Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 133c

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Geschichte der Mathematik (Teil 33)

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Zwölftes Kapitel

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GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

Mathematik als Kosmos

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Wenn wir für dieses Kapitel den Raum eines Buches zur Verfügung hätten, würden wir ihn, ohne zu ermüden, ausfüllen können. Denn der geradezu rasende Vorwärtssturm, der in der Mathematik im siebzehnten Jahrhundert trotz umwälzendster politischer Ereignisse vordrängte, hat kaum ihresgleichen in der Wissenschaftsgeschichte. Wenn wir politische Ereignisse hervorheben, denken wir nicht allein an den Dreißigjährigen Krieg. Denn auch die Raubkriege Ludwigs des Vierzehnten und der riesige Kampf, den England und Holland um die Seeherrschaft auf allen Meeren ausfochten, erfüllten dieses Jahrhundert und zogen Hauptakteure des mathematischen Geschehens, wie etwa einen Jan de Witt, in persönlichste Mitleidenschaft. Oder einen Hudde, der seine patriotischen Pflichten als Bürgermeister von Amsterdam für wichtiger hielt als sein algebraisches Genie und daher freiwillig aus dem Reigen der großen Mathematiker schied. Vor solchen Entscheidungen aber standen auch Leibniz und Newton, und die Türkeneinfälle zu Ende des Jahrhunderts machten es überhaupt fraglich, ob die Flut aus dem Osten nicht das ganze eben zur Dachgleiche gedeihende Gebäude abendländischer Mathematik wieder fortspülen und für Jahrhunderte verschlammen würde.

Gleichwohl - und das könnte als „heroisches Gesetz“ bezeichnet werden - stimmt der Satz: „inter arma silent Musae“ nur sehr bedingt. Daß die Musen im Waffenlärm schweigen, gilt nicht einmal für die Lyrik, nicht einmal für die Schilderung von Idyllen. Am allerwenigsten gilt dieser Satz, soweit uns bisher die Wissenschaftsgeschichte unterrichtet, von geistigen Bereichen, die von wirklichen Männern verwaltet werden. Und dazu gehören wohl in erster Linie die mathematischen Wissenschaften. Kulturgeschichtlich könnte man fast leichter den Satz beweisen, daß die Resonanz großen geschichtlichen Geschehens sich in die Seelen der geistigen Schöpfer fortpflanzt und dort befeuernd mitschwingt. Und wie die echtesten Frauen in Zeiten der größten Not sich nicht aus ihrer naturgegebenen Berufung zurückziehen und der Menschheit freudig neue Menschen schenken wollen, damit das Allgeschehen nicht ende, so werden eben in solchen Zeiten die Männer für Familie und Volk, jeder auf seinem Platze, die letzten, untersten Kräfte anspannen, um zur siegreichen Behauptung ihrer eigensten Welt beizutragen.

Daß wir solche Gedanken gerade im Zusammenhang mit Leibniz aussprechen, hat seine triftigen Gründe, Denn mit ihm trat wieder einmal ein Mann auf den Plan, der bewußt ausgezogen war, seinem zertretenen Volk zu neuem Aufstieg zu verhelfen. Und wieder zeigt es sich an Leibniz, wie am Beginne unserer Wissenschaft bei Pythagoras, daß brennendstes Nationalgefühl zugleich umfassendste und allgemeinste Weltgeltung in sich schließen kann, ja, in sich schließen muß; da ja nur ein Mensch, der schrankenlos dem Gesetze seiner Persönlichkeit folgt, der alle -Kräfte seines Wesens konzentriert, jenen Geist ausstrahlen kann, der, wie Goethe von Schiller sagt, früher oder später den Widerstand der dumpfen Welt bezwingt.

Doch wir wollen nicht vorgreifen, da bei Leibniz, mehr als bei irgendeinem anderen Mathematiker, die allgemeine Problemlage Voraussetzung für ein auch nur angenähertes Verständnis seiner Leistung und Bedeutung ist. Dies um so mehr, als, von Leibnizens Zeitgenossen beginnend, zwei folgende Jahrhunderte aus allerlei sehr durchsichtigen Motiven bestrebt waren, seine Gestalt und seine Leistung zu verdunkeln. Doch auch darüber können wir uns hier nicht ausführlich verbreiten. Wir müssen uns vielmehr sehr stark beschränken und wollen vorerst die allgemeine geistige Situation des siebzehnten nachchristlichen Jahrhunderts auf mathematischem Gebiet dadurch verdeutlichen, daß wir daran erinnern, wie radikal der große Descartes die „dicken Bücher“ der alten griechischen Geomet-er ironisierte und den Alten vorwarf, sie hätten ihre Ergebnisse nicht systematisch errungen, sondern gleichsam bloß unterwegs aufgelesen. Weniger als ein Menschenalter später hören wir von Leibniz, er habe gezeigt, wie beschränkt die Geometrie des Herrn Descartes sei, die wichtigsten Probleme hingen auch nicht von Gleichungen der Art ab wie die, auf die sich die ganze Geometrie des Herrn Descartes reduziere, und so fort. Schon die Ausdrucksweise „Herr Descartes“ zeigt uns die Kürze des verflossenen Entwicklungszeitraumes. Leibniz polemisiert, obwohl Descartes schon tot ist, gleichsam mit einem noch Lebendigen. Und er stößt sogar schließlich so weit vor, daß er sagt: „Ich konnte mich des Lachens nicht enthalten, als ich sah, daß er (nämlich der Gartesianer Malebranche) die Algebra für die größte und erhabenste aller Wissenschaften hält“

Wie weit Descartes und Leibniz mit ihren Urteilen übers Ziel schossen, soll hier nicht erörtert werden. Es wird sich von selbst durch unsre folgenden Betrachtungen herausstellen. Wir wollten aber zeigen, wie diese beiden Bahnbrecher subjektiv das Tempo der fortschreitenden Entwicklung empfanden. Und wir sehen, daß wir es ohne alle Übertreibung als „rasendes Werden“ bezeichnen dürfen. Sonst ware es vollends unverständlich, daß der eine alle vorhergegangenen Leistungen bespöttelt und der andere kaum vierzig Jahre später über diese geistige Revolution lacht.

Wir werden uns also bemühen müssen, sowohl das Neue als auch das Verbindende dieses Entdeckungszeitraumes, dieser wahrscheinlich fruchtbarsten aller bisherigen Epochen der Mathematik, genau zu verdeutlichen. Dazu aber müssen wir sehr weit ausholen. Allerdings nur, soweit unsere Erörterungen über Leibniz die Mathematik des Unendlichen, die sogenannte Infinitesimalrechnung, betreffen. Sonst wäre es uns weder möglich, diese Rechnungsart selbst zu begreifen, noch könnten wir die weltbewegenden Folgen der Leibnizschen Taten in das richtige Licht stellen.

Wir wissen aus unserem Archimedes-Kapitel, daß die Beschäftigung mit Unendlichkeitsproblemen auch auf hellenischem Boden durchaus keine Seltenheit war und daß sie durch Archimedes selbst einen geradezu staunenswerten Aufschwung erlebte. Dieser Aufschwung führte allerdings nicht zu einer allgemeinen Methode, sondern blieb gleichsam in Einzelproblemen stecken und erweiterte sich nicht mehr wesentlich, wenn auch in nachchristlicher antiker Zeit Pappos in seinem fünften Buch bis zu den isoperimetrischen Problemen vordrang, die in gewisser Hinsicht unseren Aufgaben über maximale und minimale Werte einer Funktion verwandt sind.

Wir sprachen bereits von der „Rezeption“ der klassischen Mathematik des Altertums. Und behaupteten, sie habe sich gleichsam in zeitlich umgekehrter Reihenfolge vollzogen. Diese Behauptung stimmt, wenn man erst Leibniz und Newton als Vollrezeptoren des Archimedes oder als seine neuzeitlichen Entsprechungen ansieht. Allerdings hatte diese Vollrezeption eine nicht unbedeutende Vorgeschichte, in die wir jetzt eingehen wollen. Wir werden dabei auch die Gründe erfahren, die es uns unmöglich machen, diese Vorläufer mit Archimedes auf eine Ebene zu stellen, da wir sie viel eher mit Demokrit oder äußerstenfalls mit den Vorläufern des Eudoxos, als kultursynchron im Sinne Spenglers, vergleichen dürfen.

Wir nennen an erster Stelle Galilei und seine Schüler. An zweiter Stelle Johannes Kepler, mit dem wir gleichwohl beginnen werden. Zuerst wollen wir darauf hinweisen, daß Astronomie und Physik sicherlich bei der Entdeckung der neueren Infinitesimalrechnung Pate standen. Allerdings nur bei einer ganz bestimmten Spielart dieses Kalküls, die man eher als die phoronomisch-dynamische Betrachtung der Unendlichkeitsprobleme bezeichnen könnte und die in Isaac Newton ihre weithin leuchtende Spitze fand. Es ist jene Seite des faustischen Geistes, der wir bereits bei Nicole von Oresme, Bradwardinus und Cusanus begegnet sind, jene Darstellung der „Formen“ und jene Analyse der Bewegungen, die irgendwie stets an die Paradoxien der auch im neuen Abendland sehr wohlbekannten Philosophie Zenons stoßen mußte. Bei Kepler, diesem eigentümlichen, wandernden Genius, war es ein rein äußerlicher Anlaß, der hier, beinahe im wörtlichsten Sinne, dem Faß den Boden ausschlug. Es gab nämlich in Linz in Oberösterreich, wo Kepler damals eben weilte, im Jahre 1612 eine ganz ausnehmend gute Weinernte, die übrigens das ganze österreichische Donautal und dessen benachbarte Weingelände betraf. Als nun Kepler von dieser „Konjunktur“, wie wir heute sagen würden, persönlich Nutzen zog und einige Fässer Weins erstand, die in Linz von donauaufwärts geschleppten Schiffen ausgeladen und geradezu verschleudert wurden, da war er sehr verwundert, als der Verkäufer zur Berechnung des Faßinhaltes einfach eine Meßrute in das Spundloch steckte und aus der Entfernung dieses Spundloches von der gegenüberliegenden Daubenwand den Inhalt des Fasses berechnete. Kepler wußte nämlich, daß man am Rheine entweder den Faßinhalt krugweise bestimmte, oder aber,wenn man schon Maßstäbe anwandte, zahlreiche Messungen durchführte, bis man daraus endlich den Faßinhalt ableitete. Er grübelte drei Tage über das Problem der Kubatur von Weinfässern, die er als Umdrehungskörper auffaßte, und löste die Aufgabe. Dabei soll so geht eine Art von Legende - auch eine andere Erwägung maßgebend gewesen sein. Man wußte nämlich infolge der Überfülle des Weines kaum, wie man ihn unterbringen sollte. Und Kepler habe gehofft, eine Faßform ausfindig zu machen, die bei gleicher Oberfläche, also gleichem Materialverbrauch, größeren Kubikinhalt besitze als die tatsächlich verwendeten Fässer, was natürlich wirtschaftlich von großem Vorteil gewesen wäre, da ja sowohl das Faßholz als die Faßbinderarbeit sehr teuer waren und noch heute teuer sind. Er überzeugte sich jedoch, daß die „dolia Austriaca“, also die österreichischen Fässer, eine fast maximal gute und zweckmäßige Form hatten, eine viel bessere jedenfalls als die rheinischen, was ihn zum Ausspruch veranlaßte: „Quis neget, naturam instinctu solo, sine etiam ratiocinatione docere geometriam?“ Wer also könne leugnen, daß die menschliche Natur allein, auch ohne jede grüblerisch rationale Überlegung, die Grundwahrheiten der Geometrie lehre? So müßten wir frei diese merkwürdige Stelle übersetzen, der Kepler noch irgendwo hinzufügt, daß die Menschen dabei einzig und allein durch ihre Augen (Augenmaß) und durch die Schönheit des Gegenstandes angeleitet würden. Also Intuition und ästhetischer Proportionen- und Formensinn sind gleichsam Naturvoraussetzung geometrischen Erfindergeistes. Doppelt merkwürdig dieser Ausspruch für einen Kepler, den die Nachwelt stets gerne hätte zum kühlen, trockenen Rechner und steinernen Rationalisten umbiegen wollen. Wir wollen es an dieser Stelle auch nicht unterlassen zu bemerken, daß man Überraschungen auf Schritt und Tritt erlebt, wenn man sich aller mehr oder weniger befugten Geschichtsvermittler entledigt und in geistesgeschichtlichen Dingen die Quellen selbst betrachtet. Es ist ja begreiflich, daß der Parteien Haß und Gunst die Charakterbilder verwirrt und die Geschichte schwankend macht. Aber solch eine schwankende Geschichte kann schließlich ein ganzes Volk um seine Zukunftslinie bringen, insbesondere, wenn sie aus dem dämonischen Kepler einen trockenen Rationalisten und aus dem faustischen Tatmenschen Leibniz einen verschrullten Bücherwurm oder gar den Anführer der liberalistischen Aufklärung macht. Große Geister müssen stets komplexe Naturen sein, ja geradezu irrationale, da sie sonst die ebenfalls komplexe, irrationale Struktur der Welt nicht umfassen könnten. Daher findet man in ihren Werken leicht „Belegstellen“ für allerlei Hypothesen. Gleichwohl gibt es für den historischen Psychologen auch eine andere, sozusagen ausgezeichnete oder bevorzugte Art von Belegstellen. Das sind Ausrufe, die mit einem Schlag blitzartig die dunklen Hintergründe der Weltansicht des Mannes enthüllen und an denen nicht weiter gedeutelt werden kann, weil sie eben eindeutig sind. Ein verbohrter Intellektualist kann niemals, gleich Kepler, behaupten, die Natur selbst lehre uns eine Aufgabe der Maximumrechnung lösen. So etwas könnte höchstens als überintuitionistisch oder metalogisch schärfstens bekämpft werden.

Wir müssen aber auch hier unsere methodologische Polemik abbrechen, so interessant ihre Fortsetzung wäre. Wir stellen also fest, daß Kepler vom Problem der Weinfasser nicht mehr loskam und schließlich im Jahre 1615 in Linz sein epochales Werk „Nova Stereometria Doliorum Vinariorium. accesit Steriometriae Archimedae supplementum“ drucken ließ, nachdem ein überweiser Verleger in Augsburg die Herausgabe des Werkes abgelehnt hatte, da ein solcher, sozusagen kompromittierender Gegenstand auch von einem hochberühmten Mann nicht zu wissenschaftlichem Rang erhoben werden könne. Diese „neue Stereometrie der Weinfässer“, die zugleich, wie der Titel sagt, eine Ergänzung der archimedischen Stereometrie darstellen sollte, ist in der abgekürzten Bezeichnung „Doliometrie“ oder „Fassermessung“ trotz des Verlegerurteils in die klassische Ewigkeit eingegangen. Sie ist unter anderem auch in deutscher Übersetzung erst in jüngerer Zeit in „Ostwalds Klassikern“ neu herausgegeben worden. Ihr Inhalt ist ein großartiger. Nicht weniger als 92 neue Kubaturen von Umdrehungskörpern leistet Kepler über Archimedes hinaus, denen er nach ihrer Gestalt die Namen der „apfelförmigen“, „zitronenförmigen“, „olivenförmigen“ und so weiter gibt. Im weiteren Verlauf des Werkes befaßt er sich dann mit den Weinfassern und kommt durch die Natur seines Problems zwangsläufig zu Maximumaufgaben, wie wir schon andeuteten, wobei er sich bereits scharfer noch als Nicole von Oresme der Tatsache bewußt wird, daß die Veranderungen einer Funktion dicht beim Maximumswert zu verschwinden beginnen.

Nun dürfen wir leider auch hier nicht lä,nger verweilen, sondern wir müssen uns einer andern markanten Gestalt dieser Zeit, dem Jesuiten Bonaventura Cavalieri, zuwenden, der als Professor in Bologna seine berühmte „Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota“ im Jahre 1635 veröffentlichte. Cavalieri war Schüler Galileis und seine „Geometrie der Indivisiblen“ erregte großes Aufsehen. Allerdings behaupteten schon die Zeitgenossen, das Werk müßte mit dem Preis der Dunkelheit ausgezeichnet werden, wenn ein solcher zur Vergebung gelangte. Wir haben schon einmal die Mitwelt den Titel der „Dunkelheit“ verleihen gesehen. Es ereignete sich dies bei Heraklit. Und es erfolgte merkwürdigerweise fast im gleichen Zusammenhang, nämlich gelegentlich der dynamischen Konstituierung des Stetigen oder des Kontinuums. Wir müssen allerdings auch heute, da wir nach der Arbeit zweier Jahrhunderte tief in die Abgründe der Infinitesimalbetrachtung hineinschauen, sagen, daß Cavalieri tatsächlich kein Musterbeispiel von Klarheit war; Dies geht so weit, daß er seinen Hauptbegriff, seine „unteilbaren Elemente“, oder wie man die „Indivisiblen“ übersetzen soll, nirgends definiert und dadurch seinen ganzen, äußerst kühnen Aufbau gleichsam vollständig in Schwebe hält. Warum er dies tat, ist bis heute ein Geheimnis und es sind darüber allerlei Vermutungen aufgetaucht, um so berechtigtere, als Cavalieris Ergebnisse, im Gegensatz zu der von ihm erläuterten Methode, sehr richtige und eindeutige sind. Manche Geschichtsforscher glauben daher annehmen zu müssen, Cavalieri, der ja Ordensgeistlicher war, habe sich, insbesondere nach den Ereignissen um Galilei, gescheut, eine Theorie allzu deutlich preiszugeben, die vielleicht als revolutionär hätte angesehen werden können. Wir wollen uns aber nicht in so komplizierte spezialgeschichtliche Fragen einlassen, sondern berichten, daß im Gegenstande selbst für die damalige Zeit ungeheure Schwierigkeiten lagen. Und daß es weiters seit der Renaissance üblich geworden war, der Erfindungskraft mehr Wert zuzusprechen als der logischen Strenge. Dies stimmt auch genau mit all dem zusammen, was wir über die „Rezeption“ der Griechen behaupteten. Der faustische Weg ähnelte viel eher dem prometheischen und dionysischen als dem euklidischen und apollinischen.

Cavalieri nun stellte sich alle geometrischen Gebilde als Gesamtheiten von Linien oder von Ebenen vor, je nachdem es sich um ebene oder räumliche Gebilde handelte. Diese „Summa omnium. . .“ entsteht durch ein „Fließen“, indem eine Parallellinie in die andere, eine Parallelebene in die andere übergeht. In einem späteren Werk vergleicht Cavalieri bildhaft die Flächen mit Geweben und die Körper mit Büchern. Auf jeden Fall aber fordert er im ersten Satz des siebenten Buches seiner Indivisibiliengeometrie, daß Gebilde der Ebene wie des Raumes nur dann inhaltlich gleich sind, wenn in gleicher Höhe die beiden geführten Schnitte gleiche Strecken bzw. gleiche Flächen ergeben. Das ist der berühmte grundlegende Satz von Cavalieri, den wir auf der Schule lernen und der aller Raummessung zugrunde liegt. Aber eigentlich auch aller Flächenmessung. Wir haben durch die Tatsache seines Jahrhunderte währenden Gebrauches fast vollkommen das Gefühl dafür verloren, daß es sich bei diesem Prinzip nicht bloß um eine rein infinitesimale Überlegung handelt, sondern daß diese Überlegung darüber hinaus auch nach allen Richtungen logisch bedroht und in sich paradox ist. Das sehen wir gleich an einem Angriff Guldins auf Gavalieri, jenes Guldin, nach dem die „Guldinsche Regel“*) benannt ist, obwohl sie durchaus nicht von ihm, sondern bereits im hellenischen Altertum entdeckt wurde.

[„Der Rauminhalt eines Umdrehungskörpers ist gleich dem Produkt aus erzeugender Fläche und Weg des Schwerpunktes dieser Fläche.“]

Guldin also hält Cavalieri vor, daß, wenn man in einem beliebigen Dreieck ABC die Höhe BD fälle, diese das Dreieck in zwei im allgemeinen höchst ungleiche rechtwinklige Dreiecke zerlege. Wenn man weiters Parallele zur Grundlinie ziehe und von den Schnittpunkten dieser Parallelen mit den Dreiecksseiten AB und BC Lote zur Grundlinie AC konstruiere, dann müßten diese Lote als Parallele zwischen Parallelen paarweise gleich sein. Dies könne man nun durch unendlich viele Parallelenziehungen unendlich oft wiederholen und finde hierdurch schließlich, daß sich das Dreieck ABD aus denselben Bestandteilen, aus ebendenselben Indivisibilien zusammensetze wie das ganz ungleich große Dreieck BCD, womit jeder Schluß von der Indivisibilienzusammensetzung auf die Endgröße der „Summa omnium linearum“, also der Summe unendlich vieler Geraden (Strecken) in sich zusammenbreche. Cavalieri antwortet im Jahre 1647 in den „Exercitationes geometricae sex“ auf diesen und auf andere Einwürfe und stellt bezüglich des von uns ausführlicher gebrachten Angriffs fest, daß er ausdrücklich gefordert habe, die Indivisibilien müßten sich paarweise in gleichem Abstand befinden, um Inhaltsgleichheit zu erzeugen. Gleichwohl ist diese Auseinandersetzung ein erschreckendes Fanal in der Nacht der Unendlichkeitsbetrachtungen. Denn so richtig die Ent gegnung Cavalieris ist, so unwiderleglich ist der Einwurf Guldins. Wir bewegen uns bei der Annahme aktualer Unendlichkeit sofort in lauter Gegengesetzlichkeiten (Antinomien), und auch die Mengenlehre, die zur Überbrückung solcher Antinomien geschaffen wurde, hat uns erst in jüngster Zeit durch die Forschungen Zermelos, Hausdorffs und anderer in noch ärgere Paradoxien gestürzt.

Wir sind aus Raumgründen und infolge des Wesens unserer Epochengeschichte leider nicht imstande, eine nur halbwegs vollständige Entwicklungsgeschichte der Infinitesimalmathematik zu geben. Wir müssen uns deshalb mit dem Hinweis begnügen, daß nach Kepler und Cavalieri das Problem durchaus nicht aus dem Gesichtsfeld der Mathematiker entschwand.

Im Gegenteil: eine fast ununterbrochene Kette von Einzelleistungen schließt sich den von uns erwahnten Anfangen an, und die Namen Fermat, Pascal, James Gregory, Wallis stehen mit diesen Problemgruppen im Zusammenhang, wobei besonders hervorzuheben ist, daß dem Engländer Wallis der Ruhm gebührt, das Problem des „Grenzüberganges“, d. h. also das Problem des Überganges vom Endlichen zum Unendlichen und umgekehrt, in voller Breite durchschaut und aufgerollt zu haben.

Wir müssen aber anderseits - und dies ist einer der Hauptgründe, warum wir auf diese Einzelleistungen nicht näher eingehen -, wir müssen also feststellen, daß es sich dabei meistens tatsachlich bloß um Einzelleistungen handelt, die außerdem nur die eine Seite der Unendlichkeitsrechnung, nämlich die Integralrechnung, also die Aufgaben der Quadraturen, Kubaturen und Rektifikationen von Kurven betrafen. Es heißt also auch nicht mehr, wenn gesagt wird, daß sowohl Newton als Leibniz eigentlich die Unendlichkeitsrechnung nicht zu entdecken gehabt hatten, denn sie sei bereits vorgelegen. Gewiß, der Gedanke der Integration lag vor. Das ist um so weniger zweifelhaft, als er ja schon bei Archimedes vorlag. Es ist aber doch etwas mehr als ein oberflächlicher Unterschied, wenn man bis auf Newton und Leibniz ganze Bände brauchte, um einige wenige bestimmte Fälle von Integrationen zu berechnen, oder wenn man in wenigen Worten eine vollständig allgemeine Methode aufstellt, die es uns gestattet, jedes beliebige derartige Problem in Angriff zu nehmen. Wir stehen eben wieder vor einem Wesensunterschied, der etwa dem Unterschied zwischen den „Koordinaten“ des Apollonios und des Descartes entspricht.

Wir haben einige Male „Newton und Leibniz“ gesagt, als ob es sich um eine gemeinsame Entdeckung handelte. Mit diesem „und“ aber berühren wir einen der verwickeltsten Prioritätsprozesse, die die Wissenschaftsgeschichte aufzuweisen hat. Noch in jüngster Zeit fanden sich ansonst ernst zu nehmende Mathematikhistoriker wie Eneström, die an eine Entscheidung des Prioritätsstreites nicht glauben und das üble Licht, das zwei Jahrhunderte über Leibniz lag, gerne weiterbestehen ließen. Wir werden also in diesem Kapitel doppelt vorsichtig und genau zu Werke gehen müssen, um das wirklich Wesentliche herauszustellen und auch das eigentlich Widersinnige des Prioritätsstreites zu beleuchten. Dazu aber genügt nicht allein die objektive Problemlage, sondern wir müssen die persönlichsten Komponenten Leibnizens zu durchdringen versuchen.

Leibniz wurde im Jahre 1646, also zwei Jahre vor dem Westfälischen Frieden, der dem Dreißigjährigen Krieg ein Ende setzte, zu Leipzig als Sohn eines angesehenen Universitätsprofessors geboren. Schon in frühester Jugend zeigte er unwahrscheinliche geistige Fähigkeiten, die allerdings in seiner Vaterstadt nicht anerkannt wurden, weshalb er in Nürnberg, das ihn freundlich aufnahm, zum Doktor der Rechte promovierte. Dort auch lernte er den Staatsmann Baron Boineburg kennen, was für ihn schicksalhaft wurde. Er trat zuerst in dessen persönliche Dienste, dann in den Dienst des Kurfürsten von Mainz, des Landesherrn Boineburgs, und ging in kurmainzischer diplomatischer Mission im März 1672 nach Paris. Dort geriet er rasch in den Brennpunkt des geistigen Lebens, wurde mit dem Physiker und Mathematiker Huygens, den Schriften Pascals und Descartes” bekannt und lernte auch gelegentlich einer Reise nach England berühmte englische Mathematiker kennen. So sehr nun auch diese äußeren Umstände auf sein geistiges Schaffen einwirkten, ist es nach unserer Ansicht doch viel mehr seine innere Strukturierung gewesen, die das Wunder seiner Entdeckungen veranlaßte. Die Zeit war reif geworden, den letzten algorithmischen Ansturm zu wagen, insbesondere für einen Leibniz, der schon als Jüngling von einer „allgemeinen Charakteristik“, von einem Logikkalkül geträumt hatte, welcher uns als allgemeine Denkmaschine in den Stand setzen sollte, auf alle Fragen eine gleichsam automatisch erzeugte Antwort zu erhalten. Eine „Cabbala vera“, eine „lullische Kunst“ sollte uns führen, eine „ars inveniendi“ und „ars combinatoria“. Also eine spezifische Entdeckungskunst und eine Kombinationskunst. Wir sehen hier zum ersten Male das algorithmische Ideal in vollster Allgemeinheit und vollster Bewußtheit aufgerichtet. Und dazu mit einer zähen Planmäßigkeit, die sich in kurzer Zeit in mehr als einer Tat bewies.

Also noch einmal und so deutlich als möglich: der kaum der Kindheit entwachsene Leibniz ging durchaus nicht darauf aus, ein Mathematiker zu werden. Er war vielmehr von universellstem Wissensdurst verzehrt und von einem auch rein äußerlichen Tatendrang, der ihm in die politischen Geschicke Polens einzugreifen gebot und ihm den Mut gab, zugunsten der deutschen Sicherheit dem Sonnenkönig Ludwig XIV. eine Expedition nach Agypten vorzuschlagen. Leibniz war zu dieser Zeit fast ausschließlich Philosoph und Jurist, vielleicht noch Historiker, Chemiker, Physiker und Theologe. Die ungeheure Vielfalt des Wissens, die Durchdringung gewordener Wissenschaft aber genügte ihm nicht. Er wollte mehr, viel mehr. Und wie Goethes Faust des „Nostradamus altes Buch“ aufschlägt, wie er seine Wißbegier mit Zauberei verschwistert, suchte der junge Leibniz, der faustischeste aller Geister, nach der wahren Kabbala. Geschult und erfahren durch antike und scholastische Literatur, beschwor er den Geist des Raimundus Lullus herauf, bei dem er eine deutliche Andeutung des einzuschlagenden Weges gefunden zu haben glaubte. Es mußte - das war Leibnizens Überzeugung - möglich sein, in umfassendster Art durch Kombination aller einfachen Dinge die zusammengesetzteren zu gewinnen, wobei man noch den Vorteil hatte, daß einem auf diesem synthetischen, zusammenfügenden Entdeckungswege nichts entschlüpfen konnte.

Es ist klar, daß Leibniz, auch bevor er nach Paris kam, elementare Kenntnisse der Mathematik besaß. Aber, auch das ist bezeugt, tatsächlich nur höchst elementare. Daher ist es mehr als verständlich, daß ihn in Paris ein geistiger Rausch überkam, als er sah, wie viel an bereits Geschaffenem seinem Vorhaben willig entgegenströmte. Die tiefere Mathematik, insbesondere die Gartesische Algebra, die Logarithmen, die Analytik, die Bemühungen um Reihenentwicklungen, Cavalieris Indivisibilien, die Imaginarzahlen, all das mußte ihm wie Offenbarungen erscheinen. Und er berichtet selbst über die Entdeckungs-Schauer, die ihn überliefen, als er fand, daß

$\textstyle {\sqrt {1+{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt {1-{\sqrt {-3}}}}={\sqrt {6}}$ sei.

Gut, er erzählt uns die Anekdote, wie er dieses Resultat Huygens zeigte und dieser darüber sehr erstaunt war, in klaren, schlichten Worten. Aber hinter diesen Worten fühlt man die Erregung zittern, die ein solches Ergebnis in Leibniz aufwühlen mußte. Denn hier lag eine ungeheure Bestätigung seines eigentlichsten Lebenszieles vor seinen Augen. Der Algorithmus, die Denkmaschine hatte es zustande gebracht, daß die Summe zweier Wurzeln aus „komplexen Zahlen“, wie wir heute sagen, also die Summe zweier durchaus unverständlicher und unvorstellbarer Ausdrücke, ein zwar noch irrationales, gleichwohl jedoch unleugbar greifbares Resultat lieferte.

Wie gesagt, dürfen wir bei Einzelheiten leider nicht verweilen. Wir wollen nur anmerken, daß Leibniz in dreifacher Art den Algorithmus als solchen ausbaute. Zuerst durch die Erfindung der Rechenmaschine, deren Konstruktion in den wesentlichsten Einzelheiten auch noch den heutigen Maschinen zugrunde liegt. Er war allerdings nicht der erste Ideenbringer auf diesem Gebiet, sondern setzte zum Teil die Gedanken Pascals fort. Jedoch war seine Maschine sicherlich weit vollkommener als die funktionsunfahige Konstruktion Pascals. Wir sehen hier vom praktischen Nutzen der Rechenmaschine ganz ab. Wir betonen nur, daß sie gleichsam das Stahl und Zahnrad gewordene Sinnbild Leibnizscher Algorithmussehnsucht war. Auch bei der Maschine leistete ja eine verborgen bleibende kombinatorische Kunst die Rechnung, schnurrten Räder ab, die man ein für alle Male konstruiert hatte. Zwischen Frage und Lösung lag der selbsttatige Mechanismus, lag die Brücke des Algorithmus. Dieser erste große Triumph, der sichtbar bestätigte, was Leibniz anstrebte, befeuerte ihn zu neuen Taten. Er versuchte sich in einem zweiten, weit verwickelteren Mechanismus, der es endlich ermöglichen sollte, das arithmetische Gegenstück zu den Exhaustionsversuchen der Alten zu bilden. Dieses Anpürschen an die irrationalen und transzendenten Zahlen, denen man ja schon durch Dezimalbruchentwicklungen hatte zu Leibe rücken wollen, konnte nur durch Reihen erfolgen. Und es liegt daher ganz auf der Linie Leibnizscher Gedankengänge, wenn er den Algorithmus der Reihen ausbildete, wo er auf derartige Probleme stieß. Und es ist bekannt, obgleich auch hierin andere Prioritatsansprüche erhoben wurden, daß Leibniz wahrend seines Pariser Aufenthaltes die auch heute noch nach ihm benannte unendliche Reihe entdeckte. Diese sogenannte „Leibniz-Reihe“, die aus einer Reihenentwicklung der Arcustangensfunktion sich herleitet,

gibt bei $x=1$ für $\textstyle {\frac {\pi }{4}}$

den Wert $\textstyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...$

Allerdings eignet sich diese Reihe nicht besonders zur tatsächlichen Berechnung von az, was nichts daran ändert, daß sie tiefe theoretische Einblicke in den Bau dieser Funktionen vermittelt.