Álgebra Abstracta/Tipos de Dominios

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Álgebra Abstracta



Introducción[editar]

El anillo de los Enteros es un dominio (de integridad) con algunas propiedades muy interesantes tales como la división euclídea, la factorización de manera única en primos y que sus ideales son todos principales.

Analizaremos dichas propiedades y sus relaciones. Para hacer lo anterior, estudiaremos tres categorías de dominios: dominios euclídeos (que tienen algo parecido al resultado de algoritmo de la división de Euclides), dominios de ideales principales (DIPs) y dominios de factorización única (DFUs).

Tal estudio estará fundamentado principalmente en las relaciones de divisibilidad y las propiedades de primos e irreducibles.

Veremos que, en general, se cumple que dominios euclídeos son DIPS y que los DIPs son DFUs, lo que se ilustra en la figura siguiente. En la última sección, mostraremos que las relaciones de inclusión entre esas clases son estrictas, es decir hay DIPs que no son euclídeos y DFU que no son DIPs.

TiposDeDominios.jpg

Nuestros principales ejemplos serán los Enteros, los anillos de polinomios sobre un cuerpo y los subanillos de los Complejos de la forma

Resultará muy interesante ver que la aritmética en esos últimos dominios es dependiente del entero En algunos casos, por ejemplo tendremos que irreducibles siempre será primos, pero en otros no.

Hay una sección completa dedicada a los Enteros Gaussianos, . Además de proveernos con una serie de interesantes y bellos resultados, es una muestra del genio de Gauss.

En este capítulo, para indicar que y son asociados, escribiremos

Los Dominios de Factorización Única, DFUs[editar]

Recordemos que llamamos dominio de factorización única a un dominio donde cada elemento no nulo que no es una unidad puede escribirse como un producto de irreducibles, donde los irreducibles y las veces que aparecen son únicas, excepto por asociados. Decimos que ese producto es una descomposición del elemento en producto de irreducibles. Esto quiere decir que, es un DFU, ssi,

  1. cada elemento de que no es ni nulo ni unidad, es un producto de elementos irreducibles, y
  2. si donde los 's y los 's son irreducibles, se cumple que y que, eventualmente después de una reenumeración de los 's, se cumplirá que

Nuestro ejemplo primero son los Enteros, donde el Teorema Fundamental de la Aritmética establece precisamente que se trata de un DFU.

Observación. Supongamos que el conjunto de elementos irreducibles de se haya particionado de acuerdo a las clases de equivalencia de la relación "es asociado con". En algunos casos, hay una manera natural de seleccionar un representante de cada clase. En tales casos, se puede utilizar dichos representantes para eliminar la referencia a asociados en el enunciado de la descomposición en producto de irreducibles.

  1. El anillo es un DFU. Sigue, de la definición general de irreducible, que si es irreducible también lo es y no hay otro asociado con él. Podemos seleccionar como representante de la clase al número positivo de la clase.
  2. El anillo de los polinomios con coeficientes en un cuerpo es un DFU (ver el Teorema A del capítulo La Factorización de Polinomios). En cada clase de equivalencia, siempre hay un polinomio mónico, al que podemos usar como representante predilecto de la clase.

Irreducibles en un DFU son primos

Sabemos que en un dominio cualquiera los elementos primos son irreducibles. Hemos visto ejemplos de dominios donde hay elementos irreducibles que no son primos, ver también en el ejemplo A de la sección de Contraejemplos. Sin embargo, cuando el dominio es DFU, se cumple que todos los irreducibles son primos como vimos en la proposición 2 del capítulo La Factorización de Polinomios.

El siguiente lema será usado más adelante.

Lema A. Sea un irreducible tal que divide a un elemento de un DFU Entonces, (o un asociado) aparece en cualquier descomposición en irreducibles de

    Demostración La hipótesis implica que hay un elemento de tal que Descomponiendo por la unicidad de la descomposición, tenemos que (o un asociado) aparece en la descomposición de


Proposición 1. (Existencia de mcd y mcm) Sea un DFU. Dos elementos no nulos siempre tienen mcd y mcm.

    Demostración (La demostración es el proceso usual para calcular el mcd y el mcm de dos números enteros cuando se conoce sus factorizaciones en números primos.) Sean y dos elementos no nulos de Sean la reunión de los irreducibles que aparecen en la descomposición de con los irreducibles que aparecen en la descomposición de Entonces, podemos poner que

    donde los 's y 's pueden ser positivos o cero (cero cuando el irreducible no aparecía en la descomposición en irreducibles del elemento). Sea Entonces, es un mcd de y

    Análogamente, pero usando el mayor exponente en cada descomposición, obtenemos el mcm; dejaremos al cuidado de lector la verificación de lo anterior.


En el ejemplo B de la sección de Contraejemplos, se muestra que es un dominio donde hay mcd de dos elementos, pero no mcm, por lo que ese dominio no puede ser un DFU,

Caracterización de los DFU[editar]

El objetivo de esta sección es obtener una caracterización de los DFU usando que irreducibles son primos y que se cumple la llamada condición de cadenas finitas de divisores propios que veremos a continuación

Cadenas Finitas de Divisores Propios

¿Cuántos divisores o factores propios tiene un elemento cualquiera? (Un divisor propio de un elemento es un divisor del elemento que no es una unidad o un asociado del elemento.)

Veamos la situación en un DFU. Sea un elemento que no es una unidad y sea un divisor propio de Entonces, hay un tal que Sean y las descomposiciones de y respectivamente. Entonces,

.

Sigue de la unicidad que cada uno de los debe aparecer en el lado izquierdo, es decir que hay un por lo que Es decir que cada factor propio está formado por un producto finito de los factores irreducibles de Por lo tanto, la cantidad total de factores de un elemento cualquiera es finita. Por lo que se cumple la siguiente proposición.

Proposición 2. En un DFU no hay una sucesión infinita de elementos tales que cada sea un factor propio de

Llamamos condición de cadenas finitas de divisores propios a la propiedad de la proposición.


El siguiente enunciado es una forma equivalente para la condición.

(CFD) En cualquier sucesión de elementos de tal que hay un tal que implica que


Usando esa noción, tenemos la siguiente proposición caracterizando a los DFUs. La demostración será una simple abstracción de una de las pruebas clásicas del Teorema Fundamental de la Aritmética.

Proposición 3. Sea un dominio cualquiera. Entonces, es un DFU, ssi,

  1. cada irreducible es primo y
  2. se cumple la condición de cadenas finitas de divisores propios.

    Demostración La necesidad de las condiciones ha sido probada con anterioridad, por lo tanto, solamente tenemos que probar que son suficientes. Primeramente, probaremos que para cada elemento no nulo y que no sea una unidad, tiene un factor irreducible, usando la condición de cadenas finitas. Si es irreducible, no tenemos nada que probar. Si no es irreducible, donde ni ni son unidades. Si alguno de ellos es irreducible, hemos hallado el factor irreducible. En caso contrario, donde ninguno de los factores es una unidad. Si uno de ellos es irreducible, hemos hallado el factor irreducible. Continuando de esta manera generamos una sucesión tal que cada elemento es un divisor propio del anterior, excepto por Por la condición de cadenas, el proceso se acaba, lo que muestra que el término donde la sucesión se estabiliza debe ser irreducible (ya que no tiene divisores propios).
    Veamos la existencia de la descomposición en irreducibles. Sea un elemento no nulo que no es una unidad. Por lo probado anteriormente, tiene un factor irreducible digamos por lo que para un cierto elemento Si fuera una unidad, habríamos hallado nuestra descomposición. En caso contrario, no es una unidad, por lo que tiene un factor irreducible tal que Si fuera unidad, habríamos hallado la descomposición. En caso contrario, buscaríamos un factor irreducible de Este proceso acaba en un número finito de pasos, ya que la sucesión genera una cadena de divisores propios

    la que no puede ser infinita por la hipótesis (ii).

    (Unicidad) Aquí usaremos que irreducibles son primos. Supongamos que tenemos dos descomposiciones que producen el mismo elemento. Digamos que

    (*


    donde los 's y los 's son irreducibles, y y son unidades. Como irreducibles son primos, es un primo que divide al producto de la derecha y, por lo tanto, divide a uno de ellos, digamos a Como ambos, y son irreducibles, deben ser asociados. Por reenumeración de los podemos suponer que Por ser donde es una unidad. Cancelando el factor común en ambos lados de (*), obtenemos que

    (**


    Repitiendo el proceso anterior cancelamos, con posiblemente después de otra reenumeración. Así, cancelaremos todos los irreducibles de la izquierda, ya que un irreducible no puede dividir a una unidad. Esto prueba que Pero, por la misma razón, no puede haber irreducibles a la derecha. Luego, y cada irreducible de un lado es asociado de uno en el otro lado.


Otra caracterización de los UFD

Veremos, a continuación, otra caracterización de los UFD usando la existencia de mcds en lugar de que los irreducibles sean primos.

Necesitaremos algunas propiedades de los MCD que revisaremos a continuación.

Sea un dominio tal que dos elementos no nulos siempre tienen MCD.

Lema B. Cualquier cantidad finita de elementos no nulos, tiene un MCD.

    Demostración Sea un conjunto finito de elementos de Si por la hipótesis hay un mcd de los elementos de Supongamos el resultado válido para conjuntos con elementos. Consideremos ahora el caso en que Por hipótesis hay un y un Claramente, es un divisor común de todos los 's. Sea un divisor común de todos los . tenemos, entonces que divide a y, en consecuencia, a . Luego, es un mcd buscado.


Lema C. (Asociatividad del MCD)

    Demostración Basta notar que ambos elementos son mcd de los elementos del conjunto


Lema D.

    Demostración Sea y Entonces, por lo que Luego para algún de Hay un tal que Luego, por lo que ; análogamente, Luego lo que implica que es una unidad. Es decir que


Lema E. Si y entonces,

    Demostración Si el lema anterior, implica que Además, Luego,


La siguiente proposición muestra que la condición de que los irreducibles sean primos es equivalente a que haya mcd de elementos.

Proposición 4. Sea un dominio cualquiera donde dos elementos no nulos cualesquiera tienen un mcd. Entonces, cada irreducible es primo.

    Demostración Sea un elemento irreducible de tal que Supongamos que y que Como es irreducible, lo anterior implica que y Por el lema E, lo que implica que Lo que contradice la hipótesis sobre . Luego, debe dividir a o a , o sea que es un elemento primo.


Tenemos, en forma inmediata, el siguiente resultado.

Corolario 4.1. (Segunda caracterización de los UFD) Un dominio es DFU, ssi,

(i). cada par de elementos tiene MCD y
(ii) se cumple la condición de cadenas finitas de divisores propios.

es UFD, cuando lo es.

Este resultado fue probado en el teorema A del capítulo 20. Tiene importantes consecuencias como que y cuerpo, son DFUs. Por inducción, sigue entonces que y (polinomios en varias indeterminadas) son DFUs.

Ejercicios[editar]

  1. Probar que la relación "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
  2. Sea un DFU. Probar que si entonces donde es el elemento tal que cuando
  3. Sea un DFU. Sean elementos de Probar que si y que entonces
  4. Escribir la prueba de que cuando es un DFU, entonces también lo es el anillo de polinomios sobre en indeterminadas,

Los Dominios de Ideales Principales[editar]

Recordemos que llamamos dominio de ideales principales, DIP a un dominio tal que cada ideal propio está generado por un elemento. Notemos que los cuerpos son trivialmente DIPS. También sabemos que y son DIPS (ver la proposición 19.2).

Proposición 5. Sea un DIP. Sea un elemento no nulo de Las siguientes propiedades son equivalentes:

  1. es primo;
  2. es irreducible;
  3. El ideal es maximal, por lo que es un cuerpo.

    Demostración La implicación (i) (ii) es general, ver la proposición 17.4. ((ii) (iii)) Supongamos que es un elemento irreducible de y sea tal que Si entonces o es un unidad. Si es un unidad, y son asociados, por lo que En caso contrario, es una unidad, por lo que Lo que prueba que el ideal es maximal. ((iii) (i)) Suponer que es un ideal maximal del dominio Entonces, es un cuerpo, por la proposición 17.6 Como cuerpos son dominios, el ideal es primo (proposición 17.7). Sigue, entonces, de la proposición 17.8 que es primo.


Sea un divisor propio de entonces lo que implica que está en Si estuviera en dividiría a por lo que y serían asociados. Luego, cuando es un divisor propio de es un subconjunto propio de

Sigue de la discusión anterior, que la condición de cadenas finitas de divisores propios es equivalente, en un DIP, a la siguiente condición:

Condición Noetheriana

Un dominio satisface la condición noetheriana [1], ssi, no hay una cadena infinita de ideales.

Equivalente, toda cadena de ideales ascendentes es finita.


Proposición 6. DIPS satisfacen la condición noetheriana.

    Demostración Sea una cadena ascendente de ideales tales que Sea la reunión de todos los es decir que

    Veamos que es un ideal. Sean en Por definición de reunion, hay tales que está en un y está en Sea entonces como e son subconjuntos de tenemos que están ambos en Como es ideal, tenemos que está en y que está en para todo en Por lo tanto, esos elementos están en por lo que es un ideal. Como es DIP, hay un tal que Supongamos que esté en Entonces, pero como es la reunión de los Luego, Por lo tanto, para todo se tiene que por lo que


Como lo anterior implica que se cumple la condición de cadena finita de divisores y que los irreducibles son primos, concluimos que

Proposición 7. Los DIPs son DFUs.

La siguiente proposición es la generalización del teorema de Bezout para los Enteros--- dados dos enteros no nulos, podemos expresar el mcd de ellos como una combinación lineal de dicho enteros.

Proposición 10. (Teorema de Bezout) Sea un DIP y sean y elementos no nulos de Entonces, hay un elemento que es un mcd de y Además, hay elementos tales que

    Demostración: Sean y elementos no nulos de un DIP Sea el ideal generado por dichos elementos, o sea Como todos los ideales de son principales hay un generador del ideal, o sea Por estar y en tenemos que es un divisor común de ambos. Por estar en hay elementos del anillo tales que
    (*


    Si es cualquier divisor común de y la relación (*) implica que divide a Luego, es un máximo común divisor de y


Ejercicios[editar]

  1. Sean y elementos de un DIP. Probar que el generador del ideal es un mcm de y
  2. Sea un entero primo. Sea Probar que es un DIP.
  3. Sea Sea Describir la estructura de (Escribir su tabla de multiplicación). Hallar un ideal maximal de
  4. Sea Probar que cada ideal de es principal. Hallar los ideales primos y maximales y verificar que no todos los ideales primos son maximales.
  5. Sea un DIP. Probar que un ideal primo es o o o un ideal maximal.

Los Dominios Euclídeos[editar]

Dijimos en la introducción que los dominios euclídeos representan la abstracción de la división euclídea en los Enteros. A continuación, tendremos la definición formal.

Definición. ({Dominio Euclídeo) Sea un dominio. Decimos que es un dominio euclídeo, ssi, hay una función (llamada el tamaño o la norma euclídea) tal que

  1. Si entonces y
  2. Para todo a,b en hay elementos y tales que

    con tal que o

Supongamos que es un dominio euclídeo con "tamaño" Como las unidades son divisores de cualquier elemento del dominio, tenemos que para todo unidad y no nulo, se cumple, por (i), que En particular, lo anterior es válido para ; pero como 1 es una unidad, para cualquier unidad Luego, para toda unidad Además, es el menor valor asumido por Es decir que el conjunto de los no nulo es un conjunto de números enteros acotado inferiormente por

Ejemplos de Dominios Euclídeos[editar]

Ejemplo.

El ejemplo prototipo es el dominio de los números enteros con En efecto, si hay un entero tal que ; de donde por lo que ya que Recordemos el teorema de la división euclídea que establece que para todo y enteros, podemos hallar únicos enteros y tales que con Claramente, de allí, sigue la segunda condición de la definición de dominio Euclídeo.


Ejemplo.

Sea el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo Veremos que se trata de un dominio euclídeo con tamaño o estructura euclídea dada por el \text{gr}ado de los polinomios.

Cuando y son polinomios tales que ninguno de ellos es nulo y entonces

Para los polinomios, se tiene, también, un teorema de la división análogo al de la división euclídea de los Enteros. Es decir, dados polinomios y no nulo, hay polinomios y tales que donde o Es decir que el anillo de polinomios es un dominio euclídeo, con tamaño definido por el \text{gr}ado de un polinomio.


Probaremos, a continuación, que todos los dominios euclídeos comparten con los Enteros, la propiedad de que cada ideal es principal.

Proposición 11. Sea un dominio euclídeo con norma euclídea Entonces, es un DIP (cada ideal es principal). Cuando el ideal no es nulo, su generador, tiene el menor tamaño entre los elementos del ideal.

    Demostración Sea un ideal no nulo. Sea entonces es un subconjunto de los enteros acotado inferiormente, por lo que tiene elemento minimal. Sea cualquier elemento de tal que es igual al elemento minimal de Entonces, para cualquier en se tiene que con o Como, implica que concluimos que es un elemento de Luego, ya que Concluimos que es un múltiplo de es decir que


Corolario 11.1. Los dominios euclídeos son DFUs.

Ejercicios[editar]

  1. Sea una estructura euclídea en un dominio Definamos por donde es un entero fijo. Probar que también es una estructura euclídea en Es decir que, sin perdida de generalidad, siempre se puede suponer que la estructura es tal que para todo elemento no nulo
  2. Sean y elementos de Hallar un máximo común divisor de y junto con enteros gaussianos tales que
  3. (Primos en ) Sea un elemento primo de tal que Probar que o es un entero primo de la forma En caso contrario, probar que donde es un entero primo de la forma ¿Cuáles enteros primos son primos Gaussianos?
  4. Sea un raíz cúbica de la unidad. es un dominio de integridad. Sea
    1. Sea Probar que y que
    2. Probar que en es una unidad, ssi,
    3. Probar que si es un entero primo, entonces es irreducible en
    4. Probar que es irreducible.
    5. Probar que es un dominio euclídeo.
  5. Sea un dominio euclídeo. Probar que podemos computar el mcd de dos elementos usando un algoritmo análogo al existente por los enteros.

Los Enteros de Gauss[editar]

Recordemos que llamamos enteros de Gauss o enteros gaussianos a los elementos del dominio

En esta sección estudiaremos detalladamente el dominio de los enteros gaussianos. Además de su importancia como uno de los primeros dominios de números no tradicional, nos servirá para ilustrar diversas técnicas al trabajar con dominios euclídeos (ya que probaremos que lo es). Llamamos la atención, también, a observar las relaciones que hay entre la aritmética de este dominio y la teoría de los números enteros ordinarios.

Recordemos que llamamos norma del entero gaussiano al número entero denotado y definido como Se verifica que es multiplicativa, o sea que Cuando se cumple que (lo que gráficamente es el cuadrado de la distancia del punto al origen en el plano cartesiano). Notemos que si entonces

Empezaremos nuestro estudio con la siguiente proposición.

Proposición 12. Los enteros de Gauss son un dominio euclídeo con estructura euclídea dada por la norma. La demostración seguirá después de algunos lemas.

Lema F. Para todo complejo hay al menos un entero de Gauss tal que

    Demostración (Gráficamente) Cualquier complejo se halla en un cuadrado cuyos vértices son enteros de Gauss. El punto más alejado de los vértices es el centro del cuadrado, cuya distancia a los vértices es Como la norma es el cuadrado de la distancia, se tiene el resultado. (Algebraicamente.) Sea Sean el entero más cercano a y el entero más cercano a Luego, y Sea Entonces,


Lema G. Sean y enteros de Gauss, Entonces, hay enteros de Gauss y tales que

    Demostración Usar el lema anterior para hallar un tal que Escribamos como Sea Entonces, Por lo que,


    Demostración de la proposición. Solamente falta probar la condición (i) de la definición de dominio euclídeo. Sean y enteros de Gauss no nulos. Se tiene que Luego,

    Lo que junto con el lema anterior, prueba lo afirmado.


Sigue de los trabajos generales anteriores que es un DIP y, en consecuencia, un DFU.

A continuación, nos preocuparemos de la divisibilidad en Como se trata de un DFU, elementos irreducibles son primos y viceversa. Mucho del trabajo relacionara primos en con primos en ; para distinguirlos hablaremos de primos gaussianos (en ) y de primos enteros (en ),

Unidades de Z[i][editar]

Sea un entero gaussiano cuya norma es igual a 1. Entonces, se tiene que lo que implica que o Es decir está en Notemos que cada uno de esos enteros gaussianos es un unidad en (</math>i(-i)=1</math>).

Supongamos, ahora, que fuera una unidad de Entonces hay un tal que Luego, tomando norma y usando que es multiplicativa, tenemos que

Luego, Por lo que,


2 no es primo en .

Observando que tenemos que el primo entero 2 no es irreducible en (ramifica) ya que ni ni son unidades. De hecho se trata de irreducibles.

Si tomando normas tenemos que de donde o o por lo que o es una unidad. Luego, es irreducible en Análogamente, se verifica que es irreducible, u observando que es un asociado de ya que

Primos Enteros iguales a una suma de cuadrados.

Sea un entero primo tal que con enteros. Como si se tiene que no es un primo gaussiano. Por ejemplo, etc.

3 es un primo gaussiano.

Supongamos que Tomando normas tenemos que por lo que o Si se ve claramente que es imposible. Si entonces es una unidad. Si entonces y es una unidad. Luego, es un irreducible, por lo tanto, un primo gaussiano.

Primos de Z[i][editar]

Para el estudio de los primos gaussianos, necesitaremos algunos resultados sobre los primos enteros que veremos a continuación.

En primer lugar, notemos que si es un primo entero impar entonces es de la forma o Veremos que la pertenencia a una de esas clases implica conductas diferentes en

El siguiente resultado será básico para nuestras consideraciones.

Lema H. (Estructura de )
Sea un primo entero impar.

  1. tiene un único elemento de orden 2.
  2. Si entonces no contiene elemento de orden 4
  3. Si entonces tiene dos elementos de orden 4, que son soluciones de la congruencia

    Demostración Usaremos que sabemos que es un grupo cíclico de orden y propiedades de los grupos cíclicos. Ver las proposiciones 20.11 y 11.2.
    1. Como hay un único subgrupo de orden 2, que será Es decir que es el elemento buscado.
    2. Como no puede haber elemento de orden 4.
    3. Como hay un subgrupo de orden 4, que tiene dos generadores, que son elementos de orden 4..


Corolario H.1. Si entonces es un cuadrado en

    Demostración Si es un elemento de orden 4 en entonces tiene orden 2, por lo que se debe tener que


Lema I. (Fermat) Un entero primo positivo puede representarse como la suma de los cuadrados de dos enteros, ssi, o

    Demostración Supongamos que es impar. Supongamos que y que


    Entonces, por lo que es decir que tiene orden multiplicativo 4, lo que es imposible.

    Supongamos ahora que Por el lema anterior, hay un tal que Es decir que

    Considerando a como elemento de se tendría que

    Si fuera un primo gaussiano o Como es entero, lo anterior significaría que dividiría la parte imaginaria de esos factores o sea a 1. Luego, no es un primo gaussiano. Luego, donde ni ni son unidades. Computando normas, tendríamos que

    Luego, o uno de ellos tiene norma 1 y es, por lo tanto, una unidad, lo que no puede ser. Si


Los Primos Gaussianos[editar]

Lema J. Si es un entero gaussiano tal que es un entero primo, entonces es un primo gaussiano.

    Demostración Sea Tomando normas tenemos que Como es un primo entero, o o ; es decir que o es una unidad,. En consecuencia, es irreducible, por o que se trata de un primo gaussiano.


<Lema K. Si es un primo gaussiano entonces o donde es un primo entero.

Si entonces o

Si entonces es de la forma y es un asociado de

    Demostración Supongamos que fuera un primo gaussiano. Consideremos la factorización en primos de Como en debe dividir a uno de los primos de dicha factorización. Luego, hay un en tal que

    Computando las normas se tiene que

    Por lo que (1) o (2) En el caso (1), es la suma de dos cuadrados, por lo que es 2 o un primo de la forma

    En el caso (2), se tiene que por lo que es una unidad y y son asociados.

    Se tiene que ya que 2 no es primo en Igualmente, si es de la forma por el teorema de Fermat, o sea que no es primo. Luego, debe ser de la forma


Proposición 13. (Los Primos de )
Los primos gaussianos o primos en son:

  1. Los primos enteros de la forma y sus asociados en
  2. Enteros gaussianos cuya norma es un primo entero, ya sea 2 o de la forma

    Demostración La parte b) sigue del lema anterior. a) Si es primo de la forma que es compuesto en los trabajos anteriores muestran que debiera ser igual a la suma de dos cuadrados, por lo que no puede ser de la forma indicada.


Ejercicios[editar]

  1. Probar que en
  2. Hallar todos los primos gaussianos cuya norma es igual a 2.
  3. Probar que en implica que Dar un ejemplo de que el converso no es válido.
  4. Probar usando solamente análisis de normas que no es un primo gaussiano.
  5. Si es un primo entero que no es un primo gaussiano, entonces para algún en
  6. Si es un entero primo tal que entonces no es un primo gaussiano.
  7. Sea un primo entero, probar que si entonces es de la forma
  8. Probar que le grupo de las unidades de es isomorfo a
  9. Hallar un mcd de y
  10. Probar que para todo se cumple que el polinomio es irreducible sobre
  11. (Prueba Alternativa del lema H), Sea un entero primo impar.
    1. (Existencia de elemento de orden 2) Verificar que para concluir que tiene orden 2 en Considerar cualquier con orden 2, y verificar que por lo que o Usar lo anterior para concluir que
    2. (Ausencia de elementos de orden 4, si ) Usar teorema de Lagrange.
    3. (Existencia de elementos de orden 4, cuando ). Sea cuyo orden en Por teorema de Cauchy. hay un elemento de orden 2 en Luego, por lo que tiene orden 4 en

Contraejemplos[editar]

En esta sección, daremos algunos ejemplos que prueban la inclusión estricta de los dominios euclídeos en los dominios de ideales principales, y la de estos en los dominios de factorización única. Así, como otras excepciones.

Nuestro primer ejemplo, mostrara que hay dominios que no son DFU.

Ejemplo A.

Un dominio que no es DFU.

Sea Vimos en un ejemplo del capítulo La Divisibilidad es un irreducible de que no es primo, por lo que no puede ser un DFU. En consecuencia, tampoco puede ser o euclídeo.




Ejemplo B.

Un dominio donde dos elementos tienen mcd, pero no mcm.

Sea (ver el ejemplo anterior) y sea Entonces, 3 es un elemento irreducible que no divide a por lo que

Supongamos ahora que Entonces, excepto por un factor que fuera una unidad, tendríamos que Sin embargo, este valor para produce una contradicción, ya que (por el ejemplo anterior) 21 es un múltiplo común de 3 y pero no es un múltiplo de Sin embargo, es la única posibilidad lógica. En efecto, sea igual a Entonces, digamos que, Ya que es un múltiplo común, se debe tener que digamos que Tomando conjugados y multiplicando, tendremos que

Pero, por lo que Luego, y son enteros divisores de 21. Por lo que son iguales a 1, 3, 7, o 21.

  • Si cualesquiera de esos números fuera 1, tendríamos que o serían unidades.
  • Si fuera un unidad, entonces una contradicción.
  • Si fuera una unidad, entonces debe ser que es lo que queríamos probar.
  • Las alternativas 3 o 7 son imposibles porque no hay elementos con ese tamaño en
  • Finalmente, si uno de ellos fuera 21, el otro sería 1, y estaríamos al comienzo de nuestro análisis.

Ejemplo C.

Un DFU que no es DIP:

Sea el anillo de los polinomios con coeficientes enteros. Vimos que es un DFU, ver corolario A.1 del capítulo La Factorización de Polinomios. Pero, mostraremos a continuación que no es un DIP.

Consideremos al ideal en y supongamos que fuera un DIP. Entonces, tendríamos un polinomio, digamos que generaría el ideal. Como 2 está en se debe cumplir que lo que implica que el grado de es cero y, por lo tanto, que es un elemento de Luego, debe ser una unidad, o sea 1 o o un asociado de o sea 2 o

Como (Si debe tener todos sus coeficientes pares, mientras que es mónico). Luego, como no puede ser un asociado de 2, por lo que debe ser igual a . Sin embargo, como está en debe haber polinomios tales que

Lo que es imposible, ya que no tiene términos constantes y todos los coeficientes de son pares.


Ejemplo D.

Se puede verificar, pero no es trivial, que es un DIP que no tiene estructura euclídea posible.


Ejercicios del Capítulo[editar]

  1. Sean elementos de un dominio. Probar que ssi, y son asociados.
  2. Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
  3. Sea Definir (conjugado como complejo)
    1. Verificar que y que
    2. Probar que es un dominio.
    3. Probar que
    4. Probar que
    5. Probar que es una unidad, ssi, Hallar las unidades de
    6. Probar que para todo número complejo hay un elemento de tal que
    7. Probar que es un dominio euclídeo.
    8. Probar que es primo en
  4. Sea
    1. Probar que es un dominio contenido en .
    2. Probar que es una unidad.
    3. Probar que hay infinitas unidades en

Notas[editar]

  1. Emmy Amalie Noether, (1982-1935)