Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Tránsito/Teoría de un Tránsito Planetario por el Sol y Cálculo de los Elementos Besselianos

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Teoría de un Tránsito Planetario por el Sol y Cálculo de los Elementos Besselianos[editar]

Plano Fundamental o Principal de Referencia según Friedrich Wilhelm Bessel

Plano Fundamental o de Referencia según Friedrich Wilhelm Bessel


Ocurrencia de un Tránsito por el Sol[editar]

Habiendo hallado, por interpolación, el instante de la mínima distancia angular del centro del Planeta (Mercurio o Venus) con el centro del Sol en la Conjunción Inferior [1], se procede al cálculo de la distancia siendo perpendicular al Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio hacia el centro de la Tierra que corre por el Plano Fundamental o de Referencia, esto es, el valor de γ (gamma) en [Radios Terrestres], siendo positivo (+) hacia el Norte del centro de la Tierra y negativo (-) hacia el Sur:

γ = (((ΔTP * Seno(ΔPS)) / Seno((90 - (ΔPS))) / 6.378,14     (1) [2]

Donde ΔPS es la mínima distancia angular en [°] entre el Planeta (Mercurio o Venus) y el Sol y ΔTP es la distancia en [kms] entre la Tierra y el Planeta (Mercurio o Venus) en ese mismo instante.

Luego se determina si ocurre o no un Tránsito por el Sol, según la siguiente condición:

Si -0,9972 < γ < 0,9972 entonces hay un Tránsito por el Sol. Para los tránsitos tangenciales al limbo solar se debe considerar la suma del semidiámetro del Planeta (Mercurio o Venus) al valor de γ.

Contactos Exteriores e Interiores del Planeta (Mercurio o Venus) con el Sol[editar]

Contactos Exteriores e Interiores del Planeta con el Sol

Entonces, en un Tránsito por el Sol:
Contactos Interiores del Planeta con el Sol si el observador está en F (DB) o en H (CA).
Contactos Exteriores del Planeta con el Sol si el observador está en E (CB) o en I (DA).
El Tránsito Medio ocurrirá si el observador está en G.
Vp es el vértice del "Cono Penumbral" del Planeta.
Vu es el vértice del "Cono de la Sombra (Umbra)" del Planeta.

Ecuaciones Fundamentales y Cálculos de los Elementos Besselianos. Ejemplos prácticos según el Tránsito de Mercurio por el Sol del 09.05.2016[editar]

Plano Fundamental o Principal de Referencia según Bessel[editar]

En la primer figura se describe el Plano Fundamental o Principal de Referencia según Bessel que pasa por el centro de la Tierra y siendo siempre perpendicular al Eje del "Cono de Sombra" de Mercurio. La línea OZ es paralela a tal Eje y tiene su origen también en el centro de la Tierra, y apunta hacia la esfera celeste, a una Coordenada Ecuatorial Geocéntrica: Ascensión Recta y Declinación del punto Z.

Con el fin de determinar las Coordenadas Rectangulares de Mercurio y del Sol, el eje de las x va desde el centro de la Tierra hacia el Punto Equinoccial Vernal (Marzo), el eje de las y a 90° del eje de las x y es positivo (+) hacia el punto del Ecuador cuya Ascensión Recta es igual a 90°. El eje de las z es positivo (+) si apunta hacia el hemisferio Norte Celeste.

Efemérides de Mercurio y del Sol[editar]

Sabiendo que la Conjunción Inferior Sol-Mercurio, en Ascensión Recta, ocurre a las 15:00:00 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time) [3] tomamos 9 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 15 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±4 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 11 hs., 12 hs., 13 hs., 14 hs., 15 hs., 16 hs., 17 hs., 18 hs. y 19 hs. (GMT).

Ambos astros están en Coordenadas Ecuatoriales Geocéntricas tomadas de las Efemérides diarias (00:00 GMT), y publicadas, por ejemplo, por The Astonomical Almanac donde las Ascensiones Rectas (α) de Mercurio y las del Sol están en el formato Hora, Minutos y Segundos, y las Declinaciones (δ) de Mercurio y las del Sol en el formato °, ' y ". También desde estas efemérides se toman la Paralaje Ecuatorial Horizontal de Mercurio π en [°] y la distancia r' Tierra-Sol en [U.A.].

Elementos de Bessel

Coordenadas Ecuatoriales Geocéntricas del Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio o del punto Z[editar]

Según la siguiente tabla se tienen las Constantes:
Elementos de Bessel

Calcular

b = Seno(π₀) / (r' * Seno(π))     (2)

luego g y G siendo esta última la distancia Mercurio-Sol (Centro a Centro) en [U.A.]

g = 1 - b     (3)
G = r' * g     (4)

después calcular la Ascensión Recta del punto Z o del Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio

a = α' - (b / ((1 - b) * Seno(δ'))) * Coseno(δ) * (α - α')     (5)

y la Declinación del punto Z o del Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio

d = δ' - (b / (1 - b)) * (δ - δ')     (6)

Elementos de Bessel[4]

Coordenadas Rectangulares de Mercurio x,y,z[editar]

Calcular primero r la distancia Tierra-Mercurio (Centro a Centro) en [Radios Terrestres]

r = 1 / Seno(π)     (7)

luego las Coordenadas Rectangulares Geocéntricas de Mercurio x,y,z

x = r * Coseno(δ) * Seno(α - a)     (8)
y = r * Seno(δ - d) * Coseno((α - a) / 2)^2 + r * Seno(δ + d) * Seno((α - a) / 2)^2     (9)
z = r * Coseno(δ - d) * Coseno((α - a) / 2)^2 - r * Coseno(δ + d) * Seno((α - a) / 2)^2     (10)

Elementos de Bessel

Ángulo y Radio del "Cono de la Penumbra" de Mercurio (Contactos Exteriores)[editar]

Calcular el ángulo f₁ con vértice en Vp

f₁ = Aseno((Seno(H) + k * Seno(π₀)) / (r' * g))     (11)

luego c₁ u OVp que es la distancia desde el vértice del "Cono de la Penumbra" de Mercurio Vp hasta el Plano Fundamental o Principal de Referencia (O), por lo tanto siendo siempre positiva (+).

c₁ = z + k / Seno(f₁)     (12)

después el valor de i₁

i₁ = Tan(f₁)     (13)

y por último el Radio del "Cono de la Penumbra" de Mercurio l₁ (JO) sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia

l₁ = i₁ * c₁     (14)

Elementos de Bessel

Hora Sidérea Aparente y Ángulo Horario de Z en Greenwich (ω = 0)[editar]

Primero tomar de las Efemérides, por ejemplo del The Astonomical Almanac, la Hora Sidérea Aparente μ (00:00 GMT) y en [hms], luego calcularlas en [°] multiplicándolas por 15 (μ⁰). Después hallar el Ángulo Horario μ₁ siendo el ángulo horario del punto Z o Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio también en Greenwich (ω = 0)

μ₁ = μ⁰ - a     (15)

Elementos de Bessel

Coordenadas Rectangulares del Observador ξ,η,ζ[editar]

Calcular primero φ' en [°], ρ en [Radios Terrestres], θ en [°], B en [°] y A

φ' es la Latitud Geocéntrica según la siguiente fórmula

φ' = Atan((Seno(φ) * (1 - e^2)) / Coseno(φ))     (16)

donde φ es la Latitud Geográfica y e es la Excentricidad Terrestre según la tabla de las Constantes mencionada más arriba, o bien

e = (1 - b^2 / a^2)^0,5     (17)

siendo a el Radio Ecuatorial Terrestre y b el Radio Polar Terrestre, ambos ejes de la Elipsoide Terrestre también dados en la tabla de las Constantes mencionada más arriba.

ρ es la distancia en [Radios Terrestres] desde el Centro de la Tierra hasta la Latitud del Observador, siendo prácticamente constante en todo el tránsito

ρ = 0,99833132881 + 0,0007271 * Coseno(2 * φ) - 0,0000018 * Coseno(4 * φ)     (18)
θ = μ₁ - ω     (19)

donde ω es la Longitud del Observador hacia el Oeste (W) desde Greenwich (0° - 360°) y θ el Ángulo Horario del punto Z o del Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio.

B = Atan(Seno(φ') / (Coseno(φ') * Coseno(θ)))     (20)
A = ρ * Seno(φ') / Seno(B)     (21)

por último, calcular las Coordenadas Rectangulares del Observador ξ,η,ζ

ξ = ρ * Coseno(φ') * Seno(θ)     (22)
η = A * Seno(B - d)     (23)
ζ = A * Coseno(B - d)     (24)

donde ξ,η corresponden al Plano Fundamental o Principal de Referencia (equivalentes a las x,y de Mercurio).

Los valores de los cambios horarios para ξ,η,ζ están dados por

ξ' = μ' * Seno(1) * ρ * Coseno(φ') * Coseno(θ)     (25)
η' = μ' * Seno(1) * ξ * Seno(d) - d' * Seno(1) * ζ     (26)
ζ' = -μ' * Seno(1) * ξ * Coseno(d) + d' * Seno(1) * η     (27)

Los valores μ', d y d' los podemos encontrar en las tablas correspondientes (más arriba)

Elementos de Bessel

Ecuación Fundamental de los Tránsitos Planetarios por el Sol[editar]

Calcular la distancia Δ en [Radios Terrestres] medida desde el Observador hasta el Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia, siendo la Ecuación Fundamental de los Tránsitos Planetarios por el Sol

Δ = ((x - ξ)^2 + (y - η)^2)^ 0,5    (28)



Otros Cálculos de Elementos Besselianos[editar]

Cálculo de: a₁', b' y c₁' [editar]

a₁' = -l₁' - μ' * Seno(1) * i₁ * x * Coseno(d)     (29)
b' = -y' + μ' * Seno(1) * x * Seno(d)     (30)
c₁' = x' + μ' * Seno(1) * (y * Seno(d) + i₁ * l₁ * Coseno(d))     (31)

Los valores μ', d, l₁, i₁, x, y, x' e y' los podemos encontrar en las tablas correspondientes (más arriba)

Elementos de Bessel

Cálculo de: E, e, F y f[editar]

E = Atan(b' / c₁')     (32)
e = b' / Seno(E)     (33)
F = Atan(d' / (μ' * Coseno(d))     (34)
f = (d' * Seno(1)) / Seno(F)     (35)

Los valores μ', d y d' los podemos encontrar en las tablas correspondientes (más arriba)

Elementos de Bessel

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Notas de referencia[editar]

  1. Con las siguientes fórmulas y con las efemérides del The Astonomical Almanac hallar la distancia angular ΔPS (Planeta-Sol - elongación [°]) para todos los días del año (00:00 GMT):

    ΔPS = Seno(δS) * Seno(δP) + Coseno(δS) * Coseno(δP) * Coseno((αS – αP) * 15)
    ΔPS = (Atan(-ΔPS / (1 - ΔPS^2)^0,5) + 2 * Atan(1))
    Si ΔPS < 0,166666666666666 entonces
    ΔPS = (((αP - αS) * 15 * Coseno((δP + δS) / 2))^2 + (δS - δP)^2)^0,5
    FinSi

    Ambos astros, del Planeta (Mercurio o Venus) αP y del Sol αS están en el formato Hora, Minutos y Segundos, y las Declinaciones del planeta (Mercurio o Venus) δP y del Sol δS en el formato °, ' y ".
    Luego, interpolar con tres pares de valores tabulares (click en la imagen) para hallar un extremo, aquí la mínima distancia angular Planeta-Sol (ΔPS) en la Conjunción Inferior y su instante:
    Elementos de Bessel
  2. De ahora en más, en todas las funciones trigonométricas: Seno, Coseno y Tan los ángulos expresados en radianes deberán pasarse a grados multiplicándolos por π/180. Las funciones Aseno, Acoseno y Atan por 180/π
  3. También, por interpolación, hallar la conjunción del planeta (Mercurio o Venus) con el Sol cuando tienen las mismas Ascensiones Rectas. Esto se puede hacer asignando en una variable la diferencia entre Ascensiones Rectas y al cambio de signo interpolar con 0 (cero) y allí nos dará el tiempo de la conjunción. Ver Interpolación con tres pares de valores tabulares (Nota de Referencia N° 1).
  4. Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel