Álgebra Abstracta/Extensiones de Cuerpos

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Álgebra Abstracta


Introducción[editar]

Los Cuerpos son la estructura más completa en término de operaciones. Representan el dominio natural donde estudiar las cuatro ``operaciones aritméticas tradicionales. El Álgebra, hasta el siglo XIX, fue principalmente el estudio de las ecuaciones polinómicas, especialmente sobre los Reales y Complejos. El siglo XIX se inicia, matemáticamente, con las primeras demostraciones más o menos completas del llamado ``teorema fundamental del álgebra (cada polinomio con coeficientes complejos tiene un cero complejo). Los trabajos de Lagrange, Ruffini, Abel y Galois, completan los trabajos de siglos anteriores, iniciando al mismo tiempo una nueva visión del álgebra que llevaría en alrededor de cien años a lo que actualmente concebimos como álgebra abstracta. \medskip Los Complejos se obtienen de los Reales agregando (técnicamente, adjuntando) el número cuyo cuadrado será igual a . Se extiende las operaciones de suma y multiplicación y se obtiene una estructura de cuerpo en los Complejos. Desde el punto de vista de las ecuaciones, tenemos un cero para el polinomio , que era irreducible sobre los Reales--es decir sin ceros reales.

La primera parte de este capítulo está dedicado a la generalización de la construcción de los Complejos, aplicados a un cuerpo cualquiera y a un polinomio irreducible cualquiera. Luego, veremos la relación entre subcuerpos y grupos de automorfismos, que es el aspecto central de la teoría de Galois (Proposición 10). Finalmente, estudiaremos los cuerpos finitos, que además de su importancia en el desarrollo de la teoría, tienen actualmente muchas aplicaciones.

\medskip Recordemos que decimos que un cuerpo es una extensión de un cuerpo , ssi, es un subcuerpo de . Cuando es un extensión de y es un cuerpo tal que , decimos que es un cuerpo intermedio entre y .

Ejemplo.

El cuerpo es una extensión de . es un cuerpo intermedio entre y .


La Adjunción de un Elemento[editar]

Sean una extensión del cuerpo . Sea un elemento de . Nos interesa, ahora, determinar el subcuerpo más pequeño de que contiene a y a . Cuando dicho subcuerpo exista, diremos que se ha obtenido por adjunción de a y lo denotaremos por , Tal cuerpo será intermedio entre y .

Ejemplo.

Consideremos al cuerpo como una extensión del cuerpo y al elemento . ¿Cuál será el subcuerpo más pequeño de que contenga a y a ?

Supongamos que tal subcuerpo existe y que lo denotamos por . En primer lugar, tenemos que debe contener a todos los números racionales y, en segundo lugar, a (usaremos en lugar de , para destacar la validez del proceso siguiente para un número irracional cualquiera). Como es cerrado respecto a la multiplicación, tendremos que todas las potencias naturales positivas de serán elementos de . En particular, cuando sea un número entero positivo cualquiera, tendremos, para cualquier número racional , que es un elemento de . También, las sumas de elementos de la forma anterior serán elementos de . Por lo que los polinomios en serán también elementos de . Como se trata de un cuerpo, los cocientes de tales polinomios serán elementos de .

Usando las reglas de las operaciones con fracciones, vemos que el conjunto formado por tales fracciones tiene la estructura algebraica de un cuerpo. Además, ese cuerpo contiene a los Racionales y a , es decir que debe contener al cuerpo . Por otra parte, cualquier cuerpo que contenga a y debe contener cada una de esas expresiones. Por lo que concluimos que la "menor" extensión de que contiene a está formada por las fracciones de expresiones polinómicas en .



El proceso descrito es general, por lo que tenemos la siguiente proposición.

Proposición 1. (Adjunción de un elemento) Sea un cuerpo cualquiera, un elemento de una extensión de . Entonces, el subcuerpo de obtenido adjuntando a , , consiste de todos las fracciones de expresiones polinómicas en con coeficientes en . Dicho cuerpo está contenido en cualquier otro subcuerpo de que contenga a y a .

    Demostración: Ejercicio.


La Adjunción de Elementos Algebraicos[editar]

En esta sección, iniciaremos el estudio de la estructura de las adjunciones de elementos que son ceros de polinomios. Tales elementos reciben un nombre especial que extienden a un contexto general la noción de número algebraico vista anteriormente.

Definición. (Elemento Algebraico) Sea una extensión del cuerpo . Diremos que un elemento de es algebraico sobre , ssi, hay un polinomio con coeficientes en , tal que .

Cuando , recordemos que llamamos números algebraicos a los elementos de que eran algebraicos sobre .

Ejemplos.

  1. El número real es algebraico sobre ya que es un cero de .
  2. Cada número racional es algebraico sobre ya que es un cero del polinomio de .
  3. El número complejo es algebraico sobre , ya que es un cero de .

Notemos que cuando un elemento sea algebraico sobre un cuerpo, lo será también sobre cualquier extensión del mismo. El resultado converso no es cierto.

En primer lugar, ilustraremos, con un ejemplo, algunas de las peculiaridades que tienen las adjunciones por elementos algebraicos. En una sección posterior, generalizaremos dicho ejemplo a una construcción precisa de una extensión por adjunción de un elemento algebraico.

Ejemplo.

Sean y . Sea un número entero que no es un cuadrado perfecto en . Entonces, los ceros de son números algebraicos que no son racionales, ya que si lo fueran deberían ser enteros. El polinomio será, por lo tanto, irreducible sobre . Sea uno de sus ceros complejos, entonces . Queremos precisar la forma de los elementos de , que por un resultado anterior, son fracciones de polinomios en . Observemos que implica que:

Los ejemplos sugieren que para todo entero mayor que 2, se cumple que es igual a un racional o al producto de un racional por . Lo anterior, se puede verificar fácilmente por inducción, lo que dejaremos al cuidado del lector.

El resultado anterior implica que cualquier expresión polinómica en será igual, por reagrupación de términos con igual potencia de , a una expresión de la forma , con , elementos de .

Por lo tanto, los elementos de serán, de acuerdo con la proposición 1, fracciones de la forma

con , , y en .

Observemos, a continuación, que en , para todo y en se tiene que:

por lo que podremos simplificar aún más las expresiones de los elementos de . En efecto, tendremos que:


Lo que prueba, que podremos escribir cada elemento de de la forma , donde y son números racionales. Además, claramente, números de esa forma están en .



Ejercicios[editar]

  1. Sea y . Como () es un elemento de , se tiene que la adjunción de a produce un cuerpo . Probar que . Es decir que cualquier fracción de expresiones polinómicas en se puede expresar de la forma con y reales.
  2. Probar que no puede haber un cuerpo tal que .
  3. Sea una extensión de un cuerpo . Si es una extensión de , es también una extensión de .
  4. Sea un dominio de integridad contenido en un cuerpo . Probar que el cuerpo de fracciones de está contenido en .
  5. Sea una familia de cuerpos que contienen a un conjunto . Sea la intersección de todos esos conjuntos. Probar que es un cuerpo que contiene a .
  6. Escribir una demostración para la proposición 1.
  7. Sea algebraico sobre un cuerpo . Probar que el conjunto de polinomios en que tiene a como uno de sus ceros es un ideal de .
  8. Sea algebraico sobre . Sea un polinomio irreducible sobre tal que . Probar que , , es igual a un polinomio de grado a lo más en . (Esta es una generalización de un ejemplo del texto)

Congruencias Módulo un Polinomio[editar]

En la sección anterior, iniciamos el estudio de la estructura que resulta al adjuntar un elemento algebraico a un cuerpo. En nuestros ejemplos siempre supusimos la existencia de una extensión del cuerpo donde vivía el elemento algebraico. Pero, cuando queremos solucionar una ecuación no siempre sabremos si tal solución existe y, parte del trabajo. será determinar si tal solución existe. En esta sección, trataremos de responder a esa pregunta, la que formularemos explícitamente como un problema.

Problema

Sea un cuerpo y un polinomio en , ¿cuáles serán los ceros de y adónde estarán? O de manera equivalente, ¿habrá una extensión de que contenga al menos un cero del polinomio ?


En primer lugar, observemos que si , cualquier cero de uno de los factores de es también un cero de , por lo que podemos reducir nuestras consideraciones a polinomios irreducibles que además, sin perdida de generalidad, podremos suponer mónicos. Además, como los ceros de polinomios de de grado 1, son elementos de , supondremos que el grado del polinomio es mayor que 1.

La construcción seguirá como ejemplo la construcción de a partir de . Primeramente, usaremos las analogías algebraicas entre el anillo de los Enteros y el anillo de polinomios sobre un cuerpo para extender la noción de congruencia de los números enteros al anillo de los polinomios.

Definición. (Congruencia de Polinomios) Sea un cuerpo cualquiera y sea un polinomio de grado positivo en . Decimos que dos polinomios y son congruentes módulo y escribimos

ssi, es un múltiplo de .


La relación de congruencia anterior tiene propiedades semejantes a la congruencia de números enteros. Por ejemplo, es una relación de equivalencia (¡verificarlo!). Por lo que particiona a en clases de equivalencia. Recordemos que cuando sea un polinomio, su clase de equivalencia (respecto a la relación de congruencia) estará dada por

Recordemos que las clases de equivalencia siempre son disjuntas entre si y que su reunión es todo el conjunto.

La siguiente proposición proporciona, varios enunciados equivalentes a la noción de congruencia anterior.

Proposición 2. Sea un cuerpo y un polinomio de grado positivo de . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. ;
  2. es un múltiplo de ;
  3. , donde es un múltiplo de .

    Demostración: Ejercicio.


Sean y como arriba y sea el ideal generado por en . Si y son polinomios congruentes módulo , entonces es un elemento de . Viceversa, cuando la diferencia de dos polinomios esté en , dicha diferencia será un múltiplo de . Es decir que las clases de congruencia módulo coinciden con los elementos del anillo cociente .

Estructura de .

Sean cuerpo y un polinomio de grado positivo en . Sea un polinomio cualquiera de . Entonces, por el algoritmo de la división, podemos hallar polinomios y tales que y . Por lo que es un múltiplo de . Es decir que

    Cada polinomio de es congruente módulo a un polinomio de grado inferior al grado de .

Por lo que, siempre, podremos escoger representantes de las clases de congruencia a polinomios cuyo grado sea inferior al grado de . Además, dos polinomios diferentes con grados inferiores a deben pertenecer a clases diferentes, ya que su diferencia será menor al grado de , por lo que dicha diferencia no puede ser un múltiplo de . Los polinomios de grado 0 pueden identificarse con los elementos de . Por lo que la clase de equivalencia de en será mismo.

Se tiene la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea un cuerpo y sea un polinomio en de grado . Entonces, el anillo cociente está formado por los polinomios en la clase de equivalencia de de grado a lo más . Dicho anillo contiene una copia isomorfa a formada por las clases de los polinomios constantes y el polinomio nulo.

    Demostración: Sigue de los razonamientos anteriores que cada clase de congruencia tiene un representante que es un polinomio de grado a lo más . Además, dos polinomios diferentes de ese tipo están en clases diferentes. Sea un polinomio de grado inferior a . Pasando al cociente, tenemos que



La siguiente proposición es el objetivo de nuestra exploración

Proposición 4. (Existencia de Extensión y Cero) Sea un cuerpo y un polinomio irreducible en . Entonces, es una extensión de --cuerpo que contiene a . Además, la clase es un cero del polinomio .

    Demostración: Como el polinomio es irreducible, el polinomio es primo, por lo que sabemos que es un dominio; probaremos que es un cuerpo. Sea en . Entonces, no está en , lo que implica que . Como es irreducible, eso significa que . Por la identidad de Bezout, hay polinomios y tales que . Pasando al cociente, tenemos que

    Como , se tiene que , lo que prueba que es invertible y que, en consecuencia, es un cuerpo. Sigue de la proposición anterior que es una extensión de --identificado con las clases de los polinomios de grado 0 y del polinomio nulo. Finalmente, como la clase de es igual a cero, se tiene que , lo que muestra que es un cero de .


Corolario 4.1. (Existencia de Extensiones) Sea un cuerpo y sea cualquier polinomio de . Entonces, hay una extensión de que contiene un cero de .

    Demostración: Sea un factor irreducible de . Entonces, por la proposición anterior, el cuerpo es una extensión de que contiene un cero de . Como cualquier cero de es un cero de , se tiene el resultado.


La construcción anterior de una extensión del cuerpo para obtener un cero de un polinomio de , fue inventada por el matemático alemán Leopold Kronecker (1823--1891).

Ejemplo.

Sea y .

Por inspección, vemos que no tiene ceros en , por lo que es irreducible sobre . Luego, es un cuerpo que es un extensión de .

Las clases de equivalencias de son , , y .

Como , tenemos que . Es decir que es un cero de . Luego, (se trata de un anillo con característica 2). Luego, .

Sea la clase de en . Se deja de ejercicio verificar las siguientes tablas de operaciones en .



Ejemplo.

Sea y . Entonces, es un cuerpo extensión de cuyos elementos son todos de la forma , donde , Es decir, los Complejos.



Ejemplo.

Consideremos el cuerpo y sea . ¿Tiene ceros? ¿Cuántos ceros?

En primer lugar, observemos que la ecuación no tiene soluciones en , ya que los cuadrados en son , y . Por lo tanto, el polinomio dado es irreducible. Por la teoría general de los ceros de un polinomio sobre un cuerpo, sabemos que tiene a lo más dos ceros. Notemos que si podemos hallar alguna solución, en algún lugar, podríamos llamar a esa solución y, entonces, la otra solución sería , por lo que también estaría en la misma extensión.

Un cuerpo que contiene a y contiene las dos soluciones es

Observemos, que usando la notación de una sección anterior, .




Los ejemplos anteriores muestran situaciones en donde la construcción de un cuerpo que tiene al menos un cero de un polinomio, nos conduce a un cuerpo donde están todos los ceros del cuerpo. Lo anterior, se debe a que el polinomio escogido tenía grado 2. En general, lo anterior no es cierto, como veremos en el próximo ejemplo.

Ejemplo.

Sea y sea . Claramente, se tiene que es irreducible sobre . De ser reducible, tendría necesariamente, un factor de grado 1. Aplicando el teorema de los ceros racionales, ya que el polinomio es mónico, dicho cero debería ser entero y, claramente no hay entero cuyo cubo sea igual a 2.

Sea . Sabemos, por nuestros trabajos que estaría formado por todos los números de la forma

con , y números racionales. Por lo que todos esos números serían números reales.

Por otra parte, sabemos de nuestros trabajos con los números complejos que las soluciones de la ecuación son los números complejos: , , y , donde es una de las raíces cúbicas primitivas de .



El ejemplo anterior muestra que la construcción o la adjunción de un cero de un polinomio irreducible a , puede producir un cuerpo que no necesariamente contiene a todos los ceros del polinomio. Los resultados anteriores garantizan tan sólo la existencia de una extensión que contiene, por lo menos, un cero; pero, como muestra el último ejemplo, puede que ese sea el único cero que contenga.


Veremos, a continuación, como obtener una extensión que contenga todos los ceros de un polinomio dado.


Sean cuerpo y un polinomio irreducible sobre . Sea la extensión de donde tiene al menos la solución . Por la teoría general de polinomios, se tendrá que, será un factor de en , o sea que habrá un polinomio en tal que:

Si tiene algún factor lineal, dicho factor nos produce otra solución en . Ver ejemplo discutido arriba. Supongamos que podemos factorizar sobre como , donde puede ser un elemento de o un irreducible sobre y puede ser cero. Con , queremos decir que . La descomposición anterior implica que los ceros de que están en son: y , , ... , . Cuando sea un polinomio de grado cero en , tendremos que esos son todos los ceros de , es decir que todos los ceros de estarán en .


Supongamos que el grado de fuera mayor que 1. Pongamos . Aplicando la construcción anterior a , obtendremos una extensión de , donde habrá al menos un cero de . Como es un factor de y, por lo tanto, de , resulta que el nuevo cero es también un cero de . Si hemos hallado todos los ceros de , contendrá a dichos ceros. En caso contrario, repetimos el proceso anterior, hallando una extensión de conteniendo ceros adicionales de .

Repitiendo el proceso anterior, cuantas veces sea necesario, obtendremos una cadena de extensiones:

Como en cada extensión, obtenemos al menos un cero de y la cantidad de ceros es, a lo más, igual al grado de , tendremos que la cadena anterior acaba después de una cantidad finita de extensiones. Por lo que, hallaremos una extensión , para algún , donde el polinomio tendrá todos sus ceros. Este resultado lo enunciaremos como una proposición, luego de la siguiente definición.

Definición. (Cuerpo de Descomposición) Sea un cuerpo, irreducible. Llamamos cuerpo de descomposición de , a una extensión minimal de , tal que factoriza en factores lineales sobre (equivalentemente, tiene todos sus ceros en ).


Notemos que cualquier cuerpo que contenga todos los ceros de un polinomio es una extensión del cuerpo de descomposición del polinomio.

Formalizaremos la construcción anterior, en la demostración de la siguiente proposición.

Proposición 5. (Existencia de un Cuerpo de Descomposición) Sea un cuerpo, en un polinomio irreducible. Entonces, hay una extensión de que es un cuerpo de descomposición para .

    Demostración: Si el grado de es 1, entonces coincide con el cuerpo de descomposición. Supongamos que el polinomio tiene grado , , y que el resultado es cierto para todos los polinomios irreducibles de grado menor que . Por una proposición anterior, hay una extensión de de , k[X]/\langle f\rangle,</math> donde tiene al menos un cero. Como muestran los ejemplos, es posible que esa extensión tenga más de un cero. Si los ceros de (habrá de ellos) están en , entonces será un cuerpo de descomposición para . En caso contrario, sean , , los ceros de en . Por el teorema del factor tendremos que:

    Donde será un polinomio con coeficientes en , pero de grado menor que . Si es irreducible, la hipótesis de inducción aplicada a nos producirá una extensión de que será un cuerpo de descomposición para y, por lo tanto, para . Si fuera reducible, procederemos por inducción con cada uno de sus factores irreducibles.


Elementos Trascendentales[editar]

Definición. (Elemento Transcendente) Sea un cuerpo y una extensión de . Cuando un elemento de no sea algebraico sobre (no sea cero de un polinomio con coeficientes en ), diremos que es transcendente sobre .


Ejemplo.

Consideremos a como extensión de . Se ha probado (Lindemann, 1882) que el número real es transcendente sobre . ¿Cuáles serán los elementos de ?

Otro importante número real transcendente sobre es (Hermite, 1873).



Proposición 6. Sea un cuerpo y una extensión de que contiene un elemento transcendente sobre . Entonces, contiene una copia de y (el cuerpo de las fracciones racionales de ).

    Demostración: Consideremos la evaluación , . Sabemos que esa función es un homomorfismo de anillos. Además, es inyectiva, ya que no hay un polinomio no nulo tal que . Por lo que la imagen de es un subanillo de , por lo que contiene una copia de . Como, dicha copia es un dominio de integridad, tiene un cuerpo de fracciones (isomorfo a ) que estará contenido en , ya que los cuerpos son cerrados respecto a fracciones de sus elementos.


El Polinomio Minimal[editar]

Sea una extensión de . Sea un elemento de algebraico sobre . Sea el ideal de formado por todos los polinomios que tienen a como un cero. Como es un DIP, dicho ideal es generado por un polinomio mónico del menor grado posible entre los polinomios del ideal, al que daremos el siguiente nombre.

Definición. (Polinomio Minimal) Llamamos polinomio minimal de sobre , al polinomio mónico de menor grado que tiene a como uno de sus ceros.

Notemos que si es el polinomio minimal del elemento y es un polinomio tal que , entonces .

Sigue de nuestros trabajos anteriores la siguiente proposición para la adjunción de elementos algebraicos

Proposición 7. (Teorema de la Adjunción de Algebraico) Sea una extensión del cuerpo . Sea un elemento de que es algebraico sobre y sea su polinomio minimal de grado . Entonces, el subcuerpo de generado por y , consiste de todos los polinomios en de grado a lo más . Dicho cuerpo es isomorfo a .

Ejemplos.

  1. Sea , donde no es un cuadrado perfecto en . Claramente, el polinomio minimal de es . Entonces, .
  2. ¿Cuál es el polinomio minimal de sobre ? Sea el polinomio minimal pedido. Como no es racional, el grado de será mayor que 1. El siguiente cálculo nos proveerá con un polinomio anulado por .

    Se verifica que es irreducible, por lo que se trata del polinomio minimal deseado.

  3. ¿Cuál es el polinomio minimal de sobre ? Sea el polinomio minimal pedido. Repitamos el cálculo anterior, pero considerando que elementos de son ahora admisibles como coeficientes.
    Es fácil ver, entonces, que , es el polinomio minimal deseado.

Ejercicios[editar]

  1. Sea .
    1. Probar que es irreducible en .
    2. Hallar polinomios del menor grado posible congruentes módulo a cada uno de los siguientes polinomios:
      1. , , .
      2. .
      3. .
      4. .
    3. Sea en . Simplificar .
  2. Sea . Para cada uno de los siguientes polinomios verificar que son irreducibles sobre y construir .
    1. .
    2. .
    3. .
  3. Sea . Probar que es irreducible sobre y construir .
  4. Sea . Hallar un representante de grado de
  5. Hallar un cuerpo con
    1. elementos;
    2. elementos; y
    3. elementos.
  6. Sea y sea en .
    1. Probar que la factorización de en irreducibles de es .
    2. Probar que y que . Por lo que no es un dominio de integridad.
    3. Hallar el grupo de unidades de y probar que es cíclico de orden 3.
  7. Sea un elemento algebraico sobre un cuerpo . Entonces, es algebraico sobre cualquier extensión de que contenga a .
  8. Hallar cuerpos y elemento de tal que es algebraico sobre , pero no lo es sobre .
  9. Sea un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Sea . Probar las afirmaciones siguientes:
    1. Las potencias naturales de son o un entero o un entero multiplicado por .
    2. Sea un entero positivo. Entonces, es un racional o un racional multiplicado por .
  10. Probar que . Si ponemos , y . ¿Qué relación hay entre , , y ?
  11. Hallar el polinomio minimal sobre de cada uno de los siguientes números complejos.


  12. Hallar los polinomios minimales sobre de cada uno de los siguientes números complejos: , , , , , . Probar que si es cualquiera de esos números, entonces .
  13. Sean y dos números algebraicos y que hay polinomios y en tales que y que . Probar que .
  14. Sea el conjunto de polinomios en que se anulan en un elemento de una extensión de que es algebraico sobre . Probar, usando directamente la definición de ideal, que es un ideal de .
  15. Probar que el polinomio minimal de un elemento algebraico sobre un cierto cuerpo es irreducible sobre .
  16. Sea un cero de un polinomio irreducible de grado mayor que 1. Probar que si es un polinomio que tiene a como uno de sus ceros, entonces cada cero de es también un cero de .
  17. Sea . Sea uno de los ceros del polinomio .
    1. Verificar que es irreducible.
    2. De acuerdo a la teoría, podemos escribir cada elemento de de la forma , con racionales. Escribir de esa forma, cada uno de los siguientes elementos de . , , , , .
  18. (*) Probar que el conjunto de números algebraicos es cerrado respecto a la suma y a la multiplicación.

Automorfismos de Cuerpos[editar]

Recordemos que un automorfismo de un cuerpo es un isomorfismo de cuerpos de en si mismo. Los automorfismos de un cuerpo forman un grupo con respecto a la composición.

Proposición 8. Sea un cuerpo. Sea un subgrupo del grupo de automorfismos de . Sea el subconjunto de determinado por los elementos de que quedan fijos por los automorfismos en . Entonces, es un subcuerpo de .

    Demostración: Sea en , o sea un automorfismo cualquiera de . Entonces, . Luego, está en . Sean elementos de . Entonces, , como es cualquiera, Concluimos que está en . Análogamente, para cualquier en , , y , lo que muestra respectivamente que es un subanillo, subanillo con identidad y subcuerpo de .


Nomenclatura. Diremos que es el subcuerpo fijo por los elementos del grupo de automorfismos es el subcuerpo fijo por .

Corolario 8.1. Sea un cuerpo. El cuerpo primo de es fijo para cada automorfismo de .

    Demostración: Sea cualquier automorfismo de . Como queda fijo por , cada elemento del subanillo generado por 1 queda fijo por , e igualmente las fracciones de los elementos de ese anillo. Por lo que el cuerpo primo queda fijo por todos los automorfismos de .


Proposición 9. Sea una extensión del cuerpo y sea un subcuerpo de . Sea el conjunto formado por todos los automorfismos de que dejan fijos cada elemento de . Entonces es un subgrupo del grupo de los automorfismos de .

    Demostración: Claramente, no es vacío, ya que la identidad deja fijo cada elemento de y, por lo tanto, cada elemento de sus subcuerpos. Sean y elementos de . Entonces, para cada de se tiene que y . Sea en . Entonces, , lo que muestra que es cerrado respecto a tomar inversos. Igualmente, , lo que muestra que es cerrado por respecto a la composición. Por lo tanto, es un subgrupo del grupo de automorfismos de .


Notación. Sea una extensión del cuerpo . Denotaremos por al grupo de automorfismos de que dejan fijo a (los elementos de) .


Ejemplo.

Sea y . Sea . Entonces, para cada se tiene que

Es decir que cada automorfismo de queda determinado por la imagen por de . Digamos que , . Entonces, implica que , es decir que

Lo que implica que y . De donde, y . Por lo que tenemos solamente dos posibilidades para , la identidad o la conjugación .

Es decir que es un grupo cíclico de orden 2.



La siguiente proposición resume las dos proposiciones anteriores para extensiones de cuerpo.

Proposición 10. (Teorema de Galois) Sea una extensión del cuerpo y sea . Entonces,

  1. Cada cuerpo intermedio tiene asociado un subgrupo de formado por todos los elementos de que fijan (los elementos de) .
  2. Cada subgrupo de tiene asociado un subcuerpo de formado por los elementos de que quedan fijo para todos los automorfismos en .

    Demostración: Ejercicio


La proposición establece correspondencia entre los cuerpos intermedios entre y y los subgrupos de . Dicha correspondencia puede usarse para estudiar la estructura de las extensiones en término de la estructura del grupo . La primera aparición de dicha correspondencia se debe al francés Evariste Galois (1811--1832). El problema era determinar cuando los ceros de un polinomio sobre podían expresarse usando las cuatro operaciones y radicales con los coeficientes del polinomio. Pensar, por ejemplo, en las fórmulas cuadrática o cúbicas. Galois determinó que una condición necesaria para lo anterior, era que el grupo de automorfismo del cuerpo de descomposición del polinomio, tuviera una cadena de subgrupos normales,

tal que cada fuera abeliano.

Observemos que si el cuerpo de descomposición de un polinomio tuviera como grupo de automorfismos a , dicha cadena no existiría y, por lo tanto, los ceros no podrían calcularse mediante fórmulas por radicales. Como hay polinomios de grado 5 que satisfacen lo anterior, se tiene la imposibilidad de la resolución de la ecuación general de quinto grado mediante radicales.

Ejercicios[editar]

  1. Probar el Teorema de Galois (Proposición 10).
  2. (Usando la notación de la proposición "Teorema de Galois".) Sea una extensión de un cuerpo y sea .
    1. Sea un subgrupo de , ¿qué relación hay entre y el subgrupo de de los elementos que fijan el cuerpo intermedio de los elementos fijos por , ?
    2. Sea un cuerpo intermedio entre y . ¿qué relación hay entre y el subcuerpo fijo por ?
  3. Sea un polinomio irreducible, mónico y de grado en que tiene ceros simples , , en el cuerpo de descomposición de . Sea .
    1. Probar que cada de permuta los ceros de . (Ver que al aplicar a , no cambia.
    2. Concluir que .
  4. Sea el cuerpo de descomposición de de . Hallar el grupo de automorfismos de .

Los Cuerpos Finitos[editar]

Los cuerpos finitos tienen característica positiva, es decir un número primo . Por lo que su cuerpo primo se identifica con . Sea un cuerpo finito, digamos con elementos. Entonces, el grupo multiplicativo, denotado por tiene elementos. Por el teorema de Lagrange, tenemos que para cada de se cumple que

(21-01


Luego, para todo de , se cumple que

(21--02


Nuestro primer resultado sobre cuerpos finitos, establecerá que su grupo multiplicativo es cíclico. Usando lo anterior, estableceremos la estructura de un cuerpo finito cualquiera.

El grupo multiplicativo de un cuerpo finito es cíclico[editar]

La demostración del resultado requiere de unos lemas previos. Es posible que dichos resultados hayan aparecidos anteriormente en el texto o los ejercicios, pero daremos aquí los enunciados y demostraciones para completitud. Otra demostración, usando un resultado anterior, aparece en un ejercicio al final de la sección.

Lema A. Sea un grupo y sean , elementos de con ordenes finitos y . Si y son relativamente primos, entonces se cumple lo siguiente.

  1. y
  2. si además, , entonces es un grupo cíclico que es igual a e isomorfo al producto de grupos . Se cumple que .

    Demostración:
    1. Si está en la intersección de con , su orden, que es mayor que 1, es un divisor de y , contradiciendo la hipótesis de relativamente primos de esos números.
    2. Los elementos de son todos los productos de la forma con , los 's en y los en . La hipótesis de conmutatividad dice que cada una de esas expresiones es, entonces, igual a una expresión con , y , . Esto dice que . Como la otra inclusión, siempre es válida, se tiene la igualdad anunciada. Notemos, además, que resulta entonces que el grupo es abeliano. Probaremos, a continuación, que la representación como producto de un elemento de por un elemento de es única. Sean en , en . Entonces,

      En la última igualdad, el elemento de la izquierda es un elemento de , mientras que el elemento de la derecha es un elemento de . Luego, ambos elementos deben ser igual al neutro del grupo. Lo que prueba que y . Por lo tanto, la función tal que -- en , en --es biyectiva. Además,

      Lo que prueba que es un isomorfismo de grupos. Si se tiene que , de donde y . Luego, por ser y relativamente primos, . Esto implica que el orden de en es divisible por . Pero como, , concluimos que el orden de es , lo que implica que y su isomorfo son cíclicos.



Lema B. Sea un grupo tal que para cada natural, la ecuación tiene a lo más soluciones. Entonces, el grupo es cíclico.

    Demostración: Sea un elemento de tal que y sea . Por el teorema de Lagrange, para cada en se tiene que . Luego, contiene a todos los elementos de orden en . Como el orden de cada conjugado de un elemento en tiene orden , concluimos que es normal en . Luego, todos los subgrupos cíclicos de son normales en . Sea un elemento de cuyo orden sea maximal entre los elementos de . Probaremos que . Sea cualquier elemento de con orden igual a . Si entonces contiene un elemento de orden , lo que implica que está contenido en . Supongamos entonces que . Entonces, hay un primo y un entero tales que , pero . Digamos que y con y . Como hay un elemento en tal que . Por la misma razón, contiene un elemento con . Como los ordenes de y son relativamente primos, y tienen solamente al elemento nulo en la intersección . Consideremos al elemento . Como se tiene que está en . Como , tenemos que está en . Luego, , lo que implica que . Por el Lema A, se tiene que tiene orden . Pero, ese número es mayor que el orden de , lo cual es una contradicción. En conclusión, contiene a todos los elementos de , por lo que es cíclico.


Proposición 11. Sea un cuerpo finito. Entonces es un grupo cíclico.

    Demostración: Para cada natural, la ecuación tiene a lo más soluciones en un cuerpo. Luego, por el lema anterior, es cíclico.


Conjetura de Artin[1]

Sea un entero mayor que 1 que no es un cuadrado. Entonces, para infinitos primos se cumple que la clase es un generador del grupo multiplicativo .


Estructura de un Cuerpo Finito[editar]

Sea un cuerpo finito, digamos con elementos. La característica de es un número primo . Sea un polinomio de grado , irreducible sobre . Sigue de la teoría general de los cuerpos que el cociente es un cuerpo que es una extensión de donde tiene al menos un cero, digamos . La teoría dice que está formado por todos los polinomios en de grado a lo más con coeficientes en . Como hay coeficientes y cada coeficiente se puede escoger de maneras diferentes, concluimos que tiene exactamente elementos. Hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 12. Sea un cuerpo finito con , Si es un polinomio de grado , entonces la extensión tiene elementos.

Corolario 12.1. Sea un cuerpo finito y un elemento algebraico sobre . Entonces, el cuerpo que resulta al adjuntar , es finito,

    Demostración: La adjunción es isomorfa como cuerpo a , donde es el polinomio minimal de sobre .


A continuación, veremos que cada cuerpo finito es de la forma anterior, con .

Sea un cuerpo con elementos de característica , primo, por lo que su cuerpo primo es .

Como el grupo multiplicativo es cíclico, tiene un generador que denotaremos por . Considerando la evaluación en de los polinomios con coeficientes en , obtenemos la función de en . Se sabe del capítulo los Anillos de Polinomios que dicha función es un homomorfismo de anillos. Como , tenemos que la función es suprayectiva. Sigue entonces, del teorema de homomorfismo de anillos que , donde es el núcleo de .el ideal es principal, está generado por un polinomio de grado positivo, el polinomio minimal sobre de . Como satisface la ecuación , tenemos que está en ese ideal, por lo que será un factor de . Por el teorema de homomorfismos de anillos, tenemos que . Hemos, por lo tanto, probado la siguiente proposición.

Proposición 13. Sea un cuerpo de característica , primo, que tiene elementos. Entonces, hay un número natural y un polinomio de grado , , irreducible sobre tales que , Además, , la clase de es un generador del grupo cíclico de y es un factor del polinomio .

Existencia de Cuerpos Finitos y Polinomios Irreducibles[editar]

La proposición 13 describe la estructura de un cuerpo con elementos, donde es un número primo. Pero, dado , ¿existe tal cuerpo? o equivalentemente, ¿hay un polinomio irreducible de grado ?

En esta sección, probaremos que tal cuerpo y polinomio efectivamente existen. Sea un número primo. Consideremos el polinomio sobre . Computando la derivada, obtenemos que que es igual a , ya que la característica del cuerpo base es . Pero, eso significa que no hay ceros comunes entre el polinomio y su derivada, por lo que el polinomio no tiene ceros múltiples (ver ejercicio al respecto).

Sea el cuerpo de descomposición de . Sabemos, por la proposición 5 que tal cuerpo existe y que es una extensión de que contiene a todos los ceros de . Por la generación del cuerpo de descomposición, se obtiene esencialmente "adjuntando" los ceros de , como cada adjunción produce un cuerpo finito y hay una cantidad finita de tales adjunciones, se tiene que es un cuerpo finito. Sea el subconjunto de formado por todos los ceros de . Probaremos que es un subcuerpo de . Para eso, necesitaremos un lema que discutiremos a continuación.


Recordemos que, en cualquier anillo conmutativo de característica , se cumple que , Tenemos, además la siguiente generalización.

Lema C. Sea un anillo conmutativo con identidad de característica , primo. Entonces, para todo natural se cumple que

    Demostración: (Inducción.) El caso , es lo que recordamos arriba. Supongamos que la relación se cumple cuando . Entonces


Volvamos a la discusión del conjunto de los ceros de en el cuerpo de descomposición . Sean y dos de esos ceros. Entonces,

  • , por el lema. Por lo que la suma de dos ceros de es otro cero de .
  • ; por lo que, el opuesto aditivo de un cero es otro cero. Notemos que la relación anterior es válida aún cuando , ya que en ese caso siempre se tiene que .
  • ; o sea que, el producto de dos ceros de es nuevamente un cero de .

Todo lo anterior muestra que es un subanillo de , por lo que es un dominio de integridad. Como es finito, debe ser un cuerpo que es un subcuerpo de que contiene todos los ceros de . Pero. el cuerpo de descomposición es el cuerpo más pequeño que contiene todos lo ceros de . Luego . Además, como está formado por todos los ceros de , se tiene que . Hemos probado así el siguiente resultado.

Proposición 14. Sea un número primo. Para cada número natural hay un cuerpo extensión de tal que . está formado por todos los ceros del polinomio . Sigue de la proposición 13, el siguiente corolario.

Corolario 14.1. Sea un número primo. Para cada número natural . hay un polinomio irreducible de grado .

Sea un cuerpo con elementos. Sabemos que el grupo multiplicativo de es cíclico, lo que usamos en la demostración de la proposición 13, para que a partir de un generador del grupo cíclico, hallar un polinomio irreducible de grado . Dicho polinomio era el polinomio minimal del generador sobre . Ahora bien, hay generadores del grupo , por lo cual será posible hallar varios polinomios irreducibles de grado . Tomando dos polinomios irreducibles distintos, digamos y , se tiene dos cuerpos diferentes y que tienen cada uno elementos. Probaremos a continuación, que esos cuerpos son isomorfos, por lo que podremos decir que hay un único cuerpo con elementos.

Sean un cuerpo cualquiera con elementos y el cuerpo de descomposición de