplexe) Koordinaten des Schnittpunktes. Das hieße aber analytisch, daß Schnittpunkte nicht vorkommen, daß also die Gerade den Kreis überhaupt nicht schneidet, sondern an ihm vorbeiläuft. Ist dagegen der Ausdruck unter der Wurzel positiv, dann erhalte ich je zwei Schnittpunktskoordinaten, was bedeutet, daß zwei Schnittpunkte existieren, die Gerade also eine Sekante ist. Wird endlich der Ausdruck unter der Wurzel = 0, dann existiert bloß ein Schnittpunkt, die Gerade ist folglich eine Tangente des Kreises und der „Schnittpunkt“ wird zum „Berührungspunkt“. Da nun weiter nach den obigen Formeln die Koordinaten des Berührungspunktes $x_{1}={\frac {p+a\cdot q-a\cdot c}{1+a^{2}}}$ und $y_{1}={\frac {a\cdot p+a^{2}\cdot q+c}{1+a^{2}}}$ sein müssen, so erhalten wir für a und c aus diesen Gleichungen: $a=-{\frac {x_{1}-p}{y_{1}-q}}$ und $c=y_{1}+{\frac {x_{1}(x_{1}-p)}{y_{1}-q}}$ wodurch wir als allgemeine Gleichung der Kreistangente die Formel

$y=-{\frac {x_{1}-p}{y_{1}-q}}\cdot x+y_{1}+{\frac {x_{1}(x_{1}-p)}{y_{1}-q}}$ oder

$y-y_{1}=-{\frac {x_{1}-p}{y_{1}-q}}\cdot (x-x_{1})$

erhalten, wenn die Tangente den Kreis im Punkte $P_{1}(x_{1},y_{1})$ berühren soll und der Kreis auch der Gleichung $(y_{1}-q)^{2}+(x_{1}-p)^{2}$ genügen. Daraus können te weiter die Kreisnormale oder der Berührungsradius im Punkte $P_{1}(x_{1},y_{1})$ als Geradengleichung gewonnen werden, da ja seine Richtungskonstante der negative reziproke Wert der Richtungskonstanten der Tangente sein muß. Also Normalen-Gleichung $y-y_{1}={\frac {y_{1}-q}{x_{1}-p}}(x-x_{1})$. Weiters sind für die Mittelpunktsgleichung des Kreises die Tangente $y-y_{1}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}(x-x_{1})$ und die Normalengleichung $y-y_{1}={\frac {y_{1}}{x_{1}}}(x-x_{1})$, da ja hier p und q in Fortfall kommen.

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