Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Tránsito/Primer y Último contacto Exterior de Mercurio con el Sol

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Ir a la navegación Ir a la búsqueda
Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente

Primer y Último contacto Exterior de Mercurio con el Sol[editar]

Se calcularán los tiempos extremos de los contactos exteriores e interiores, siendo cuatro los casos posibles: dos exteriores, uno justo cuando el Tránsito por el Sol comienza en la salida del Sol y el otro cuando el Tránsito por el Sol finaliza en la puesta, y dos interiores, cuando el Tránsito por el Sol finaliza en la salida del Sol y el otro cuando el Tránsito por el Sol comienza en la puesta.

En el caso del primer y último contacto exterior el Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio está fuera de la superficie de la Tierra y sólo la Sombra Penumbral (la Generatriz del Cono Penumbral) es tangente en el horizonte. Se tiene entonces:

m = (x^2 + y^2)^0,5 = p + l₁    (36)

Donde x e y son las Coordenadas Rectangulares de la Luna, donde p en [Radios Terrestres], en la primer aproximación será igual a 1.

En el caso del primer y último contacto interior ocurre cuando la totalidad de la Sombra Penumbral se ubica dentro de la Tierra, es decir toda la Sombra Penumbral sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia, por lo tanto:

m = p - l₁    (37)

Para el Tránsito de Mercurio por el Sol del 09.05.2016 y sabiendo que la Conjunción Inferior Sol-Mercurio, en Ascensión Recta, ocurre a las 15:00:00 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time) [1] tomamos 9 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 15 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±4 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 11 hs., 12 hs., 13 hs., 14 hs., 15 hs., 16 hs., 17 hs., 18 hs. y 19 hs. (GMT).

Comenzamos entonces calculando M₀ en [°] donde x e y para T₀ = 15 hs.

M₀ = Atan(x / y)    (38)

el ángulo M₀ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si y es negativo sumar 180° a M₀ para que luego m₀ sea positivo (+).

Luego m₀

m₀ = x / Seno(M₀)    (39)

Calculamos después N en [°] donde x' e y' son las diferencias derivadas de las Coordenadas Rectangulares de la Luna también para T₀ = 15 hs.

N = Atan(x' / y')    (40)

el ángulo N debe estar comprendido entre 0° y 180°. Si y' es negativo sumar 180° a N para que luego n sea positivo (+).

Luego n

n = x' / Seno(N)    (41)

Los contactos interiores no ocurren cuando

(p - l₁) < m₀ * Seno(M₀ - N)    (42)

donde l₁ para T₀ = 15 hs.

Entonces, en este ejemplo con el Tránsito de Mercurio por el Sol del 09.05.2016 la condición contraria se cumple, es decir los contactos interiores si ocurren, por lo tanto se calcularán primero los contactos exteriores en este capítulo. En el capítulo siguiente los contactos interiores.

Como primera aproximación, calcular con p = 1

p + l₁    (43)

después calcular ψ en [°]

ψ = Aseno(m₀ * Seno(M₀ - N) / (p + l₁))    (44)

Luego Δ en [hms]

Δ = -m₀ * Coseno(M₀ - N) / n    (45)

Por lo tanto, en la primera aproximación, los Tiempos en [hms (GMT)] del Comienzo y Fin del Tránsito de Mercurio por el Sol tanto en la Salida como en la Puesta (contactos exteriores) serán:

Comienzo T₁ = T₀ + Δ - (p + l₁) * Coseno(ψ) / n     (46)
Fin T₂ = T₀ + Δ + (p + l₁) * Coseno(ψ) / n     (47)

donde Coseno(ψ) puede ser tomado con signo tanto (+) como (-), siendo el primero para el comienzo y el segundo para el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol (contactos exteriores).

En el caso de haber contactos interiores (que en este ejemplo si los hay, cálculo en el capítulo siguiente), reemplazar (p + l₁) con (p - l₁) en (44), (46) y en (47).

Tomamos luego ψ para el comienzo del Tránsito de Mercurio por el Sol, es decir el primer contacto exterior

ψ = 180 - ψ    (48)

y 360 + ψ para el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol, es decir el último contacto exterior.

Seguido calculamos γ en [°], para el comienzo y el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol con sus correspondientes ψ, entonces

γ = N + ψ    (49)

hallamos el correspondiente d, siendo la Declinación del Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio o del punto Z, y calcularlo para el comienzo y fin interpolando [2] en la tabla "Coordenadas Eje del "Cono de Sombra" de Mercurio o del Punto Z" (más abajo) con el siguiente argumento τ.

Para el comienzo:

τ = Δ - (p + l₁) * Coseno(ψ) / n    (50)

Para el fin:

τ = Δ + (p + l₁) * Coseno(ψ) / n    (51)

Luego calcular ρ₁ en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según d, anteriormente hallado para cada uno, y con la siguiente fórmula

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (52)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo).

Seguido calculamos γ' en [°] para el comienzo y fin según γ y ρ₁, anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

γ' = Atan(ρ₁ * Tan(γ))    (53)

γ y γ' deben ser ángulos comprendidos entre 0° y 360° con cantidades similares entre sí, por lo tanto llevar γ' al cuadrante correspondiente como lo está γ.

El nuevo p en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según γ y γ' , anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

p = Seno(γ') / Seno(γ)    (54)

luego hallamos los nuevos l₁, x' e y' para el comienzo y fin interpolando [2] en cada tabla correspondiente (más abajo) y con el argumento τ de las fórmulas (50) y (51).

Comenzamos con una segunda aproximación nuevamente desde la fórmula (40) hasta la (47) tanto para el comienzo como para el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol. En el transcurso del cálculo nos dará los tiempos T₁ y T₂ ya ajustados. Recordar que las nuevas interpolaciones se realizarán también con el nuevo argumento de τ actualizado con los nuevos valores recientemente hallados en esta segunda aproximación.

Después calculamos el instante del Tránsito Medio en [hms (GMT)], entonces:

Tránsito Medio = T₀ + Δ     (55)

Δ lo tomamos de la fórmula (45) y T₀ = 15 hs.

Luego el Tiempo Total del Tránsito en [hms (GMT)] calculando la diferencia entre T₂ y T₁, por lo tanto

Tiempo Total del Tránsito = T₂ - T₁    (56)

Calculamos finalmente la Distancia Mínima entre el Centro de Mercurio y el Centro del Sol. Tomamos las Ascensiones Rectas y las Declinaciones desde la tabla de las Efemérides de Mercurio y del Sol, en el siguiente ejemplo práctico, para hallar para cada Tᵢ la distancia entre los centros de ambos astros (de Mercurio y del Sol), luego se halla por interpolación y como argumento el Tiempo del Tránsito Medio [1], la Mínima Distancia entre ambos centros.

Ejemplo práctico:[editar]

Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valores[editar]

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de un Tránsito Planetario por el Sol y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel[2] Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

Capítulo Anterior Contenidos Capítulo Siguiente
Cálculo de un Tránsito
Capítulos
01 02 03
04 05 06

Notas de referencia[editar]

  1. 1,0 1,1 Con las siguientes fórmulas y con las Efemérides del Sol y de Mercurio hallar la distancia angular ΔPS (Planeta-Sol [°]) para las 9 horas, desde las 11:00 hs. hasta las 19:00 hs. (GMT):

    ΔPS = Seno(δS) * Seno(δP) + Coseno(δS) * Coseno(δP) * Coseno((αS – αP) * 15)
    ΔPS = (Atan(-ΔPS / (1 - ΔPS^2)^0,5) + 2 * Atan(1))
    Si ΔPS < 0,166666666666666 entonces
    ΔPS = (((αP - αS) * 15 * Coseno((δP + δS) / 2))^2 + (δS - δP)^2)^0,5
    FinSi

    Ambos astros, del Planeta (Mercurio o Venus) αP y del Sol αS están en el formato Hora, Minutos y Segundos, y las Declinaciones del planeta (Mercurio o Venus) δP y del Sol δS en el formato °, ' y ".
    1) Por interpolación, hallar la conjunción inferior de Mercurio con el Sol, es decir cuando tienen las mismas Ascensiones Rectas. Esto se puede hacer asignando en una variable la diferencia entre Ascensiones Rectas y al cambio de signo interpolar con 0 (cero) y allí nos dará el tiempo de la conjunción.
    2) La Mínima Distancia entre ambos centros se halla también por interpolación y como argumento el Tiempo del Tránsito Medio según la fórmula Polinómica de Lagrange para tres pares de valores x,y.
    Elementos de Bessel
  2. 2,0 2,1 2,2 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel