Álgebra Abstracta
Primer Curso

Álgebra Abstracta

A. Las Estructuras

1. Introducción

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

del Matemáticas Universitarias/Algebra Abstracta/Introducción □

" Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ... "

Nicolas Bourbaki.

¿Qué es el Álgebra Abstracta?

El Álgebra Abstracta, como indica su nombre, surge como una abstracción de propiedades algebraicas comunes a diferentes sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. La preocupación principal es acerca de las propiedades de las operaciones, independientemente (abstracción) de la naturaleza de los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de funciones, o de matrices etc. es asociativa. Lo que interesa aquí es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto cualquiera (de números o no) sea asociativa.

Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de las ecuaciones polinómicas, la teoría de los números enteros y la Geometría. Cada una de esas áreas se desarrolló inicialmente de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observaron muchas semejanzas entre los resultados obtenidos, con lo que se inició la abstracción de dichos resultados. Tal desarrollo se produce desde fines del siglo XVIII hasta el inicio del siglo XX, cuando las nociones adquirieron una forma semejante a lo que expondremos en este texto.

Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de estructura algebraica como central al estudio del Álgebra. Una estructura algebraica es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones.

Como libro texto para un primer curso, suponemos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones.

¿Por qué darle énfasis a las estructuras? Una primera respuesta es comodidad. Antes de su introducción en el álgebra, la situación parecía relativamente simple, estudiar álgebra era aprender a realizar las operaciones algebraicas con los números. Sin embargo, con la aparición de nuevos objetos matemáticos: funciones, vectores, matrices, permutaciones, etc. aparecieron, también, operaciones con ellos. Una alternativa para el estudio era crear una secuencia de cursos más o menos en el siguiente orden: el álgebra de los reales, el álgebra de los complejos, el álgebra de los polinomios, el álgebra de los vectores bidimensionales, el álgebra de los vectores tridimensionales, el álgebra de las matrices, el álgebra de los enteros--modulo, el álgebra de los cuaterniones, el álgebra de los tensores, etc. La invención de nuevos objetos y de sus operaciones, hacían del álgebra un campo en continua expansión y, adonde, era difícil seguirle el rastro a todos los nuevos objetos. Frente a dicha explosión de objetos, se inventó una clasificación que reducía esas álgebras a unas pocas estructuras que servirían para unificar los estudios. Las estructuras básicas con una operación son: semigrupos, monoides y grupos, con dos o más operaciones: anillos, dominios, cuerpos, espacios vectoriales, módulos y álgebras. Estas estructuras, con algunas subestructuras, permiten organizar los estudios por las propiedades básicas comunes, en lugar de mirar a la naturaleza de los elemento .

Por ejemplo, la estructura de cuerpo presupone un conjunto donde están definidas las cuatro operaciones aritméticas poseyendo las propiedades usuales. Ejemplos inmediatos de esa estructura son: los Racionales, los Reales y los Complejos, así como los Enteros módulo un número primo. En este curso, veremos algunos cuerpos adicionales (hay infinitos ejemplos).

Organización del libro

El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes.

La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Esta estructura es fundamental tanto para las matemáticas como para muchas otras áreas del conocimiento: física, química, programación, etc. Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría (grupos diedrales).

La tercera parte está dedicada a las estructuras de anillo y cuerpo, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente.

Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales, Complejos) y algunos cuerpos finitos.

Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a las funciones, las relaciones, los sistemas numéricos. En estos apéndices, resumimos nociones y resultados que debería conocer un lector de este texto.

Los lectores atentos podrán darse cuenta que, a veces, hay repeticiones de material. Algunas de esas repeticiones son intencionales, a fin de permitir leer capítulos en forma más independientes.

En el texto, en varias ocasiones, mencionamos a las personas que han tenido un rol en el desarrollo de los temas tratados. Esperamos que el lector lea acerca de ellos. El primer sitio adonde buscar lo anterior es el siguiente enlace de la Universidad de San Andrés de Escocia

«MacTutor History of Mathematics archive» (en inglés).

Aunque, a veces, no lo pueda parecer, éste es un texto elemental. Hay varios textos más avanzados o equivalentes que aparecen en la bibliografía. Otra fuente de consulta son las bibliotecas en línea.

Sugerencias para el estudio

Cada disciplina o area de estudio tiene una manera especial de adquirir conocimientos respecto a la misma. En Álgebra Abstracta, se trata de una teoría de las operaciones, lo que implica que la validez de los resultados se tienen que deducir de las propiedades básicas (axiomas). Los lectores deben adquirir el hábito (si no lo tienen con anterioridad) de preguntar por la validez de los enunciados. La intuición que tenemos de manipulaciones de expresiones algebraicas anteriores es, sin duda, muy útil; pero que puede ser perturbadora. Muchos de los resultado conocidos, son válidos en ciertas situaciones, pero no en todas; por ejemplo. hay importantes multiplicaciones que no son conmutativas. Como consecuencia de lo anterior, una relación algebraica tan simple como $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ , no siempre es válida. Precisamente, los análisis de Álgebra Abstracta nos permitirán identificar que es necesario suponer para que la relación anterior sea válida.

Las definiciones son importantes. Es necesario memorizarlas, reconocer instancias adonde se aplica la definición y distinguirlas de aquellas adonde no se aplican. La memorización debe ser con entendimiento y cada lectora o lector puede redactarlas a su conveniencia, siempre y cuando no cambien el significado.
Los enunciados validos pueden clasificarse como axiomas, proposiciones, corolarios y teoremas. Los axiomas son enunciados que aceptamos de partida como válidos. Usualmente en el texto están contenidos en las definiciones. Por ejemplo, cuando estudiamos grupos, suponemos que la operación es asociativa. Al contrario las proposiciones, corolarios y teoremas son enunciados que deben probarse usando los axiomas u otros enunciados probados anteriormente. Las diferencias entre esos enunciados es énfasis: corolarios son consecuencias inmediatas de una proposición, teoremas son proposiciones con resultados muy importantes (es decir que tienen muchas aplicaciones).
En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las hipótesis (los supuestos) y la tesis (la conclusión). Antes de leer la demostración, resulta valioso intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para esos ejemplos. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aún para aquellas con mayor dificultad, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, o ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de hacer lo mismo.
Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar una definición antes de leer aquellas dada en el texto. Hay ejemplos que se repiten a través del libro, por lo que se debe trabajar con ellos.
Las demostraciones constituyen, de cierta manera, el meollo del estudio, ya que las demostraciones nos permiten formar una red lógica de conceptos y resultados, que posibilitarán el entendimiento del material. Demostrar es, simplemente, explicar porque creemos que cierta afirmación es válida, la única restricción es que las explicaciones deben ser enunciados previamente conocidos como válidos. Inicialmente, en el texto, hay demostraciones de muchas de las proposiciones, especialmente explicando la razón de cada paso. Posteriormente, tales justificaciones quedarán al cuidado del lector o lectora. Cuando una demostración sea muy extensa o compleja, recomendamos que la lectora o lector trate de dividirla en partes, y examine cuidadosamente lo hecho.

Algunos convenios

Usamos los convenios siguientes de notación y nomenclatura para los principales sistemas numéricos.

$\mathbb {N}$	El conjunto de los números naturales.
$\mathbb {N} ^{+}$	El conjunto de los naturales positivos.
$\mathbb {Z}$	El conjunto de los enteros.
$\mathbb {Q}$	El conjunto de los racionales.
$\mathbb {R}$	El conjunto de los reales.
$\mathbb {C}$	El conjunto de complejos.
$\mathbb {Z} _{m}$	El conjunto de los enteros módulo $m.$

En el texto, nos referiremos al conjunto de los números naturales, $\mathbb {N}$ , como los Naturales; igualmente para los otros conjuntos numéricos.

Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice Las Funciones, mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice Las Relaciones.

Preparado por Rehernan (discusión) 21:57 8 jul 2025 (UTC)

2. Las Operaciones

CAPÍTULO 2 LAS OPERACIONES

Introducción

En este capítulo, iniciaremos nuestros estudios del Álgebra con las abstracciones de las operaciones usuales. Analizaremos, es decir, consideraremos en forma aislada cada una de las propiedades usuales, para ver claramente las consecuencias de las suposiciones de cada una de esas propiedades. Igualmente, para elementos o subconjuntos destacables.

Cuando estudiamos a los números enteros, nos encontramos con las operaciones de suma, resta y multiplicación. Dichas operaciones poseen varias propiedades interesantes. Hay, además, números y subconjuntos destacados respecto a esas operaciones. Igualmente, tenemos operaciones en los Racionales, Reales y Complejos.

Presentaremos nociones que son abstracciones de esas operaciones y de sus propiedades. Al analizar las propiedades de las operaciones y de elementos destacados como el 0, respecto a la suma, o el 1, respecto a la multiplicación, podremos ver las consecuencias lógicas de la existencia de esas propiedades y elementos.

Definiciones y Ejemplos

La noción general de operación que veremos es una simple abstracción de las operaciones usuales en los conjuntos numéricos. Consideremos las operaciones de suma, resta y multiplicación. ¿Qué tienen en común esas operaciones? Las tres operaciones mencionadas hacen esencialmente lo siguiente: asocian a un par ordenado de números, otro número.

La diferencia entre esas operaciones reside en el valor asociado. Por ejemplo, al par (5, 3), la suma asocia el 8, mientras que resta asocia el 2 y la multiplicación el 15. Esa observación es la base para la definición abstracta de operación que daremos a continuación.

Definición. (Operación) Una operación en un conjunto $E$ es una función

{\begin{array}{rccl}\circledcirc :&E\times E&\longrightarrow &E\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}

Es decir, una operación en un conjunto $E$ es la asignación a cada par ordenado de elementos de E, de un único elemento de E. Cuando $\circledcirc$ es una operación, es costumbre denotar el valor de la función $\circledcirc$ en la pareja (x, y) como $x\circledcirc y$ , en lugar de $\circledcirc (x,y)$ , como es lo usual para las funciones.

Simbolizamos a las operaciones por símbolos tales como $+,-,\cdot ,\div$ , etc. Usamos $\ast$ para indicar una operación cualquiera. Muchas veces, por simplicidad, escribiremos ab o $a\cdot b$ en lugar de a * b.

Ejemplo 1.1.

En el conjunto de los Enteros, $\mathbb {Z}$ , tenemos tres operaciones: la suma, la resta y la multiplicación. En el conjunto de los (números) Racionales y los Reales tenemos también operaciones de suma, resta y multiplicación.

Ejemplo 1.2.

Sigue de la definición dada de operación que la resta NO es una operación en el conjunto de los números naturales, ya que no siempre es posible asignar un número natural a la resta de dos números naturales. Por ejemplo, 3 - 5 no es un número natural. Aunque lo anterior es diferente a lo usado cotidianamente, la diferencia permite hacer un trabajo lógicamente más simple

Como no hay división por cero en los Reales, la división tampoco es, de acuerdo a la definición dada una operación en dicho conjunto.

Ejemplo 1.3.

Sea $X$ un conjunto no vacío y consideremos el conjunto $F(X,\mathbb {R} )$ formado por todas las funciones de ese conjunto en los Reales. Para esas funciones se definen una suma, resta y multiplicación de la siguiente manera.

{\begin{matrix}f+g&:&x\mapsto f(x)+g(x),\\f-g&:&x\mapsto f(x)-g(x),\\f\cdot g&:&x\mapsto f(x)\cdot g(x).\end{matrix}}

Este ejemplo aparece en cursos elementales con la restricción de que se supone que X es un subconjunto de los Reales.

Ejemplo 1.4.

Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $F(X,X)$ el conjunto formado por todas las funciones de $X$ en si mismo. La composición de funciones $(f,g)\mapsto f\circ g$ es una operación en $F(X,X)$ .

Ejemplo 1.5.

Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $\mathbb {P} (X)$ , el conjunto formado por todos los subconjuntos de $X$ . La (re)unión e intersección de subconjuntos son operaciones en $\mathbb {P} (X).$ .

Definición. (Magma) Llamamos magma a un conjunto E provisto de una operación.

Cuando queramos identificar al conjunto y a la operación, describiremos al magma como un pareja formada por el conjunto y la operación, $\langle E,*\rangle$ . Por ejemplo, los Enteros con la suma ( $\langle {\mathbb {Z} ,+}\rangle$ ) y los Enteros con la multiplicación ( $\langle {\mathbb {Z} ,\cdot }\rangle$ ), son ejemplos diferentes de magmas.

Propiedades Especiales

Las propiedades familiares de asociatividad, conmutatividad y distributividad de las operaciones numéricas se pueden definir para un operación cualquiera. Sin embargo, notemos de partida, que no siempre las operaciones tienen esas propiedades.

Definición. (Tipos de Operaciones) Decimos que una operación * en un conjunto $E$ es:

Asociativa, si, para todo $a,b,c$ en $E$ , se cumple que: $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c.$
Conmutativa, si, para todo $a,b$ en $E$ , se cumple que: $a\ast b=b\ast a.$
Distributiva respecto a otra operación $\oplus$ , si, para todo a, b y c en $E$ , se cumple que: $a\ast (b\oplus c)=(a\ast b)\oplus (a\ast c),{\text{ y }}(b\oplus c)*a=(b*a)\oplus (c*a).$

Ejemplo 1.6.

La suma y la multiplicación usual en los conjuntos numéricos son operaciones asociativas y conmutativas. Además, la multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Significado de la Conmutatividad. Una operación es conmutativa, cuando el orden en que se realiza la operación no afecta al resultado. La resta, en los Enteros, no es conmutativa ya que, por ejemplo, tenemos que $5-3=2$ y $3-5=-2$ , y $2\neq -2$ .

Significado de la Asociatividad. La asociatividad nos sirve, cuando está presente, para evaluar el resultado de aplicar la operación a más de dos elementos. En tal situación, debemos agrupar elementos en grupos de a dos para poder evaluar (eso proviene de que nuestras operaciones son binarias, o sea que asocian a dos elementos un tercer elemento). La asociatividad nos dice que podemos agrupar como queramos para la evaluación, sin cambiar el orden de aparición, y el resultado no cambiará.

La resta no es asociativa, ya que 5 - (3 - 2) = 5 - 1 = 4, mientras que (5 - 3) - 2 = 2 - 2 = 0. Esto nos dice que la expresión 5 - 3 - 2 es ambigua, porque el valor de esa expresión dependerá de como agrupemos los operandos. Al contrario, $5+3+2$ no es ambigua, ya que $5+(3+2)=5+5=10$ y $(5+3)+2=8+2=10$ .

En general, cuando una operación * es asociativa, para evaluar una expresión tal como $a*b*c$ , lo podremos hacer agrupando como queramos, ya que ambas posibilidades, $a*(b*c)$ y $(a*b)*c$ , producirán el mismo valor. Por esa razón, cuando la operación es asociativa, podemos eliminar los paréntesis. Ejemplo 1.7.

Definamos una operación $\oplus$ en los Enteros, por $a\oplus b:=a+b+ab$ . Probaremos que $\oplus$ es asociativa y conmutativa.

Resolución. Sean a, b y c números enteros cualesquiera. Tenemos que

{\begin{array}{rcl}a\oplus (b\oplus c)&=&a\oplus (b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)\\&=&a+b+c+bc+ab+ac+abc.\end{array}}

Por su parte,

{\begin{array}{rcl}(a\oplus b)\oplus c&=&(a+b+ab)\oplus c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c\\&=&a+b+ab+c+ac+bc+abc.\end{array}}

Comparando las dos expansiones, concluimos que $a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c.$ Es decir que la operación $\oplus$ es asociativa.

Veamos ahora la conmutatividad. $a\oplus b=a+b+ab$ y $b\oplus a=b+a+ba.$ Luego, $a\oplus b=b\oplus a$ , o sea que la operación $\oplus$ es conmutativa.

Ejemplo 1.8.
Sea $\mathbb {Z} ^{2}$ el conjunto formado por todos los pares ordenados de números enteros. Definamos una operación $\oplus$ en $\mathbb {Z} ^{2}$ por

(m,n)\oplus (p,q):=(ac+2bd,ad+bc).

Evaluate $(3,-1)\oplus (5,2)$ . $(3,-1)\oplus (5,2)=(3*5+2*(-1)*2,3*2+(-1)*5)=(11,1).$
Verificar que $\oplus$ $\oplus$ is asociativa. Sean $\alpha =(a_{1},a_{2})$ $\alpha =(a_{1},a_{2})$ , $\beta =(b_{1},b_{2})$ $\beta =(b_{1},b_{2})$ y $\gamma =(c_{1},c_{2})$ $\gamma =(c_{1},c_{2})$ tres elementos cualesquiera de $\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathbb {Z} ^{2}$ . ${\begin{array}{rcl}\alpha +(\beta +\gamma )&=&(a_{1},a_{2})+((b_{1},b_{2})+(c_{1},c_{2}))\\&=&(a_{1},a_{2})+(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2},b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})\\&=&(a_{1}(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2})+2a_{2}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}),\\&&\qquad a_{1}(b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})+a_{2}(b_{1}c_{1}+2b_{2}c_{2}))\\&=&(a_{1}b_{1}c_{1}+2a_{1}b_{2}c_{2}+2a_{2}b_{1}c_{2}+2a_{2}b_{2}c_{1},\\&&\qquad a_{1}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+2a_{2}b_{1}c_{1}+2a_{2}b_{2}c_{2}).\end{array}}$

${\begin{array}{rcl}(\alpha +\beta )+\gamma &=&((a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2}))+(c_{1},c_{2})\\&=&(a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})+(c_{1},c_{2})\\&=&((a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})c_{1}+2(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{2},\\&&\qquad (a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})c_{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})c_{1})\\&=&(a_{1}b_{1}c_{1}+2a_{2}b_{2}c_{1}+2a_{1}b_{2}c_{2}+2a_{2}b_{1}c_{2},\\&&\qquad a_{1}b_{1}c_{2}+2a_{2}b_{2}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+a_{2}b_{1}c_{1})\\\end{array}}$
```
     Lo que prueba la asociatividad.
```
Veamos ahora que $\oplus$ $\oplus$ es conmutativa. ${\begin{array}{rcl}\alpha +\beta &:=&(a_{1},a_{2})\oplus (a_{2},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\\\beta +\alpha &:=&(a_{2},b_{2})\oplus (a_{1},b_{1})=(a_{2}+b_{2},a_{1}+b_{1})\end{array}}$
```
       Como la suma de enteros es conmutativa, los pares ordenados a la derecha son iguales, lo que prueba la conmutatividad.  
```

Ejercicios

Dar tres ejemplos de operaciones asociativas.
Dar dos ejemplos de operaciones no asociativas.
Definir la operación $\odot$ en los Enteros por $a\odot b:=a+b+1$ . Evaluar $3\odot 5$ , $2\odot 0$ , $-2\odot 1$ . ¿Es $\odot$ asociativa? ¿conmutativa?
Suponer que la operación $*$ no es asociativa. Entonces, la expresión $a*b*c$ tiene dos interpretaciones posibles. ¿Cuántas interpretaciones posibles tiene la expresión $a*b*c*d$ ?
Suponer que la operación $*$ es asociativa. Verificar que todas las interpretaciones posibles de la expresión $a*b*c*d$ (ver el ejercicio anterior) producen el mismo valor.

Los Elementos Destacados

Algunos elementos de un magma tienen propiedades especiales respecto a la operación. Veremos, en esta sección, las nociones de elementos neutros, invertibles y cancelables, que son abstracciones de ciertas propiedades numéricas.

Elementos Neutros

En muchas situaciones, hallamos elementos de un conjunto que tienen propiedades especiales respecto a una operación. Pensemos, por ejemplo, en el rol del 0 en la suma o en el rol del 1 en la multiplicación.

¿Qué tiene en común esos elementos? Simplemente, que cuando se operan con cualquier otro elemento, siempre producen el otro elemento. Es decir, que para todo número $a$ se cumple que $a+0=0+a=a$ y que $a\cdot 1=1\cdot a=a$ En forma abstracta, llamaremos neutro a un elemento con esa propiedad.

Definición. (Elemento Neutro) Sea E un magma con operación *. Decimos que un elemento $e$ de $E$ es un neutro respecto a la operación *, si, para todo $a\in E$ se cumple que

a*e=a=e*a.

Cuando haya un neutro para una operación, diremos que la operación tiene o admite un neutro.

Ejemplo 2.1.

En los conjuntos numéricos, el 0 es un neutro para la suma y el 1 es un neutro para la multiplicación.

Siempre que tenemos elementos destacados, cabe preguntarse ¿cuántos elementos de ese tipo hay? Los ejemplos del 0 y del 1, nos hacen sospechar que tales elementos son únicos. Lo que probaremos que es válido de forma general, o sea, para una operación cualquiera.

Supongamos entonces que $e$ y $e^{\prime }$ fueran ambos neutros para una misma operación $\ast$ . Para obtener una respuesta, calcularemos de dos maneras diferentes a $e*e'$ .

Como $e'$ es neutro, tenemos que $e*e'=e$ . Pero como $e$ es neutro, tenemos que $e*e'=e'$ . Luego $e=e'$ .

Hemos así probado, nuestro primer resultado abstracto.

Proposición 1. (Unicidad de Neutros) Cuando una operación tiene un neutro, dicho neutro es único.

A menos que se diga lo contrario, $\mathbf {e}$ será la notación preferida para denotar a un elemento neutro cualquiera.

Ejemplo.

Consideremos la operación $\oplus$ en los Enteros definida por $a\oplus b=a+b+ab$ . Vimos en el ejemplo 1.7 que esta operación era asociativa y conmutativa. Aquí, trataremos de determinar si tiene o no un elemento neutro.

Supongamos que tuviera elemento neutro, digamos $e$ Entonces, para cualquier número entero $a$ tendríamos que

{\begin{array}{lrcl}&a\oplus e&=&a\\\implies &a+e+ae&=&a\\\implies &e(1+a)&=&0\\\implies &e&=&0.\end{array}}

Donde hemos supuesto que $1+a\neq 0$ Verifiquemos

a\oplus 0=a+0+a0=a.

Es decir que 0 es efectivamente un neutro para la operación $\oplus$

Los Elementos Invertibles

Cuando trabajamos con la suma de los números enteros, tenemos asociado a cada número $a$ el número $-a$ que es un número con la propiedad de que sumado con el original nos da el neutro. Los recíprocos tienen propiedades análogas respecto a la multiplicación de los números reales, ya que multiplicados con el número original producen el neutro multiplicativo 1. Generalizaremos lo anterior en la siguiente definición.

Definición. (Elemento Invertible) Sea $<E,*>$ un magma con neutro $e$ Decimos que un elemento $a$ de $E$ es invertible (respecto a la operación), ssi, hay un elemento $b$ , al que llamamos un inverso de $a$ , y que es tal que

a*b=b*a=e.

Observación. El neutro es su propio inverso.

Sea * una operación en el conjunto

E

con neutro

e

. Como

e*e=e

tenemos que el elemento neutro es invertible y que es su

Ejemplo 2.2.

Ejemplo 2.3 (Los Enteros).

La Suma en los Enteros tiene neutro 0 y cada elemento $a$ tiene un inverso respecto a la suma, $(-a)$ , ya que $a+(-a)=(-a)+a=0$

La Multiplicación tiene neutro 1 y los únicos elementos invertibles son $1$ y $-1$ ---ya que $1$ es el neutro y $(-1)(-1)=1$ .

Probaremos, a continuación, que cuando la operación sea asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.

Proposición 2. (Unicidad de los Inversos) Cuando la operación es asociativa, cada elemento invertible tiene exactamente un inverso.

Demostración

b

b'

a

b=b*e=b*(a*b')=(b*a)*b'=e*b'=b'.

La proposición tiene la siguiente interesante consecuencia.
Corolario 2.1. Cuando para cierta operación con neutro, hay un elemento que tiene al menos dos inversos diferentes, la operación no puede ser asociativa.

Como cada elemento invertible tiene un único inverso, hablaremos de el

inverso del elemento. Cuando $a$ tenga inverso, simbolizaremos

a^{-1}.

La proposición anterior tiene los siguientes importantes corolarios
Corolario 2.2. Sea * una operación asociativa en un conjunto E.

Sea $a$ un elemento invertible. Entonces, su inverso también tine inverso, que es el elemento original $a.$ Es decir, $(a^{-1})^{-1}=a.$

Sean $a,b$ elementos invertibles, entonces su producto $a*b$ también es invertible y se cumple que $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.$
(Notemos el cambio de orden en el lado derecho) Es decir que el inverso de un producto de dos elementos invertibles es invertible y su inverso es el producto de los inversos de los factores pero con el orden cambiado.

Demostración.

a

b

Como $a^{-1}*a=e$ y $a*a^{-1}=e$ vemos que $a$ es un inverso de $a^{-1}$ Por la unicidad de los inversos, $a$ debe ser \textbf{el} inverso de $a^{-1}$ .
Se tiene que ${\begin{array}{rcl}(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})&=&a*(b*b^{-1})*a^{-1}=a*e*a^{-1}a=a*a^{-1}=e\\(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)&=&b^{-1}*(a*a^{-1})*b^{-1}=b^{-1}*e*b=b^{-1}*b=e.\end{array}}$
Por la unicidad de los inversos, tenemos el resultado.

Interrogante. ¿Por qué fue necesario suponer asociatividad en la proposición anterior?

Ejemplo 2.4.

Recordemos la operación $\oplus$ definida en los Enteros por $a\oplus ~b=a+ab+ab$ Vimos anteriormente que esa operación es asociativa, conmutativa y tiene neutro 0. Nos preguntamos ahora, ¿cuáles elementos tienen inverso respecto a esa operación?

Resolución. Supongamos que $a$ es un número entero con inverso $x$ respecto a $\oplus$ Entonces,

{\begin{array}{lrcl}&a\oplus x&=&0\\\implies &a+x+ax&=&0\\\implies &x(1+a)&=&-a\end{array}}

Lo que prueba que $a$ tendrá inverso, ssi, podemos dividir por $1+a$ en los Enteros. Es decir, ssi, $1+a=1$ o $1+a=-1$ Por lo que $a=0$ o $a=-2$ son los únicos posibles elementos invertibles, y sus inversos serían, respectivamente, 0 y $-2$ Como $0$ es el neutro, sabíamos que tenía inverso y que era él mismo. Verifiquemos el caso de $-2,$

(-2)\oplus (-2)=(-2)+(-2)+(-2)(-2)=0.

Luego, los únicos elementos invertibles respecto a $\oplus$ son el neutro y $-2$ .

Los Elementos Cancelables

En los números Enteros, la relación $3x=3y$ implica que $x=y$ , a pesar de que no hay división por 3 en los enteros. Esa cancelación del 3 se generaliza en la siguiente definición, que habla de cancelación por la izquierda o derecha, ya que las operaciones no son necesariamente conmutativas.

Definición. (Elementos Cancelables) Sea <E, *> un magma. Decimos que un elemento

a

es cancelable por la izquierda, ssi, para todo x,y en E se cumple que

a*x=a*y\implies x=y.

Decimos que un elemento a es cancelable por la derecha, ssi, para todo x, y de E, se cumple que

x*a=y*a\implies x=y.

Decimos simplemente que un elemento es cancelable, cuando lo sea tanto por la derecha como por la izquierda.

Ejemplo 2.5.

En los Enteros, con respecto a la multiplicación, todos los elementos no nulos son cancelables.

Probaremos, a continuación, que cuando un elemento es invertible, ese elemento es cancelable. El recíproco de lo anterior no es cierto como lo muestra el ejemplo de la multiplicación en los Enteros.

Proposición 3. (Invertibles son cancelables) Cada elemento invertible respecto a una operación asociativa es cancelable.

Demostración:

a

b.

{\begin{array}{rcl}a*x=a*y&\implies &b*(a*x)=b*(a*y)\implies (b*a)*x=(b*a)*y\\&\implies &e*x=e*y\implies x=y,\quad {\text{y}}\\x*a=y*a&\implies &(x*a)*b=(y*a)*b\implies x*(a*b)=y*(a*b)\\&\implies &x*e=y*e\implies x=y.\end{array}}

Ejemplo 2.6.

Volvemos a examinar la operación $\oplus$ del ejemplo 1.8, para determinar elementos cancelables respecto a esa operación.

Resolución: Sean $a$ , $x$ , $y$ enteros cualesquiera.

{\begin{array}{lrcl}&a\oplus x&=&a\oplus y\\\implies &a+x+ax&=&a+y+ay\\\implies &(1+a)x&=&(1+a)y.\end{array}}

x=y

$1+a\neq 0$ Es decir que todos los elementos diferentes de $-1$ son cancelables.

Convenios de notación

Podemos simbolizar una operación de muchas maneras diferentes, pero hay algunas maneras que usamos más frecuentemente. Por ejemplo, las sumas se simbolizan usando $+$ o algo parecido, $\oplus$ . Cuando usemos $+$ hablaremos de la notación aditiva. Usaremos preferentemente la notación aditiva cuando la operación sea conmutativa. Por su parte, la multiplicación se denota por $\cdot$ o nada y diremos que estamos usando la notación multiplicativa. Cuando queramos insistir en la abstracción, usaremos la notación $\ast$ La siguiente tabla resume los convenios notacionales acerca de esas notaciones.

Si la operación es	+	$\cdot$	*
la notación es	Aditiva	Multiplicativa	General
el neutro es	0	1	e
el inverso es	-a	$a^{-1}$	$a^{-1}$
	opuesto aditivo	recíproco	inverso

Observaciones.

(Terminología) Algunos autores llaman leyes de composición a las operaciones, elementos simetrizables a los invertibles.
Nuestra definición de operación es aquella de una operación binaria porque asocia a dos elementos del conjunto un valor. Como esas será, en la práctica, la única forma de operación que usaremos, hemos omitido el apellido. Sin embargo podemos definir operaciones con otra cantidad de argumentos. Véase, por ejemplo, el apéndice sobre la Teoría de Estructuras Algebraicas.
Nuestra definición de operación es aquella de una operación interna. Hay otra clase operaciones llamadas externas en un conjunto E, que son funciones $A\times E\rightarrow E$ , donde A usualmente tiene también una estructura algebraica. El ejemplo típico de operación externa es el producto de un escalar (número) por una matriz, o de una constante (número) por una función.

Ejemplo: F(X,X)

Sea X un conjunto no vacío. Simbolizamos por $F(X,X)$ al conjunto formado por todas las funciones del conjunto X en si mismo. La composición de funciones es una operación en ese conjunto.

Este es un ejemplo importante, que reaparecerá varias veces en el futuro. Ilustra un conjunto con una operación donde hay elementos cancelables que no son invertibles o que son cancelables por la izquierda, pero no por la derecha, etc.

La composición^[1] de funciones define una operación asociativa en F(X,X).
La función identidad $1_{X}$ que envía cada elemento de X en si mismo, es un neutro para la composición.

En F(X,X) tenemos funciones inyectivas, suprayectivas, y biyectivas. Se sabe por resultados generales ^[1] que:

Las funciones inyectivas son cancelables por la izquierda.

Recordemos que una función

f:X\rightarrow Y

es inyectiva, ssi, para todo

x

,

y

,\\

f(x)=f(y)

implica que

x=y

. Supongamos que

f,g,h:X\rightarrow X

son 0funciones tales que

f\circ g=f\circ h

y que

f

es inyectiva. Entonces, para todo

x

,

y

en

X

(f\circ g)(x)=(f\circ h)(y)\implies f(g(x))=f(h(x))\implies g(x)=h(x)

.

Por lo que

f=g

(toman el mismo valor para cualquier elemento de

X

).

Las funciones suprayectivas son cancelables por la derecha.

Recordemos que una función

f:X\rightarrow Y

es suprayectiva, ssi, para todo

y

en

Y

, hay un

x

en

X

tal que

f(x)=y

. Supongamos que

f,g,h:X\rightarrow X

son funciones tales que

g\circ f=h\circ f

y que

f

es suprayectiva. Entonces, para todo

y

en

X

hay un

x

en

X

tal que

y=f(x)

.

Luego,

g(f(x))=h(f(x))\implies g(y)=h(y)

. Por lo que

g=h.

Las funciones biyectivas, por ser inyectivas y suprayectivas son cancelables por izquierda y derecha. De hecho, son invertibles.

Ejemplo. Los Enteros Módulo m

Sea $m$ un número entero positivo. Llamamos enteros módulo $m$ al conjunto denotado por $\mathbb {Z} _{m}$ y que está formado por los enteros, pero sujeto a la condición $m=0$ . Las operaciones de suma, resta y multiplicación son aquellas de los enteros son aquellas de los enteros, pero computadas usando la condición indicada.

Por ejemplo, cuando $m=5$ , se tiene que $2+2=4$ , $2+3=5=0$ , $2+6=5+1=1$ , etc. Además, se tiene que $12=7=2$ , ya que $12=7+5=7=5+2=2$ .

Sea $x$ un entero cualquiera, dividiendo por $m$ se obtiene un cociente $q$ y un residuo $r$ , $0\leq r<m$ , tal que $x=qm+r.$

Por lo que en $\mathbb {Z} _{m}=r$ . Es decir que en $\mathbb {Z} _{m}$ hay solamente tantos elementos como residuos en la división por $m$ , o sea $0,1,2,\dots ,m-1$ .

Las operaciones de $\mathbb {Z} _{m}$ , por ser las operaciones en los enteros, son asociativas, conmutativas, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma

Notemos, que $x+(m-x)=m=0$ , lo que implica que cada elemento $x$ de $\mathbb {Z} _{m}$ tiene un opuesto aditivo.

En $\mathbb {Z} _{5}$ , el elemento 2 tiene inverso multiplicativo 3, ya que $2\cdot 3=6=1$ . Como se verá en ejemplos y ejercicios posteriores, no siempre elementos de $\mathbb {Z} _{m}$ tienen recíprocos. Por ejemplo en $Z_{4}$ , $2*0=0$ , $2*1=2$ , $2*2=0$ , $2*3=2$ , lo que muestra que $2$ no tiene inverso multiplicativo.

Ejercicios

Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ el conjunto de números reales de la forma $p+q{\sqrt {5}}$ , donde $p$ y $q$ son números racionales. Probar que la suma y el producto de dos números de esa forma son de la misma forma. Probar que $p+q{\sqrt {5}}$ . tiene un recíproco de la misma forma, cuando $p$ y $q$ no son ambos nulos.
(Enteros módulo $m$ $m$ )
1. En $\mathbb {Z} _{6}$ , con la multiplicación. ¿Cuáles elementos tienen recíprocos?
2. En $\mathbb {Z} _{5}$ , con la multiplicación ¿cuáles elementos tienen recíprocos?
Probar que si para un elemento $x$ de un magma $E$ se cumple que $x^{2}=e$ , donde $e$ es un neutro. Entonces, $x$ es invertible.
Sea $E$ $E$ un magma asociativo con neutro $e$ $e$ . Suponer además que $x$ $x$ y $y$ $y$ son elementos invertibles del magma. No suponga conmutatividad. Simplificar las siguientes expresiones.
1. $(x^{-1}y)^{-1}.$
2. $(xyx^{-1})^{-1}.$
3. $(yxy^{-1})^{2}.$ .
Sea $E$ un magma asociativo, pero no conmutativo. Sean $x$ , $y$ y $z$ elementos invertibles de $E$ . ¿Cuál es el inverso de $xyz$ ?

Las Partes Cerradas

Definición. (Cerraduras) Sea E un magma. Decimos que un subconjunto $S$ de $E$ es:

cerrado respecto a la operación cuando el producto de dos elementos de $S$ está siempre en $S$ .
cerrado respecto a tomar neutro, cuando contiene al neutro.
cerrado respecto a tomar inversos, cuando para cada $x\in S$ , el recíproco de $x$ , también está en $S$ .

Ejemplo 3.1.

Sea $<\mathbb {R} ,\cdot >$ el magma multiplicativo de los Reales y sea $S$ el conjunto de los reales positivos, ${\mathbb {R} }^{+}$ . Los positivos son cerrados respecto a la multiplicación, al neutro y a tomar recíprocos (inversos multiplicativos).

Operación Restringida.

Cuando un conjunto es cerrado respecto a una operación, dicha operación define por restricción una operación en el conjunto cerrado. Aunque, en rigor, la operación restringida es una operación diferente a la operacíón en todo el conjunto, ya que como función se han cambiado su dominio y codominio, es tradicional usar la misma notación para la operación restringida.

Ejemplo 3.2.

Sea S el conjunto formado por todos los números complejos de la forma $m+n{\sqrt {-5}}$ donde $m$ y $n$ . Sean $z=m+n{\sqrt {-5}}$ y $w=p+q{\sqrt {-5}}$ elementos de S.

Probaremos que con respecto a la adición S es cerrado respecto a la operación, al neutro y a los opuestos aditivos.
1. $z+w=(m+p)+(n+q){\sqrt {-5}}$ . Como la suma de enteros es un entero, tenemos que z + w es un elemento de S, lo que prueba la cerradura respecto a la suma,
2. Como $0=0+0{\sqrt {-5}}$ , el neutro es un elemento de S
3. El opuesto aditivo de Z es $(-m)+(-n){\sqrt {-5}}$ , que también es un elemento de S.
Probaremos que S es cerrado respecto a la multiplicación y al neutro multiplicativo1; pero, veremos que no es cerrado respecto a tomar recíprocos.
1. Como $zw=(m+n{\sqrt {-5}})(p+q{\sqrt {-5}}=(mp+5nq)+(mq+np){\sqrt {-5}}$ , los productos de elementos en S están en S, o sea que S es cerrado respecto a la multiplicación.
2. Como $1=1+0{\sqrt {-5}}$ , el neutro 1 está en S.
3. Como $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6$ , el recíproco de $1+{\sqrt {-5}}$ es igual a ${\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {-5}},$ que no está en S.

Proposición 4. Cuando la intersección de dos partes cerradas no es vacia, dicha intersección es una parte cerrada.

Demostración:

S

T

*

x

y

S\cap T

x,y

S

S

T

S\cap T

Tablas de Operaciones

Cuando el conjunto donde actúa una operación es finito y con relativamente pocos elementos, podemos presentar a la operación como una tabla de la operación, que es un arreglo como el siguiente.

{\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}

El producto b * c se obtiene en la intersección de la fila que contiene a b con la columna que contiene a c. En esta tabla, b * c = a.

Notemos que la fila y columna de e reproducen la fila y tabla de elementos del conjunto, lo que indica que e es neutro.

Veamos como buscar en la tabla si un elemento tiene inverso, digamos que buscamos el inverso de b. Nos movemos por la fila del b hasta hallar el neutro. Si no hallamos un neutro, eso significa que no hay inverso. En este caso hallamos e (neutro en este caso) en la columna del b, lo que nos dice que b * b = e. Por lo que b^-1 = b.

En general, si hallamos x * y = e ( e neutro), antes de concluir sobre inversos, debemos chequear y * x (a menos que haya conmutatividad u otra situación especial, no hay nada que indique que y * x = x* y = e).

Cuando la tabla, como en este caso, es simétrica respecto a la diagonal principal (desde izquierda arriba a derecha abajo), tenemos que la operación es conmutativa.

Ejemplo 4.1. (Las tablas de $\mathbb {Z} _{6}$ ).

Sabemos que $\mathbb {Z} _{6}$ tiene solamente seis elementos, a saber

\mathbb {Z} _{6}=\{0,1,2,3,4,5\}.

Presentamos las tablas de la operaciones como ejemplos de tablas finitas. Queda de asignación verificar la corrección de las mismas.

{\begin{array}{c|cccccc}+&0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&1&2&3&4&5\\1&1&2&3&4&5&0\\2&2&3&4&5&0&1\\3&3&4&5&0&1&2\\4&4&5&0&1&2&3\\5&5&0&1&2&3&4\end{array}}\qquad \qquad {\begin{array}{c|cccccc}\cdot &0&1&2&3&4&5\\\hline 0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5\\2&0&2&4&0&2&4\\3&0&3&0&4&2&3\\4&0&4&3&2&1&2\\5&0&5&4&3&2&1\end{array}}

Mirando a la tabla de suma o por simple computación) vemos que 2 + 4 =0, o sea que -2 = 4. ¿Qué otros elementos tienen opuestos aditivos? En la tabla de multiplicación vemos que 5*5 = 1, o sea que 1/5 =5. ¿Qué otros elementos tiene recíproco?

Finalmente, observemos que {1,5} es un subconjunto cerrado para la multiplicación.

Productos Múltiples, Potencias

Los lectores seguramente han visto anteriormente sumatorias de números,

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+\dots +a_{n}.

Operaciones Generalizadas. Supongamos que tenemos un magma $<E,*>$ y una sucesión $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ de elementos de E.

Supongamos que queremos hallar el producto de todos ellos. En el texto, hemos aprovechado la experiencia manipulativa de los lectores para no preocuparnos demasiado de ese asunto. La situación es que, por definición, nuestra operación es binaria por lo que no hay como hallar, sin un convenio previo, el producto de una sucesión con más de dos elementos.

Si tuviéramos tres elementos, digamos a, b y c, podríamos formar producto con los tres de una de las siguientes maneras

a*(b*c),\quad (a*b)*c

Notemos que los paréntesis se usan para agrupar dos a la vez. Cuando la operación es asociativa, ambas expresiones representan al mismo elemento. Pero, si la operación no fuera asociativa, ¿cuál de las dos sería el producto de esos tres elementos?

Cuando hay cuatro elementos, hay muchas más posibilidades de agrupamientos, dos a la vez.

Definiremos una noción análoga a las sumatorias para un producto de una sucesión cualquiera.

Definición. (Producto Generalizado) Sea <E,*> un magma y sea $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ . Llamamos producto de los elementos de la sucesión (en el orden indicado) al elemento de E, denotado por $\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ y definido como

a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\prod _{i=1}^{k}a_{i})*a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1\end{cases}}

Es fácil ver, por inducción, de que efectivamente se ha definido un elemento de E.

Sigue de la definición que

( $n=2$ ) $a_{1}*a_{2}=(a_{1})*a_{2}=a_{1}*a_{2}.$
( $n=3$ ) $a_{1}*a_{2}*a_{3}:=(a_{1}*a_{2})*a_{3}.$
( $n=4$ ) $(a_{1}*a_{2}*a_{3})*a_{4}=((a_{1}*a_{2})*a_{3})*a_{4}.$ .

Notemos que la definición no requiere que la operación sea asociativa.
Cuando la operación sea asociativa, se puede probar que podemos reagrupar como queramos los elementos de la sucesión. Por ejemplo,

a_{1}*\dots *a_{5}=a_{1}*(a_{2}*a_{3})*(a_{4}*a_{5})=a_{1}*(a_{2}*a_{3}*a_{4})*a_{5}.

Cuando la operación sea además conmutativa, el producto multiple es el mismo para cualquier permutación (reordenamiento) de los índices.

Cuando la operación tenga neutro  $e$ , se acuerda que el producto de una sucesión vacía es igual al elemento neutro.

En notación aditiva, la definición anterior es la usual definición de sumatoria

\sum _{i=1}^{n}a_{i}:={\begin{cases}a_{1}&{\text{si }}n=1\\(\sum _{i=1}^{k}a_{i})+a_{k+1}&{\text{si }}n=k+1.\end{cases}}

Asociatividad. Cuando la operación es asociativa, se puede probar que independiente de la manera que agrupemos los elementos de la sucesión--siempre y cuando, mantengamos el orden de aparición---el producto siempre es el mismo.

La demostración consiste en considerar particiones de [1,..,n] que preserven el orden y mostrar que el producto de

a_{1},\dots ,a_{n}

es igual al

producto de los productos parciales.

Por ejemplo, en el caso

n=7

si tenemos 1,2|3,4,5|6,7. Entonces

deberíamos probar que $\prod _{i=1}^{3}b_{i}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}$ , donde $b_{1}=a_{1}*a_{2},\quad b_{2}=a_{3}*a_{4}*a_{5},\quad b_{3}=a_{6}*a7.$ Es decir que

\underbrace {(a_{1}*a_{2})} _{b_{1}}*\underbrace {(a_{3}*a_{4}*a_{5})} _{b_{2}}*\underbrace {(a_{6}*a_{7})} _{b_{3}}=\prod _{i=1}^{7}a_{i}.

La demostración formal procede por inducción sobre n. Los lectores

experimentados con este tipo de demostraciones puede intentarlo por su cuenta. La demostración formal se puede hallar en las referencias bibliográficas ^[2], ^[3] o ^[4].

También en la página Semigrupos, Monoides,... de WikiLibros, donde puede hallarse demostraciones tanto de la asociatividad como de la conmutatividad generalizadas.

Al igual que hay sumatorias de la forma $\sum _{i=5}^{20}a_{i}$ , podemos definir productos multiples de sucesiones de elementos cuyos subíndices sean un subconjunto ordenado finito de $\mathbb {N}$ . Dejaremos al cuidado de lectores y lectoras tales generalizaciones.

En cursos primeros de matemáticas, se define la potencia natural de un número $a$ como el producto de $a$ consigo mismo $n$ veces, denotado por $a^{n}$ . Usando la definición de producto multiple definiremos $a^{n}$ como el producto de $n$ factores, todos ellos iguales a $a$ .

Definición. (Potencia) Sean $*$ una operación en el conjunto $E$ , $a$ un elemento de $E$ , y $n$ un natural positivo. Definimos $a^{n}$ como el producto $a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}$ , cuando $a_{1}=a_{2}=\cdots a_{n}=a$ . Cuando la operación tiene neutro $e$ , se define, además, $a^{0}:=e$

Observación. Sigue de la definición que $a^{1}=a$ , $a^{k+1}=a^{k}*a$ . Proposición ## (Propiedades de las Potencias)

Sea $*$ una operación asociativa en $E$ , $a$ y $b$ elementos de $E$ , $m$ y $n$ naturales positivos.

$a^{m+n}=a^{m}*a^{n}$ .
$a^{mn}=(a^{m})^{n}$ .
Si $a*b=b*a$ , $a*b^{n}=b^{n}*a$ .
Si $a*b=b*a$ , $(a*b)^{m}=a^{m}*b^{m}$ .
Si la operación tiene neutro $e$ , las relaciones anteriores son válidas para naturales cualesquiera. Además se cumple que $e^{n}=e$ , para todo natural.

Demostración Aprovechando la observación anterior, usaremos inducción sobre $n$ para las pruebas.

( $n=1$ ) $a^{m+1}=a^{m}*a=a^{m}*a^{1}$ . Suponiendo que $a^{m+k}=a^{m}*a^{k}$
$a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1}=a^{m+k}*a=(a^{m}*a^{k})*a=a^{m}*(a^{k}*a)=a^{m}*a^{k+1}$ .
$(a^{m})^{1}=a^{m}=a^{m\cdot 1}$ . Suponiendo que $(a^{m})^{k}=a^{mk}$ .
$(a^{m})^{k+1}=(a^{m})^{k}*a^{m}=a^{mk}*a^{m}=a^{mk+m}=a^{m(k+1)}$ .
$a*b^{1}=a*b=b*a=b^{1}*a$ . Suponiendo que $a*b^{k}=b^{k}*a$ ,
$a*b^{k+1}=a*(b^{k}*b)=(a*b^{k})*b=(b^{k}*a)*b=b^{k}*(a*b)=b^{k}*(b*a)=(b^{k}*b)*a=b^{k+1}*a$ .
$(a*b)^{1}=a*b=a^{1}b^{1}$ . Suponiendo que $(a*b)^{k}=a^{k}*b^{k}$ , $(a*b)^{k+1}=(a*b)^{k}*(a*b)=(a^{k}*b^{k})*(a*b)=a^{k}*(b^{k}*a)*b=a^{k}*(a*b^{k})*b=(a^{k}*a)*(b^{k}*b)=a^{k+1}b^{k+1}$ .
Ejercicio.

Ejercicios del Capítulo

Completar los espacios en blanco
1. Una operación en un conjunto E es una función de _________ en _____.
2. Un elemento neutro de una operación * de un conjunto E es un elemento e tal que para todo x en E se cumple que ______________ y ______________ .
3. Un elemento x es un inverso de un elemento y, ssi, __________ y ________.
4. Un conjunto S es cerrado respecto a una operación, cuando para cada par x, y de elementos de S se cumple que __________________
5. Cuando el orden de los operandos no altera el resultado (producto) de una operación, la operación es ________________.
6. Cuando la notación es aditiva, el neutro usualmente se simboliza por __.
7. Cuando la notación es aditiva, llamamos _____________ ______________ al inverso.
¿Cuáles de las siguientes especificaciones determinan una operación en el conjunto de los naturales positivos, $\mathbb {N} ^{+}$ $\mathbb {N} ^{+}$ ? En caso afirmativo, determinar las propiedades de las operaciones y la existencia de neutro y de inversos.
1. $a\#b:=\max\{x,y\}$ .
2. $a\wedge b:=$ máximo común divisor de a y b.
3. $a\vee b:=$ mínimo común divisor de a y b.
4. $a\otimes b:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ .
Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{2}$ (enteros módulo 2) y $\mathbb {Z} _{3}$ respecto a la suma.
Construir la tabla de $\mathbb {Z} _{5}$ (enteros módulo 5) respecto a la multiplicación. Mirando la tabla determinar el neutro y los elementos que tienen recíproco.
Cada una de las siguientes tablas es una tabla de un operación asociativa. Examinando la tabla determinar si hay elementos neutros y cuáles elementos tienen inversos. ${\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&a&b&c\\b&b&b&b&c\\c&c&c&c&c\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&b&c&e\\b&b&c&e&a\\c&c&e&a&b\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$
Escribir en forma precisa el procedimiento para determinar en una tabla de una operación
1. ¿cuál es el elemento neutro?
2. ¿cuáles elementos tienen inversos?
¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Enteros?
1. El subconjunto formado solamente por el 0, $\{0\}$ .
2. Los múltiplos de 9.
3. Los múltiplos de 23.
4. Generalizar los ejercicios anteriores.
5. $\{1,0,-1\}$ .
6. Los Enteros positivos.
7. Los Primos.
¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la multiplicación en los Enteros?
1. Los números pares.
2. Los números impares.
3. Los múltiplos de 5.
4. Los Enteros positivos.
5. Los Enteros negativos.
¿Cuáles de los conjuntos siguientes son cerrados respecto a la adición en los Racionales?
1. Los Racionales positivos.
2. Los Racionales negativos.
3. Los números de la forma $m/2^{n}$ , donde m es un entero cualquiera y n es un número natural.
4. Los números de la forma $m/10^{n}$ donde m es un entero positivo y n es natural.
Probar que el conjunto $\{1,-1,i,-i\}$ , donde $i^{2}=-1$ , es cerrado respecto a la multiplicación en los Complejos. Construya la tabla correspondiente a esa operación,
Sea A una parte cerrada respecto a una operación. Explicar por qué cuando operación es asociativa (resp.conmutativa), su restricción a A también lo será.
Sea $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ el conjunto formado por todos los números reales de la forma $p+q{\sqrt {5}}$ donde $p$ y $q$ son racionales. Probar que $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ es cerrado respecto a la multiplicación en los Reales.
Sea X un conjunto y sea $\mathbb {P} (X)$ el conjunto formado por todos los subconjuntos de X. Investigar si la unión e intersección de subconjuntos son operaciones y sus propiedades.
Sea E un magma. Decimos que dos elementos a y b permutan o conmutan entre si, ssi, ab = ba. probar que si la operación es asociativa y a conmuta con b y c, entonces, a conmuta con b * c.
¿Cuántas operaciones diferentes se pueden definir en un conjunto con dos elementos?, ¿cuántas son conmutativas?

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 Ver Apéndice sobre Funciones.
↑ (BB) Bourbaki
↑ (BB) Dubreil
↑ (BB) Jacobson

3. Las Estructuras Algebraicas

Introducción

Cuando a un conjunto lo proveemos de una o más operaciones, obtenemos una estructura algebraica. En este capítulo, veremos algunas de las estructuras clásicas con una o dos operaciones.

Las estructuras se clasifican por la cantidad de operaciones que aparecen en la estructura, las propiedades de esas operaciones, la existencia de elementos o subconjuntos destacados y las relaciones (de orden u otras) entre los elementos del conjunto base.

Presentaremos diversos tipos de estructuras con ejemplos de cada uno de esos tipos. Resultará importante familiarizarse con esos ejemplos, ya que nos referiremos a la mayoría de ellos en capítulos posteriores.

Estructuras Algebraicas

Una Estructura Algebraica o Sistema Algebraico es un lista de la forma <E, p₁, p₂, ...> donde E es un conjunto (llamado el conjunto base o portador de la estructura) y p₁, p₂, ... son los parámetros de la estructura. Dichos parámetros son usualmente operaciones en E, incluyendo operaciones externas (operaciones tales como la multiplicación por constante de una función, o escalar por matriz). También puede haber relaciones entre los elementos de E.

Las operaciones pueden ser de varios tipos. Además de las operaciones vistas en el capítulo anterior, que son operaciones binarias porque tienen dos operandos, hay operaciones unarias, ternarias, etc.

El Álgebra Abstracta es el estudio de las diferentes estructuras---definiciones, propiedades, relaciones entre ellas, etc--- independiente de la naturaleza de los elementos del conjunto base. Como veremos en el texto, varios conjuntos diferentes sirven de conjunto base de una misma estructura. A medida que avancemos en el texto, discutiremos más detalles acerca de las estructuras. Una discusión más detallada puede hallarse en el apéndice sobre la Teoría de Estructuras Algebraicas.

Estructuras con una Operación

Nuestro estudio empezará con estructuras muy simples ya que la lista de parámetros incluye solamente a una operación. Veremos las estructuras de magma, semigrupos, monoides y grupos. ^[1]

Definición de Magma

La estructura algebraica más simple que consideraremos, magma, fue introducida en el capítulo anterior. Recordaremos a continuación su definición.

Definición. (Magma) Llamamos magma a un par <E,*> donde E es un conjunto no vacío y $*$ es una operación en el conjunto.

Ejemplos.

Los Enteros con la suma, $<\mathbb {Z} ,+>$ , o con la multiplicación, $<\mathbb {Z} ,\cdot >$ .
Los Racionales, los Reales, los Complejos con respecto a la suma y también a la multiplicación.
Los Enteros con la resta.

Sea <E,*> un magma. Cuando no haya ambigüedad acerca de la operación de un magma, podremos hablar simplemente del magma E. Otras veces, podremos hablar del magma E con la operación *.

Definiciones de Semigrupo, Monoide y Grupo

Definición. (Semigrupo, Monoide, Grupos)

Un semigrupo es un magma con operación asociativa.
Un monoide es un semigrupo con elemento neutro.
Un grupo es un monoide cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación.

Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es conmutativo (o abeliano) cuando la operación es conmutativa.^[2]

Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es finito, cuando el conjunto base lo es.

Decimos que un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es aditivo (resp. multiplicativo) cuando la operación se denote como una suma (resp. multiplicación). Usualmente, cuando la operación es conmutativa se denota aditivamente.

Ejemplos.

Los Enteros con la resta forman un magma que no es un semigrupo, ya que la resta no es asociativa.
Los Naturales positivos con la suma forman un semigrupo (la suma es asociativa) que no es un monoide, ya que el neutro 0 no está en el conjunto.
Los Naturales con la suma forman un monoide que no es grupo, ya que los opuestos aditivos de los naturales positivos no están en el conjunto.
Los Enteros con la suma forman un grupo abeliano.
Los Racionales, Los Reales y los Complejos, con la suma determinan grupos abelianos.
Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos.

Observaciones acerca de las estructuras y de la terminología asociada.

En rigor, debiéramos decir, por ejemplo, que $<\mathbb {Z} ,+>$ "tiene o posee una estructura de grupo", o que es una "instancia de la estructura de grupo", pero simplemente decimos $<\mathbb {Z} ,+>$ es un grupo o hablamos del grupo (aditivo) de los Enteros.
En rigor, deberíamos especificar a un monoide como (que tiene) una estructura $<M,*,e>$ para indicar la existencia del neutro e. Igualmente, un grupo debiera especificarse como $<G,*,e,x\mapsto x^{-1}>$ para indicar que hay, además, inversos para cada elemento. Sin embargo, cuando no haya riesgo de confusión mencionamos solamente el conjunto, la operación y el tipo de estructura.
(Descendientes, Ascendientes, Subyacentes) Observemos que hemos definido a las estructuras magma, semigrupos, monoides y grupos, como que cada una es un caso especial de la anterior. Decimos que una estructura es descendiente de una segunda estructura, cuando sea un caso especial de la otra. En tal situación, decimos que la segunda estructura es un ascendiente de la primera. Por ejemplo, las estructuras de semigrupos, monoides y grupos son descendientes de la estructura de magma. Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda. Por ejemplo, el grupo $<\mathbb {Z} ,+>$ , o sea, $<\mathbb {Z} ,+,0,x\mapsto -x>$ tiene una estructura subyacente de monoide $<\mathbb {Z} ,+,0>$ (nos olvidamos de los opuestos aditivos). También tiene una estructura subyacente de semigrupo, $<\mathbb {Z} ,+>$ . Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda.
(Herencia) La razón de llamar descendientes a las estructuras especiales es para señalar que las propiedades de una estructura son heredadas por sus descendientes.
En Álgebra Abstracta, se prefiere siempre enunciar y probar los enunciados en la estructura más general posible, para que sirva para todos sus descendientes.

Sigue de la observaciones anteriores que todas las propiedades de magmas probadas en el capítulo anterior son válidas para semigrupos, monoides y grupos.

Propiedades de Monoides

Un monoide puede contener elementos invertibles, aunque no sea un grupo. Por ejemplo, los Enteros no nulos con la multiplicación forman un monoide que no es grupo, ya que los enteros diferentes de 1, -1 no tienen recíprocos. Sin embargo, 1 y -1 tienen inversos que son ellos mismos. Esto implica que el conjunto U = {1,-1} determina con la multiplicación un grupo. La situación es bastante general, como lo muestra la siguiente proposición.

Proposición 1. (Grupo de invertibles de un Monoide) Sea <M,*> un monoide y sea U_M el conjunto formado por todos los elementos de M que son invertibles. Entonces < U_M, *> es un grupo.

Demostración: Como el producto de invertibles es invertible, U_M es cerrado respecto a la operación, por lo que la restricción de la operación a U_M define allí una operación. El neutro siempre es invertible, por lo que el neutro es un elemento de U_M. Finalmente, los inversos de elementos invertibles son invertibles, por lo que cada elemento de U_M tiene inverso en U_M. Es decir que < U_M, *> es efectivamente un grupo.

Ejemplos.

Los Reales con la multiplicación forman un monoide cuyo grupo de invertibles esta determinado por los Reales no nulos. Igualmente, para los Racionales y los Complejos.
Las matrices cuadradas con la multiplicación forman un monoide, cuyo grupo de invertibles, está formado por las matrices invertibles.

Orden de un Elemento

Definición. (Orden de un Elemento) Sea $M$ un monoide (o grupo) con neutro $e$ y $a$ un elemento de $M$ , Cuando haya un número natural positivo $n$ tal que $a^{n}=e$ , llamaremos orden de $e$ al menor entero positivo con esa propiedad. Cuando el conjunto de potencias de un elemento consista de elementos diferentes entre si, diremos que el elemento tiene orden infinito. Notación: $o(a)$ .

Ejemplos.

El número imaginario $i$ es tal que $i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1$ . Por lo que su orden es 4.
En un grupo aditivo, los múltiplos son las potencias. Por lo que un elemento a tiene orden finito n, cuando na = 0. En los Enteros, no hay números n positivos tales que $n\cdot 1$ , por lo que el orden de 1 es infinito. En los Enteros módulo m, todos los elementos tienen orden finito respecto a la adición.

Proposición 2. Sea a un elemento de un monomio M con $o(a)=n$ , o sea, tal que hay un entero positivo n tal que $a^{n}=e.$ Entonces, a es invertible con inverso $a^{n-1}.$

Demostración:

a*a^{n-1}=a^{n}=e=a^{n-1}*e.

Ejemplos.

En los Enteros $(-1)^{2}=1$ Luego, $-1$ es invertible y su inverso es $(-1)^{2-1}=(-1)^{1}=-1$ ,
E los Entremos módulo 5, se tiene que $2^{4}=16=1$ . Luego, 2 tiene recíproco allí. Su recíproco es $2^{3}=8=3.$ acta]]

Ejemplos

El Álgebra Abstracta como su nombre lo indica tiene su origen en la abstracción de propiedades de ejemplos existentes. Esta (relativamente larga sección, quiere mostrar algunos de esos ejemplos). Es importante que los lectores se familiaricen con ellos. Deben procurar, además, identificar las nociones vistas en el capítulo anterior: elementos neutros, invertibles, cancelables, partes cerradas.

Los Sistemas Numéricos

Nuestros sistemas numéricos son los Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos. A ellos siempre agregaremos los Enteros módulo cierto número.

Los principales resultados que el lector deberá examinar cuidadosamente para ver la validez de lo afirmado.

<X, +> es un grupo abeliano, cuando $X=\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$
Las relaciones de inclusión entre esos conjuntos producen subestructuras. (cuya definición formal veremos posteriormente). Como se trata de la misma operación, el mismo neutro y los mismos opuestos, decimos que los Enteros son un subgrupo aditivo de los Racionales (y de los Reales y de los Complejos). Igualmente, los Racionales son un subgrupo de los Reales y Racionales. Finalmente Los Reales forman un subgrupo de los Complejos.
<X^*, $\cdot$ > es un grupo abeliano cuando $X=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$ X^* indica los elementos no nulos de X.
Los Enteros módulo m son un grupo respecto a la adición. Con respecto a la multiplicación, sus elementos no nulos, en general, forman un monoide.

El Grupo Simétrico

En el capitulo "Las Operaciones" destacamos al ejemplo $F(X,X)$ formado por todas las funciones de $X$ en si mismo. Vimos que dicho conjunto con la composición de funciones tiene una estructura de monoide. Por lo tanto, de acuerdo a la proposición 1, los elementos invertibles de dicho conjunto determinan con la composición un grupo al que llamamos el grupo simétrico de $X$ y que denotamos por ${\textsf {S}}_{X}$ . Notemos que los elementos invertibles de $F(X,X)$ son las funciones biyectivas de $X$ en si mismo. Se puede verifica que cuando el conjunto $X$ tiene más de dos elementos, dicho grupo no es conmutativo.

Cuando $X=I_{n}:=\{1,2,\dots ,n\}$ es el conjunto formado por los primeros $n$ números naturales positivos, denotamos a ${\textsf {S}}_{X}$ por ${\textsf {S}}_{n}$ y le llamamos grupo de las permutaciones de n símbolos o grupo simétrico de grado n. Una permutación, en este contexto, es una función biyectiva de cualquier conjunto finito en si mismo.

Grupo de Permutaciones En forma general, llamamos grupo de permutaciones a un grupo G, tal que G es un subconjunto de algún ${\textsf {S}}_{n}$ . Históricamente, estos fueron los primeros grupos estudiados.

Representación matricial de permutaciones. Cuando $f$ sea una función de I_n en si mismo, escribiremos la tabla de valores de la función de la siguiente manera

{\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\sigma (3)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}

Por ejemplo, todas las biyecciones de $I_{3}$ en si mismo son:

\scriptstyle {\begin{matrix}f_{0}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}&f_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}&f_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}\\[5mm]f_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}&f_{4}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}&f_{5}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\end{matrix}}

Las permutaciones están asociadas, usualmente, con reordenamientos. Mirando a la segunda fila, vemos porque llamamos permutaciones a esas funciones. La siguiente tabla muestra los resultados de la composición de esas funciones, es decir la tabla del grupo.

La tabla de S_3.

{\begin{array}{c|cccccc}\circ &f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}&f_{5}\\\hline f_{0}&f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}&f_{5}\\f_{1}&f_{1}&f_{0}&f_{4}&f_{5}&f_{2}&f_{3}\\f_{2}&f_{2}&f_{3}&f_{0}&f_{1}&f_{5}&f_{4}\\f_{3}&f_{3}&f_{2}&f_{5}&f_{4}&f_{0}&f_{1}\\f_{4}&f_{4}&f_{5}&f_{1}&f_{0}&f_{3}&f_{2}\\f_{5}&f_{5}&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}\end{array}}

Mirando la falta de simetría respecto a la diagonal principal, vemos que la operación no es conmutativa. Claramente, f₀ es la identidad (como función) que es el neutro del grupo.

¿Cómo obtuvimos los resultados? Simplemente por composición de funciones. Veamos el cómputo de $f_{2}\circ f_{3}$

$f_{2}(f_{3}(1))=f_{2}(2)=1,\quad f_{2}(f_{3}(2))=f_{2}(3))=3,\quad f_{2}(f_{3}))=2.$

Luego, el producto es igual a f₁

¿Cuántos elementos tiene ${\textsf {S}}_{n}$ ?

Razonando como reordenamiento de I_n, vemos que debemos ubicar los n elementos de ese conjunto en n posiciones. Tenemos n posibilidades para la primera posición, (n-1) para la segunda, (n-2) para la tercera, etc. Luego,

$|S_{n}|=n*(n-1)*\cdots 2*1=n!$

Las Matrices 2 x 2

Denotamos por $M_{2}(\mathbb {R} )$ al conjunto formado por todas las matrices 2 x 2 con entradas o componentes números reales. Hay operaciones de suma y producto de matrices que recordamos a continuación.

{\begin{array}{lcl}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a+x&b+y\\c+z&d+w\end{bmatrix}}\\[5mm]{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{bmatrix}}\end{array}}

Dichas operaciones tienen las propiedades que indicaremos a continuación. La verificación de la validez de las mismas queda al cuidado de los lectores.

La suma de matrices es asociativa, conmutativa, tiene neutro ${\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$ y cada matriz A tiene opuesto aditivo -A. Lo que nos dice que las matrices con la suma determinan un grupo abeliano.
La multiplicación de matrices es asociativa, pero no conmutativa. Tiene neutro $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ . Por lo que las matrices con la multiplicación determinan un monoide. Las matrices con la multiplicación no determinan un grupo, porque no todas las matrices no nulas tienen inverso. En, efecto se sabe que únicamente las matrices con determinante no nulo son invertibles. Se sabe que si la matriz $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ tiene determinante (ad- bc) no nulo, su inversa es $A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

Las matrices invertibles determinan un grupo ya que el producto de invertibles es invertible con inversa igual al producto de las inversas de los factores, pero con orden invertido.

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};

y la inversa de una matriz invertible tiene como inversa a la matriz original.

Dicho grupo se llama grupo lineal (de dimensión 2) sobre los Reales y se denota por $GL_{2}(\mathbb {R} )$ .

Ejercicios

Verificar la validez de las afirmaciones sobre las propiedades de las operaciones con matrices.
Para cada uno de los siguientes conjuntos de matrices, investigar si son cerrados respecto a la multiplicación, si la identidad pertenece al conjunto y si el inverso de cada elemento en el conjunto pertenece al conjunto ${\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R}$ ${\begin{array}{rcl}B&=&\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \}.\\T&=&\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&(1/a)\end{bmatrix}}:a\in \mathbb {R} \}.\\U&=&\{{\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}:a\in \mathbb {R} \}.\end{array}}$
Sea $GL_{2}(\mathbb {Q} )$ el subconjunto formado por todas las matrices invertibles cuyas entradas son todas números racionales. Probar que dicho conjunto con la multiplicación tiene una estructura de grupo.
Sea ${\mathcal {C}}$ el conjunto de matrices de la forma ${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$ Probar que las matrices no nulas de ${\mathcal {C}}$ forman un grupo con la multiplicación.

Los Enteros módulo m

En esta sección, construiremos de manera formal el conjunto de los Enteros módulo $m$ , así como sus operaciones de adición y multiplicación. Esta construcción servirá de modelo más adelante en la construcción de los llamados grupos cocientes.

Definición. (Congruencia módulo m en los Enteros) Sea m un entero positivo. Decimos que dos enteros x, y son congruentes módulo m, ssi, x - y es un múltiplo de'm

Notación: $x\equiv _{m}y\quad$ o $\quad x\equiv y{\pmod {m}}.$

Claramente, esa relación es reflexiva y simétrica. Probaremos la transitividad.

x\equiv _{m}y,y\equiv _{m}z\implies x-y=sm,y-z=tm,\ s,t\in \mathbb {Z} .

Luego $x-z=x-y+y-x=sm+tm=(s+t)m$ , lo que prueba la transitividad. Nos referiremos a esta relación como la congruencia módulo m.

Supongamos que tenemos una relación de equivalencia en un conjunto $X$. Llamando clase de equivalencia de un elemento $x$ al subconjunto formado por todos los elementos relacionados con $x$ y que denotamos por $x$, se sabe que dichas clases forman una \text it{partición} del conjunto $X$. Es decir que son disjuntas dos a dos y que su (re)unión es todo $X$. Ver los detalles en el apéndice \ref{chRelaciones}.

Las clases de equivalencia con respecto a la relación de congruencia se llaman también clases de congruencia. La clase de congruencia módulo $m$ de un número $x$ está formado por todos aquellos números $y$ tales que $y-x$ es un múltiplo de $m$ , o sea tales que $y=x=km$ , para algún $m$ .

Simbolizaremos por $\mathbf {\mathbb {Z} _{m}}$ al conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo $m$ y diremos que sus elementos son los \textit{enteros módulo $m$ }. Cada elemento de una clase es un \textit{representante} de la clase. Simbolizaremos por $\mathbb {Z} _{m}$ el conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo m y diremos que sus elementos son los Enteros módulo m. Cada elemento de una clase es un representante de la clase.

Ejemplo (Enteros módulo 2).

En este caso dos elementos son equivalentes, o lo que es lo mismo definen la misma clase de equivalencia cuando su diferencia es un múltiplo de 2 (o sea un número par). Por lo que la clase del 0, [0] está formado por todos los x tales que x - 0=x es un número par, por lo que la clase del 0 está formada por todos los números enteros pares.

[x]=\{0,2,-2,4,-4,\dots \}.

Por su parte, la clase del 1, está formada por enteros cuya diferencia con 1 sea par, o sea los impares.

[1]=\{1,-1,3,-3,\dots \}.

Luego, $\mathbb {Z} _{2}=\{[0],[1]\}$ ,

Ejemplo (Enteros módulo 5).

En este caso, dos números son equivalentes cuando su diferencia es un múltiplo de 5. Construyamos las clases de equivalencia. La clase del 0 está formado por todos aquellos números cuya diferencia con 0 es un múltiplo de 5, o sea todos los múltiplos de 5.

[0]=\{0,\pm 5,\pm 10,\pm 15,...\}.

Busquemos ahora la clase de equivalencia del 1. Como $x\equiv _{5}1$ , ssi, $x=1+5s$ , ssi, $x=1+5s$ . La clase del [1] estará formada por todos los enteros que son 1 más que un múltiplo de 5.

[1]=\{1,6,-4,11,-9,16,-14,....\}

Análogamente, obtenemos que

[2]=\{2,7,-3,12,-8,17,-13,...\}

[3]=\{3,8,-2,13,-7,18,...\}

[4]=\{4,9,-1,14,-6,19,...\}

Notemos que $[5]=[0]$ , $[6]=[1]$ etc. Es decir que hay solamente cinco clases diferentes.

$\mathbb {Z} _{5}=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}.$

Operaciones en $\mathbb {Z} _{m}$ .

Queremos definir operaciones de suma y multiplicación en $\mathbb {Z} _{m}$ por

[x]+[y]:=[x+y]\qquad [x]\cdot [y]=[x\cdot y].

Es decir que la suma de la clase de x con la clase de y sea la clase de x+y y análogamente para la multiplicación. Hay, sin embargo, un problema con tal definición. La suma (y, lo mismo, el producto) se obtienen sumado (resp. multiplicando) dos representantes, uno de cada clase; por lo que resulta natural preguntar, ¿qué pasaría si escogiéramos otras representantes? La siguiente proposición no asegurará que no importa los representantes que escojamos, siempre obtendremos el mismo resultado.

Proposición 3. (Compatibilidad con las operaciones) Sean a, b, c, d números enteros tales que $a\equiv _{m}b$ y $c\equiv _{m}d.$ Entonces,}}

$a+c\equiv _{m}b+d$ .
$ac\equiv _{m}bd$

Demostración.

a\equiv b\implies a-b=sm

s

c\equiv d\implies c-d=tm

t

(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=sm+tm=(s+t)m

a+c\equiv _{m}b+d

ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d)=smc+btm=(sc+bt)m.

Es decir que $ac\equiv _{m}bd$ .

Corolario. Suponer que $[a]=[b]$ y que $[c]=[d].$ Entonces,

[a+c]=[b+d]

y

[ac]=[bd].

El grupo aditivo de los Enteros módulo m

Veremos que $\mathbb {Z} _{m}$ con suma forman un grupo abeliano.

Necesitamos verificar que la suma es asociativa, conmutativa, con neutro y que cada elemento tiene un opuesto aditivo.

Sean $a,b,c$ números enteros.

{\begin{array}{rcl}[a]+([b]+[c])&=&[a]+[b+c]=[a+b+c]\\([a]+[b])+[c]&=&[a+b]+[c]=[a+b+c]\end{array}}

Lo que prueba la asociatividad.

$[a]+[b]=[a+b]=[b+a]=[b]+[a]$ , lo prueba conmutatividad.

Claramente, $[a]+[0]=[a]$ , lo que muestra que la clase del 0 es el elemento neutro.

Finalmente, para cada $a$ , tenemos que $[a]+[m-a]=[m]=[0]$ , lo que prueba que $[m-a]=-[a].$ Es decir cada elemento tiene un opuesto. Esto concluye la prueba.

El monoide multiplicativo de los Enteros módulo m

Veremos que los Enteros módulo m con la multiplicación forman un monoide. La asociatividad y la conmutatividad se prueban de manera análoga al caso de la suma. Además, $[a][1]=[a\cdot 1]=[a]$ , por lo que [1] es un neutro.

Se puede verificar que cuando m es un número primo, $\mathbb {Z} _{m}^{*}$ , los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{m}$ , forman un grupo abeliano respecto a la multiplicación. Cuando m es compuesto aparecen unas cosas raras en la multiplicación. Por ejemplo, en $\mathbb {Z} _{6}$ , la clase del 2 y la clase del 3 son distintas de la clase del 0, ya que ninguno de ellos es un múltiplo de 6, pero $[2]\cdot [3]=[6]=[0]$ . Dos elementos no nulos al multiplicarse producen el elemento nulo.

Ejercicios

Construir las tablas de operaciones (adición y multiplicación) de $\mathbb {Z} _{10}$ Usar la tabla para evaluar las expresiones siguientes.

a. [7]+ [2] b. [8]*[5] c. -([3]*[6])

d. 1/[3] e. 1/[5] f. 1/[7]
Hallar los cuadrados y los cubos de todos los elementos de $\mathbb {Z} {10}$ .
Hallar los recíprocos de todos los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{[}13]$ .
Resolver la ecuación $x^{2}+[3]x+[15]=0$ en $\mathbb {Z} _{11}$ .
Resolver en $\mathbb {Z} _{5}$ , el sistema de ecuaciones ${\begin{array}{rcrcl}3x&+&2y&=&3\\2x&+&y&=&0\end{array}}$

Estructuras algebraicas con dos operaciones

Las estructuras con dos operaciones, que veremos a continuación, puede que tengan un sabor más familiar. Por ahora, sin embargo, su aparición se debe a que nos proveen de ejemplos de las estructuras con una operación. Las estructuras con dos operaciones se verán detalladamente en capítulos posteriores.

Definición (Anillos, Cuerpos) Un anillo es un trío $<A,+,\cdot >$ tales que

$<A,+>$ es un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo).
$<A,\cdot >$ es un semigrupo (semigrupo multiplicativo del anillo.

La multiplicación es distributiva respecto a la adición.

a(b+c)=ab+ac\qquad

y

(b+c)a=ba+ca

,

Un anillo con identidad es un anillo con un neutro 1 para la multiplicación (llamado identidad del anillo). Un anillo conmutativo con identidad es un anillo con la multiplicación conmutativo y con un neutro 1 (llamado identidad del anillo)

Un cuerpo es un anillo conmutativo con identidad donde cada elemento no nulo tiene recíproco.

Los Enteros son un ejemplo de anillo conmutativo con identidad. Los Racionales, Reales y Complejos serán, por ahora, nuestros ejemplos de cuerpos.

Proposición 4. Cuando p es un número primo, los Enteros módulo p son un cuerpo.

Demostración:

m

[x]+[y]=[x+y]\quad {\text{ y }}\quad [x]\,[y]=[xy]

.

Es fácil ver que con esas operaciones, $\mathbb {Z} _{m}$ es un anillo conmutativo con identidad. Probaremos que cuando p es un número primo, los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{p}$ . El resultado sigue de la identidad de Bezout para los números enteros que establece que el máximo común divisor de dos números se puede expresar como una combinación lineal de los números ^[3]. Si $[a]$ es un elemento no nulo de $\mathbb {Z} _{p}$ , el número a no pude ser n múltiplo de p, por lo que el máximo común divisor de a y p debe ser 1. Luego, por la identidad de Bezout, hay enteros x, y tales que

ax+py=1

(*)

Pasando a clases de equivalencias, tenemos que

{\begin{array}{lrcl}&ax+py&=&1\\\implies &[ax+py]&=&[1]\\\implies &[ax]+[py]&=&[1]\\\implies &[a]\,[x]+[p][y]&=&[1]\\\implies &[a]\,[x]&=&1.\end{array}}

Lo que muestra que $[a]$ tiene a $[x]$ como recíproco. {{QED}

Matrices con entradas en un anillo

Queremos aumentar nuestro caudal de ejemplos, definiendo matrices con entradas en un anillo con identidad o cuerpo cualquiera. Notemos que las definiciones de suma y multiplicación de matrices con entradas reales lo único que requieren de los Reales es que se pueden sumar y multiplicar. Como esto pasa en cualquier anillo, podemos considerar matrices cuyas entradas pertenecen a un anillo cualquiera.

Sea A un anillo con identidad o un cuerpo. Simbolizaremos por $M_{2}(A)$ el conjunto de todas las matrices 2 x 2 cuyas entradas son elementos de A. Es un ejercicio largo, pero fácil, probar que <math<M_2(A)</math> con esas propiedades determina un anillo con identidad. El anillo no es conmutativo.

Se define el determinante de $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ como es usual, esto es $\det(A)=ad-bc$ . Se verifica que

\det(AB)=\det(A)\det(B).

Sea K un cuerpo, por $GL_{2}(K)$ simbolizamos al grupo de matrices invertibles con entradas en K. Cuando K sea los enteros módulo p, p primo, $GL_{2}(\mathbb {Z} _{p})$ es un grupo finito, que se prueba que tiene $(p^{2}-1)(p^{2}-p)$ elementos.

Ejercicios

Probar que $\mathbb {Z} _{m}$ es un anillo conmutativo con identidad.
Probar que cuando m no es un número primo, en $Z_{m}$ hay elementos no nulos $[x],[y]$ tales que $[x][y]=[0]$
Probar que las matrices 2 x 2 con coeficientes en un anillo conmutativo con identidad determinan un anillo con identidad, pero que no es conmutativo.
Sea $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ . Probar o verificar las siguientes afirmaciones.
1. Si una de las filas o una de las columnas de la matriz es 0 0 , entonces el determinante es cero.
2. Si hay un número p tal que c = pa y d = cb entonces el determinante de la matriz es cero.
3. Si el determinante de A es cero, probar que hay un número p tal que c=pa y d = pb.
Usar el ejercicio anterior para hallar la formula para la cantidad de elementos de $GL_{2}(\mathbb {Z} _{p})$ , p primo. (Sugerencia. Cualquier par de elementos que no sean ambos nulos sirven para la primera fila. ¿Cuántos pares de elementos hay que no sean ambos nulos? La segunda fila no puede ser un múltiplo de la primera, por lo que hay que tomar un par de elementos que no sea un múltiplo de la primera fila ¿cuántos de esos pares hay?)

Estructuras con una operación externa

Presentaremos, como ilustración, algunas estructuras donde aparece una operación externa.

Definición (Módulo, Espacio vectorial, Álgebra)

Sea A un anillo con identidad. Llamamos A--módulo a un grupo abeliano <E,+> provisto de una operación externa

\bullet :A\times E\longrightarrow E::(\alpha ,x)\mapsto \alpha \bullet x.

que es compatible con la estructura de grupo abeliano. Es decir que

$(\alpha +\beta )\bullet x=\alpha \bullet x+\beta \bullet x$ .
$(\alpha \beta )\bullet x=\alpha \bullet (\beta \bullet x)$
$1\bullet x=x$ .
$\alpha \bullet (x+y)=\alpha \bullet x+\alpha \bullet y$ .

Los elementos del anillo se dice que son los escalares y los de E los vectores. La operación externa se llama multiplicación por escalar y usualmente, cuando no hay riesgo de confusión, se omite el símbolo de la operación.

Un Espacio vectorial sobre un cuerpo K, es un K-módulo (o sea los escalares forman un cuerpo).
Un Álgebra sobre un anillo (o cuerpo) A es un A-modulo E provisto de una multiplicación tal que $<E,+,\cdot >$ $<E,+,\cdot >$ es un anillo y se cumple que $\alpha (a\cdot b)=(\alpha a)\cdot b=a\cdot (\alpha B)$ $\alpha (a\cdot b)=(\alpha a)\cdot b=a\cdot (\alpha B)$ .

Los principales ejemplos que posiblemente el lector debe conocer:

El álgebra de polinomios, la multiplicación por constantes es la operación externa.
El álgebra de matrices, la operación externa es la multiplicación por escalar (por constante).
El plano cartesiano es un espacio vectorial sobre $\mathbb {R}$ > los elementos del plano son pares ordenados de números reales, la suma se hace coordenada a coordenada y la multiplicación por escalar, es multiplicar cada coordenada por el escalar.

{\begin{array}{rcl}(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})&:=&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\\\alpha (x_{1},x_{2})&:=&(\alpha x_{1},\alpha x_{2})\end{array}}

.

Claramente, las definiciones anteriores se pueden extender a $\mathbb {R} ^{n}$ (Espacio vectorial d dimensión n).

El álgebra de polinomios tiene un capítulo en este texto. Espacios vectoriales, Algebras son materias de un curso de Álgebra Lineal. Módulos generales se estudian en cursos avanzados de Álgebra Lineal o de Álgebra Conmutativa.

Una introducción a esos temas se puede hallar en Wikipedia:Vector o Espacio Vectorial

Ejercicios del Capítulo

(Potencias Naturales en un Semigrupo.) Probar que para todo a, $b$ $b$ elementos de $S,$ $S,$ ,y $m$ $m$ , $n$ $n$ naturales, se cumple que
1. $a^{m+n}=a^{m}a^{n}.$
2. $(a^{m})^{n}=a^{mn}.$
3. Si $ab=ba$ entonces $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$
(Potencias en un Monoide.) Si $S$ tiene un neutro $e,$ entonces definimos $a^{0}:=e.$ Probar que con estas definiciones, se continúan cumpliendo las propiedades del ejercicio 1.

(Potencias Negativas.) Sea <M,*> un monoide y sea a un elemento invertible de cualquiera de S. Como S es un monoide, aⁿ está definido, según los ejercicios anteriores, para todo

n\geq 0.

Cuando a es invertible, podemos además definir potencias con exponentes negativos. Supongamos que a' es el inverso de a y n un número entero positivo. Entonces,

a^{-n}:=(a')^{n}

Probar que a elevado a -1 es igual al inverso de a; lo que prueba que la notación a^-1 no es ambigua.
Probar que para todo m, n enteros se cumplen las relaciones del ejercicio 1.

Sea S un semigrupo con neutro $e.$ $e.$ Sea a un elemento de $S$ $S$ tal que $a^{n}=e$ $a^{n}=e$ y 12. es el menor entero positivo con esa propiedad. Probar las siguientes afirmaciones.
1. Hay elementos $b,$ $c$ y $d$ tales que $b^{4}=c^{3}=d^{2}=e.$
2. Si $m$ es un múltiplo de 12, entonces $a^{m}=e.$
3. Si el residuo de la división de un entero positivo m por 12 es r, entonces $a^{m}=a^{r}$
4. Expresar $a^{-1},a^{-2}$ como potencias positivas de a.

(Subgrupos del grupo

{\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )

).
Sea

\alpha ={\begin{bmatrix}\cos(120^{\circ })&-\operatorname {sen}(120^{\circ })\\\operatorname {sen}(120^{\circ })&\ \cos(120^{\circ })\end{bmatrix}},

una rotación por 120 grados, y sea

\beta ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

, la reflexión entorno al eje X. Probar las afirmaciones siguientes.

$\alpha ^{3}={I},$ , $\beta ^{2}={I},$ y $\beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{2}.$ .
Sea $H=\{{I},\alpha ,\alpha ^{2}\}$ . H es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación de matrices (construir la tabla de operaciones), y que cada elemento de $H$ es invertible. Es decir que H es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.
Sea $G=\{{I},\alpha ,\alpha ^{2},\beta ,\alpha \beta ,\alpha \beta ^{2}\}$ . G es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación y cada elemento de G tiene inverso en G. Luego G es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.

Comentarios

La evolución del Álgebra desde el estudio de ecuaciones polinómicas al estudio de las estructuras fue lenta. Primeramente, se estudiaron instancias de forma separada, para posteriormente darse cuenta que eran ejemplos de algo más abstracto.

La observación de que el Álgebra trata más de las propiedades de las operaciones que de los números en que se opera fue explícitamente observado por la llamada Escuela de Algebristas ingleses, alrededor del 1840.

Finalmente, en la década de los 40 del siglo XX, Bourbaki (seudónimo de un grupo ilustre de matemáticos) trajo a primer plano del Álgebra la noción que el Álgebra se trataba del estudio de las estructuras.

Notas

↑ Además, han surgido recientemente otras estructuras con una operación tales como grupoides, lazos, etc.
↑ Abeliano, en honor al matemático noruego N.H. Abel (1802--1829).
↑ Ver apéndice sobre Sistemas Numéricos

B. Los Grupos

4. Los grupos

Introducción

Los grupos representan, entre las estructuras algebraicas con una operación, aquellas con mayores propiedades algebraicas, ya que en un grupo la operación es asociativa, admite neutro y cada elemento es invertible respecto a la operación.

Dicha estructura aparecerá frecuentemente en todo nuestro trabajo posterior. Por esa razón, habrá varios capítulos dedicados al tema.

En los capítulos anteriores, los grupos fueron presentados conjuntamente con los semigrupos y monoides. Por comodidad para el lector, aquí revisaremos la mayoría de los temas referentes a grupos, aunque algunas veces referiremos al lector a los capítulos anteriores.

Definiciones y Ejemplos

Definición. (Grupo) Un Grupo es una estructura algebraica $<G,*,e,x\mapsto x'>$ tal que:

(i) G es un conjunto,

(ii) * es una operación asociativa en G;

(iii) e es un elemento neutro para la operación *;

(iv)

x\mapsto x'

es una función de

G

en

G

que asigna a cada elemento

x

un elemento

x'

que es un inverso de

x

respecto a la operación.

Cuando no haya riego de confusión acerca de los parámetros ^[1] de la estructura, podemos hablar del grupo <G,*> o del grupo G con la operación * o, simplemente del grupo G.

Nomenclatura.

Decimos que un grupo es abeliano^[2] o conmutativo cuando la operación es conmutativa.
Llamamos orden del grupo a la cantidad de elementos del conjunto y lo simbolizamos por $|G|.$
Decimos que el grupo G es finito cuando su orden lo sea. En caso contrario, es un grupo infinito.

Ejemplos de Grupos Numéricos

Empezaremos nuestros ejemplo con grupos de origen numérico.

Los Enteros con la Adición.
Se trata del grupo $\scriptstyle <\mathbb {Z} ,+,0,x\mapsto -x>$ que es infinito y abeliano. Este grupo nos servirá de motivación e ilustración para muchas nociones que veremos más adelante.

Otros ejemplos numéricos posibles son:
Los grupos aditivos de los Racionales, los Reales y los Complejos.
Los grupos multiplicativos de $\mathbb {Q} ^{*},\ \mathbb {R} ^{*},\ \mathbb {C} ^{*}$ (Racionales, Reales, Complejos no nulos).
El grupo aditivo de los Enteros módulo m, donde m es un entero cualquiera.
El grupo multiplicativo de los Enteros módulo p, cuando p es un entero primo.

Todos esos grupos son abelianos. Los dos últimos son finitos.

Ejemplos de Grupos no conmutativos.

El Grupo Simétrico, S_n. Este grupo está formado por todas las biyecciones del conjunto
I_n = {1, 2, ... , n} en si mismo. La operación es la composición de funciones. Cuando n >2, el grupo no es conmutativo.
(Grupo Lineal de dimensión 2), $GL_{2}(\mathbb {R} )$ ) El grupo determinado por las matrices 2 x 2 invertibles.
Para detalles sobre estos dos grupos, mirar en el capítulo Semigrupos, Monoides y Grupos.

Ejemplos de Grupos definidos por Tablas

Podemos usar tablas de operaciones para visualizar o definir operaciones en conjuntos donde la cantidad de elementos es pequeña.

Ejemplo.

Consideremos el subconjunto $U=\{1,-1,i,-i\}$ de los complejos, donde i² = -1. Veamos la tabla de multiplicación de ese conjunto.

{\begin{array}{r|rrrr}\cdot \ &1&-1&i&-i\\\hline 1&1&-1&i&-i\\-1&-1&1&-i&i\\i&i&-i&-1&1\\-i&-i&i&1&-1\end{array}}

Mirando a la tabla, vemos que 1 es un neutro y que cada elemento de U tiene recíproco (o sea inverso multiplicativo) en U. Como la multiplicación es asociativa, tenemos que efectivamente se trata de un grupo. La simetría respecto a la diagonal principal refleja que el grupo es abeliano.

Notemos que cada elemento de U aparece una sola vez en cada fila y en cada columna del interior de la tabla. Tales arreglos de símbolos se llaman cuadrados latinos. Las tablas anteriores se denominan tablas de Cayley (en honor a Arthur Cayley (1821-1895), quien las introdujo junto con una noción (abstracta) de grupo).

Grupos definidos por tablas.

Las tablas siguientes definen operaciones que proveen al conjunto subyacente con una estructura de grupo.

(C_{1,a}){\begin{array}{c|c}&e\\\hline e&e\\\end{array}}\qquad (C_{2,a}){\begin{array}{c|cc}&e&a\\\hline e&e&a\\a&a&e\\\end{array}}\qquad (C_{3,a}){\begin{array}{c|cccc}&e&a&b\\\hline e&e&a&b\\a&a&b&e\\b&b&e&a\\\end{array}}\qquad

(C_{4,a})_{1}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\\\end{array}}\qquad (C_{4,a})_{2}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&a&e\\c&c&b&e&a\\\end{array}}\qquad (C_{4,a})_{3}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&b&c&e\\b&b&c&e&a\\c&c&e&a&b\\\end{array}}\qquad (C_{4,a})_{4}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&c&e&b\\b&b&e&c&a\\c&c&b&a&e\\\end{array}}

({\text{Klein}})_{1}{\begin{array}{c|c}&e\\\hline e&e\\\end{array}}\qquad ({\text{Klein}})_{2}{\begin{array}{c|cc}&e&a\\\hline e&e&a\\a&a&e\\\end{array}}\qquad ({\text{Klein}})_{4}{\begin{array}{c|cccc}&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\\\end{array}}

Un examen de las tablas muestra que las operaciones son conmutativas. En cada caso, mirando a la primera fila y primera columna, (fila y columna de encabezados o datos) vemos que $e\,$ es un neutro para la operación. En cada caso se puede buscar los inversos de cada elemento, ubicando al elemento en la columna de datos, luego nos movemos por la fila donde estaba ese elemento hasta ubicar el neutro. Subiendo hasta la fila de datos, hallamos el inverso.

En $(C_{4,a})_{3}$ tenemos que $e^{-1}=e,\ a^{-1}=c,\ b^{-1}=b{\text{ y }}c^{-1}=a.$
En el grupo de Klein ^[3] tenemos que cada elemento es su propio inverso.

Lo único que no se puede apreciar directamente de una tabla es si la operación es asociativa o no. Esto se deberá hacer por un examen exhaustivo de casos (bastante largo y aburrido) o por otro medio. Creyendo que las operaciones indicadas son asociativas (verificar unos tres casos) las tablas anteriores son tablas de grupos.

El grupo U, visto arriba, y el grupo de Klein son diferentes. La diferencia esencial no es que haya letras diferentes para los elementos, sino en sus propiedades algebraicas. Esto se puede apreciar porque la ecuación $x*x=e$ tiene dos soluciones en el primero (1*1 = 1 y (-1)*(-1)=1), mientras que tiene cuatro en el segundo. Sin embargo, mirando con cuidado, debería apreciarse que U y $C_{4,a}$ son esencialmente el mismo grupo. Esto implica, que a pesar del nombre de sus elementos los grupos $C_{4,a}$ y de Klein son diferentes grupos.

Moraleja: lo importante no es como se denotan o que son los elementos del conjunto del grupo, sino las propiedades de las operaciones del mismo.

El grupo C_2,a es representativo de todos los grupos con 2 elementos. Cualquier grupo con dos elementos tendrá un neutro, al que podemos llamar $e,$ y un elemento diferente del neutro, que podemos llamar $a.$ La primera columna y la primera fila de la tabla quedan determinada por las propiedades del neutro. Solamente nos falta ver que pasa con $a*a.$ Hay solamente dos posibilidades $a*a=e{\text{ o }}a*a=a.$ Observemos que si $a*a=a,$ multiplicando por el inverso de a en ambos lados obtendríamos que a = e, lo que es imposible. Luego, $a*a=e,$ lo que nos dice que $a^{-1}=a.$

Propiedades Básicas

En esta sección, G es un grupo con neutro e y para cada x, x' denota un inverso de x. Algunas propiedades son generales de operaciones, neutros e inversos, pero las repetiremos aquí, tanto por completitud como por lo que la estructura de grupo agrega.

Propiedades del Neutro

El neutro es único.

Si e y e' son neutros entonces e * e'= e (ya que e' es neutro) y, también, e * e' = e' (ya que e es neutro). Luego, e' = e.

Recordemos que, por definición, e es un neutro de una operación * en un conjunto E, ssi, para todo a en E se cumple que a*e=a y e*a=a. En un grupo, veremos que basta que un elemento e cumpla con una de las ecuaciones anteriores para un solo elemento, para ser neutro.

Si, para algún a en G, se tiene que a * x = a (o que x * a = a) entonces x = e.

Sea a' un inverso de a. Entonces,

a*x=a\implies a'*(a*x)=a'*a\implies (a'*a)*x=a'*a\implies e*x=e\implies x=e.

Análogamente para el otro caso.

(Corolario). Si x * x = x entonces x = e.

Esta aparentemente inocente propiedad puede servir para probar que un elemento de un grupo es el neutro.

Propiedades de los Inversos

Cada elemento tiene un único inverso.

Suponer que y, y' son inversos de x Entonces,

y=y*e=y*(x*y')=(y*x)*y'=e*y'=y'.

Como hay un único inverso, podemos hablar de el inverso de x, al que denotaremos usualmente por $x^{-1}.$

Por definición, un elemento y es un inverso de x, ssi, x * y = e y y * x = e. Veremos, que en un grupo, con solamente una de esas ecuaciones se tiene que y es el inverso de x.

Si a * x = e (o x * a = e) entonces x = a^-1.

a * x = e ==> a^-1*(a * x) = a^-1* e ==> (a^-1 * a)* x = a^-1 ==> x = a^-1.

Análogamente el otro caso.

Luego, para mostrar que b es un inverso de a, basta con verificar que a * b = e (o que b*a = e).

El inverso del inverso de un elemento, es el mismo elemento. (a^-1)^-1=a.

Como a * a^-1 = e, el resultado sigue de lo dicho arriba.

El inverso de un producto es igual al producto de los inversos, pero con el orden invertido. (a*b)^-1 = b^-1*a^-1.

(a*b) * (b^-1*a^-1)=a*(b*b^-1)*a^-1 = a*a^-1 = e, se tiene el resultado.

Propiedades Cancelativas

Proposición 1. (Leyes de Cancelación) Sea G un grupo. Para todo a, b,c en G se cumple que:

(a) (Cancelación por la izquierda) a*b = a*c ==> b = c.

(b) (Cancelación por la derecha) b*a = c * a ==> b = c.

Demostración: Basta en (a) premultiplicar por a^-1 o en (b) posmultiplicar por a^-1.

Ecuaciones en un grupo

Proposición 2. Sea $G$ un grupo. Para todo a, b en G se cumple que

La ecuación a * x = b tiene solución única (x = a^-1*b).
La ecuación x * a = b tiene solución única (x = b * a^-1).

Demostración: $a*x=b\implies a^{-1}*(a*x)=a^{-1}*b\implies x=a^{-1}*b.$

Análogamente el otro caso.

Convenio.

Para simplificar la escritura y la lectura, de ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, el producto se denotará como la multiplicación usual por " $\mathbf {\cdot }$ " o, como es costumbre, simplemente estará implícito entre los operandos.

Propiedades Heredadas

Sea $<G,*,e,x\mapsto x'>$ un grupo. Si ignoramos o nos olvidamos del elemento neutro y de la existencia de inversos, obtenemos una estructura <G,*> de semigrupo, a la que llamamos el semigrupo subyacente del grupo G. Igualmente, si solo nos olvidamos de los inversos, obtenemos un monoide subyacente.

Como consecuencia de lo anterior, los grupos heredan todas las propiedades de los semigrupos, monoides y, por supuesto, de los magmas.

Ejercicios

Explicar de manera cuidadosa por qué los Racionales con la suma determinan un grupo y por qué los Racionales no nulos con la multiplicación determinan un grupo.
Probar que en un grupo, un elemento que es inverso por la izquierda de otro elemento, también es inverso por la derecha de ese elemento. Es decir, que es un inverso del elemento. (Un elemento x'es inverso por la izquierda (resp. derecha) de x, ssi, x'* x = e (resp. x * x'= e).
Resolver la ecuación $x*a*b*x*c=x*b*a$ en un grupo abeliano. ¿Cómo cambia la respuesta, si no suponemos conmutatividad?

Sea G un grupo y Z(G) el subconjunto de G formado por todos aquellos elementos que conmutan con todos los elementos del grupo.

Z(G):=\{x\in G|{\text{para todo }}g\in G,xg=gx\}.

Probar que Z(G) es una parte cerrada de G que contiene al neutro y a los inversos de sus elementos.

Sea G un grupo y

a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}

elementos del grupo. Probar que:

(a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n})^{-1}=a_{n}^{-1}*\cdots *a_{2}^{-1}*a_{1}^{-1}

Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea $L_{a}$ (resp. $R_{a}$ ) la función de G en si mismo tal que $L_{a}(g)=a*g$ (resp. $R_{a}(g)=ga$ ). Probar que $L_{a}$ (multiplicación por la izquierda de a) y $R_{a}$ (multiplicación por la derecha de a) son biyectivas. ¿Dónde en una tabla de operaciones de un grupo se puede ver los valores de $L_{a}$ (resp. de $R_{a}$ )?.
Sea S un semigrupo donde las funciones $L_{a}$ y $R_{a}$ definidas como en el ejercicio anterior son biyectivas. Probar que $S$ es un grupo. ¿Es realmente necesario suponer que ambas funciones son biyectivas? (ver el próximo ejercicio.)
Sea $<S,*>$ $<S,*>$ un semigrupo que tiene un neutro por la izquierda e inversos por la izquierda para todos sus elementos. Es decir que:
1. hay un elemento $e_{L}$ tal que para todo $a$ en $S'$ se cumple que $e_{L}*a=a,$ y
2. para cada $'A$ de $S$ hay un $a'$ tal que $a'a=e_{L}.$
Probar que $<S.*>$ es un grupo. (Sug. Probar primero que $a*a'=e_{L},$ evaluando adecuadamente $a*a'*a*a'$ )
Construir la tabla de la multiplicación de los enteros no nulos módulo 5 y módulo 6. Verificar que en el primer caso tenemos un grupo, pero no en el segundo caso.(Buscar los recíprocos de cada elemento).
Sea G un grupo y sea a un elemento de G. Probar que el conjunto formado por todas las potencias naturales de a es una parte cerrada de G respecto a la operación.

Potencias en un Grupo

Sea G un grupo con neutro e. Sea a un elemento de G. Para todo número natural n, la enésima potencia de a es, intuitivamente, el producto de a consigo mismo n veces. Formalmente, se define la potencia n--ésima recursivamente por:

$a^{0}:=e,\quad a^{n+1}:=a^{n}*a.$

Notemos que $\scriptstyle a^{1}=a^{0+1}=a^{0}*a=e*a=a,\quad a^{2}=a^{1+1}=a^{1}*a=a*a,\quad a^{3}=a^{2+1}=a^{2}*a=(a*a)*a,$ etc.

Proposición. (Propiedades de Potencias)
Sean a, b elementos del grupo y m, n naturales (o cero).

$a^{m+n}=a^{m}*a^{n}.$
$a^{mn}=(a^{m})^{n}.$
si $a*b=b*a$ entonces $(a*b)^{n}=a^{n}b^{n}.$

Demostración de (a): (Por inducción sobre n.) Sea m un natural cualquiera

(n=0)

a^{m+0}=a^{m}=a^{m}*e=a^{m}*a^{0}.

Supongamos el resultado válido cuando

n=k,k\geq 0.

Entonces,

a^{m+(k+1)}=a^{(m+k)+1}=a^{m+k}*a=a^{m}*a^{k}=a^{m}*a^{k+1}

El resto se prueba de manera semejante.

Podemos extender la definición de potencias para exponente nulo o negativo, agregando que

{\text{ d. }}\quad a^{-n}:=(a^{-1})^{n}.

Es fácil verificar que las propiedades anteriores, también son válidas para exponentes negativos. Por ejemplo, si m es negativo y n positivo, se tiene que

(a^{m})^{n}=((a^{-1})^{-m})^{n}=(a^{-1})^{-mn}=a^{mn}

Notación aditiva

Cuando la operación se escribe aditivamente, la operación de un elemento consigo mismo n veces, es un múltiplo del elemento.

ma=a+a+\cdots +a\quad {\text{(n veces)}}..

Con esa notación, tenemos que las propiedades básica de los múltiplos enteros son:

(a)

(m+n)a=ma+na.

(b)

(mn)a=m(na).

(c) si

a+b=b+a

entonces

m(a+b)=ma+mb.

(d)

(-n)(a)=n(-a).

Orden de un Elemento

El orden de un elemento de un monoide fue definido el capítulo Estructuras. Recordemos el orden finito de un elemento es el menor entero positivo $n$ tal que $a^{n}=e.$ Aquí revisaremos la noción aplicada, principalmente, a elementos de un grupo. Sea $a$ un elemento de un monoide con neutro $e,$ la definición de potencia con exponente natural $n$ hace sentido en un monoide, ya que no necesitamos de la existencia de inversos para probar las propiedades básicas. Consideremos la sucesión $(a^{n}),$ $n$ en $\mathbb {N} .$

e=a^{0},\ a,\ a^{2},\ \dots \ a^{n},\ \dots .

Cuando todos los elementos de la sucesión son diferentes entre sí, decimos que el orden de $a$ es infinito y escribimos $o(a)=+\infty .$

Supongamos, ahora, que en la sucesión apareciera un término que fuera igual a un término anterior. Digamos que $a^{s}=a^{r}$ con $s>r.$ ¿Qué podemos concluir? Simplemente que a partir de el término $r$ --ésimo tendremos una porción de la sucesión que se repetirá indefinidamente. Por ejemplo con $r=2,s=7,$ se tiene la sucesión

e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6},a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6},a^{2},\dots

Por ejemplo, en $\mathbb {Z} _{10},$ con la mutgiplicación, tenemos que para las potencias naturales de 2, la sucesión (escribimos $x$ en lugar de $[x]$ ).

1,2,4,8,6,2,4,8,6,\dots

Recordemos que $\mathbb {Z} _{10}$ con la multiplicación no es un grupo. ¿Qué pasa cuándo estamos trabajando con un grupo y se tiene que $a^{s}=a^{r},$ $s>r$ ? Si $a^{s}=a^{r},$ multiplicando por el inverso de $a^{r},$ se tiene que $a^{s}(a^{r})^{1}=e,$ o sea que $a^{s-r}=e.$ Es decir, que tenemos un entero positivo $t$ tal que $a^{t}=e.$ De acuerdo a la definición citada de orden, esto significa que $a$ tiene orden finito.

Proposición 3. (Orden de un elemento en un grupo $G$ ) Sea $G$ un grupo con neutro $e.$ Entonces, para todo $a$ en $G$ se cumple que una, y solo una, de las alternativas siguientes:

hay un entero positivo $t$ tal que $a^{t}=e.$ Entonces, decimos que $a$ tiene orden finito que es igual al menor entero positivo con esa propiedad.
para todo par de enteros positivos o cero, $r,$ $s,$ $r\neq s$ implica que $a^{r}\neq a^{s}.$ Decimos que $a$ tiene orden infinito.

Luego, en un grupo cada elemento o tiene orden finito o tiene orden infinito.

Corolario 3.1. Sea $G$ un grupo finito con orden $|G|=n.$ Cada elemento $a$ de $G$ tiene orden finito y $o(a)\leq |G|.$

Demostración:

e,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1},a^{n}

n+1

n

G,

a

Ejemplos.

En el grupo aditivo de los Enteros módulo 6, tenemos que (recordemos que potencias son los múltiplos) $o(0)=1,\quad o(1)=6,\quad ,o(2)=3,\quad ,o(3)=2,\quad o(4)=3,\quad o(5)=6$
En el grupo de los Enteros, todos los elementos no nulos tienen orden infinito.
En el grupo multiplicativo de los Complejos, el imaginario $i$ tiene orden 4.

Notemos que cuando $o(a)=n,$ entonces para cualquier múltiplo de $n,$ digamos $kn$ se cumple que $a^{kn}=(a^{n})^{k}=e^{k}=e.$ La siguiente proposición, nos da un recíproco de ese resultado.

Proposición 4. Sea $a$ un elemento de un grupo $G.$ Sea $m$ un entero positivo tal que $a^{m}=e.$ Entonces el orden de $a$ es un divisor de $m.$

Demostración:

n=o(a).

n

m

n

q

r

m=qn+r,\quad 0\leq r<n.

(*)

a^{r}=a^{m-qn}=a^{m}(a^{n})^{-q}=e.

r<n,

r=0

m

n.

Grupos Cíclicos

Definición. (Grupo Cíclico) Llamamos grupo cíclico a un grupo cuyos elementos son todos potencias enteras de uno de sus elementos. Dicho elemento se dice que es un generador del grupo.

Escribiremos $G=\langle a\rangle$ , cuando G sea un grupo cíclico con generador a.

Las potencias de un elemento de un grupo tienen las propiedades usuales de las potencias. Ver los ejercicios. En particular se tiene que

a^{r}a^{s}=a^{r+s},\quad a^{0}=e,

Los grupos cíclicos son grupos abelianos. (a^ra^s = a^r+s = a^s+r = a^sa^r.)

El inverso de a^r es a^-r. (a^ra^-r = a^r+(-r) = a⁰ =e.)

Notemos que cuando la notación es aditiva, en lugar de potencias tenemos múltiplos. Es decir, que en este caso un grupo es cíclico si todos su elementos son múltiplos de uno de ellos.

Ejemplo. (Los Enteros son un grupo cíclico.) Como para todo número entero m se cumple que $m=1\cdot m,$ vemos todos los enteros son múltiplos del número 1, Es decir que Los Enteros son un grupo cíclico con generador 1. Observemos que -1 también es un generador de $\mathbb {Z} ,$ por lo que un grupo cíclico puede tener más de un generador.

Ejemplo (Los Números Pares con la Suma).

Los números pares son los números enteros que son múltiplos de 2. Denotamos al conjunto de pares por $2\mathbb {Z} .$ Como la suma de números pares es un número par, la suma define una operación en el conjunto de los pares. La operación es asociativa, con neutro 0 (que es un número par). Cada número par, 2x, tiene como opuesto aditivo a 2(-x) que también es par. Este grupo es cíclico generado por 2, $\scriptstyle 2\mathbb {Z} =\langle 2\rangle .$

Ejemplo. (Múltiplos de un número fijo).

Este ejemplo generaliza al ejemplo anterior. Consideremos el conjunto $m\mathbb {Z}$ formado por todos los múltiplos enteros de un número entero fijo m.

m\mathbb {Z} =\{0,\pm m,\pm 2m,\ldots \}

La suma de mx con my es igual a m(x+y), o sea un múltiplo de m. Tenemos que el neutro 0 (= m*0 ) es un múltiplo de m. El opuesto aditivo de mx es m(-x). Luego, $<m\mathbb {Z} ,+>$ es un grupo cíclico con generador m.

Como este grupo es un grupo respecto a las mismas operaciones del grupo $\mathbb {Z} ,+,0,x\mapsto -x>$ se dice que es un subgrupo de los Enteros con la suma.

Ejemplo (Raíces n-ésimas de la unidad).

Llamamos raíz n-ésima de la unidad a cualquier número complejo $z$ tal que $z^{n}=1.$ Consideremos el caso $n=12$ y sea

\zeta =e^{(2\pi /12)}=\cos(\pi /6)+i\operatorname {sen}(\pi /6).

Recordando la relación de Moivre que establece que $(\cos(\theta )+i\operatorname {sen}(\theta ))^{r}=\cos(r\theta )+i\operatorname {sen}(r\theta ),$ tenemos que $\zeta ^{12}=\cos(12\pi /6)+i\operatorname {sen}(12\pi /6)=1.$
Es decir que $\zeta$ es una 12--ésima raíz de la unidad.
Usando Moivre, tenemos que $\zeta ^{k}=\cos(k\pi /6)+i\operatorname {sen}(k\pi /6).$
Cualquier potencia entera de \theta es también una raíz 12--ésima $(\zeta ^{k})^{12}=\zeta ^{12k}=(\zeta ^{12})^{k}=1^{k}=1.$
Hay solamente $\scriptstyle n$ raíces diferentes de la unidad: $1,\theta ,\theta ^{2},\dots ,\theta ^{n-1}.$

Sea $m$ un entero cualquiera, la división por $n$ , nos produce $q$ y $r$ tales que $m=qn+r$ , con $0\leq r<n.$

Luego $\theta ^{m}=\theta ^{qn+r}=\theta ^{qn}\theta ^{r}=\theta ^{r}.$ Lo que prueba que hay $n$ raíces de la unidad: $\theta ^{r},r=0,1,2,\dots ,n-1.$

Simbolizaremos por $U_{n}(\mathbb {C} )$ al conjunto formado por todas las raíces enésimas de la unidad. $U_{n}(C)$ es un grupo cíclico con $n$ elementos.

Observemos que $U_{4}(\mathbb {C} )$ es nuestro viejo conocido $\langle i\rangle =\{1,-1,i,-i\}.$

(Existencia de Grupos Cíclicos). El ejemplo de las raíces de la unidad muestra que para todo número entero positivo $n$ , hay un grupo cíclico con exactamente $n$ elementos, $U_{n}(\mathbb {C} ).$

Ejercicios

Sean $\alpha =e^{i(\pi /6)}=\cos(\pi /6)+i{\rm {{sen}(\pi /6)}}$ una raíz sexta de la unidad. Sean $\beta =\alpha ^{2}$ y $\gamma =\alpha ^{3}.$ Hallar los ordenes de $\alpha ,\quad \beta ,\quad \gamma ,\quad \beta \gamma$ .
(Orden de un producto) Sean $a,$ $b$ elementos de un grupo abeliano <G>. Si $o(a)=3$ y $o(b)=5,$ probar que $o(ab)=15.$ ¿Qué pasaría si no requiriéramos que operación fuera conmutativa?

En las matrices siguientes, supondremos que las entradas están tomadas de

\mathbb {Z} _{3}.

Hallar el orden de cada una en el grupo lineal

GL_{2}(\mathbb {Z} _{3})

{\text{a. }}{\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}\quad \quad {\text{ b. }}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.

Grupos definidos por Generadores

Un grupo puede definirse mediante generadores sujeto a restricciones (relaciones entre los generadores), lo que se representa como

G=\langle a,b,...|r_{1}(a,b,...),r_{2}(a,b,..),...\rangle

que leemos como que "G es el grupo generado por a,b,c, que satisfacen las restricciones r_1(a,b,...), r_2 (a,b,.. ) ..."

Formalmente, lo anterior significa que el conjunto G consiste de productos formales de expresiones formadas por potencias de los generadores.

a^{i}b^{j}c^{k}\cdots \quad {\text{ tales que }}0\leq i,j,k,...

Podemos considerar a los generadores como las letras de un alfabeto. Poniendo esas letras juntas formamos palabras. Una potencia de una letra significa que la letra está repetida tantas veces como el exponente. Cuando el exponente es nulo, se considera que es la palabra vacía (sin letras). La operación es la concatenación de palabras, esto es pegarlas juntas, que es claramente asociativa y tiene como neutro a la palabra vacía (sin letras). El largo de una palabra es la cantidad de letras de la palabra. En los lenguajes de programación, se denomina cadenas a la concatenación de letras (llamadas caracteres en ese contexto).

Ejemplo (Grupo Cíclico Finito).

Sea ${\textsf {C}}_{n,a}:=\langle a|a^{n}=e\rangle .$ donde n es un natural positivo. Los elementos de C_n,a son palabras consistentes solamente de aes, es decir potencias de a. Por lo que se trata de un grupo cíclico. La restricción consiste en que consideramos que cuando haya n de esas letras, la palabra será (por la restricción) considerada como igual a la palabra vacía. (Podemos decir que si hay n letras aes juntas, las podemos borrar.) Suponemos, además, que el número n es el menor entero positivo con esa propiedad. Lo que implica, de acuerdo a lo visto en el ejemplo de las raíces enésimas de la unidad, que

C_{n,a}=\{e,a,\dots ,a^{n-1}\}.

Esencialmente, hay un único grupo cíclico de orden n; la única diferencia entre ellos es como simbolizamos la operación y al generador. Cuando el nombre del generador no sea importante, simplemente escribiremos $C_{n}$ para el grupo cíclico de orden $n$ . Mayores detalles para los grupos cíclicos, los veremos en el capítulo ^[4].

Ejemplo (Grupos Diedrales).

Llamamos grupo diedral de orden 2n, $n\geq 3$ al grupo denotado por $D_{2n}$ y definido como

{\textsf {D}}_{2n}:=\langle a,b:a^{n}=e,b^{2}=e,bab=a^{n-1}\rangle .

Notemos que los elementos de $D_{2n}$ son productos de expresiones de la forma $a^{i}b^{j}$ con $0\leq i,j.$ La tercera restricción nos dice que el grupo no es conmutativo, pero indica que podemos rearreglar las letras de modo que las aes estén delante de las bes.

Supongamos, para concretizar, que n = 3. Entonces. $bab=a^{2}$ implica que ba = a²b. Por lo que

aba = a a²b = b.
aababaab = aa(ba)baab = aaa²bbaab =a⁴b²aab =aaab = b.

Lueego, los elementos de $D_{2n}$ son los productos de la forma $a^{i}b^{j}$ con $0\leq i<n,\quad j=0,1.$ Es decir que

D_{2n}=\{e,a,...,a^{n_{1}},b,ab,...,a^{n-1}\}.,

o sea que tiene 2n elementos. Además, como

a^{i}b^{j}b^{2-j}a^{n-i}=a^{i}b^{2}a^{n-1}=a^{i}a^{n-1}=e

Cada elementos es invertible. Es decir que $D_{2n}$ es un grupo.

Los grupos diedrales provienen de las simetrías de un polígono regular de $n$ lados. (Congruencias que dejan fijo globalmente al polígono). Mayores detalles en el capítulo sobre Grupos Generados.

Ejercicios

Verificar que las definición de potencia natural y sus propiedades son válidas para cualquier monoide; y que si tomamos a¹=a como punto de partida de la definición de potencias (en lugar de a⁰), las propiedades son válidas para cualquier semigrupo.
Construir las tablas de $C_{n,a}$ para n = 2, 3, 4, 5. En cada caso identificar los inversos de los elementos.
Sea G = C_12,a = <a | a¹²=e>. Probar que G tiene elementos de orden 2, 3, 4 y 6, pero no tiene elemento de orden 5.
Probar las relaciones no probadas de potencias, especialmente con exponentes negativos.
Probar que cuando a conmuta (o permuta) con b (ab=ba) se cumple que:
1. a conmuta con cualquier potencia natural de b, $ab^{n}=b^{n}a.$
2. a conmuta con el inverso de b.
3. el inverso de a conmuta con cualquier potencia entera de b.
Sea $G=<a,b:a^{2}=b^{2}=e,ba=ab>$ . no Probar que G es el grupo de Klein.
Hallar los ordenes de todos los elementos del grupo diedral $D_{8}$ .
Verifica que cuando la operación no es conmutativa, en general no se cumple que $(ab)^{2}=abab.$
Sea $G=\langle a,b|a^{m}=e,b^{n}=e\rangle .$ Probar que G es un grupo infinito no abeliano con elementos de orden infinito, cuando $m,n>1.$

Producto de Grupos

Sean <H ,*> y <K, #> grupos. Sea $G=H\times K$ el producto cartesiano de los conjuntos H y K, es decir el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) tales que x están H, y está en K. Definimos una operación en G, coordenada a coordenada,

(x,y)\cdot (z,w)=(x*z,y\#w),

Proposición. (Grupo Producto)
Sean H, K y G como arriba. Entonces G es un grupo.

Demostración: Tenemos que

{\begin{array}{rcl}(x,y)\cdot ((z,w)\cdot (u,v))&=&(x,y)\cdot (z*u,w\#v)=(x*z*u,y\#w*\#v)\\((x,y)\cdot (z,w))\cdot (u,v)&=&(x*z,y*w)\cdot (u,v)=(x*z*u,y\#w\#v).\end{array}}

Lo que prueba la asociatividad.

Sean e_H y e_K los neutros de H y K respectivamente. Sea e = (e_H, e_K). Entonces, $e\cdot (x,y)=(e_{H}*x,e_{K}\#y)=(x,y).$ De forma similar se prueba que $(x,y)\cdot e=(x,y).$ Por lo que e es neutro respecto a la operación.

Finalmente, $(x,y)\cdot (x^{-1},y^{-1})=(x*x^{-1},y\#y^{-1})=(e_{H},e_{K})..$ Análogamente, $(x^{-1},y^{-1})\cdot (x,y)=e.$

Definición. (Producto de Grupos) Llamamos producto de los grupos H y K al grupo $G=H\times K$ provisto de la operación por coordenadas.

Cuando la notación es aditiva, podemos llamar suma al producto. El grupo aditivo $\mathbb {R} ^{2}$ .

Consideremos al grupo aditivo de los Reales. $\mathbb {R} ^{2}$ es el producto cartesiano de los Reales consigo mismo. $\mathbb {R} ^{2}$ es un grupo abeliano con operación

(x,y)+(z,w)=(x+z,y+w).

(Esta es la suma usual de vectores de dimensión 2 o la suma de los complejos.)

En general, cuando se toma el producto de un grupo G consigo mismo, el producto se denota por G². Si se toma el producto de un grupo G consigo mismo n veces, denotamos al producto resultante por Gⁿ; sus elementos son n--uplas de elementos de G.

Ejercicios

Probar que si H y K son abelianos, entonces también lo es H x K.
Construir la tabla de C_2,a x C_2,b. Compara la tabla que se obtiene con la tabla del grupo de Klein.
Sean C_3,a y C_4,b grupos cíclicos de orden 3 y 4, con generadores a y b, respectivamente. Probar que el producto C_3,a x C_4.b es cíclico con generador (a,b).
Sean C_4,a y C_2,b grupos cíclicos con generadores a y b respectivamente. Probar que el producto C_4,a x C_2,b no es cíclico.
Construir las tablas de $C_{8,a},\quad C_{4,a}\times C_{2,b}\quad {\text{ y }}\quad C_{2,a}\times C_{2,b}\times C_{2,c}$

Ejercicios del Capítulo

Sea G un grupo finito. Probar que para cada a en G hay un entero positivo n tal que $a^{n}=e.$
En un grupo G, para elementos g y x definir $x^{g}:=gxg^{-1}.$ $x^{g}:=gxg^{-1}.$ (Conjugado de x por g). Probar que se cumplen las siguientes relaciones.
1. x^g y ^g = (xy)^g.
2. (x^g)^-1 = (x^-1)^g.
3. (x^g)ⁿ = (xⁿ)^g.
Hallar el orden de todos los elementos del grupo simétrico S₃. Ver la definición en el capítulo Las Estructuras.
(Grupos de Transformaciones) Sea X un conjunto no vacío. Un grupo de transformaciones de X es un grupo G tal que sus elementos son elementos del grupo $S_{X}$ $S_{X}$ (Funciones biyectivas de X" en si mismo).
1. Sea x en X y sea $G_{x}$ el conjunto formado por todas las transformaciones f de G que fijan el punto x, es decir que f(x) = x. Probar que $G_{x}$ es cerrado respecto a la composición, contiene a la identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos, es decir, que se trata de un grupo de transformaciones. Por ejemplo, en el grupo de las congruencias del plano, las rotaciones entorno al origen, son precisamente las congruencias que dejan fijo únicamente al origen.
2. Dado un subconjunto $Y$ de X, el conjunto $G_{Y}$ denota a las biyecciones de G que dejan fijo globalmente a Y, Es decir, $G_{Y}:=\{f\in G:f(Y)=Y\}.$ Probar que $G_{Y}$ es un grupo de transformaciones. En el grupo de las congruencias, la simetría que voltea el plano alrededor del eje X, deja al eje Y fijo globalmente, aunque todos sus puntos, exceptuando al origen, se mueven a un punto distinto. Esta misma simetría deja fijo al eje de X puntualmente, o sea punto a punto.
Sea $G=\mathbb {Z} _{15}^{*}$ (el grupo multiplicativo de los invertibles en $\mathbb {Z} _{15}$ ). Probar que $G\cong C_{2}\times C_{4}.$ Concluir que $\mathbb {Z} _{15}^{*}$ no es un grupo cíclico.
Considerar el grupo $G=C_{2}\times C_{2}\times C_{2}.$ Probar que el orden de G es igual a 8 y que, aunque 4 divide a 8 no hay elemento de orden 4 en G. Concluir de lo anterior que G no puede ser cíclico.
Sea G = <a> un grupo cíclico de orden impar. Probar que a aparece en la diagonal principal de la tabla del grupo.
Probar que el grupo multiplicativo $<\mathbb {Q} ^{*},\cdot >$ no es cíclico.
Sea $\mathbb {T} ,$ el conjunto formado por todas los complejos cuyo módulo es igual a 1. Probar que $\mathbb {T}$ es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1, y a los inversos de cada uno de sus elementos. Por lo que tiene una estructura de grupo. Mostrar que dicho grupo contiene elementos de orden finito de cualquier orden. (Sug: Considerar las raíces n--ésimas de la unidad.)
Sea $G=<a,b|a^{n}=e,ba=e>.$ Probar que G es finito y cíclico.
¿Por qué podemos estar seguro que los grupos diedrales no son cíclicos?
Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de matrices, respecto a la operación indicada determinan un grupo. Recordar que una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas únicas entradas no nulas están en la diagonal principal. Una matriz es triangular superior, cuando las entradas debajo de la diagonal principal son nulas. El determinante de una matriz es un número asociado a cada matriz cuadrada y es tal que
1. $\det(AB)=\det(A)\det(B),$
2. $\det(I_{n})=1\quad ,$ donde ( $I_{n}$ es la matriz identidad, una matriz diagonal con todas la entradas en la diagonal iguales a 1), y
3. una matriz es invertible, ssi, su determinante es diferente de cero.
1. Las matrices diagonales con la suma de matrices.
2. Las matrices diagonales con la ~multiplicación de matrices.
3. Las matrices diagonales cuyas entradas son todas 1 o $-1,$ con la multiplicación'on.
4. Las matrices triangulares superiores con la suma.
5. Las matrices triangulares superiores con la multiplicación.
6. Las matrices con determinante positivo con la multiplicación.
7. Las matrices cuyo determinante es 1 o $-1$ con la multiplicación.
Sea $G=GL_{2}(\mathbb {R} )$ el grupo de las matrices invertibles. Sea $G^{+}$ el subconjunto de G formado por todas las matrices cuyo determinante es positivo. Probar que $G^{+}$ es cerrado respecto a la multiplicación de matrices (usar una famosa identidad de determinantes), contiene a la matriz identidad y a los inversos de cada uno de sus elementos. Es decir que se trata de un grupo de transformaciones..
Sea G un grupo y H un conjunto finito de G que es cerrado respecto a la operación. Probar que H es con la misma operación es un grupo.
Sea $H$ $H$ el conjunto formado por todos los números reales excepto $-1.$ $-1.$ Definir * en $S$ $S$ por $a*b=a+b+ab.$ $a*b=a+b+ab.$
1. Probar que $<S,*>$ es un grupo. .
2. Hallar la solución o soluciones de la ecuación f the equation $2*x*5=3$ en $S.$
Sea $G$ un grupo finito. Probar que cada elemento $a$ de $G$ tiene orden finito.
(Considerar $e,a,a^{,}\dots ,a^{n}$ donde $n=|G|$ ),
Sea T el conjunto de números reales no nulos. Definir $a*b=|a|b$ $a*b=|a|b$
1. Muestre que * es asociativa.
2. Probar que * tiene neutro por la izquierda e inversos por la derecha
3. ¿Es $T$ un grupo?
Sea $G$ tal que para todo $a$ se cumple que $a^{2}=e.$ Probar que $G$ es abeliano. (Sugerencia: considerar $(ab)^{2}=e.$ )
Probar que si, en un grupo< se cumple que $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$ entonces, $ba=ab.$
Sea $G$ un grupo y suponga que $ab=e,$ Pruebe que también $ba=e.$
Sea $G=\{a,b:a^{4}=b^{2}=e,\quad bab^{-1}=a^{3}\}..$ $G=\{a,b:a^{4}=b^{2}=e,\quad bab^{-1}=a^{3}\}..$ Probar las siguientes afirmaciones.
1. $ba=a^{3}b.$
2. Todos los elementos de $G$ son de la forma $a^{i}b^{j},$ $0\leq i\leq 3$ y $j=0,1.$ Concluir que el orden de $G$ es 8.
3. El orden $a^{k}b$ es 2, para cualquier valor de $k.$
4. Determinar todos los subgrupos de $G.$ Indicar cuántos de ellos son cíclicos.
Sea $G$ un grupo de orden par. Probar que si un elemento $a$ de $G$ aparece en la diagonal principal de la tabla, lo hace una cantidad par de veces.
Sea $G$ un grupo de orden $2s$ con $s$ impar. Probar que $G$ tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.

Comentarios

La noción de grupo aparece en matemáticas por tres caminos, aparentemente independientes: la búsqueda de una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado, las aritméticas modulares y la geometría.

Resolución de ecuaciones. Los matemáticos de fines del siglo XVIII e inicios del siglo XIX (Lagrange, Ruffini, Cauchy, Abel, Galois) se preocuparon de expresiones algebraicas relacionando las raíces de las ecuaciones y que permanecían invariantes (no cambiaban de valor) cuando se permutaban dichas raíces. Los trabajos de Abel y las geniales construcciones de Galois ^[5], asociando grupos a ecuaciones, trajeron los grupos a primer plano. Todo el tiempo, esos grupos eran grupos de permutaciones. Alrededor de la mitad del siglo XIX, Arthur Cayley formuló una definición abstracta de grupo, semejante a la usada actualmente.

Aritmética modular. Los enteros módulo un entero positivo hacen sus primeras apariciones con Euler. Su estudio fue continuado por Gauss que analizo ejemplos muy generales de lo que llamaríamos hoy día grupos abelianos.

Geometría Desde los inicios del siglo XIX, los estudios de geometrías proyectivas y no--euclidianas condujo al estudio de las propiedades e invariancia de propiedades con respecto a ciertas transformaciones (preservación de colinealidad, paralelismo, etc.) Tales estudios hicieron aparecer de forma natural grupos en la Geometría. A finales del siglo, Felix Klein definiría a la Geometría como el estudio de los invariantes de un grupo, Erlargen Programm, 1872.

Otras fuentes. Paralelo al desarrollo de los grupos finitos, que expresaban de forma natural las clasificaciones de las simetrías de estructuras cristalinas (usadas hasta hoy por los químicos), se desarrolló el estudio de grupos infinitos, especialmente grupos de matrices. La teoría de esos grupos ayudó, y también se impulsó, por las aplicaciones a las teorías físicas del siglo XX (relatividad, mecánica cuántica, partículas elementales).

Las siguientes páginas de Wikipedia pueden agregar más información acerca de la teoría de grupos y sus aplicaciones.

Grupos (matemática)
Teoría de Grupos

Teoría geométrica de grupos

Notas

5. Los Homomorfismos de Grupos

Introducción

Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C_4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U₄ = U₄( $\mathbb {C}$ ). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente afirmativa, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que de la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C_4,a como U₄ son grupos cíclicos con generadores a e i respectivamente y que tenemos el siguiente pareo.

{\begin{array}{lcl}C_{4}&&U_{4}\\\hline a&\leftrightarrow &i\\a^{2}&\leftrightarrow &i^{2}=-1\\a^{3}&\leftrightarrow &i^{3}=-i\\a^{4}=e&\leftrightarrow &i^{4}=1\end{array}}

El pareo hace que el algebra de ambos grupos luzca bastante similar. La manera de comparar dos grupos será la noción de homomorfismo, la cual formalizará la noción de semejanza de dos grupos.

En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías (iguales formascomo las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que serán funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo.

Definiciones

Definición. (Homomorfismo de Grupos) Sean $<G,*,e,x\mapsto x^{-1}>$ y $<G',*',e',x\mapsto x'>$ grupos.
Un homomorfismo del grupo G en el grupo G' es una función $f:G\rightarrow G'$ tal que

$f$ permuta con las operaciones: $f(x*y)=f(x)*'f(y).$
$f$ envía neutro en neutro: $f(e)=e'$
$f$ envía inversos en inversos: $f(x^{-1})=f(x)^{-1}.$

Tipos de Homomorfismos
Un homomorfismo $f:G\rightarrow G'$ es un:

monomorfismo, cuando $f$ es inyectiva.
supramorfismo, cuando $f$ es suprayectiva.
isomorfismo, uando $f$ es biyectiva.
endomorfismo, cuando es un homomorfismo de $G$ en sí mismo.
automorfismo, cuando es un isomorfismo de $G$ en sí mismo.

Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son isomorfos y escribimos $G\cong G'$ .

Decimos que un grupo H es una imagen homomórfica de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H.

Ejemplo Clásico de Homomorfismo.

El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el logaritmo que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. $\ln :<\mathbb {R} ^{+},\cdot >\rightarrow <\mathbb {R} ,+>$ ya que

$\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)$ ,
$\ln(1)=0$ , y
$\ln(1/x)=-\ln(x)$ .

Además, se trata de un isomorfismo, ya que el logaritmo es una

función biyectiva, ya que tiene a la función exponencial como inversa.

Ejemplo. (Homomorfismo trivial).

Sean G y H grupos cualesquiera. La función que asigna a cada x de G el elemento neutro de H es un homomorfismo que llamaremos el homomorfismo trivial

Ejemplo. (Los grupos U₄ y C₄ son isomorfos).

Sea f la función que envía $a^{k}$ en $i^{k}$ . Como todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores

tenemos que

{\begin{array}{ll}(i)&f(a^{m}a^{n})=f(a^{m+n})=i^{m+n}=i^{m}i^{n}=f(a^{m})f(a^{n}).\\(ii)&f(e)=f(a^{4})=i^{4}=1.\\(iii)&f(a^{-1})=i^{-1}=f(a)^{-1}\end{array}}

Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son

isomorfos.

Endomorfismo aditivo de $\mathbb {Z}$ .

Sea $f:<\mathbb {Z} ,+>\rightarrow <\mathbb {Z} ,+>$ tal que $f(x)=5x.$ Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que ${\begin{array}{ll}(i)&f(x+y)=5(x+y)=5x+5y=f(x)=f(y)\\(ii)&f(0)=0;{\text{ y}}\\(iii)&f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x).\end{array}}$

Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en sí mismo) que es inyectivo, pero no suprayectivo.

Propiedades de los Homomorfismos

La definición dada de homomorfismo arriba, es la definición general de homomorfismo de estructuras^[6]. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos.

Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos de Grupoa). Sean $G$ y $G'$ grupos. Una función

$f:G\rightarrow G'$ es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que $f(x*y)=f(x)*'f(y).$

Demostración:

f(e)=f(e*e)=f(e)*'f(e)

f(e)=e'.

e'=f(e)=f(x*x^{-1})=f(x)*'f(x^{-1})

f(x^{-1})=f(x)^{-1}.

Ejemplo.

La función $\nu :\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{m}$ que asocia a cada entero $z$ su clase de congruencia módulo m es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y

\nu (x+y)=[x+y]=[x]+[y]=\nu (x)+\nu (y)

Ejemplo (Determinante de Matrices).

La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad

\det(AB)=\det(A)\det(B).

Por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles GL₂ $(\mathbb {R} )$ en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz.

Ejemplo (Grupo Producto).

Sean G, H, K grupos tales que $G=H\times K$ . Sea $pr_{H}:G\longrightarrow H$ tal que $pr_{H}(h,k)=h$ (proyección en la primera coordenada). $pr_{H}$ es un supramorfismo, ya que

pr_{H}((h_{1},k_{1})(h_{2}k_{2}))=pr_{H}(h_{1}h_{2},k_{1}k_{2})=h_{1}h_{2}=pr_{H}(h_{1},k_{1})pr_{H}(h_{2},k_{2}).

Resultado análogo para la segunda proyección.

Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.

Demostración:

f:G_{1}\longrightarrow G_{2}

g:G_{2}\longrightarrow G_{3}

{\begin{array}{rcl}(g\circ f)(xy)&=&g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))\\&=&(g\circ f)(x)(g\circ f)(y).\end{array}}

Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de $g$ . Probaremos que para todo $n$ natural, $f(x^{n})=f(x)^{n}$ . Si $n=0$ , $f(x^{n})=f(x^{0})=f(e)=e'=f(x)^{0}$ . Suponiendo el resultado para valores menores de n, tenemos $f(x^{n})=f(x^{n-1}x)=f(x^{n-1})f(x)=(f(x))^{n-1}f(x)=f(x)^{n}.$

Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que $f(x^{n})=f(x)^{n}.$

Demostración:

n

n > 0

f(x^{-n})=f((x^{-1})^{n})=f(x^{-1})^{n}=(f(x)^{-1})^{n}=f(x)^{-n},

Corolario 3.1. Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x.

Demostración:

n=o(x)

xⁿ = e

f(x)^{n})=f(x^{n})=f(e)=e'

n

o(f(x))

Ejercicios

¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ es el grupo aditivo de los Reales y $\mathbb {R} ^{*}$ $\mathbb {R} ^{*}$ el grupo multiplicativo de los Reales no nulos.
1. $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ::t\mapsto 3t$ .
2. $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ::t\mapsto 3t+2$ .
3. $f:\mathbb {R} ^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ^{*}::t\mapsto 3t$ .
4. $f:\mathbb {R} ^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ^{*}::t\mapsto t^{2}$ .
5. $f:\mathbb {R} ^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ^{*}::t\mapsto |t|$ .
Sea $G=H\times K$ . Sea $\iota _{H}:H\longrightarrow G$ tal que $\iota _{H}(h)=(h,e_{K})$ . Probar que $\iota _{H}$ es un monomorfismo de grupos. Definir un $\iota _{K}$ y enunciar y probar un resultado análogo.

Isomorfismos de Grupos

Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que $G\cong G'$ significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva.

Si $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo y $g:H\longrightarrow G$ es la inversa de f como función tenemos que
para todo x' = f(x), y' = f(y) que g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y'). Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo.
Si tenemos isomorfismos $f:G\longrightarrow H$ y $g:H\longrightarrow K$ , entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo.

Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)

La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.
La composición de isomorfismos es un isomorfismo.

Observaciones. El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación.

Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones.

La Clasificación de Grupos

El objetivo central de la teoría de grupos es la clasificación de los mismos. Esto es determinar todos los posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.

Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro.

Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo que decimos que hay un único grupo con un elemento.

Clasificación de los grupos de orden 2.

Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos.

Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean G={e,a} y H = {e',a'} donde los elementos neutros son e y e' respectivamente. Sea g la función de G en H tal que g(e)=e' y g(a) = a'. Entonces,

{\begin{array}{l}g(e*e)=g(e)=e'=ee'=g(e)g(e)\\g(e*a)=g(a)=e'g(a)=g(e)g(a)\\g(a*e)=g(a)=g(a)e'=g(a)g(e)\\g(a*a)=g(e)=e'=bb=g(a)g(a).\end{array}}

Lo que prueba que g es un isomorfismo.

Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo y x un elemento de G, entonces tenemos, por un corolario anterior, que $o(f(x)|o(x)$ . como $x=f^{-1}(f(x))$ y $f^{-1}$ es un homomorfismo, tenemos que $o(x)|o(f(x))$ . de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante.

Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos.

Los grupos cíclicos de orden 4, C₄ y K (grupo de Klein), vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C₄ hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos.

Isomorfismo de Grupos Cíclicos

Nuestra próxima proposición formaliza algo que podíamos haber intuido.

Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos) Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.

Demostración:

_n,a

_n,b.

f(a^k) =

^k

. Se tiene entonces que $f(a^{j}a^{k})=f(a^{j+k})=b^{j+k}=b^{j}b^{k}=f(a^{j})f(b^{k})=f(a^{j})f(a^{k}).$ Lo que prueba que

f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que $f(a^{k})=f(a^{j})$ . Sin perdida de generalidad, podemos suponer que $j\leq k$ , por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que $f(a^{k})=f(a^{j})\implies b^{k}=b^{j}\implies b^{k-j}=e'$ . Si $k\neq j$ , $k-j$ sería un número positivo menor que $n$ . Lo que es imposible, ya que porque por las hipótesis $n$ es el menor entero positivo con la propiedad de que $a^{n}=e'.$ . Luego $k=j$ , o sea que $f$ es inyectiva. Lo que concluye la

Isomorfismo de Grupos Simétricos

Recordemos que el grupo simétrico, ${\textsf {S}}_{X}$ , es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto $X$ en sí mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico.

Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean X, Y conjuntos con el mismo cardinal y sea $f:X\longrightarrow Y$ la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos $S_{f}:S_{X}\rightarrow S_{Y}$ tal que para todo $\sigma$ en $S_{X}$ , asociamos la función $S_{f}(\sigma )=f\circ \sigma \circ f^{-1}$ de Y en sí mismo.

Como $S_{f}(\sigma )$ es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de Y en Y, o sea de un elemento de $S_{Y}$ . Veamos, ahora, que $S_{f}$ es un

homomorfismo.

S_{f}(\sigma )S_{f}(\tau )=f\sigma f^{-1}\circ f\tau )f^{-1}=f(\sigma \tau )f^{-1}=S_{f}(\sigma \tau ).

Claramente, la asignación para cada

\eta

de

S_{Y}

de

f^{-1}\eta f

de

S_{X}

es una función inversa de

$S_{f}$ por lo que $S_{f}$ es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos.

Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos) Cuando $X$ y $Y$ son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. $S_{X}\cong S_{Y}$ .

Corolario 6.1. El grupo simétrico de cualquier conjunto con $n$ elementos es isomorfo a $S_{n}$ el grupo simétrico de $I_{n}=\{1,2,\dots ,n\}$ .

El Grupo de Automorfismos de un Grupo

Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en sí mismo.

Sea G un grupo, por Aut(G) denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que Aut(G) con la composición de funciones forman un grupo, contenido en ${\textsf {S}}_{G}$ .

Automorfismos de $C_{n}=c_{n,a}$ .

Sea

f:C_{n}\longrightarrow C_{n}

un automorfismo de grupos. Entonces como

a

es un generador del grupo, su imagen <math<f(a)</math>debe ser un generador del grupo.

(n=5) Es fácil ver por inspección, que los generadores de

C_{5}

son

a^{i}

para

i=1,2,3,4

. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que

f_{i}(a)=a^{i}

para

i=1,2,3,4

. Observemos que

f_{1}(a)=a

implica que

f_{1}(a^{j})=f_{1}(a)^{j}=a^{j}

, es decir que

f_{1}=id

, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente tabla para

{\rm {{Aut}(C_{5}).}}

{\begin{array}{c|cccc}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\\\hline f_{1}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\\f_{2}&f_{2}&f_{4}&f_{1}&f_{3}\\f_{3}&f_{3}&f_{1}&f_{4}&f_{2}\\f_{4}&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}\end{array}}

Lo que prueba que ${\rm {{Aut}(C_{5})\cong C_{4}.}}$

(n=6) En $C_{6}$ hay solo dos generadores, $a$ y <math?a^5</math>.. Por lo que hay solamente dos automorfismos: $id:a\mapsto a$ y $\sigma :a\mapsto a^{5}$ . Por lo que ${\rm {{Aut}(C_{6})\cong C_{2}.}}$

Ejercicios del Capítulo

Sea P el subconjunto de $\mathbb {Z}$ formado por todos los enteros pares. Probar que la función $x\mapsto 2x$ es un homomorfismo de grupos desde $\mathbb {Z}$ en P ¿Es un isomorfismo?
Sea $f:G\longrightarrow H$ $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones.
1. Para todo a de G y n entero se cumple que $f(a)^{n}=f(a^{n})$ .
2. Para todo a, b en G, si a conmuta con b en G, lo mismo pasa con sus imágenes en H.
3. Si a es conjugado con b en G, entonces f(a) es conjugado con f(b) en H.
4. Si hay un a en G tal que aⁿ=e para algún n natural, hay un elemento de H con la misma propiedad.
Sea $H$ $H$ una imagen homomórfica de $G$ $G$ . Probar las afirmaciones siguientes.
1. Si G es abeliano, H también lo es.
2. Si G es cíclico, H también lo es.
Sea $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo. Probar que para cada n natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación $x^{n}=e$ en G, es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en H.
Sea $f:G\longrightarrow H$ un isomorfismo. Probar que la inversa de $f$ , $f^{-1}:H\longrightarrow G$ es un isomorfismo.
Probar las siguientes afirmaciones.
1. La composición de monomorfismos es un monomorfismo.
2. La composición de supramorfismos es un supramorfismo.
3. La composición de isomorfismos es un isomorfismo.
¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos?
Sea $G=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\setminus \{(0,0)\}$ (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación $\otimes$ en G por $(a,b)\otimes (c,d):=(ac-5bd,ad+bc).$ Sea f la función de G en el grupo multiplicativo de los complejos, $\mathbb {C} ^{*}$ tal que $f(a,b)=a+ib{\sqrt {5}}$ , donde $i^{2}=-1$ . Probar que G es un grupo abeliano y que f es un monomorfismo de grupos.
Sean $G=H\times K$ un producto de grupos . Sean $pr_{1}:G\longrightarrow H$ y $pr_{2}:G\longrightarrow K$ tales que pr₁(h,k) = h y pr₂(h,k) = k. Probar que las proyecciones pr₁ y pr₂ son supramorfismos.
Sean $f:K\longrightarrow G$ y $g:K\longrightarrow H$ homomorfismos de grupos. Sea $\varphi :K\longrightarrow G\times H$ tal que $\varphi (x)=(f(x),g(x))$ . Probar que $\varphi$ es un homomorfismo de grupos.
Sean G, H y K grupos. Probar que
1. $G\times H\cong H\times G$ .
2. $G\times (H\times K)\cong (G\times H)\times K$ .
3. $G\times \epsilon \cong G$ , donde $\epsilon$ es el grupo trivial con un elemento.
Sea <G,*> un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de $G\times G$ en G es un homomorfismo de grupos, ssi, G es abeliano.
Probar que $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a $\mathbb {Z} _{4}$ .
Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos.
(Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad
1. Sea $f:\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$ tal que f(q) = aq, donde a es un número racional fijo. Probar que f es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando $a\neq 0$ .
2. Sea $\varphi :\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$ un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que $\varphi (q)=aq$ , donde $a=\varphi (1)$ .
Sea G un grupo de orden par. Probar que siempre G contiene un elemento de orden 2.
Hallar los homomorfismos de $\mathbb {Z} _{8}$ en sí mismo. ¿Cuántos de ellos son isomorfismos?

Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe.

a.	$\mathbb {Z} _{2}\longrightarrow \mathbb {Z} _{4}$ .	b.	$\mathbb {Z} _{2}\longrightarrow \mathbb {Z} _{5}.$
c.	$\mathbb {Z} _{12}\longrightarrow \mathbb {Z} _{4}$ .	d.	$\mathbb {Z} _{12}\longrightarrow \mathbb {Z} _{5}$ .
e.	$\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}$ .	f.	$\mathbb {Z} \longrightarrow D_{8}$ .
g.	$Z\times Z\longrightarrow 2\mathbb {Z}$ .	h.	$2\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .$
i.	$S_{3}\longrightarrow S_{4}$ .	j.	$C_{25}\longrightarrow C_{30}$ .

(Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides.

Notas

↑ Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.
↑ En honor a N. H. Abel (1802-1829)
↑ Felix Klein (1802)
↑ Los grupos cíclicos
↑ Louis Evariste Galois (1811-1832)
↑ Véase el apéndice La teoría de las Estructuras Algebraicas.

6. Los subgrupos

Introducción

En un capítulo anterior, vimos grupos que vivían dentro de otro grupo. El grupo de los múltiplos de un número entero está contenido en el grupo de los Enteros. El grupo de las raíces $n$ --ésimas de la unidad está contenido en el grupo multiplicativo de los Complejos.

Algunas veces se dice, de manera muy simple, que un subgrupo es un grupo que vive dentro de otra estructura. Como todas la cosas simples, hay algo de verdad en lo anterior; pero debe manejarse con cuidado. Por ejemplo el conjunto $\{1,-1\}$ es un subconjunto de los Enteros que es un grupo respecto a la multiplicación, está contenido en los Enteros, pero no está relacionado con el grupo aditivo de los Enteros porque se trata de operaciones distintas.

En forma general, cuando tenemos una estructura algebraica, un subconjunto del conjunto base de la estructura define una subestructura del mismo tipo cuando es cerrado respecto a los parámetros ^[1] de la estructura.

Definiciones

Definición. (Subgrupo) Sea <G,*,e, x -->x^-1>un grupo. Un subconjunto no vacío H de G determina (o define) un subgrupo de G, ssi,

(i)(Cerrado respecto a la operación.)

Para todo a, b en G, a,b en H ==> ab en H.

(ii) (Cerrado respecto al neutro).

El neutro es un elemento de H.

(iii)(Cerrado respecto inversos.)

Para todo a en G, a en H ==> a^-1 en H.

Notación: H < G.

La definición corresponde a la definición general de subestructura ^[2]. La riqueza de la estructura de grupo nos permite, sin embargo, reducir las condiciones.

Proposición 1. (Caracterización de Subgrupos)
Un subconjunto no vacío H de G define un subgrupo de G, ssi, para todo a, b en G se cumple que a, b en H implica que $\scriptstyle ab^{-1}$ también está en H. </math>

Demostración:
Claramente las condiciones son necesarias. Si $a$ y $b$ están en $H$ , $b^{-1}$ está en $H$ (parte (iii) de la definición). Luego $ab^{-1}$ está en $H$ (parte (i) de la definición).
Veamos, ahora, que las condiciones son suficientes. Como $H$ no es vacío, hay al menos un elemento de $G$ en $H$ , digamos $c$ . Por la condición, tenemos para todo $a,b$ en $H$ que:

$e=cc^{-1}$ está en $H$ ,
$b^{-1}=eb^{-1}$ está en $H$ .
$ab=a(b^{-1})^{-1}$ está en $H$ .
Luego $H<G.$

Ejemplos de Subgrupos
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Cada grupo $G$ es siempre un subgrupo de sí mismo. Igualmente, $\{e\}$ es un subgrupo de cualquier grupo. Algunas veces, diremos que el subgrupo determinado por el elemento neutro es el subgrupo nulo o subgrupo trivial. Decimos que un subgrupo es propio cuando es diferente de $G$ y del subgrupo trivial.

Subgrupos Aditivos de los Enteros
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Sea m un entero y sea H= mZ</math> el conjunto formado por todos los múltiplos enteros de $m$ .
Claramente, H no es vacío. Sean a = mx, b = nx y múltiplos enteros de m. Entonces, a-b = mx - my = m(x-y). Lo que prueba que a-b es un múltiplo de m. Luego mZ es un subgrupo de los Enteros.

Los únicos subgrupos de los Enteros son los mZ.

Sea H un subgrupo de los Enteros. Si $H=\{0\}$ entonces $H=0\mathbb {Z}$ . Supongamos que H contiene un elemento no nulo, digamos c. Como c en H implica (-c) en H, sin perdida de generalidad, podemos suponer que c es positivo. Sea m el menor entero positivo contenido en H y sea z cualquier elemento de H. Por división por m, tenemos que
$\scriptstyle z=qm+r,\quad {\text{ con }}0\leq r<m.$
Como H es un grupo y z y m están en H, tenemos que también están en H, qm y z. Por lo que r=z-qm también está en H. Si r fuera positivo sería menor que el menor entero positivo en H, lo que es imposible, luego, r=0. En consecuencia, z es un múltiplo de m. Lo que prueba la afirmación.

Subgrupos Cíclicos
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Proposición 2. (Subgrupo Cíclico) Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea $H=\{a^{n}:n\in \mathbb {Z} \}$ . Entonces, H es un subgrupo de G, llamado subgrupo cíclico de G generado por a y denotado por $\langle a\rangle .$

Demostración: H es claramente no vacío, ya que contiene a $a=a^{1}.$ Además, tenemos que $a^{r}(a^{s})^{-1}=a^{r-s}.$ Lo que prueba que H < G.

Los subgrupos $m\mathbb {Z}$ de los Enteros son subgrupos cíclicos.
El orden del subgrupo $\langle a\rangle$ es igual al orden de $a$ , $o(a)$ .

Subgrupos del Grupo Simétrico S₃
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Sea $G={\textsf {S}}_{3}=\langle a,b\,|\,a^{3}=b^{2}=e,ba=a^{2}b\rangle$ .
La relación "ba = a²b" nos dice que la operación no es conmutativa, por lo que S₃ no puede ser un grupo cíclico. Sigue directo de la definición que o(a)=3 y o(b) = 2. Como (ab)² = abab = aa²bb = e y (a²b)² = a²ba²b =a²abb = e, tenemos que o(ab) = o(a²b)=2. Por su parte, si x = a², x² = a y x³ = e, luego o(a²)=3. Tenemos, entonces los siguientes subgrupos cíclicos:
${\begin{array}{l}<a>=\{e,a,a^{2}\},\qquad =\{e,b\},\\<ab>=\{e,ab\},\qquad <a^{2}b>=\{e,a^{2}b\}.\end{array}}$
No hay otros subgrupos aparte de {e} y S₃.
En efecto, sea H un grupo que contiene a $a$ . Entonces, el subgrupo generado por a contiene todas las potencias de a. Si contiene algún elemento adicional debe ser de la forma $aib$ , que multiplicado por a^3-i produce b. Como H contiene a los dos generadores del grupo, debe ser igual a todo el grupo.
Razonando de igual manera, con otras posibilidades, se concluye que los únicos subgrupos posibles, son los subgrupos indicados arriba.

Diagramas de Subgrupos
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El diagrama de subgrupos es la presentación gráfica de las relaciones de inclusión entre un grupo y sus subgrupos. También se llama en la literatura, diagrama de Hasse. La figura siguiente ilustra el diagrama de subgrupos del grupo de Klein y del grupo simétrico. S₃

Grupo de Klein Grupo Simétrico S₃

Ejercicios
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Hallar todos los subgrupos posibles de los grupos C₄ y C₆. Dibujar los diagrams de subgrupos de esos grupos.
Sea U( $\mathbb {C}$ ) el subconjunto formado por todos los complejos cuyo módulo es igual a 1. (Si z = a + bi, su modulo es $\mid z\mid ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ ). U_n( $\mathbb {C}$ es el grupo de la raíces {i}n{/i}-ésimas de la unidad.

Probar que U( $\mathbb {C}$ ) es un subgrupo multiplicativo de los Complejos.
Probar que para todo n, U_n( $\mathbb {C}$ ) es un subgrupo de U( $\mathbb {C}$ ).
Probar que U₂( $\mathbb {C}$ ) = $\{1,-1\}$ es un subgrupo de U₄( $\mathbb {C}$ ).
Probar que U₃( $\mathbb {C}$ ) es un subgrupo de U₆( $\mathbb {C}$ ).
¿Cómo podríamos generalizar los resultados anteriores?

Sea G un grupo y a un elemento de G. Sea H el conjunto formado por todos los g en G que permutan (respecto a la operación) con a, o sea tales que ga = ag. Probar que H es un subgrupo de G.
Sea G un grupo finito. Sean a y b elementos de G. Probar las siguientes relaciones acerca de sus ordenes.

$o(a^{-1})=o(a)$ .
$o(bab^{-1})=o(a)$ .
Si $ab=ba$ entonces $o(ab)={\text{mcm}}\{o(a),o(b)\}$ .
Si ${\text{mcd}}\{o(a),o(b)\}=1$ y $ab=ba$ entonces $o(ab)=o(a)o(b)$ .

¿Cuáles de los conjuntos siguientes determinan subgrupos aditivos de los Complejos?

Los Enteros.
Los Racionales de la forma $m/2^{n}$ , $n\geq 0$ , $m$ y $n$ enteros.
$\{a+b{\sqrt {-5}}:a{\text{ y }}b{\text{ racionales}}.\}$
Los números puramente imaginarios. (múltiplos de $i$ ).

¿Cuáles de los conjuntos siguientes determinan subgrupos multiplicativos de los Complejos no nulos?

Los Enteros no nulos.
Los Racionales de la forma $m/2^{n}$ , $n\geq 0$ , $m\neq 0$ , $m$ y $n$ enteros.
$\{a+b{\sqrt {-5}}:a{\text{ y }}b{\text{ racionales, pero no ambos nulos}}.\}$
Los números puramente imaginarios y no nulos. (múltiplos de $i$ ).

¿Cuáles de los conjuntos de matrices son subgrupo del grupo lineal, $GL_{n}(\mathbb {R} )$ ?^[3]

Las matrices $n\times n$ cuyo determinante es igual a 5.
Las matrices diagonales de $GL_{n}(\mathbb {R} )$ .
Las matrices triangulares superiores que no tienen ceros en la diagonal.
Las matrices cuyos determinantes son 1 o $-1$ .

Para cada uno de los grupos siguientes, producir una lista completa de sus subgrupos.

Los Enteros con la adición.
Los Enteros Pares con la adición.

Propiedades de los Subgrupos.
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La siguiente proposición afirma que la relación $H<K$ entre subgrupos es transitiva. Proposición 3. (Transitividad de la relación de ser subgrupo) Sean $H_{1}$ , $H_{2}$ y $H_{3}$ subgrupos de un grupo $G$ . Si $H_{1}$ es subgrupo de $H_{2}$ y $H_{2}$ es subgrupo de $H_{3}$ entonces $H_{1}$ es subgrupo de $H_{3}$

Demostración: Ejercicio.

Proposición 4. Intersección de Subgrupos La intersección de dos subgrupos es un subgrupo.

Demostración: Sean K, K' subgrupos de un grupo G y sea H la intersección de K con K'. Como el elemento neutro esta en K y K', dicho elemento está en su parte común H. Luego, H no es vacío. Sean x, y elementos de H. Entonces, x, y pertenecen tanto a K como a K'. Como K (resp. K') es un subgrupo de G, tenemos que $xy^{-1}$ esta en K (resp. en K'). Por lo tanto, $xy^{-1}$ está en la parte común H. Luego H < G.

El Centro de un Grupo
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Definición. (Centro de un Grupo) Sea $G$ un grupo. Llamamos centro del grupo al subconjunto denotado por $Z(G)$ y formado por todos los elementos de $G$ que conmutan con cualquier otro elemento de $G$ .
$\scriptstyle Z(G):=\{a\in G:{\text{ Para todo }}g\in G,\quad ga=ag\}.$

Proposición 5. El centro de un grupo es un subgrupo abeliano del grupo.

Demostración: Como el elemento neutro conmuta con todos los elementos del grupo, el neutro $e$ está en $\scriptstyle Z(G).$ Sean $a$ , $b$ elementos del centro. Entonces, para todo $g$ de $G,$ tenemos que $\scriptstyle g(ab)=(ga)b=(ag)b=a(gb)=a(bg)=(ab)g,$
por lo que $\scriptstyle ab$ está en $\scriptstyle Z(G)$ . Notemos, además, que
${\begin{array}{rcl}ga=ag&\implies &(ga)^{-1}=(ag)^{-1}\implies a^{-1}g^{-1}=g^{-1}a^{-1}\\&\implies &ga^{-1}=a^{-1}g.\end{array}}$
Es decir que $a$ en $\scriptstyle Z(G)$ implica que $a^{-1}$ está en $Z(G)$ . Por lo tanto, $Z(G)<G.$

El tamaño relativo del centro indica cuan abeliano es un grupo. Claramente, si $G$ es abeliano, entonces $Z(G)=G$ . Cuando $Z(G)=\{e\}$ , el único elemento que conmuta con todos los otros es el neutro $e$ .

Ejemplo. (Centro del grupo simétrico S₃).

El grupo S₃ está caracterizado por tener dos generadores a, b tales que a³ = b² = e, bab = a². Como las potencias de a conmutan entre si, veamos que pasa con b. La tercera condición implica que ba =a²b, es decir que b no conmuta con a. Por su parte, ba² = baa = a²ba= a²⁺² b = ab. Por lo tanto, Z(S₃) = {e}.

Ejemplo (Centro del grupo lineal $GL_{2}(\mathbb {R} )$ ).

Supongamos que $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ fuera un elemento del centro de G. Sea $U={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ . Entonces, $AU={\begin{bmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{bmatrix}}$ y $UA={\begin{bmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{bmatrix}}.$ Si A está en el centro de G, AU = UA, comparando las entradas de cada uno de esos productos, tenemos que

(1,1) ==> a = a+c,
(1,2) ==> a+b = b + d,
(2,1) ==> c = c y
(2,2) ==> c+d = d.

Luego, c = 0, a=d. Tomando $V={\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}$ y computando AV = VA se concluye que b=0. Por lo que las únicas matrices en el centro del grupo lineal son las matrices escalares, los dos numeros de la diagonal son iguales y no nulos (el determinante no puede ser cero), y los números fuera de la diagonal son nulos. Es fácil probar que esas matrices (matrices escalares) conmutan con todas las otras matrices y por lo tanto forman el centro de G

Ejercicios
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Probar la proposición sobre la transitividad de la relación "ser subgrupo".
Probar la siguiente generalización de teorema de intersección de dos subgrupos.

Sea $(H_{i})_{i\in I}$ una familia de subgrupos de un grupo G. La intersección H de los subgrupos de la familia es también un subgrupo de G</math>.

¿Cuál es la intersección de todos los subgrupos de un grupo?
¿Es igual la intersección anterior a la intersección de todos los subgrupos propios?

(Subgrupos de los Enteros) Sabemos que cada subgrupo no nulo de los Enteros es cíclico y tiene un generador positivo. Hallar un generador positivo de cada uno de los siguientes subgrupos de $\mathbb {Z}$ .

$2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z}$ .
$2\mathbb {Z} \cap 4\mathbb {Z}$ .
$2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z} \cap 5\mathbb {Z}$ .
¿Qué podemos decir del subgrupo $m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z}$ ?

En $\mathbb {Z} _{30}$ , hallar la intersección de los subgrupos cíclicos $<[2]>$ y $<[3]>$ .
Hallar el centro del producto $C_{3}\times C_{128}$ . (Sug. La respuesta es fácil.)
Hallar el centro del producto $C_{2}\times {\textsf {S}}_{3}$ .
Probar que las permutaciones en ${\textsf {S}}_{4}$ (permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ ) que fijan al 4 forman un subgrupo isomorfo a ${\textsf {S}}_{3}$ . Generalizar el resultado anterior para S_n.

Los Homomorfismos y los Subgrupos
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En esta sección, veremos como un homomorfismo entre dos grupos relaciona a los subgrupos de uno de ellos con los subgrupos del otro.
Proposición 6. (Homomorfismos y Subgrupos) Sea $f:G\rightarrow G'$ un homomorfismo de grupos.

Si H es un subgrupo de G, su imagen, f(H) es un subgrupo de G'.
Si H' es un subgrupo de G', su preimagen (o imagen inversa), $f^{-1}(H')$ es un subgrupo de G.

Demostración:

La imagen directa de $H$ contiene al menos a $f(e)$ por lo que no es vacía. Sean $x'$ $y'$ elementos de $f(H)$ . Por definición de imagen directa, hay elementos $x$ y $y$ en $H$ tales que $x'=f(x)$ y $y'=f(y).$ Entonces, $(x')^{-1}{y'}=f(x)^{-1}f(y)=f(x^{-1})f(y)=f(x^{-1}y).$ Como $H$ es un subgrupo, $x^{-1}y$ está en $H$ , de donde $(x')^{-1}y'$ está en $f(H)$ lo que prueba que $f(H)$ es un subgrupo de $G'.$
Notemos que como cada subgrupo contiene al neutro, $f^{*}(H')$ no es vacío ya que contiene a $e$ , ya que $f(e)$ está en $H'.$ Sean $x$ , $y$ elementos de $f^{*}(H')$ o sea tales que $f(x)$ y $f(y)$ están en $H'$ . Por lo tanto, $f(x^{-1}y)=f(x)^{-1}f(y)$ también está en $H'$ ; lo que prueba que $x^{-1}y$ está en $H$ , de donde el resultado.

Definición. (Núcleo de un homomorfismo)) Llamamos núcleo de un homomorfismo $f:G\rightarrow G'$ al subgrupo $f^{-1}(e')$ de $G$

Simbolizamos ese subgrupo por $\ker(f)$ . (ker, del alemán kernel). Con ayuda de la noción de núcleo, podemos caracterizar a los monomorfismos (homomorfismos inyectivos).
Proposición 7. (Caracterización de Monomorfismo) Un homomorfismo es un monomorfismo (o sea inyectivo), ssi, el núcleo es el subgrupo trivial $\{e\}.$

Demostración: ( $\Leftarrow )$ ) Supongamos que $f(x)=f(y)$ Se tiene entonces que $e'=f(x)f(y)^{-1}=f(xy^{-1}),$
Por lo que $xy^{-1}$ pertenece al núcleo. Como el núcleo solo contiene al $e$ , tenemos que $xy^{-1}=e$ , de donde $x=y$ ; es decir que $f$ es inyectiva.
( $\Rightarrow$ ) Sea $f(x)=e'$ .Entonces, $f(x)=f(e)$ lo que implica, ya que $f$ es inyectiva, que $x=e$ . Es decir que $\ker(f)=\{e\}$

Corolario 7.1. Los isomorfismos tienen núcleos triviales .

Sigue de las proposiciones anteriores que cuando $f$ es un homomorfismo de $G$ en $G'$ entonces $f(G)$ es un subgrupo de $G'$ . Además que el homomorfismo establece una correspondencia biunívoca entre los subgrupos de $G$ que contienen al núcleo y los subgrupos de $f(G)$ , En particular, cuando se trate de un isomorfismo habrá una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos de subgrupos.

Teorema de Cayley
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Arthur Cayley, mencionado antes como el creador de la noción abstracta de grupos, probó que todo grupo finito puede presentarse como un subgrupo de permutaciones, más precisamente, es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. La idea del isomorfismos es asociar con cada elemento del grupo una permutación de los elementos del grupo. Para simplicidad de la nomenclatura, acordamos lo siguiente,

Definición. Llamamos grupo de permutaciones a cualquier subgrupo de un grupo simétrico S_n.

Consideremos un grupo finito G y un elemento cualquiera g de G. Sea L_g la función de G en G tal que L_g(x) = gx (es decir la multiplicación de g por la izquierda ).
Lema. $L_{g}$ es una permutación del conjunto G.

Demostración: Si $L_{g}(x)=L_{g}(y)\Rightarrow gx=gy$ , de donde por la propiedad cancelativa, obtenemos que $x=y$ ; o sea que la función L_g es inyectiva. Probaremos ahora que es suprayectiva. Sea y un elemento cualquiera de G, entonces $L_{g}(g^{-1}y)=gg^{-1}y=y$ , lo que prueba que la función es suprayectiva, es decir que se trata de una función biyectiva, o sea de una permutación o elemento de ${\textsf {S}}_{G}$ . Mostremos ahora que la correspondencia $\phi :g\mapsto L_{g}$ es un homomorfismo de grupos. En efecto, $L_{gh}(x)=gh(x)=g(h(x))=L_{g}(L_{h}(x))=(L_{g}\circ L_{h})(x).$
Es decir que $L_{gh}=L_{g}\circ L_{h}.$ Por lo tanto,

$\phi (gh)=L_{gh}=L_{g}\circ L_{h}=\phi (g)\circ \phi (h).$

Lo que prueba que la correspondencia $\phi$ es un homomorfismo. La inyectividad de la correspondencia sigue de la propiedad cancelativa. Luego, G es isomorfo a $\phi (G)$ .

Hemos probado el siguiente teorema.
Teorema de Cayley Todo grupo finito es isomorfo a un grupo de permutaciones.

Ejercicios
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Sea $f:\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{12}$ el supramorfismo canónico que asigna a cada entero x su clase $[x]$ .

Evaluar f(256), f(-256), f(1000).
Sea $H=256\mathbb {Z}$ . Sabemos que f(H) es un subgrupo de $\mathbb {Z} _{12}$ Determinarlo.
Sean $H'$ , $K'$ los subgrupos de $\mathbb {Z} _{12}$ generados por $[3]{\text{ y }}[4]$ respectivamente. Describir los subgrupos $f{-1}(H')$ y $f^{-1}(K')$ de los Enteros.
Describir el núcleo de f.

Sea $f:C_{9,a}\longrightarrow C_{24,b}$ un homomorfismo de grupos tal que $f(a)=b^{8}$ . Probar que f es un homomorfismo. Hallar la imagen de f, $f(C_{9,a})$ y el núcleo de f.
Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos, donde H es un grupo abeliano. Sea $z=xyx^{-1}y^{-1}$ (conmutador de x, y). Probar que z está en el núcleo del homomorfismo.

Subgrupos Conjugados
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La conjugación (definición a continuación) provee a un grupo no abeliano con una familia no trivial de automorfismos.

Definición. (Conjugación) Sea $G$ un grupo y g un elemento cualquiera de $G$ . Llamamos conjugación por $g$ a la función de $G$ en si mismo, denotada por $c_{g}$ , tal que
$c_{g}(x):=x^{g}=gxg^{-1}.$
Decimos que dos elementos $x$ , $y$ son conjugados entre si (notación: $x\sim _{c}y$ ), cuando hay un $g$ tal que $c_{g}(y)=x$ .
Decimos que los subconjuntos $A$ y $B$ son conjugados, ssi, hay un $g$ tal que $c_{g}(A)=B$ . En particular, dos subgrupos son conjugados, cuando lo son como subconjuntos.

Proposición 8. (Conjugación es un Automorfismo) Sea $G$ un grupo, $c_{g}$ es un automorfismo de $G$ , o sea un isomorfismo de $G$ en si mismo.

Demostración: Tenemos que $c_{g}(xy)=gxyg^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=c_{g}(x)c_{g}(y)$ , lo que prueba que se trata de un endomorfismo. Notemos, además, que $c_{g}(x)=c_{g}(y)\iff gxg^{-1}=gyg^{-1}\iff x=y.$ Por lo que $c_{g}$ es una función inyectiva, o sea que se trata de un monomorfismo. Además, como $c_{g}(g^{-1}xg)=g(g^{-1}xg)g^{-1}=x$ , tenemos que $c_{g}$ es un supramorfismo. En consecuencia, $c_{g}$ es un automorfismo del grupo $G$ .

Corolario 8.1. Las conjugaciones determinan un subgrupo del grupo de automorfismo, llamado el grupo de automorfismos interiores.

Demostración: Observemos que $(c_{g}c_{h})(x)=c_{g}(hxh^{-1})=ghxh^{-1}g^{-1}=(gh)x(gh)^{-1}$ . Es decir que la composición de conjugaciones es una conjugación. Como, claramente $(c_{g})^{-1}=c_{g^{-1}}$ , se tiene el resultado.

Observaciones.

Notemos que en un grupo abeliano, la conjugación por cualquier elemento es la función identidad.
Notemos (de la demostración anterior) que la función c:G --> Aut(G) tal que c(g) = c_g es un homomorfismo de grupos, que puede verificarse es un monomorfismo.
(Geometría) Una rotación del plano por un cierto ángulo $\alpha$ alrededor del punto P es conjugada de rotación por el mismo ángulo alrededor del origen. El elemento que produce la conjugación es la traslación que envía el origen en el punto P. Este tipo de conjugación es muy importante en la geometría, pues permite transportar situaciones alrededor de un punto P al origen.
Notemos que $ga=ag\iff gag^{-1}=a$ Es decir que cuando $a$ es un elemento del centro, todos sus conjugados son igual a él mismo. Luego, para todo $g$ , $Z(G)^{g}$ (conjunto de conjugados por $g$ de elementos del centro) es igual a $Z(G)$ .
Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g en G, $H^{g}:=c_{g}(H)$ es un subgrupo que es conjugado a H.

Clases de Conjugación
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Sean $x,y$ , escribimos $x\sim _{c}y$ para indicar que x es conjugado con y. Es fácil ver que $\sim _{c}$ es una relación de equivalencia en G, cuyas clases de equivalencia llamaremos clases de conjugación.
En un grupo abeliano, las clases de equivalencia consisten de un único elemento.
Ejemplo (Las Clases de Conjugación de S₃).

Sea ${\textsf {S}}_{3}=<a,b:a^{3}=b^{2}=e,bab=a^{2}b>$ . Se verifica, por computación directa, que las clases de conjugación son

$\{e\},\quad \{a,a^{2}\},\{b,ab,a^{2}b\}.$

Ejemplo.

Sea $G={\textsf {S}}_{3}=\langle a,b:a^{3}=b^{2}=e,ba=a^{2}b\rangle$ y sea $H=\{e,b\}$ .
Buscaremos subgrupos de S₃ que sean conjugados con H.

$H^{e}=H.$
$H^{a}=\{aea^{-1},aba^{-1}\}=\{e,a^{2}b\}.$
$H^{a^{2}}=\{a^{2}ea^{-2},a^{2}ba^{-2}\}=\{e,ab\}$ .

Como esos son todos los subgrupos de orden 3 se tiene el resultado.

Subgrupos Geométricos
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<<<EN PREPARACIÖN>>> Sea ${\mathcal {P}}$ el plano cartesiano que identificamos con $\mathbb {R} ^{2}$ , el conjunto formado por todos los pares ordenados del plano. El plano ${\mathcal {P}}=\mathbb {R} ^{2}$ está provisto de una estructura de producto de grupos, $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , la suma componente por componente, o sea, tal que

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2}):=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}).$

Además, hay una multiplicación por escalar, que asocia a cada número real $t$ (escalar) y a cada par $(x_{1},x_{2})$ (vector), el vector $t(x_{1},x_{2}):=(tx_{1},tx_{2})$ . En este contexto, usualmente, se dice que los puntos son vectores y los números reales, $escalares$ . Se define el largo del vector $A$ como

$\|(a_{1},a_{2})\|:={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$ .

y la distancia entre puntos como el largo de la diferencia $P-Q$ o sea $d(P,Q):=\|P-Q\|.$
Denotaremos por ${\text{Biy}}({\mathcal {P}})$ al grupo formado por todas las biyecciones del plano en si mismo, la operación siendo la composición de funciones. (Es decir, el grupo simétrico del plano). Llamaremos transformaciones (del plano) a los elementos de ese grupo

Una congruencia del plano es una transformación que preserva distancia entre puntos. Es decir que $f$ es una congruencia, ssi, para todo par de puntos $P$ , $Q$ se cumple que

$d(f(P),f(Q))=d(P,Q).$

Una traslación por un vector $A$ , es una función del plano en si mismo denotada por $t_{A}$ y tal que $t_{A}(P):=A+P$ .
Una rotación $\rho$ alrededor de un punto $C$ es una congruencia del plano que deja fijo solamente al punto $C$ . Es decir que, $\rho (P)=P$ implica que $P=C$ .
Una reflexión alrededor de una línea $\ell$ es una función del plano en si mismo que envía cada punto $P$ en un punto $Q$ ubicado en la línea perpendicular a $\ell$ y que pasa por $P$ de modo que el punto medio entre $P$ y $Q$ esté en la línea $\ell$ .

Mostraremos que el conjunto de todas las congruencias determina un subgrupo de Biy( $P$ , llamado el grupo euclídeo del plano, al que simbolizaremos por ${\textsf {Cong}}(\mathbb {R} ^{2})$ .
Claramente, la identidad es una congruencia, por lo que el conjunto de las congruencias no es vacío.

Sean $f,g$ congruencias del plano.
$d((f\circ g)(P),(f\circ g)(Q))=d(f(g(P)),f(g(Q)))=d(g(P),g(Q))=d(P,Q).$ Lo que prueba que la composición de dos congruencias es una congruencia.
$d(f^{-1}(P),f^{-1}(Q)=d(f(f^{-1}(P)),f(f^{-1}(Q))=d(P,Q).$ Lo que prueba que la inversa de una congruencia es una congruencia.

Transformaciones Lineales
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Una transformación lineal es una transformación que envía el punto (x,y) en (x', y') donde
${\begin{array}{rcl}x'&=&ax+by\\y'&=&cx+dy\end{array}}$
La definición es equivalente a la ecuación matricial,
${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\quad {\text{ con }}\quad ad-bc\neq 0.$
La condición implica que la matriz tiene determinante no nulo, o sea que es invertible. La matriz se llama la matriz asociada a la transformación lineal. Cada matriz define por la ecuación anterior una transformación lineal. Por lo que el conjunto de las transformaciones lineales (biyectivas) es precisamente el grupo lineal $GL_{2}(\mathbb {R} ^{2})$ .
Una rotación alrededor del origen es una transformación lineal cuya matriz tiene la forma
${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}\quad {con}\quad a=\cos(\theta ),b={\textrm {sen}}(\theta )$
donde $\theta$ es el ángulo de la rotación.

Ejercicios
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Probar las afirmaciones siguientes.

(Propiedades de las Traslaciones)

Las traslaciones son congruencias.
Dados puntos P y Q del plano, hay una única traslación que envía P en Q.
El conjunto ${\mathcal {T}}$ formado por todas las traslaciones determina un subgrupo abeliano del grupo euclídeo. (Sug. Evaluar $t_{A}\circ t_{B}$ .)

El conjunto de congruencias que fijan el punto P (f(P)=P), ${\textsf {Cong}}(\mathbb {R} ^{2})_{P}$ , es un subgrupo del grupo de las congruencias.
Sea f una congruencia que fija el origen. Probar que f preserva largos. ( $f(\|P\|)=\|P\|.$ )
Sea f una congruencia que fija el origen y sea $t:P\mapsto A+P$ la traslación que envía el origen en A. Entonces, $g=t\circ ft^{-1}$ es una congruencia que fija el origen.
Sean $f,g$ transformaciones lineales con matrices asociadas $A$ y $B$ . La composición $f\circ g$ es lineal com matriz asociada igual al producto $AB$ de las matrices.
(Propiedades de las Rotaciones) Las rotaciones son congruencias. Las rotaciones alrededor del origen determinan un subgrupo de las congruencias.
Sea ${\rm {{Rot}_{C}}}$ el conjunto formado por todas las rotaciones alrededor del punto $C$ . Probar que ese conjunto determina un grupo contenido en el grupo euclídeo.
Sea $\rho$ una rotación alrededor del origen $O$ del plano y sea $C$ un punto cualquiera. Entonces, $t_{C}\rho (t_{C})^{-1}$ es una rotación alrededor de $C$ . La correspondencia define un isomorfismo entre esos grupos de rotaciones.

Ejercicios del Capítulo
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Determinar cuáles de los siguientes enunciados son válidos y cuáles son falsos

En cada subgrupo, la operación es asociativa.
En cada subgrupo, la operación es conmutativa.
Cada grupo es un subgrupo de si mismo.
Todo grupo tiene subgrupos propios.
Los subgrupos cíclicos son siempre subgrupos propios.
$\mathbb {Z} _{6}$ es un subgrupo cíclico de $\mathbb {Z}$ .

Probar que en un grupo abeliano G, $\{x\in G:x^{2}=e\}<G$ .
¿Será valido el resultado del ejercicio anterior, si reemplazamos 2 por un n cualquiera?
Un subconjunto finito cerrado respecto a la operación de un grupo es un subgrupo.
¿Cierto o falso? Un grupo cuyos subgrupos propios son todos abelianos es abeliano.
Sea $G=GL_{2}(\mathbb {Z} _{5})$ , matrices invertibles 2 x 2 con entradas en $\mathbb {Z} _{5}$ . Por lo que los posibles valores de los determinantes de esas matrices son [1], [2], [3] y [4]. Se sabe que el orden de G es 480 y se quiere conocer el orden de $SL_{2}(\mathbb {Z} _{5})$ , las matrices invertibles 2 x 2 cuyo determinante es [1].

Sea $M_{x}={\begin{bmatrix}x&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad x=1,2,3,4$ . Probar que $det(M_{x})=[x]$ .
Sea A en G, probar que $\det(M_{x}A)=[x]\det(A)$ .

Usar lo anterior para responder la interrogante.

Sea G un grupo y a un elemento de G. El conjunto $\{x\in G:xa=ax\}$ es un subgrupo.
(Generalización del ejercicio anterior) Sea G un grupo y S un subconjunto de G. El conjunto $\{x\in G:xs=as,{\text{ para todo }}s\in S\}$ es un subgrupo. (Hay una demostración fácil usando el resultado anterior y un teorema del texto.)
Sea G un conjunto y definamos $x\sim y$ , ssi, $ab^{-1}\in H$ . Probar que se trata de una relación de equivalencia.
Para cada uno de los grupos siguientes, producir una lista completa de sus subgrupos.

Los Enteros con la adición.
Los Enteros Pares con la adición.

Sea ${\mathcal {F}}$ el conjunto de funciones desde un conjunto no vacío $X$ en los Reales. Si $f$ y $g$ son elementos de ${\mathcal {F}}$ , se define suma y producto tales que $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ y $(fg)(x)=f(x)g(x)$

Probar que $<{\mathcal {F}},+>$ es un grupo abeliano, mientras que $<{\mathcal {F}},\cdot >$ es solamente un monoide abeliano.
Suponer que $X=\mathbb {R}$ . Una función es par (resp.impar), ssi, para todo $x$ , $f(-x)=f(x)$ (resp. $(f(-x)=-f(x)$ ). Probar que las funciones pares (resp, impares) determinan un subgrupo aditivo de ${\mathcal {F}}$
¿Qué pasa con respecto a la multiplicación?

(Cálculo) Sea $F=F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ el grupo aditivo formado por todas las funciones de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ . Sea ${\mathcal {C}}$ el subconjunto de $F$ formado por las funciones continuas y sea ${\mathcal {D}}$ el subconjunto de ${\mathcal {C}}$ formado por las funciones derivables. Probar que ${\mathcal {D}}$ es subgrupo de <>math>\mathcal C</math>, que a su vez es subgrupo de $F$ .
(Semigrupos y Monoides) Definir las nociones de subsemigrupo y submonoide. Enuciar teoremas semejantes a los de subgrupos y probarlos. Aplicar sus definiciones al monoide M cuya tabla de operaciones se indica. ${\begin{array}{c|cccc}&a&b&c\\\hline a&a&b&c\\b&b&b&c\\c&c&c&c\end{array}}$
Sean H = {a,b} y K = {b,c}.
Cuál es el neutro de M?
Verificar que H y K con la operación restringida son monoides.
Su definición de submonoide debe servir para verificar que H es un submonoide de M, pero que K no lo es.

7. Los Grupos Cíclicos
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Introducción
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Las seis raíces complejas 6-ésimas de la unidad forman un grupo cíclico bajo la multiplicación. z es un elemento de este grupo cíclico o elemento primitivo, pero z² no lo es, porque las potencias impares de z no son representables como potencias del elemento z².

Los grupos cíclicos han aparecido varias veces anteriormente. Tales grupos son muy importantes en la teoría de los grupos, especialmente de los grupos abelianos. Dedicaremos este capítulo a establecer la estructura interna de los grupos cíclicos y algunas propiedades no vistas anteriormente.
Resumimos, a continuación, nuestro conocimiento de grupos cíclicos

Un grupo (o subgrupo) cíclico consiste de todas las potencias enteras de uno de sus elementos, llamado generador del grupo.
Los grupos cíclicos son abelianos.
Dos grupos cíclicos finitos de igual orden, son isomorfos. Denotamos a un grupo cíclico de orden n por C_n .
Hay grupos cíclicos finitos (Enteros módulo m) e infinitos (los Enteros).
Cada elemento $a$ de un grupo cualquiera genera un subgrupo cíclico, denotado por $\langle a\rangle$ .

¿Qué más nos interesaría conocer?
¿Cuántos subgrupos tiene el grupo cíclico ${\textsf {C}}_{n}?$ Hay grupos cíclicos finitos de cualquier orden, ¿pasa lo mismo con los sugrupos de un grupo ciclíco? ¿Cómo es el grupo de automorfimos de un grupo ciclíco?

Clasificación de los Grupos Cíclicos
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En esta sección produciremos un listado completo de todos los posibles grupos cíclicos.
Sea G un grupo cíclico, digamos que $G=\langle a\rangle$ . Entonces, para cada entero n, aⁿ es un elemento de G, por lo que podemos definir una función f desde los Enteros en G por f(m) = a^m. Claramente, f es suprayectiva y, por las propiedades de las potencias, tenemos que:
$f(m+n)=a^{m+n}=a^{m}\,a^{n}=f(m)f(n).$ Es decir, que f es un homomorfismo (suprayectivo) de $\scriptstyle \mathbb {Z}$ en G. Por los resultados sobre homomorfismos, tendremos que el núcleo de este homomorfismo, o sea el conjunto de todos los enteros n tales que f(n) = aⁿ = e, es un subgrupo de $<\mathbb {Z} ,+>$ . De acuerdo a los resultados de un capítulo anterior, sabemos que los únicos subgrupos aditivos de los Enteros son los $m\mathbb {Z}$ (múltiplos enteros de un número positivo o cero m). Por lo que el núcleo de f será uno de esos subgrupos. Tenemos varias posibilidades para ese núcleo, dependiendo de su generador.

$\ker(f)=\langle 0\rangle =\{0\}$ . En este caso, $a^{n}=e\implies n=0$ . Esto implica que f es inyectiva. Como f es, además, suprayectiva, tendremos que f establece un isomorfismo entre el grupo aditivo $<\mathbb {Z} ,+>$ y el grupo $\langle a\rangle$ .
$\ker(f)=\langle 1\rangle =\mathbb {Z}$ . En este caso, se cumple que para todo n, $a^{n}=e$ . En particular con n = 1, tenemos que a = e. Por lo tanto, $\langle a\rangle =\{e\}$ ,el subgrupo nulo.
$\ker(f)=\langle d\rangle$ donde d es un entero positivo mayor que 1. El número d es el menor entero positivo tal que a^d = e. Para cualquier otro entero m tendremos entonces que, m=qd+r, con $0\leq r<d$ y, por lo tanto, $a^{m}=a^{qd+r}=(a^{d})^{q}a^{r}=a^{r}.$ Es decir que $\langle a\rangle =\{e,a,a^{2},\ldots ,a^{d-1}\},$
un grupo cíclico con d elementos.

Proposición 1. (Clasificación de los Grupos Cíclicos) Sea $G=\langle a\rangle$ . Tenemos tres posibilidades para G.

G es isomorfo al grupo de los Enteros, por lo que es un grupo infinito, o
G es el subgrupo trivial integrado únicamente por el elemento neutro, o
G es isomorfo a ${\textsf {C}}_{d}$ .

Observaciones.

Sigue de la proposición que grupos cíclicos de orden infinito son isomorfos.
Los Enteros módulo m, la raíces n--ésimas de la unidad caen en la tercera categoría anterior.
En el grupo aditivo de los Enteros, cualquier elemento diferente de 0 tiene orden infinito, pero no son necesariamente generadores del grupo.

Orden de Elementos
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Ejemplo.

Sea G= $\mathbb {Z} _{12}$ . La tabla siguiente presenta los ordenes de cada uno de sus elementos.
${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}{\text{elemento}}&[0]&[1]&[2]&[3]&[4]&[5]&[6]&[7]&[8]&[9]&[10]&[11]\\\hline {\text{orden}}&1&12&6&4&3&12&2&12&3&4&6&12\end{array}}$
Ejemplo de verificación: o([3]) = 4 ya que 4[3] = [12] = [0] y, 1[3] = [3] $\neq$ [0], 2 [3] = [6] $\neq$ [0] y 3[3] = [9] $\neq$ [0]. Notemos que cualquier elemento cuyo orden sea 12 es un generador del grupo, es decir, es posible que haya más de un generador de un grupo cíclico.

Proposición 2. (Caracterización del Orden por Divisibilidad) Sea G un grupo y g un elemento de G con orden finito d. Entonces, cuando $g^{n}=e$ , se cumple que d es un divisor de n.

Demostración: Se tiene que n = qd + r con $0\leq r<d$ . Si r fuera positivo, como r = n - dq, se tendría que a^r = a^n-dq = aⁿ(a^d)^-q = e, por lo que a^r=e; pero como r < d, esto es imposible. Luego, r = 0, por lo que se tiene el resultado.

Subgrupos de Grupos Cíclicos
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Describiremos, a continuación, las posibilidades para los subgrupos de un grupo cíclico.
Proposición 3. (Subgrupos de un Grupo Cíclico)

Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
Sea G un grupo cíclico de orden n. Entonces, para cada divisor del orden de G, hay exactamente un subgrupo con ese orden. En forma más precisa, si n=qd y $G=\langle a\rangle$ , el subgrupo de orden d es $\langle a^{q}\rangle$ ,
Sea $G=\langle a\rangle$ de orden n. El orden de $a^{k}$ es n/mcd(k,n).

Demostración:

Sea G un grupo cíclico. Si G es infinito, el resultado sigue del resultado acerca de los subgrupos del grupo $\mathbb {Z}$ . Si G es nulo, el resultado es trivial. Supongamos entonces que $G=\langle a\rangle$ y que el orden de a fuera d>1. Es decir, d sería el menor entero positivo tal que a^d=e. Sea H un subgrupo no trivial de G, entonces habrá algún a^k en H con $1<k\leq d-1$ . Sea s el entero positivo minimal con la propiedad que a^s \in H. Afirmamos que H = <a^s>. Sea a^p un elemento cualquiera de H, entonces por el algoritmo de la división de Euclides, aplicado a p y s, nos proveerá enteros q y r tales que: $p=qs+r\quad {\text{con}}\quad 0\leq r<s$ . Notemos que $a^{r}=a^{p-qs}=a^{p}(a^{qs})^{-1}$ , lo que muestra que a^r es un elemento de H. Por la minimalidad de s, tendremos que r = 0, lo que implica que cada elemento de H es una potencia de a^s. Es decir que, H = < a^s es un subconjunto de <a^s>; como la inclusión inversa es trivial, tendremos que H = <a^s>, de donde, concluimos que H es cíclico.
Sea G un grupo cíclico de orden n y sea d un divisor de n, digamos que n = qd. Probaremos que <a^q> tiene orden d. En efecto, se tiene que (a^q)^d = a^qd = aⁿ = e, o sea que d debe ser un múltiplo del orden de a^q. Supongamos que k fuera el orden de a^q, si k fuera menor que d, se tendría que a^qk} = (a^q)^k = e. Como qk < qd = n, lo anterior es imposible, ya que n es el menor entero positivo p tal que a^p=e. Luego, k debe ser igual a d. Probaremos ahora la unicidad, sean d y q como antes y sea H un subgrupo de orden d de G, queremos probar que H= ^q. Sabemos que H es cíclico y que, por lo tanto, existe un s tal que H = ^s>; como aⁿ = e, se tiene que s es un divisor de n y, por los argumentos anteriores, el orden de a debe ser igual a n/s. Pero ese orden es d = n/q. Luego n/s=n/q, de donde s=q y queda probada la unicidad.
Sea d= mcd(k,n). Entonces k=k₁d y n=n₁d. Luego, $(g^{k})^{m}=e\iff n|km\iff n_{1}d|k_{1}dm\iff n_{1}|k_{1}m.$ Pero, $n_{1}\nmid k_{1}$ , por lo que $n_{1}|m$ . Sigue de la caracterización del orden por divisibilidad que o $(g^{k})=n_{1}=n/d.$

Orden de los Elementos
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¿Cuáles son los posibles ordenes de los elementos de un grupo cíclico?
Notemos que el orden de un grupo cíclico $\langle a\rangle$ coincide con el orden de su generador $o(a)$ . Si $\langle a\rangle \cong \mathbb {Z}$ entonces el orden es infinito, mientras que si $\ker {f}=\langle d\rangle$ , $d\geq 1$ , entonces $o(a)=d=|\langle a\rangle |$ .
Ejemplo.

En el grupo aditivo de los Enteros, cualquier elemento diferente de 0 tiene orden infinito.

Ejemplo.

Sea $G=\mathbb {Z} _{12}$ . La tabla siguiente presenta los ordenes de cada elemento.
${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}{\text{elemento}}&[0]&[1]&[2]&[3]&[4]&[5]&[6]&[7]&[8]&[9]&[10]&[11]\\\hline {\text{orden}}&1&12&6&4&3&12&2&12&3&4&6&12\end{array}}$
Ejemplo de verificación: $o([3])=4$ ya que $4\cdot [3]=[12]=[0]$ y, $1[3]=[3]\neq 0$ , $2[3]=[6]\neq 0$ y $3[3]=[9]\neq 0$ . Notemos que cualquier elemento cuyo orden sea 12 es un generador del grupo, es decir, es posible que haya más de un generador de un grupo cíclico.

Proposición 4. (Caracterización del Orden por Divisibilidad) Sea $g$ un elemento con orden finito $d$ . Entonces, cuando $g^{n}=e$ , se cumple que $d$ es un divisor de $n$ .

Demostración: Tenemos, por división, que $n=qd+r$ con $0\leq r<d$ . Si $r$ fuera positivo, como $r=n-dq$ , se tendría que $a^{r}=a^{n-dq}=a^{n}(a^{d})^{-q}=e$ , por lo que $a^{r}=e$ ; pero como $r<d$ , esto es imposible. Luego, $r=0$ , y se tiene el resultado.

La función $\varphi$ de Euler.

Sea $G=\langle a\rangle$ un grupo de orden $n$ . Sigue de la parte c) de la proposición anterior que los elementos de orden $n$ de $G$ son los $a^{k}$ tales que ${\textsf {mcd}}(k,n)=1$ . Es decir, todos los $k$ , $1\leq k\leq n$ que son relativamente primos con $n$ . La cantidad de esos elementos se llama la función de Euler de $n$ y se denota por $\varphi (n)$ .
Ejemplo.

Si $p$ es primo, $\varphi (p)=p-1$ . Por lo que los generadores de ${\textsf {C}}_{p}$ son todos los elementos, excepto el neutro.

La tabla siguiente muestra los valores de $\varphi (n)$ para valores pequeños de $n$ ,
${\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&2&4&6&8&9&10&12&14&15&16\\\hline \varphi (n)&1&2&2&4&6&4&4&6&8&8\\\hline \end{array}}$
Homomorfismos y Grupos Cíclicos
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Proposición 5. (Homomorfismos y Cíclicos) Sea G un grupo cíclico y $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Entonces, la imagen $f(G)$ es un subgrupo cíclico.

Demostración: Sea $a$ un generador de $G$ . Entonces, para cada $y$ de $f(G)$ hay un $x=a^{k}$ , para algún $k$ , tal que $f(x)=y$ . Lo que implica que $y=f(a^{k})=f(a)^{k}$ ; lo que muestra que $f(G)$ es cíclico con generador $f(a)$ .

Los Automorfismos de los Enteros Módulo m
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Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo (homomorfismo biyectivo) del grupo en si mismo. Todos los automorfismo de un grupo determinan, a su vez, un grupo simbolizado por ${\textsf {Aut}}$ (G). Sea G= $\mathbb {Z} _{m}$ , el grupo cíclico con m elementos y sea f: G \flecha G un automorfismo, entonces la imagen de [1] debe ser un generador de G, ya que $f(G)\cong G$ . Luego, hay $\varphi (m)$ posibles selecciones para la imagen de G. Por lo que se tiene que $|Aut(G)|=\varphi (m)$ .

Los Grupos Simétricos
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Recordemos que llamamos grupo simétrico de un conjunto $X$ al grupo ${\textsf {S}}_{X}$ determinado por todas las biyecciones del conjunto $X$ en si mismo, con la composición de funciones como operación. Dos conjuntos con igual cardinal tienen grupos simétricos isomorfos.
Cuando el conjunto es finito, es tradicional llamar \textbf{permutaciones} a los elementos del grupo simétrico.

Advertencia. Para simplicidad de la exposición, supondremos que nuestro grupo simétrico de $n$ símbolos actúa en $\{1,2\dots ,n\}$ . Esto no es realmente una gran restricción, ya que los grupos simétricos de conjuntos con $n$ elementos son, siempre, isomorfos entre si. Como la intuición de permutaciones es reordenación, el conjunto donde actúan las permutaciones debe estar ordenado, lo que se traducer en una enumeración como
$X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$
y al restringirnos a $\{1,2,\dots ,n\}$ es como que estuviéramos trabajando cono los índices.

Recordemos que denotamos por ${\textsf {S}}_{n}$ al grupo simétrico de $I_{n}=\{1,2,\dots ,n\}$ y llamamos permutaciones (de $n$ símbolos) a sus elementos. Intuitivamente, una permutación de una cierta cantidad de objetos es un (re)ordenamiento de los mismos.

Los Ciclos
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Ejemplo A.

Sea $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&3&1&5\end{pmatrix}}$ una permutación de ${\textsf {S}}_{5}$ .
Notemos que la (función) $\sigma$ es tal que $\sigma (3)=3$ y $\sigma (5)=5$ .

Es decir que $\sigma$ mueve el $1$ , $2$ y $4$ de manera cíclica, mientras que deja fijos a $3$ y $5$ . Tales permutaciones se llaman \textit{ciclos}, que definiremos de manera general más adelante.

Ejemplo B.

Sea $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&5&3&6&1&4&7\end{pmatrix}}$ una permutación de ${\textsf {S}}_{7}$ . En este caso, los puntos que no se mueven son 3 y 7. ¿Qué pasa con aplicaciones sucesivas de $\sigma$ a puntos que no quedan fijos?
$1{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}2{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}5{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}1.\qquad 4{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}4{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}4.$
En este caso tenemos dos puntos fijos y dos ciclos.

Sea $\sigma$ una permutación de un conjunto $X$ finito con $n$ elementos. Sea $x$ un elemento cualquiera de $X$ . Consideremos la sucesión obtenida por aplicaciones sucesivas de $\sigma$ a un punto $x$ de $X$ y a sus imágenes.
$x_{1}:=x{\text{ y }}x_{r+1}=\sigma (x_{r}),r\geq 1.$
Como $X$ es un conjunto finito, los términos de la sucesión
$x_{1}=x,x_{2},\dots ,x_{k},\dots$
no pueden ser todos diferentes. Por lo que hay $s$ y $r$ , con $1\leq s<r$ , tales que $\sigma (x_{r})=x_{s}$ . Si $s>1$ , entonces $\sigma (x_{r})=x_{s}=\sigma (x_{s-1})$ , lo que implica que $x_{r}=x_{s-1}$ , o sea $r=s-1$ , lo que es una contradicción ya que $r>s$ . Luego $s=1$ , o sea $x_{r}=x_{1}$ .
Introduciremos una terminología que nos ayudará a estudiar los ``ciclos de una permutación.

Definición. (Ciclos) Sea $X$ un conjunto con $n$ elementos. Sea $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}$ una sucesión de $k$ elementos diferentes de $X$ , $k\leq n$ . Llamaremos ciclo (de largo $k$ ) o k--ciclo a la permutación $\sigma$ de $X$ que deja fijo a todos los elementos de $X$ que no aparecen en la sucesión y tal que
$x_{i+1}=\sigma (x_{i}),{\text{ cuando }}i<k,\qquad {\text{y}}\qquad \sigma (x_{k})=x_{1}.$
Es decir que
$x_{1}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{2}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\dots {\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{k-1}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{k}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{1}.$
Simbolizamos por $(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{k})$ a ese ciclo.
Llamamos transposición a un ciclo de largo 2.

Veremos, más adelante, que cada permutación puede expresarse como un producto de ciclos. Antes, presentaremos algunas nociones que nos ayudarán en el estudio de los ciclos de una permutación.

(Puntos fijos de una permutación) Llamamos punto fijo o elemento fijo por (o de) una permutación $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{X}$ a un punto $x$ de $X$ tal que $\sigma (x)=x$ . Hay ejemplos de permutaciones y de transformaciones que no tienen puntos fijos, mientras que la identidad deja a todos los puntos fijos. En el ejemplo A, los puntos fijos son 3 y 5.
(Soporte de una permutación.) Llamamos soporte de la permutación $\sigma$ al subconjunto $S_{\sigma }$ de $X$ formado por todos los elementos de $X$ que no quedan fijos por $\sigma$ . $S_{\sigma }:=\{x\in X:\sigma (x)\neq x\}.$
En otras palabras, el soporte de una biyección $\sigma$ es el complemento (como conjunto) del conjunto de elementos fijos por $\sigma$ . Coloquialmente, decimos que la permutación \textit{mueve} a los puntos de su soporte.
El soporte del permutación del ejemplo B es $S_{\sigma }=\{1,2,4,5,6\}$ .

Observaciones.

Un ciclo de largo 1 indica que todos los elemento de $X$ quedan fijo por la permutación, o sea que se trata de la identidad.
Una permutación puede dar origen a uno o más ciclos.
Si $\sigma =(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{r})$ , entonces el soporte de $\sigma$ es precisamente $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}$ .
Llamamos \textit{permutación cíclica} de $I_{n}$ al ciclo $(123\dots n)$ de ${\textsf {S}}_{n}$ . \index{permutación!cíclica}
Sea $\sigma =(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{r})$ un $r$ --ciclo. Se tiene que $x_{2}=\sigma (x_{1}),\quad x_{3}=\sigma (x_{2})=\sigma ^{2}(x_{1}),\quad \dots ,x_{k}=\sigma ^{k-1}(x_{1}),\dots .$
Observemos que $\sigma ^{r}(x_{1})=x_{1}$ .

Permutaciones disjuntas.

Decimos que dos permutaciones son disjuntas cuando sus soportes lo sean.

Observemos que cuando dos permutaciones son disjuntas, los puntos que una mueva, la otra los deja fijos. Esto implica que el producto de las dos biyecciones es independiente del orden del producto.

Permutaciones disjuntas conmutan.

Observemos que una biyección y su inversa tienen igual soporte. También si $\sigma$ y $\tau$ son disjuntas se tiene que
$S_{\sigma \tau }=S_{\sigma }\cup S_{\tau }$

Veremos, a continuación, lo anunciado más arriba.
Proposición 6. Cada permutación de ${\textsf {S}}_{n}$ es un ciclo o un producto único de ciclos disjuntos, excepto por el orden y 1--ciclos.

Demostración: (Por inducción sobre la cantidad de elementos en $S_{\sigma }$ .) Si $|S_{\sigma }|=0$ , entonces $\sigma =id$ que es un producto de ciclos disjuntos de largo 1. Sea $|S_{\sigma }|>0$ y sea $x$ en $S_{\sigma }$ tal que $\sigma (x)\neq x$ . Sea $k$ el menor entero positivo tal que $\sigma ^{k}(x)=x$ . Sea $\tau$ el ciclo $(x\,\sigma (x)\,\dots \,\sigma ^{k-1}(x))$ . Sea $x$ en $S_{\sigma }$ , entonces, razonado con el prueba del inverso, $(\sigma \tau ^{-1})(x)=x$ . Por lo que $\sigma \tau ^{-1}$ fija cada elemento de $J=\{x,\sigma (x),\ldots ,\sigma ^{k-1}(x)\}$ . Si $x$ no está en $J$ , entonces $\tau (x)=x$ , por lo que $(\sigma \tau ^{-1})(x)=\sigma (x)$ . Luego, $(\sigma \tau ^{-1})(x)\neq x$ , ssi, $\sigma (x)\neq x$ . Esto implica que $S_{\sigma \tau ^{-1}}=S_{\sigma }\setminus J\subsetneq S_{\sigma }$ . Por la hipótesis de inducción, tenemos que $\sigma \tau ^{-1}$ debe ser igual a un producto de ciclos disjuntos, $\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{s}$ , que como fijan $J$ deben ser disjuntos de $\tau$ . Luego $\sigma =\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{s}\tau .$
Veamos ahora la unicidad. Supongamos que $\sigma =\sigma _{1}\cdots \sigma _{r}$ . Entonces, $S_{\sigma }=S_{\sigma _{1}}\cup S_{\sigma _{2}}\dots \cup S_{\sigma _{r}}$ . Además, $i\neq j$ implica que $S_{\sigma _{i}}\cap S_{\sigma _{j}}=\emptyset$ . Cada $x$ en $S_{\sigma }$ pertenece por lo tanto a un único $S_{\sigma _{i}}$ , $i=1,2,3,\dots ,r$ . Por lo que $\sigma _{i}=(x\,\sigma (x)\,\sigma ^{2}(x)\,\ldots )$ ya que $\sigma$ coincide con $\sigma _{i}$ en $S_{\sigma _{i}}$ . Es decir que los ciclos quedan únicamente determinados por $\sigma$ .

Transitividad de la acción
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Sea $X$ un conjunto finito tal que $|X|=n$ . Dados dos puntos $x$ , $y$ , sea $\tau _{x,y}$ definida por
$\tau _{x,y}(z)={\begin{cases}y,&{\text{si }}z=x;\\x,&{\text{si }}z=y;\\z,&{\text{si }}z\neq x,y.\end{cases}}$
Claramente $\tau _{x,y}$ es una permutación de $X$ , cuando $n\geq 2$ . Cuando un grupo de permutaciones, tiene la propiedad de que dado $x$ , $y$ hay un elemento del grupo que envía un punto en el otro, decimos que el grupo \textit{actúa transitivamente} sobre el conjunto.
Veremos, a continuación, que ${\textsf {S}}_{n}$ actúa transitivamente en el conjunto de sucesiones de $r$ --elementos diferentes de $X$ , clásicamente llamadas las $r$ --permutaciones de un conjunto con $n$ elementos.
Sean $\alpha =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})$ y $\beta =(y_{1},y_{2},\dots ,y_{r})$ dos sucesiones de $r$ elementos diferentes. Sea $(x_{r+1},\dots ,x_{n})$ una sucesión formada por los elementos del complemento de $\alpha$ . Sea $(y_{r+1},\dots ,y_{n})$ la sucesión análoga para $\beta$ . Entonces, definimos una función que asigna a cada $x_{i}$ , el correspondiente $y_{i}$ . Claramente, tal función es la permutación deseada.
Ejemplo.

Sean $n=5$ , $\alpha =(1,3,5)$ y $\beta =(4,2,3)$ , entonces una permutación satisfaciendo lo indicado arriba es
$\sigma ={\begin{pmatrix}1&3&5&2&4\\4&2&3&1&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&1&2&5&3\end{pmatrix}}.$

Esta construcción será usada más adelante para obtener permutaciones con una asignación parcial de sus valores.

Ejercicios
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Sean $\sigma$ , $\tau$ y $\eta$ permutaciones de ${\textsf {S}}_{7}$ , con $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&2&4&7&5&6&1\end{pmatrix}}$ , $\tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&2&4&7&6&5&1\end{pmatrix}}$ y $\eta ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\1&5&4&3&2&6&7\end{pmatrix}}$ . Expresar cada una de esas permutaciones como un producto de permutaciones disjuntas.
Sean $\sigma =(123)$ , $\eta =(234)$ , $\tau _{1}=(45)$ y $\tau _{2}=(13)$ permutaciones de ${\textsf {S}}_{6}$ . Expresar cada uno de esos ciclos en la forma matricial.
Sean $\sigma =(123)$ , $\eta =(234)$ , $\tau _{1}=(45)$ y $\tau _{2}=(13)$ permutaciones de ${\textsf {S}}_{6}$ . Realizar las operaciones indicadas.
${\begin{matrix}a.&\eta \sigma .\qquad &&b.&\sigma \eta .\qquad &&c.&\sigma \tau _{1}.\qquad \\d.&\sigma \tau _{2}.\qquad &&e.&\sigma \eta \sigma .\qquad &&f.&\eta \tau _{2}.\qquad \end{matrix}}$
Suponer que las permutaciones son de ${\textsf {S}}_{5}$ . Sea $\sigma =(135)$ . Hallar $\sigma ^{2}$ , $\sigma ^{3}$ , $\sigma ^{4}$ , $\sigma ^{5}$ , $\sigma ^{6}$ y $\sigma ^{100}$ . Probar, además, que $\sigma ^{-1}=\sigma ^{2}$ .
Suponer que las permutaciones son de ${\textsf {S}}_{5}$ . Sean $\tau _{1}=(24)$ , $\tau _{2}=(13)$ y $\tau _{3}=(34)$ .

Probar que los cuadrados de esas transposiciones son la identidad.
Probar que cada una de esas transposiciones tiene un inverso igual a ellas mismas.
Simplificar $\tau _{1}\tau _{2}\tau _{1}^{-1}$ .
Simplificar $\tau _{1}\tau _{3}\tau _{1}^{-1}$ .

Sea $\tau =(i\,j)$ una transposición de ${\textsf {S}}_{n}$ . Probar que $\tau ^{2}=id$ y que $\tau ^{-1}=\tau$ .
Sea $\sigma =(i\,j\,k)$ un 3--ciclo de ${\textsf {S}}_{n}$ . Probar que $\sigma ^{3}=id$ y que $\sigma ^{-1}=\sigma ^{2}$ .
¿Cómo se podrían generalizar lo anterior a $k$ --ciclos de ${\textsf {S}}_{n}$ ? Conjeturar y tratar de probar.

Probar que en ${\textsf {S}}_{5}$ , se tiene las siguientes relaciones:

$(243)=(24)(34)$ .
$(5421)=(54)(42)(21)$ .
$(12345)=(12)(23)(34)(45)$ .

¿Qué se puede conjeturar?

Construir la tabla de ${\textsf {S}}_{2}$ , el grupo simétrico del conjunto $X=\{1,2\}$ . Comparar la tabla del grupo con la tabla de la multiplicación de $\mathbb {Z} _{2}$ .
Verificar la tabla de ${\textsf {S}}_{3}$ . Determinar todos los subconjuntos cerrados de ${\textsf {S}}_{3}$ . Comparar la tabla de ${\textsf {S}}_{3}$ con la tabla de las simetrías de un triángulo equilátero ${\textsf {D}}_{6}$ .
Sea $G$ un subgrupo de un grupo simétrico ${\textsf {S}}_{X}$ y sean $x$ . Probar que el conjunto de permutaciones en $G$ que fijan $x$ , es un subgrupo de $G$ denotado por $G\cdot x$ .

Propiedades de los Ciclos de Permutaciones
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Sea $\sigma$ un ciclo de largo $k$ en ${\textsf {S}}_{n}$ , digamos que
$\sigma =(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{k}).$
Mostraremos que cualquier punto que aparece en el ciclo, definen al mismo ciclo. Es decir que un ciclo no tiene una representación única, ya que cualquiera de los siguientes representa el mismo ciclo.
${\begin{array}{l}(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{k-1}\,x_{k})\\(x_{2}\,x_{3}\,\dots \,x_{k-1}\,x_{k}\,x_{1})\\\quad \quad \quad \vdots \\(x_{k-1}\,x_{k}\,\dots \,x_{k-3}\,x_{k-2})\\(x_{k}\,x_{1},\dots \,x_{k-2}\,x_{k-1})\\\end{array}}$
En efecto, tomemos como punto inicial a $x_{i}$ , entonces por sucesivas aplicaciones de $\sigma$ obtenemos la sucesión
$x_{i},\sigma (x_{i}),\sigma ^{2}(x_{i}),\ldots$
Como $x_{i}=\sigma ^{i-1}(x_{1})$ , tenemos que la sucesión anterior es
$x_{i}=\sigma ^{i-1}(x_{1}),\sigma ^{i}(x_{1}),\sigma ^{i+1}(x_{1}),\dots$
Es decir una sucesión de puntos que aparecen en el ciclo que se inicia en $x_{1}$ . Además, $\sigma ^{r}(x_{i})=\sigma ^{r}(\sigma ^{i-1}(x_{1}))=\sigma ^{i-1}(\sigma ^{r}(x_{1}))=\sigma ^{i-1}(x_{1})=x_{i}$ . Si hubiera un $s<r$ tal que $\sigma ^{s}(x_{i})=x_{i}$ , tendríamos que $\sigma ^{s+r-1}(x_{1})=\sigma ^{i-1}(x_{1})$ , de donde $\sigma ^{s}(x_{1})=x_{1}$ , lo que no puede ser. Sea $\tau$ el ciclo de largo $r$ que se inicia en $x_{i}$ . Claramente, el soporte de $\tau$ es igual al soporte de $\sigma$ . Además, para cada $j$ tenemos que $\tau (x_{j})=\tau (\sigma _{j-1}(x))=\sigma ^{j}(x_{1})=\sigma (x_{j})$ . Es decir que $\tau =\sigma$ .
Cantidad de $k$ -ciclos.

¿Cuántos ciclos hay en ${\textsf {S}}_{n}$ de largo $k$ , $2\leq k\leq n$ ?
Las $k$ posiciones en un $k$ --ciclo, pueden llenarse de
$n*(n-1)*(n-2)*\dots *(n-k+1)$
diferentes maneras. Como cada $k$ -ciclo puede escribirse de $k$ diferentes maneras, tenemos que

Cantidad de k--ciclos = ${\frac {n*(n-1)*(n-2)*\dots *(n-k+1)}{k}}.$

Orden de Ciclos.

Sea $\sigma =(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{r})$ . Los cómputos anteriores muestran que para todo $i$ se cumple que $\sigma ^{r}(x_{i})=x_{i}$ . Si $x$ no está en $S_{\sigma }$ , $x$ es fijo por $\sigma$ luego $\sigma ^{r}(x)=x$ . Lo anterior prueba la siguiente proposición.
Proposición 7. Un $r$ --ciclo tiene orden $r$ como elemento del grupo ${\textsf {S}}_{n}$ .
En la terminología de la teoría de grupos, el subgrupo generado por un $r$ --ciclo $\sigma$ es un subgrupo cíclico de orden $r$ . Como hay ciclos de largo $k$ , para todo $k$ . $2\leq k\leq n$ , tenemos que ${\textsf {S}}_{n}$ contiene subgrupos ciclos de orden $k$ . La siguiente proposición sigue directamente de la teoría de grupos cíclicos, pero, daremos también una demostración directa
Proposición 8. Sea $\sigma =(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{r})$ un $r$ --ciclo de ${\text{S}}_{n}$ . Se cumple que

$\sigma ^{k}$ es un ciclo tal que $\sigma ^{k}(x_{i})=(x_{i+k})$ (subíndices computado los índices mayores que $r$ módulo $r$ ) .
Si ${\textsf {mcd}}(k,r)=1$ entonces $\sigma ^{k}$ es un $r$ -ciclo.
Si ${\textsf {mcd}}(k,r)=d>1$ entonces $\sigma ^{k}$ es un producto de $d$ ciclos de largo $r/d$

Demostración:

Como $\sigma ^{k}(x_{i})=\sigma {^{k}}(\sigma ^{i}(x_{1}))=\sigma ^{k+1}(x_{1})=x_{i+k}$ , tenemos la parte a).
Cuando ${\textsf {mcd}}(k,r)=1$ , entonces para todo $j$ , $1\leq j\leq r$ , los enteros $1+kj$
son enteros diferentes módulo $r$ .
En efecto, si $1+kj\equiv 1+kj'{\pmod {r}}$ , se tendría que $k(j-j')\equiv 0{\pmod {r}}$ . Como $p$ no divide a $k$ , se tiene que $j-j'\equiv 0{\pmod {r}}$ .

Cuando ${\textsf {mcd}}\{k,r\}=d$ , se tiene que $(\sigma ^{k})^{r/d}=(\sigma ^{r})^{k/d}=e$ . Lo que prueba la afirmación sobre el orden de $\sigma _{k}$ . El resto sigue de forma inmediata.

Ejemplo.

Sea $\sigma =(1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8)$ . Entonces,
$\sigma ^{2}=(1\,3\,5\,7)(2\,4\,6\,8),\quad \sigma ^{3}=(1\,4\,7\,2\,5\,8\,3\,6),\quad \sigma ^{2}=(1\,5)(2\,6)(3\,7)(4\,8).$

Inversa de un ciclo.

La permutación inversa de un ciclo es un ciclo que hace un recorrido inverso de los puntos del ciclo original.
$(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{r})^{-1}=(x_{1}\,x_{k}\,x_{k-1}\dots \,x_{2}).$
Notemos que se tiene
$(x_{1}\,x_{k}\,x_{k-1}\dots \,x_{2})=(x_{k}\,x_{k-1}\dots \,x_{2}\,x_{1})=.$
Observemos también que la inversa de una permutación tiene el mismo orden y soporte que la permutación. Tales resultados siguen en forma inmediata de la proposición anterior aplicada a $\sigma ^{r-1}=\sigma ^{-1}$ .
Conjugado de un Ciclo.

Lema de Conjugación Sea $\sigma =(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{k})$ un ciclo de ${\textsf {S}}_{n}$ y sea $g$ una permutación cualquiera de ${\textsf {S}}_{n}$ . Entonces, el conjugado de $\sigma$ por $g$ , $g\sigma g^{-1}$ , es el ciclo de igual largo
$(g(x_{1})\,g(x_{2})\,\dots \,g(x_{k})).$

Demostración: Sea $1\leq i<k$ . Entonces $g(\sigma (g^{-1}((g(x_{i})))=g(\sigma (x_{i}))=g(x_{i+1}).$
Además,
$g(\sigma (g^{-1}((g(x_{k})))=g(\sigma (x_{k}))=g(x_{1}).$
Lo que prueba que
$g\sigma g^{-1}=(g(x_{1})\,g(x_{2})\,\dots \,g(x_{k})).$

Ejemplo.

Sea $\sigma =(1354)$ en ${\textsf {S}}_{5}$ . Sea $g=(23)$ . Entonces, $g\sigma g^{-1}=(g(1)\,g(3)\,g(5)\,g(4))=(1254)$ .

Ejemplo.

Sea $\tau =(i\,j)$ un transposición de ${\textsf {S}}_{n}$ , $n>2$ . Sea $g$ una permutación tal que $g(i)=1$ y $g(j)=2$ . Entonces,\
$g\tau g^{-1}=(g(i)\,g(j))=(12).$
Esto muestra que todos los 2--ciclos son conjugados con el ciclo $(12)$ . Como la relación de conjugación es de equivalencia, sigue que dos transposiciones cualesquiera son siempre conjugadas entre si.

Proposición 9. (Orden de un producto de ciclos disjuntos) Sean $\sigma$ y $\tau$ ciclos disjuntos. Entonces, $o(\sigma \tau )$ es igual mínimo común múltiplo de $o(\sigma )$ y $o(\tau )$ .

Demostración: Como $\sigma$ y $\tau$ son disjuntos, conmutan entre si. Luego, para cualquier $k$ se cumple que $(\sigma \tau )^{k}=\sigma ^{k}\sigma ^{k}$ . Sea $\eta =\sigma \tau$ . Supongamos que $o(\sigma )=r$ , que $o(\tau )=s$ y que $o(\eta )=t$ . Sea $m={\text{mcm}}(r,s)$ . Entonces, $\eta ^{m}=(\sigma \tau )^{m}=\sigma ^{m}\tau ^{m}=id\,id=id,$
ya que $m$ es un múltiplo de los ordenes de $\sigma$ y $\tau$ . Luego $t|m$ .
Si $x$ está en $S_{\sigma }$ , $\eta (x)=\sigma (\tau (x))=\sigma (x)$ . Luego, $x=\eta ^{t}(x)=\sigma ^{t}(x)$ ; lo que implica que $r|t$ . Análogamente $s|t$ ,
Luego $m|t$ . Lo que prueba que $m=t$ .

Corolario 9.1. Sea $\sigma =\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{r}$ . Entonces el orden de $\sigma$ es el mínimo común múltiplo de los ordenes de los factores.

Demostración: Inducción sobre $r$ .

Ejemplo.

En ${\textsf {S}}_{5}$ la permutación $(123)(45)$ tiene orden 6.

Ejemplo.

En ${\textsf {S}}_{10}$ hay un elemento de orden 30.

El orden de $(12345)(678)(9\,10)$ es 30.

Clases de Conjugación
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Sea $\sigma$ una permutación de ${\textsf {S}}_{n}$ y sea $\tau _{1}\tau _{2}\dots \tau _{k}$ la descomposición en ciclos disjuntos de $\sigma$ incluyendo los 1--ciclos y tal que
$1\leq \ell (\tau _{1})\leq \ell (\tau _{2})\leq \dots \leq \ell (\tau _{k})\leq n.$
( $\ell (\tau )$ es el largo del ciclo $\tau$ ).
Llamamos tipo de $\sigma$ a la sucesión $(\ell (\tau _{1}),\dots ,\ell (\tau _{k}))$ . Notemos que
$\ell (\tau _{1})+\dots +\ell (\tau _{k})=n.$
Luego, cada tipo de una permutación define una partición de $n$ .
Como cada conjugado de un ciclo tiene igual largo que el ciclo, sigue que los conjugados de una permutación tienen igual tipo que la permutación. Sean $\sigma =\tau _{1}\dots \tau _{k}$ y $\sigma '=\tau _{1}'\dots \tau _{k}'$ dos permutaciones de igual tipo con las descomposiciones normalizadas como arriba.
Observemos que el soporte $S_{\sigma }$ es la reunión disjunta de los soportes de los $\tau _{i}$ , $1\leq i\leq k$ . Análogamente para el soporte de $\sigma '$ . Supongamos que $\tau _{j}=(x_{j_{1}}\,\dots \,x_{j_{r}})$ donde $j_{r}=\ell (\tau _{j})$ . Sea $\tau _{j}'=(y_{j_{1}}\,\dots \,y_{j_{r}})$ el ciclo correspondiente de $\sigma '$ . Sea $\beta$ la permutación tal que sobre el soporte de $\tau _{j}$ es tal que $\beta (x_{j_{\mu }})=y_{j_{\mu }}$ . Luego, por el lema de conjugación, $\beta \tau _{j}\beta ^{-1}=\tau _{j}'$ . Se tiene entonces que
${\begin{array}{rcl}\beta \sigma \beta ^{-1}&=&\beta \tau _{1}\beta ^{-1}\,\beta \tau _{2}\beta ^{-1}\,\cdots \beta \tau _{k}\beta ^{-1}\\&=&\tau _{1}'\,\tau _{2}'\cdots \tau _{k}.\end{array}}$
Proposición 10. Dos permutaciones son conjugadas, ssi, tienen igual tipo. Hay tantas clases de conjugación de ${\textsf {S}}_{n}$ como tipos, o sea como particiones de $n$ .

Ejercicios
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Expandir como una permutación completa de cinco elementos, cada uno de los siguientes ciclos de ${\textsf {S}}_{5}$ . $(12),\quad (243),\quad (5421),(12354)$
Probar que en ${\textsf {S}}_{5}$ , se tiene las siguientes relaciones:

$(243)=(24)(34)$ .
$(5421)=(54)(42)(21)$ .
$(12345)=(12)(23)(34)(45)$ .

¿Qué se puede conjeturar?

Hallar todos los ciclos de largo 3 en ${\textsf {S}}_{3}$ y en ${\textsf {S}}_{4}$ .
Probar que $(abc)=(ab)(bc)$ y que $(ab\,c\,d)=(a\,b)(b\,c)(c\,d)$ .
Sea $\beta$ un producto de transposiciones disjuntas. Probar que $\beta ^{2}=id$ .
Sea $\sigma =(x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,\dots \,x_{k})$ . Probar que $\sigma ^{2}(x_{i})=(x_{i+2})$ donde los subíndices $i+2$ mayores que $k$ se computan módulo $k$ . Por ejemplo, $(14532)^{2}=(15243).$ Usar lo anterior, para computar rápidamente los siguientes cuadrados: $(123)^{2}$ , $(14352)^{2}$ , $(1235)^{2}$ , $(15)^{2}$ . Observar que no siempre el cuadrado de un ciclo produce un ciclo del mismo largo. Inventar un método para calcular cubos de permutaciones rápidamente.
Sean $\alpha$ y $\beta$ permutaciones disjuntas de ${\textsf {S}}_{n}$ . Probar que

$\alpha ^{k}$ y $\beta ^{k}$ son permutaciones disjuntas, y que
$(\alpha \beta )^{k}=\alpha ^{k}\beta ^{k}$ .

\label{exDCT} Probar que $(x_{1}\,x_{2}\,\ldots \,x_{k})=(x_{k-1}\,x_{k})\dots (x_{2}\,x_{k})(x_{1}x_{k})$ . Es decir que todo ciclo es un producto de transposiciones.
Probar que en ${\textsf {S}}_{n}$ , Si $\sigma$ y $\tau$ son ciclos disjuntos, entonces $\sigma \tau \sigma ^{-1}\tau ^{-1}=id$ .
Sean $\sigma _{1}=(12)$ , $\sigma _{2}=(34)$ , $\sigma =\sigma _{1}\sigma _{2}$ , $\tau =(123)$ y $\eta =\tau \sigma \tau ^{-1}\sigma ^{-1}$ . Verificar que $\eta =(13)(24)$
Sea $\tau =(12345)\beta$ donde $\beta$ es un producto de ciclos disjuntos de $(12345)$ . Sea $\sigma =(123)$ . Probar que $\sigma \tau \sigma ^{-1}=(23145)\beta$ y que $\sigma \tau \sigma ^{-1}\tau ^{-1}=(124)$ .
Sea $\tau =(123)(456)$ donde $\beta$ es tal que $I_{\beta }\cap \{1,2,3,4,5,6\}=\emptyset$ . Sea $\sigma =(124)$ . Probar que $\sigma \tau \sigma ^{-1}=(243)(156)\beta$ y que $\sigma \tau \sigma ^{-1}\tau ^{-1}=(12534)$ .
Hallar la cantidad de 2--ciclos en ${\textsf {S}}_{n}$ .
Probar que el soporte de un ciclo $\sigma$ es la órbita de cualquiera de los elementos del ciclo por $\sigma$ .

Ejercicios del Capítulo
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Para cada grupo indicado, hallar el subgrupo cíclico generado por el elemento indicado

$\mathbb {Z} _{30},\quad [10].$
$\mathbb {Z} _{50},\quad [12].$
$\mathbb {Z} _{50},\quad [11].$

Describir al subgrupo cíclico de $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )$ generado por las matrices siguientes.

${\text{(i)}}\quad {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\text{(ii)}}\quad {\begin{bmatrix}2&0\\0&1/2\end{bmatrix}},\quad {\text{(iii)}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

Sea $G=\mathbb {Z} _{12}$ .

¿Por qué este grupo es cíclico?
Hallar todos los posibles ordenes de elementos de G.
Para cada divisor d de 12, hallar un elemento de G con orden igual a d.
¿Cuáles son todos los generadores de $\mathbb {Z} _{12}$ ?
Hallar los automorfismos de $\mathbb {Z} _{12}$ .

Sea G un grupo finito. Sean a y b elementos de G. Probar las siguientes relaciones acerca de sus ordenes.

o(a^-1)= o(a).
o(bab^-1) = o(a).
Si ab=ba entonces o(ab) = mcm(o(a), o(b)).
Si mcd(o(a),o(b)) = 1 y ab =ba entonces o(ab)=o(a)o(b).

Hallar la cantidad de generadores de $\mathbb {Z} _{m}$ para $m=13,\ 25,\ 36,\ 60,\ {\text{ y }}72.$
Probar que el grupo multiplicativo $\mathbb {Z} _{m}^{*}$ para m=5 y 7 es cíclico, pero que $\mathbb {Z} _{8}^{*}$ no es cíclico.
Sea $G=\langle a\rangle$ de orden $n.$ Probar que $a^{r}=a^{s}$ , ssi, $r\equiv s{\pmod {n}}$ .
Sea f: G --> H un homomorfismo de grupos con G = <g> y H = <h>. Probar que o(h) es un divisor de o(g).
Probar que la imagen por un homomorfismo de un grupo cíclico es un grupo cíclico. ¿Cuál es uno de los generadores de este grupo cíclico? ¿Puede pasar que el grupo original sea infinito, pero que su imagen sea un grupo finito?
Sea G un grupo cíclico infinito. Probar que si G es un generador del grupo, hay solamente otro generador, que es el inverso de G. ¿Será cierto que un grupo cíclico con exactamente dos generadores es infinito?
Sea G un grupo cíclico que tiene un único generador. Probar que G tiene solamente dos elementos.
(Producto de Grupos Cíclicos)

Sea H el grupo cíclico de orden 5 generado por a y sea K el grupo cíclico de orden 3 generado por b. Probar que el producto $H\times K$ es un grupo cíclico generado por (a,b). Concluir que $C_{15}\cong C_{5}\times C_{3}$ .
Sea H el grupo cíclico de orden 4 generado por a y sea K el grupo cíclico de orden 2 generado por b. Probar que el producto $H\times K$ no es un grupo cíclico.
¿Cuándo el producto de grupos cíclicos es cíclico?

Sea p un número primo. Probar que f(pⁿ)=p^n-1(p-1), donde f es la función de Euler. (Sugerencia. mcd(a,pⁿ=1, ssi, mcd(a,p)=1.)
(La función f de Euler). Probar que para cada entero positivo n se cumple que $n=\sum _{d|n}\varphi (d)$ . (Sugerencia: considerar el grupo cíclico con n elementos y la cantidad de generadores de cada uno de sus subgrupos.)
Probar que U_n (raíces enésimas de la unidad) es un grupo cíclico de orden n respecto a la multiplicación de números complejos.
Marcar cada uno de los siguientes enunciados como válido o falso.

Un grupo abeliano es un grupo cíclico.
Un grupo cíclico de orden 30 tiene un subgrupo de orden 12.
Un elemento x de un grupo G tiene orden n, ssi, $x^{n}=e.$
Los Racionales positivos con la multiplicación forman un grupo cíclico infinito.
Cada elemento diferente del neutro es un posible generador de un grupo cíclico.

¿Cuáles grupos cíclicos tiene la propiedad que cualquier elemento diferente del neutro es un generador del grupo?
(Monoides) Un monoide es cíclico cuando todos sus elementos son potencias naturales de un elemento m, y $m^{0}=e$ . ¿Cuáles resultados de grupos cíclicos se podrían extender a monoides cíclicos?
(*) Se prueba en el texto que para cada divisor del orden de un grupo cíclico, hay exactamente un subgrupo de ese orden. ¿Caracteriza esta propiedad a los grupos cíclicos? Es decir, si sabemos que un grupo finito tiene para cada uno de los divisores de su orden exactamente un subgrupo de orden dicho divisor, ¿podremos concluir que el grupo es cíclico?

Comentarios
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Los grupos cíclicos son los bloques para la construcción de grupos abelianos. Se tiene los siguientes resultados:

Cada grupo abeliano finito es un producto de grupos cíclicos.
Sea G un grupo abeliano de orden $n$ . Entonces, hay una sucesión $n_{1},n_{2},...,n_{k}$ de enteros positivos mayores de 1 tales que cada número de la sucesión es un divisor del próximo y cuyo producto es $n$ , tal que G es el producto de los $C_{n_{i}},\quad 1\leq i<k.$ . Además dicha sucesión es única. ^[4]

La demostración de esos resultados requiere otros resultados que no están cubiertos en este texto. Sin embargo, resulta interesante sus aplicaciones para la clasificación de grupos abelianos finitos.

Grupos abelianos de orden 8. Los divisores positivos de 8 (mayores que 1) son 2, 4, 8. Por lo que tenemos las siguientes sucesiones posibles:(2,2,2), (2,4) y (8). Luego hay tres tipos posibles de grupos abelianos de orden 8.

$C_{2}\times C_{2}\times C_{2},\quad C_{2}\times C_{4},\quad C_{8}.$

Grupos abelianos de orden 10. Los divisores positivos de 10 (mayores que 1) son 2, 5 y 10. Por lo que la única sucesión posible satisfaciendo las condiciones de divisibilidad es 10. Es decir que hay solamente un grupo abeliano de orden 10, el grupo cíclico de orden 10.
Grupos abelianos de orden 20. Los divisores positivos de 20 (mayores que 1) son 2, 4, 5, 10 y 20. Luego, las únicas sucesiones satisfaciendo las condiciones de divisibilidad son 20 y 2, 10. Es decir que los únicos grupos abelianos de orden 20 son el grupo cíclico de orden 20 y el producto $C_{2}\times C_{10}$

Lecturas Adicionales
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Véase también

Wikipedia: Grupo Cíclico
Wikipedia: Aritmética Modular
Weisstein, Eric W. "Cyclic Group." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CyclicGroup.html

Notas
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↑ Por parámetros u operaciones de una estructura, nos referimos a todos los componentes de la misma diferentes del conjunto base.

↑ Véase el apéndice Teoría de Estructuras Algebraicas.

↑ Si no tiene mucha familiaridad con matrices, poner n=2.

↑ Ver, por ejemplo (BB) Dean pag. 152.

8. Los Grupos Generados
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Introducción
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En este capítulo, generalizamos la noción de grupo cíclico, para considerar grupos generados por un subconjunto arbitrario. Aprovecharemos el capítulo para explorar más cuidadosamente los grupos diedrales y expandir nuestro conocimiento de los grupos simétricos. Veremos también como extender las operaciones entre elementos de un grupo a subconjuntos del grupo. Aprovecharemos lo anterior para ver un criterio para determinar si un grupo es producto de dos de sus subgrupos.
Sea $G$ un grupo y sea $S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{k}\}.$ ¿Qué quiere decir que $S$ genera a $G$ ? Simplemente que cada elemento de $G$ es un producto de potencias enteras de elementos de $S.$ Por ejemplo, $s_{3}^{2}s_{5}^{-1}s_{1}s_{3}^{-2}.$ Inclusive, podríamos considerar conjuntos $S$ infinitos y formar productos, como arriba, de subconjuntos finitos de $S.$ La manera matemática de hacer lo anterior será expuesta a continuación.

Subgrupos Generados por Subconjuntos
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Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G$ y $H$ un subgrupo de $G.$ Cuando x, y son elementos de $S,$ tenemos que tanto $xy$ como $x^{-1}$ y $xy^{-1}$ son elementos de $H.$ Las relaciones anteriores se extienden a productos cualesquiera.
Lema 1. Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G$ y $H$ un subgrupo de $G.$ Sean $y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ elementos de $G$ tales que $y_{i}$ está en $S$ o su inverso está en $S$ . Entonces, $y=y_{1}y_{2}\dots y_{n}$ está en $H.$

Demostración: (Inducción sobre $n$ .) Si $n=1$ , el resultado es trivial.
Supongamos el resultado válido para productos de $k$ elementos con la propiedad indicada y consideremos ahora un producto de $k+1$ elementos: $y_{1}y_{2}\dots y_{k}y_{k+1}$ . Por la hipótesis de inducción, el producto $y$ de los primeros $k$ elementos es un elemento de $H.$ Como el producto total es igual a $yy_{k+1}$ , se concluye que el producto está en $H.$ El resultado sigue por inducción.

Lema 2. Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G.$ Sea $\langle S\rangle$ el conjunto formado por todos los productos de la forma
$y_{1}y_{2}\dots y_{k},\qquad k=0,1,2,\dots$
donde cada factor o su inverso están en $S.$ Entonces, $\langle S\rangle$ es un subgrupo de $G,$ que es un subgrupo de cualquier subgrupo $H$ que contenga a $S.$
(Convenio. Diremos que un producto con k=0 factores es el elemento neutro del grupo.)

Demostración: Sean $y=y_{1}y_{2}\dots y_{k}$ , $z=z_{1}z_{2}\dots z_{j}$ elementos de $\langle S\rangle .$ Claramente, $\langle S\rangle$ no es vacío ya que contiene todos los elementos de $S$ (productos de largo 1). Igualmente, es fácil ver que $yz$ es un producto de la forma indicada para estar en $\langle S\rangle$ . Finalmente, como $y^{-1}=(y_{1}y_{2}\dots y_{k})^{-1}=y_{k}^{-1}\dots y_{2}^{-1}y_{k}^{-1}.$ tenemos que $\langle S\rangle$ es un subgrupo de $G.$ El resto sigue del lema anterior.

Definición. (Subgrupo Generado) Sean $G$ un grupo y $S$ un subconjunto de $G.$ Decimos que un subgrupo $H$ de $G$ está generado por $S,$ cuando $H=\langle S\rangle$ . En tal caso, decimos que $S$ es un conjunto de generadores de $H.$

En particular, un grupo es un grupo generado por un subconjunto $S,$ cuando lo sea como subgrupo de si mismo.
Notemos que cuando $S$ contiene un solo elemento, $\langle S\rangle$ es el grupo cíclico generado por ese único elemento.
Cuando la notación es aditiva, $\langle S\rangle$ está formado por todas las sumas cuyos sumandos son elementos de $S$ u opuestos aditivos de elementos de $S.$
Decimos que el grupo $\langle S\rangle$ está finitamente generado, cuando $S$ sea un conjunto finito.
De acuerdo al convenio indicado, el subgrupo generado por el conjunto vacío es el subgrupo trivial {e}.

Ejemplos.

Los grupos cíclicos son grupos generados por un elemento.
El conjunto de generadores no es único.
Por ejemplo, el grupo cíclico ${\textsf {C}}_{4,a}$ es generado por $a$ pero también por $a^{3}$ ya que $(a^{3})^{2}=a^{6}=a^{2},(a^{3})^{3}=a^{9}=a,y(a^{3})^{4}=a^{12}=e.$

La siguiente proposición establece una caracterización de $\langle S\rangle$ en términos de subgrupos de $G.$
Proposición 1. (Intersección de Subgrupos) Sean $G$ un grupo y $S$ un subconjunto de $G$ Sea $H$ la intersección de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S.$ Entonces, $H=\langle S\rangle$ .

Demostración: Realmente lo único que hay que probar es que $H$ es un subgrupo de $G.$ Notemos que $H$ no es vacío, ya que el elemento neutro es elemento de cualquier subgrupo y, en particular, de aquellos que contienen a $S.$ Sean x, y elementos de $H.$ Entonces, dichos elementos estarán en cualquier subgrupo $K$ que contenga a $S$ (Lema 1). Para cada uno de esos subgrupos $K$ , tendremos que $xy^{-1}$ está en $K,$ por lo que $xy^{-1}$ estará en la intersección $H$ de esos subgrupos. Lo que prueba que $H$ es un subgrupo. Por el lema 2, $\langle S\rangle$ es un subgrupo de $H.$ Pero como, $H$ es la intersección de todos los subgrupos que contienen a $S,$ $H$ está contenido en $\langle S\rangle .$ Luego, $H=\langle S\rangle$ .

El siguiente ejemplo muestra como usamos lo anterior para asegurar la existencia de un subgrupo, aunque no tengamos una idea precisa de cuales son sus elementos.
Ejemplo.(Subgrupo de los Conmutadores).

Sea $G$ un grupo. Llamamos conmutador de los elementos $x,y$ al elemento denotado por $[x,y]$ y definido por $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ .
Llamamos subgrupo de los conmutadores o grupo derivado de $G$ al subgrupo generado por todos los conmutadores de $G.$ Lo simbolizamos por $D(G)$ .

El grupo Diedral
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Llamamos grupo diedral de orden $2n$ al grupo denotado por ${\textsf {D}}_{2n}$ y definido como
${\textsf {D}}_{2n}:=\langle a,b|a^{n}=e,b^{2}=e,bab^{-1}=a^{n-1}\rangle .$
Esto es, ${\textsf {D}}_{2n}$ tiene dos generadores llamados $a$ y $b$ , sujetos a las restricciones indicadas.
Observemos que $a$ genera un subgrupo cíclico de orden $n$ y $b$ un subgrupo cíclico de orden 2. Luego, $a^{n-1}$ es el inverso de $a,$ mientras que $b$ es su propio inverso. Al ser generado por $\{a,b\},$ los elementos ${\textsf {D}}_{2n}$ son productos de $a,a^{-1},b{\text{ y }}b^{-1}$ . Por la observación anterior, esto se reduce a productos de potencias naturales de $a$ y $b$ .
$a^{i_{1}}b^{j_{1}}a^{i_{2}}b^{j_{2}}\cdots a^{i_{r}}b^{j_{r}},\quad$
donde los $i_{1},j_{1},\dots ,i_{r},j_{r}$ son positivos o cero. Observando que la tercera restricción, $bab^{-1}=a^{n-1},$ implica que $ba=a^{n-1}b,$ vemos que cada vez que haya una $b$ delante de una $a$ , podremos aplicar la relación anterior y la $b$ pasa para detrás de $a.$ Así, que ${\textsf {D}}_{2n}$ consiste de los productos
$a^{i}b^{j}\quad \quad {\text{ donde }}i=0,1,2,\dots ,n-1{\text{ y }}j=0,1.$
Luego, ${\textsf {D}}_{2n}$ tiene $2n$ elementos diferentes.
Por ejemplo, supongamos que tenemos en ${\textsf {D}}_{8}$ ( $n=4$ ) los elementos $x=abbba$ , $y=baaaaab$ y $z=ababab.$ Entonces, tenemos las siguientes simplificaciones.
$\qquad {\begin{array}{rcl}x&=&abbba=aba=aa^{3}b=a^{4}b=b.\\y&=&baaaaab=bab=a^{3}bb=a^{3}.\\z&=&ababab=aba(bab)=abaa^{3}=aba^{4}=ab.\end{array}}$
De acuerdo a lo anterior, tenemos que,
${\textsf {D}}_{8}=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}.$
Aplicando lo dicho arriba, tenemos la siguiente tabla para ${\textsf {D}}_{8}$
${\begin{array}{c|cccccccc}&e&a&a^{2}&a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b\\\hline e&e&a&a^{2}&a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b\\a&a&a^{2}&a^{3}&a&ab&a^{2}b&a^{3}b&b\\a^{2}&a^{2}&a^{3}&e&a&a^{2}b&a^{3}b&b&ab\\a^{3}&a^{3}&e&a&a^{2}&a^{3}b&b&ab&a^{2}b\\b&b&a^{3}b&a^{2}b&ab&e&a^{3}&a^{2}&a\\ab&ab&b&a^{3}b&a^{2}b&a&e&a^{3}&a^{2}\\a^{2}b&a^{2}b&ab&b&a^{3}b&a^{2}&a&e&a^{3}\\a^{3}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{3}&a^{2}&a&e\end{array}}$

Generadores del Grupo Lineal
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En cursos básicos (también en curso de ÁLgebra Lineal) se estudia un procedimiento muy eficaz para la resolución de sistemas numéricos de ecuaciones lineales: el procidiemiento de Gauss-Joradan. Dicho procedimiento consiste de manipulaciones de las filas del sistema que permite (cuando hay solución única) diagonalizar el sistema.
Dichos procedimientos son equivalengtes a multiplicaciones por la izquierda con matrices especiales, llamadas matrices elementales . El procedimiento implica que cualquier matriz invertible, multiplicada de una secuencia de matgrices elementales produce la identidad. Como los inversos de matrices elementales son también elmentales, lo anterior implica que cualquier matriz invertible es igual a un producto de matrices elementales. Es decir que el grupo lineal está generado por las matrices elementales.

Los Generadores del Grupo Simétrico
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En el capítulo anterior, vimos que cada permutación era un producto de ciclos, lo que el lenguaje de esta capítulo dice que los grupos simétricos son generados por ciclos. Veremos, a continuación, otros posibles conjuntos de generadores. Introduciremos la noción de signo de una permutación que ilustrará la eficiencia de disponer de buenos conjuntos de generadores y que nos servirá para introducir un importante subgrupo de ${\textsf {S}}_{n},$ el grupo alternante.

Descomposición en transposiciones
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Sabemos que cada permutación puede expresarse como producto de ciclos disjuntos. Veremos, a continuación, como expresar un ciclo como producto de transposiciones y, posteriormente, como producto de una familia especial de transposiciones.
Proposición 2. Cada ciclo de largo $r>1$ es un producto de $r-1$ transposiciones.
$(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{r})=(x_{1}\,x_{2})(x_{2}\,x_{3})\dots (x_{r-1},x_{r}).$

Demostración: Si $r=2$ el resultado es trivial. Supongamos el resultado cierto para todos los ciclos de largo inferior o igual a $k,$ $k\geq 2.$ Sea $\sigma =(x_{1}\,\dots ,x_{k}\,x_{k+1})$ y sea $\tau =(x_{k}\,x_{k+1}).$ Entonces, For $i<k,$ $\sigma (\tau (x_{i}))=\sigma (x_{i}).$ Also, $\sigma (\tau (x_{k}))=\sigma (x_{k+1})=x_{1}$ and $\sigma (\tau (x_{k+1})=\sigma (x_{k})=x_{k+1}.$ Luego, $\sigma \tau$ es un ciclo de largo $k,$ Por inducción, $\sigma \tau =(x_{1}\,x_{2})\dots (x_{k-1}\,x_{k}).$
Multiplicando en la derecha por $\tau$ obtenemos el resultado.

Corolario 1.1. El grupo simétrico ${\textsf {S}}_{n}$ es generado por sus transposiciones.

La cantidad de generadores de un grupo simétrico puede reducirse aún más si consideramos una familia especial de transposiciones.

Definición. (Transposición Simple) Llamamos transposiciones simples de ${\textsf {S}}_{n}$ a las transposiciones $s_{i}=(i,i+1),$ $i=1,2,\dots ,k-1.$

Una noción que está asociada con las transposiciones es la noción de inversión.

Definición. (Inversión) Sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ Una inversión de $\sigma$ es un par $(i,j),$ $1\leq i<j\leq n$ tal que $\sigma (i)>\sigma (j).$ Simbolizaremos al conjunto formado por todas las inversiones de $\sigma$ por ${\textsf {Invs}}(\sigma )$ y por $n(\sigma )$ a la cantidad de inversiones de $\sigma .$

Ejemplo.

Sea $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&3&2&1&4&5\end{pmatrix}}.$
Se tiene las siguientes inversiones: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (3,4), por lo que $n(\sigma )=8.$

Ejemplo (Bubble Sort).

En muchas situaciones, necesitamos ordenar (respecto a algún criterio) una lista desordenada de objetos. En computación, hay un algoritmo llamado ordenamiento por la burbuja (en inglés, bubble sort) que se basa en el resultado anunciado. El algoritmo es fácil de recordar:
Suponer dada una lista $a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}.$

Recorra la lista, cuando haya una inversión, $a_{i}>a_{i+1},$ intercambie los objetos correspondientes.
Si no se hallan inversiones, la lista está ordenada.
Volver al inicio de la lista y efectuar el paso 1.

Ejemplo.

Ordenar la lista 632145 en orden ascendente.
A continuación, indicamos los pasos
${\begin{matrix}632145&\rightsquigarrow &362145&\rightsquigarrow &326145&\rightsquigarrow &321645&\rightsquigarrow \\321465&\rightsquigarrow &321456&\rightsquigarrow &231456&\rightsquigarrow &213456&\rightsquigarrow \\123456\end{matrix}}$
Si pensamos la lista original como una permutación de 123456, tenemos que multiplicando por las transposiciones realizadas, obtendremos la identidad.
${\begin{array}{c}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&4&3&2&1&5\end{pmatrix}}(12)(23)(34)(45)(56)(12)(23)(12)\\={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5&6\end{pmatrix}}\end{array}}$
Luego, como las transposiciones son sus propios inversos, tenemos que
${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&4&3&2&1&5\end{pmatrix}}=(12)(23)(12)(34)(23)(12)(45)(56)$
Notemos que aparecieron las $n(\sigma )(=8)$ transposiciones simples.

Lema A Sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ $n(\sigma )=0,$ ssi, $\sigma =id.$ Si $\sigma \neq id$ entonces hay un $i$ tal que $\sigma (i)>\sigma (i+1).$ $1\leq i<n.$

Demostración: Cuando $\sigma =id$ se tiene que no hay inversiones de donde se tiene el resultado. Supongamos que $\sigma \neq id.$ Si $\sigma (k)\leq k$ para todo $k,$ se tiene que $\sigma (1)\leq 1$ implica que $\sigma (1)=1.$ Luego, $\sigma (2)\leq 2,$ implica que $\sigma (2)=2.$ Si $\sigma (j)=j$ para $j<k.$ Entonces $k-1<\sigma (k)\leq k,$ implica que $\sigma (k)=k.$ Por inducción, concluimos que $\sigma =id.$ Luego, hay $k$ tales que $\sigma (k)>k.$ Sea $i$ el menor de tales enteros. Entonces, el par $(i,\sigma ^{-1}(i))$ es una inversión. Lo que prueba que $n(\sigma )>0.$ Si $\sigma (1)<\sigma (2)<\dots <\sigma (n),$ se tiene que $n(\sigma )=0$ ; por lo que tenemos la segunda afirmación.

Lema B. Sea $s_{i}=(i\ i+1)$ una transposición simple y sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ Entonces,
$n(\sigma s_{i})={\begin{cases}n(\sigma )+1,&{\text{si }}\sigma (i)<\sigma (i+1),\\n(\sigma )-1.&{\text{si }}\sigma (i)>\sigma (i+1).\end{cases}}$

Demostración: Supongamos que $\sigma (i)<\sigma (i+1).$ Entonces, $\sigma s_{i}(i)=\sigma (i+1)>\sigma (i)=\sigma s_{i}(i+1).$ Por lo que el par $(i,i+1)$ es una inversión de $\sigma s_{i}.$ Sea $(k,l)$ una inversión de $\sigma$ y consideremos el par $(s_{i}(l),s_{i}(k)).$ Se debe tener que $s_{i}(k)<s_{i}(l)$ ya que la única inversión de $s_{i}$ es $(i,i+1),$ que como no es una inversión de $\sigma$ no se puede tener que $k=i,$ $l=i+1.$ Entonces $((\sigma s_{i})(l),(\sigma s_{i}(k))$ es una inversión de $\sigma s_{i}$ que no es igual a $(i,i+1).$ Por lo tanto, la correspondencia que a cada par $(k,l)$ de ${\text{Invs}}(\sigma )$ le asocia el par $(s_{i}(k),s_{i}(l))$ de ${\text{Invs}}(\sigma \,s_{i})\setminus {(i,i+1)}$ es una función $\phi$ que probaremos que es biyectiva. En efecto, dicha función tiene inversa dada por $(k,l)\mapsto (s_{i}(k),s_{i}(l)$ por el mismo argumento usado arriba. Luego, $n(\sigma s_{i})=n(\sigma )+1.$ Suponer, ahora, que $\sigma (i)>\sigma (i+1).$ Entonces, $\sigma s_{i}(i)<\sigma s_{i}(i+1).$ Luego, $n(\sigma )=n((\sigma s_{i})s_{i})=n(\sigma s_{i})+1,$ por el resultado anterior. Despejando $n(\sigma ),$ se obtiene lo anunciado.

Usaremos los lemas anteriores para probar la siguiente proposición.
Proposición 3. Sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ Entonces

$\sigma$ es un producto de $n(\sigma )$ transposiciones simples.
$n(\sigma )$ es la menor cantidad de transposiciones simples necesarias para escribir $\sigma$ como un producto de transposiciones simples.

Demostración: Usaremos inducción sobre $n(\sigma )$ para probar a). Si $n(\sigma )=0$ se tiene que $\sigma =id,$ que se puede considerar como el producto de un conjunto vacío de transposiciones. Cuando $\sigma$ no es la identidad, por el lema A, hay un entero $i$ tal que $\sigma (i)>\sigma (i+1).$ Por lo que $n(\sigma s_{i})=n(\sigma )-1.$ Por inducción, $\eta =\sigma s_{i}$ puede escribirse como el producto de $n(\sigma )-1$ transposiciones simples. Luego, $\sigma =\eta s_{i}$ es el producto de $n(\sigma )$ transposiciones simples. Lo que prueba la parte a). Para probar la minimalidad de $n(\sigma ),$ supongamos que $\ell (\sigma )$ es la cantidad menor necesaria de transposiciones. Sigue de lo anterior que $n(\sigma )\geq \ell (\sigma ).$ Por inducción, sobre $\ell (\sigma )$ probaremos que $\ell (\sigma )=n(\sigma ).$ Si $\ell (\sigma )=0,$ el resultado sigue de la primera parte. Supongamos que $\ell (\sigma )>0.$ Entonces, podremos hallar una transposición elemental tal que $\ell (\sigma s_{i})=\ell (\sigma )-1.$ Por lo que $\ell (\sigma s_{i})=n(\sigma s_{i}),$ por inducción y por el lema B, se tendrá que $\ell (\sigma )\geq n(\sigma ),$ de donde el resultado.

El Signo de una Permutación
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Sea $V_{n}:=\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i).$ Para cada $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}$ definamos
$\sigma (V_{n}):=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\sigma (j)-\sigma (i)).$
Notemos, que $\sigma (V_{n})$ difiere de $V_{n}$ a lo más por el signo. Definamos $\varepsilon _{\sigma }$ por
$\sigma (V_{n}):=\varepsilon _{\sigma }V_{n}.$
Por lo tanto, $\varepsilon _{\sigma }\in \{1,-1\}.$
Ejemplo ( $n=5$ ).

${\begin{array}{rcl}V_{5}&:=&(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)\cdot (3-2)(4-2)(5-2)\\&&\qquad \quad \cdot (4-3)(5-3)\cdot (5-4).\end{array}}$
Sea $\tau =(1\,2).$ Entonces,
${\begin{array}{rcl}\tau (V_{5})&:=&(1-2)(3-2)(4-2)(5-2)\cdot (3-1)(4-1)(5-1)\\&&\qquad \quad \cdot (4-3)(5-3)\cdot (5-4).\end{array}}$
Luego, $\varepsilon _{\tau }=-1.$

Ejemplo ( $n\geq 2$ ).

Sea $\sigma$ la transposición $(12).$ Probaremos, formalmente que $\varepsilon _{\sigma }=-1.$ Organizaremos los factores de $V_{n}$ como en el ejemplo anterior. Primero aquellos donde $i=1,$ luego aquellos con $i=2,$ etc.
${\begin{array}{rcl}V_{n}&=&\prod _{i=1}^{n-1}\prod _{1\leq i<j<n}(j-i)\\&=&\prod _{j>1}(j-1)\cdot \prod _{j>2}(j-2)\cdot \prod _{2<i<j<n}(j-i).\end{array}}$ Sean ${\begin{array}{rcl}A&=&\prod _{j>1}(j-1)=(2-1)\prod _{j>2}(j-1)\\B&=&\prod _{j>2}(j-2),\quad {\text{y}}\\C&=&\prod _{2<i<j<n}(j-i).\end{array}}$
Veamos, el efecto de $\sigma$ en $A,$ $B$ y $C.$
${\begin{array}{rcl}\sigma (A)&=&(1-2)\prod _{j>2}(j-2)=(1-2)B=-B\\\sigma (B)&=&\prod _{j>2}(j-1)=A/(2-1)=A\\\sigma (C)&=&C.\end{array}}$
Luego, $\sigma (V_{n})=(-B)AC=-ABC=-V_{n}.$ Por lo que, $\varepsilon _{\sigma }=-1.$ \end{ejemplo}
Claramente, cada inversión produce un cambio de signo, por lo que $\varepsilon _{\sigma }=(-1)^{n(\sigma )}.$ De forma más general, cuando $f:\mathbb {N} ^{+}\longrightarrow \mathbb {N} ^{+}$ es una función cualquiera, tenemos que
$\prod _{1\leq i<j\leq n}(f(\sigma (j))-f(\sigma (i))=\varepsilon _{\sigma }\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i).$
Lema C.

La función signo $\varepsilon :{\textsf {S}}_{n}\rightarrow \{1,-1\}$ es un homomorfismo suprayectivo de grupos, cuando $n\geq 1.$
$\varepsilon _{\sigma ^{-1}}=\varepsilon _{\sigma }.$
Si $\eta =\tau \sigma \tau ^{-1}$ entonces $\varepsilon _{\eta }=\varepsilon _{\sigma }.$ Es decir que la función signo $\varepsilon$ es constante en las clases de conjugación de ${\textsf {S}}_{n}.$

Demostración:

$(\sigma \tau )(V_{n})=\sigma (\tau (V_{n})=\varepsilon _{\sigma }(\tau (V_{n}))=\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\tau }V_{n}.$ Es decir que $\varepsilon _{\sigma \tau }=\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\tau }.$ Lo que prueba el resultado. Como vimos en el ejemplo, cuando $\tau =(12),$ $\varepsilon _{\tau }=-1,$ lo que prueba la suprayectividad.
Como $\sigma \sigma ^{-1}=id,$ $\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\sigma ^{-1}}=1,$ se tiene el resultado.
$\varepsilon _{\eta }=\varepsilon _{\tau }\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\tau ^{-1}}=\varepsilon _{\sigma }.$

Proposición 4.

Las transposiciones tienen signo $-1$
Cuando $\sigma$ es un $r$ --ciclo, $r>1,$ su signo es $(-1)^{r-1}.$

Demostración: Todas las transposiciones son conjugadas de $(12).$ Los $r$ --ciclos son productos de $(r-1)$ transposiciones. <

Nomenclatura. Diremos que una permutación es par cuando su signo sea igual a 1; en caso contrario diremos que es una permutación impar.

El Grupo Alternante
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Definición. (Grupo Alternante) Llamamos grupo alternante de grado $n$ al núcleo del homomorfismo signo. Es decir al subgrupo de ${\textsf {S}}_{n}$ formado por todas las permutaciones pares. Notación: ${\textsf {A}}_{n}.$

Observaciones.

El grupo ${\textsf {A}}_{n}$ es un subgrupo de índice 2 en ${\textsf {S}}_{n}.$
${\textsf {A}}_{2}=\{id\},$ ${\textsf {A}}_{3}=\{id,(123),(132)\}.$
Como los 3--ciclos son permutaciones pares todos ellos están contenidos en ${\textsf {A}}_{n},$ $n>2.$

La siguiente proposición es un recíproco parcial de la última observación.
Proposición 5. Cada permutación $\sigma$ de ${\textsf {A}}_{n}$ es un producto de 3-ciclos, cuando $n\geq 3.$ Es decir que los 3--ciclos generan al grupo ${\textsf {A}}_{n},$ $n\geq 3,$

Demostración: Como cada permutación es el producto de una cantidad pares de transposiciones, bastara probar que el producto de dos transposiciones es siempre un 3--ciclo o un producto de 3--ciclos.

Transposiciones disjuntas. $(a\,b)(c\,d)=(a\,d\,c)(a\,b\,c).$
Transposiciones no disjuntas, $(a\,b)(b\,c)=(a\,b\,c).$

Ejercicios
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Hallar la descomposición en ciclos disjuntos de cada uno de los elementos de ${\textsf {S}}_{4}.$ Determinar además $n(\sigma )$ para cada uno de ellos.
Expresar como producto de ciclos disjuntos a $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\3&9&7&1&4&2&5&6&6&10\end{pmatrix}}$ .
Hallar $\sigma ^{-1},$ $\sigma ^{2},$ $\sigma ^{3},$ $\sigma ^{5},$ $\sigma ^{2011}.$

Verificar las relaciones siguientes.

$(2\,4)=(2\,3)(3\,4)(2\,3).$
$(2\,5)=(2\,3)(3\,4)(4\,5)(3\,4)(2\,3).$
$(2\,6)=(2\,3)(3\,4)(4\,5)(5\,6)(4\,5)(3\,4)(2\,3).$

Conjeturar un resultado que establezca una relación entre transposiciones y transposiciones simples, probando de esta manera que las transposiciones simples generan al grupo simétrico.

Escribir cada una de las permutaciones siguientes como un producto de transposiciones simples. \smallskip\setcounter{ejt}{0} \begin{tabular}{lp{1.8in}ll} \nejt & $(27).$ &% \nejt & $(1432).$ \\ \nejt & $(123)(456).$ &% \nejt & $(123)(345).$ \\ \end{tabular}
Sea $\sigma$ igual al producto de cinco transposiciones simples disjuntas. Hallar $n(\sigma )$
Sea $\sigma =(12345)$ y sea $s=(34).$ Hallar $s\sigma s^{-1}.$
Probar que el orden de ${\textsf {S}}_{6}$ es divisible por 8, pero no hay elemento de orden 8 en ese grupo.
Listar todos los ordenes posibles para los elementos de ${\textsf {S}}_{6}$ y hallar elementos de cada uno de ese orden.
Probar que ${\textsf {S}}_{12}$ no tiene un elemento de orden 13, pero sí tiene un elemento de orden 60.
Sea $p$ un número primo menor que $n.$ Hallar la cantidad de subgrupos de orden $p$ de ${\textsf {S}}_{p}.$
Probar las siguientes afirmaciones:

La cantidad de $2$ --ciclos en ${\textsf {S}}_{n},$ $n\geq 2,$ es ${\dfrac {n(n-1)}{2}}={\binom {n}{2}}.$
La cantidad de $3$ --ciclos en ${\textsf {S}}_{n},$ $n\geq 3,$ es $={\dfrac {n(n-1)(n-2)}{3}}.$

Generalizar para $r$ --ciclos.

Sea $G$ un grupo con generadores $\theta _{I},$ $1\leq i<n,$ tales que

$\theta _{i}^{2}=e,$
$\theta _{i}\theta _{j}=\theta _{j}\theta _{i}$ , cuando $j\neq i\pm 1,$
$\theta _{i}\theta _{i+1}\theta _{i}=\theta _{i+1}\theta _{i}\theta _{i+1}.$

Entonces, $G\cong {\textsf {S}}_{n}.$

Los Grupos de Simetrías
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En esta sección, veremos algunos grupos que se presentan de forma natural cuando consideramos simetrías de figuras planas. Primeramente, precisaremos la nomenclatura que usa alremos. Nuestro universo es el plano, al que siempre consideraremos como el plano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}$ .
Llamamos transformación del plano a cualquier función del plano en si mismo. Las transformaciones biyectivas son los elementos del grupo simétrico del plano. Estamos interesados en una familia de transformaciones especiales: Las congruencias, que son aquellas transformaciones biyectivas que preservan la distancia entre puntos. Es decir, que la distancia entre las imágenes de un par de puntos es igual a la distancia entre los puntos. Es fácil ver que todas las congruencias determinan un grupo de transformaciones del plano, llamado el grupo euclídeo} del plano y que denotaremos como ${\textsf {Eucl}}_{2}$ .
En efecto, si $f$ y $g$ son congruencias, se tiene que

$d((f(g(P)),f(g(Q))=d(g(P),g(Q))=d(P,Q)$ y
$d(f^{-1}(P),f^{-1}(Q))=d(f(f^{-1}(P)),f(f^{-1}(Q))=d(P,Q).$

Lo que prueba que efectivamente ${\textsf {Eucl}}_{2}$ es un grupo de transformaciones.
En textos de Geometría se prueba que las traslaciones, rotaciones y reflexiones son congruencias. Además, se verifica que las reflexiones generan el grupo Euclídeo. De hecho que cada congruencia es el producto de a lo más tres reflexiones. Ver ^[1] o ^[2]
Nomenclatura. Para las transformaciones de un conjunto cualquiera, tenemos la siguiente nomenclatura con respecto a su acción.
Sea $f$ una transformación de un conjunto $X.$

Decimos que un punto $x$ de $X$ es fijo por $f,$ o que $f$ fija a $x,$ ssi, $f(x)=x.$
Decimos que un subconjunto $Y$ es fijo puntualmente por $f,$ o que $f$ fija puntualmente a $Y,$ ssi, cada punto de $f$ es fijo por $f.$
Decimos que un subconjunto $Y$ es fijo (globalmente) por $f,$ o que $f$ fija puntualmente a $Y,$ ssi, $f(y)=Y.$

Una rotación siempre deja a su centro fijo. Una reflexión (del plano) entorno al eje $X$ deja fijo puntualmente el eje $X$ y globalmente, pero no puntualmente, al eje $Y.$

Las Simetrías
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Llamamos figura (plana) a un subconjunto cualquiera del plano. Algunos \newline ejemplos de figuras son las líneas, los cuadrados, las circunferencias, los sectores circulares, etc.
Decimos que una congruencia $\sigma$ es una simetría de una figura </math> F</math> cuando la congruencia fija globalmente a la figura, o sea es tal que $\sigma (F)=F.$
Las simetrías de una figura forman un grupo, subgrupo del grupo Euclídeo, ya que (como es fácil verificar) la identidad es una simetría (de cualquier figura), la composición de dos simetrías de $F$ y la inversa de una simetrías de $F$ son simetrías. Usaremos la notación ${\textsf {Sim}}(F)$ para las simetrías de $F.$

Las Simetrías del Cuadrado
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Supongamos que tenemos un cuadrado hecho de un material rígido, donde por material rígido queremos decir que lo podemos manipular sin que se deforme. Supongamos, además, que:

los vértices están identificados como $A,$ B, $C$ y $D,$ en ambas caras del cuadrado;
el cuadrado está sobre una superficie fija y hemos marcado los bordes del cuadrado sobre esa superficie y copiado las etiquetas de los vértices;
el cuadrado está sujeto a la superficie por un alfiler colocado en su centro, de manera que pueda rotar libremente alrededor del alfiler.

Observemos que si rotamos por un cuarto de vuelta, el cuadrado quedará coincidiendo con su imagen en la superficie y que si no fuera por las etiquetas de los vértices, no nos daríamos cuenta del cambio. Esto es lo que quiere decir dejar fija globalmente a la figura. Llamemos $R$ a la rotación por un cuarto de vuelta.
Si volvemos a rotar por $R,$ nuevamente llevaremos al cuadrado a coincidir con su imagen en la superficie. Simbolizaremos por $R^{2}=RR$ la doble rotación, por $R^{3}$ la triple rotación, etc. Notemos que si efectuamos $R^{4}$ (cuatro cuartos de vuelta), volveremos a la posición original, por lo que si no hubiéramos visto el cambio, diríamos que nada ha pasado, que todo se encuentra idénticamente igual a la posición original. Por esa razón escribiremos que $R^{4}=I,$ donde $I$ significa que las etiquetas en el cuadrado y en la superficie coinciden. Es decir que se trata de la identidad que fija todos los puntos de la figura.
En lenguaje de la teoría de grupos, $R$ tiene orden 4.
Es fácil ver que todas las posibles rotaciones distintas, que llevan al cuadrado sobre su imagen, son $I,$ $R,$ $R^{2}$ y $R^{3},$ y que aplicando consecutivamente dos de esas rotaciones, obtenemos una rotación de ese conjunto. Es decir que tenemos una operación en el conjunto de las rotaciones que corresponde a la composición de transformaciones (como funciones).
Como $R^{4}=I,$ tenemos que las rotaciones determinan un grupo cíclico.
¿Habrá otros movimientos del cuadrado que lo lleven a cubrir su imagen en la superficie?
La respuesta es afirmativa, pero tendremos que sacar el alfiler que lo sujetaba a la superficie.
Sea $U$ la reflexión entorno a la diagonal $BD.$ Es decir que envía $A$ en $C,$ $C$ en $A$ y los puntos $B$ y $D$ quedan fijos. Notemos que $U^{2}=I.$ Análogamente, tenemos la reflexión $V$ entorno a $AC$ que envía $B$ en $D$ y $D$ en $V.$ Hay dos reflexiones adicionales ( $W_{1},$ $W_{2}$ ) que introduciremos más tarde. La figura muestra las simetrías que son reflexiones del cuadrado, identificadas por su eje. Introduciremos, a continuación, una notación que nos servirá para identificar las simetrías del cuadrado con permutaciones de los vértices.

Observemos que las simetrías quedan totalmente identificadas cuando damos sus efectos en los vértices. Por ejemplo la rotación $R$ es tal que
$A\mapsto B,\quad B\mapsto C,\quad C\mapsto D,\quad D\mapsto A.$
Por lo que podemos identificar a las simetrías del cuadrado con permutaciones del conjunto de vértices. Usando esta identificación, tenemos que
$I={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\A&B&C&D\end{pmatrix}}\quad {\text{y}}\quad R={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\B&C&D&A\end{pmatrix}}.$
De la misma manera, tenemos que las reflexiones introducidas tendrán como permutaciones a
$U={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\C&B&A&D\end{pmatrix}}\quad {\text{y}}\quad V={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\A&D&C&B\end{pmatrix}}.$
Notemos que escribiendo las simetrías anteriores como ciclos, tenemos que
$R=(A\,B\,C\,D),\quad U=(A\,C),\quad V=(B\,D).$
Usando la identificación resulta fácil computar los efectos de aplicar simetrías en forma consecutiva. Por ejemplo,
$RU=(A\,B\,C\,D)(A\,C)=(A\,D)(B\,C)$
Es decir que se intercambian $A$ con $D$ y $B$ con $C.$ Geométricamente, esta es la reflexión $W_{1}$ entorno a la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos $AD$ y $BC.$ Tendremos otra reflexión, $W_{2}$ entorno a un línea que pasa por los puntos medios de $AB$ y $CD,$ es decir que
$W_{2}={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\B&A&D&C\end{pmatrix}}=(A\,B)(C\,D).$
Computemos $URU.$
$URU=(A\,C)(A\,B\,C\,D)(A\,C)=(A\,D\,C\,B)=R^{-1}=R^{3}$ .
Observemos que $URU=R^{3}$ implica que $UR=R^{3}U.$
Sea $G$ el grupo generado por $R$ y $U.$ Como tenemos las relaciones $R^{3}=U^{2}=I$ y $RUR=R^{3},$ vemos que coincide con el grupo diedral ${\textsf {D}}_{8},$ poniendo $a=R$ y $b=U.$

Interrogante ¿Habrá otras simetrías del cuadrado?
Suponer que $\sigma$ es una simetría del cuadrado diferente de la identidad.
Cuando un vértice queda fijo por $\sigma ,$ el vértice opuesto también queda fijo, porque en caso contrario su imagen sería adyacente al vértice fijo y no permanecerían invariantes las distancias entre los vértices. Es decir que $\sigma$ es $U=(A\,C)$ o $V=(B\,D).$ Este razonamiento prueba también que no hay 3--ciclos que puedan ser simetrías del cuadrado.
Cuando un conjunto de dos vértices queda globalmente fijo, pero no puntualmente fijo, hay una transposición de los dos vértices. Cuando los vértices son adyacentes, sus opuestos deben intercambiarse ( $(X\,Y)(X^{o}\,Y^{o})$ ). Si los vértices son opuestos, el otro par de vértices puede quedar fijo puntualmente o intercambiarse. Por lo que $\sigma$ es una de las siguientes simetrías.
$(A\,B)(C\,D),\quad (A\,D)(B\,C),\quad (A\,C)(B\,D)$
es decir $W_{2},$ $W_{1}$ y $R^{2}.$
Si una simetría diferente de la identidad deja fijo globalmente tres vértices, el cuarto vértice quedaría fijo; lo que vimos anteriormente que es imposible.
Finalmente consideremos el caso donde la simetría $\sigma$ no tiene subconjuntos con dos elementos fijo globalmente. Por lo que se representa por un 4--ciclo.
Entonces, $\sigma (A)\in \{B,C,D\}.$ Si $\sigma (A)=C$ entonces $\sigma (C)=A,$ ya que en caso contrario no se preservaría distancias. Luego, la imagen de $A$ es un vértice adyacente. El mismo razonamiento aplica a los otros vértices, por lo que concluimos que

$\sigma =(A\,B\,C\,D)=R\quad$ o $\quad \sigma =(A\,D\,C\,B)=R^{-1}.$
Como conclusión final tenemos la siguiente proposición.
Proposición 6. El grupo diedral ${\textsf {D}}_{8}$ contiene a todas las simetrías del cuadrado.

Representación Matricial de D₈
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Supongamos que estamos trabajando en el plano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}.$ Supongamos, además, que nuestro cuadrado tiene como vértices a $A=(1,0),$ $B=(0,1),$ $C=(-1,0)$ y $D=(0,-1).$
Sean $a={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ y $b={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$

Las matrices $a$ y $b$ definen transformaciones (biyectivas) del plano, ya que sus determinantes no son nulos.
Sea $P=(p_{1},p_{2}).$ Entonces, $a(P)={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-p_{2}\\p_{1}\end{bmatrix}}.$
Sea $Q=(q_{1},q_{2}).$ Entonces, ${\begin{array}{rcl}d(a(P),a(Q))&=&{\sqrt {(-p_{2}-(-q_{2}))^{2}+(p_{1}-q_{1})^{2}}}\\&=&{\sqrt {(p_{1}-p_{2})^{2}+(q_{1}-q_{2})^{2}}}\\&=&d(P,Q).\end{array}}$
Es decir que $a$ es una congruencia del plano.

Se tiene que $b({\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}p_{1}\\-p_{2}\end{bmatrix}}.$ De manera análoga a lo hecho con $a,$ se verifica que $b$ define una congruencia del plano.
Por la parte b) se tiene que ${\begin{array}{rcl}a(A)&=&a(1,0)=(0,-1)=B.\\a(B)&=&a(0,1)=(-1,0)=C.\\a(C)&=&a(-1,0)=(0,-1)=D.\\a(D)&=&a(0,-1)=(1,0)=A\end{array}}$
Por lo tanto, $a$ es una simetría del cuadrado.

Es fácil ver que $b(A)=A,$ $b(B)=D,$ $b(C)=A$ y $b(D)=B.$
Observando los resultados anteriores tenemos que $a:A\mapsto B\mapsto C\mapsto D\mapsto A$
por lo que $A$ tiene orden 4.
Por su parte $b$ tiene orden 2. Finalmente, tenemos que:
${\begin{array}{rcl}bab&=&{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}\\&=&{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}=a^{-1}=a^{3}.\end{array}}$

Es decir que $a,b$ generan un subgrupo de matrices isomorfo a $D_{8}.$

Ejercicios
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Construir el grupo de simetrías de un triángulo equilátero y verificar que es isomorfo a ${\textsf {D}}_{6}.$
Sea $G$ un grupo de transformaciones de un conjunto $X$ ( o sea , un subgrupo del grupo simétrico de $X.$

Las transformaciones que fijan un punto $x$ determinan un subgrupo de $G.$
Sea $G_{Y}$ las trasformaciones que fijan globalmente un subconjunto $Y$ de $X.$ Probar que $G_{Y}$ es un subgrupo de $G,$ que contiene como subgrupo a las transformaciones que fijan $Y$ puntualmente.
Sea $x$ un punto fijo de $f,$ Entonces, $g(x)$ es un punto fijo de $gfg^{-1}.$

Sean $\sigma ={\begin{bmatrix}\cos(2\pi /n)&-\operatorname {sen}(2\pi /n)\\\operatorname {sen}(2\pi /n&\cos(2\pi /n)\end{bmatrix}}$ y $\tau ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$ Sea ${\mathcal {P}}_{n}$ el polígono regular con $n$ vértices $A_{0}$ \ldots $A_{n-1},$ $n\geq 3$ ubicados en la circunferencia unitaria del plano cartesiano de modo que $A_{0}=(1,0).$ Probar las siguientes afirmaciones.

$A_{i}=(\cos(2\pi /n,\operatorname {sen}(2\pi /n)$
$\sigma$ y $\tau$ son congruencias del plano.
$\sigma$ es una rotación por un ángulo que mide $2\pi /n$ radianes.
$\tau$ es una reflexión entorno al eje $X.$
El orden de $\sigma$ es $n$ y el orden de $\tau$ es 2.
El grupo de matrices generados por $\sigma$ y $\tau$ es isomorfo al grupo diedral $2n.$

(*) Construir el grupo de simetrías del tetraedro regular.
(*) Construir el grupo de simetrías de un cubo.

Operaciones con Subconjuntos
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Introduciremos una notación que nos ayudará en el enunciado de teoremas y que, también, será útil en consideraciones posteriores.

Definición. (Operaciones con Subconjuntos) Sea $G$ un grupo y sean A, $B$ subconjuntos de $G.$

Llamamos (conjunto) producto de $A$ con $B$ al conjunto denotado por $AB$ y que está formado por todos los productos $ab$ tales que $a$ está en $A$ y $b$ está en B. Cuando $A$ o $B$ consistan solamente de un elemento, escribiremos solamente el elemento; por ejemplo, si $A=\{a\}$ escribiremos $aB$ en lugar de ${a}B.$ Cuando la notación es aditiva, simbolizamos por $A+B,$ al conjunto formado por todas las sumas de un elemento de $A$ con un elemento de B.
$A^{-1}$ denotará al conjunto formado por los inversos de los elementos de $A.$
Notación Aditiva: $-A$ (los opuestos aditivos de todos los elementos de $A.$

En forma general, $A^{n}$ denotará el conjunto de las potencias enésimas de elementos de $A.$ Notación aditiva: $nA$ (todos los $n$ múltiplos de elementos de A.).

Observaciones. Sea $G$ un grupo.

Decir que $F$ es una parte cerrada de $G,$ es equivalente a decir que $FF$ es un subconjunto de $F.$
Análogamente, decir que $F$ es cerrado respecto a inversos, es equivalente a decir que $F^{-1}$ es un subconjunto de $F.$
Decir que $H$ es un subgrupo de $G,$ es equivalente a decir que $H$ no es vacío y que $HH^{-1}$ es un subconjunto de $H.$
Decir que $aS=Sa$ es equivalente a decir que para cada $s$ de $S$ hay un $s'$ en $S$ tal que $as=s'a,$

Ejemplo.

Sean $G=<\mathbb {Z} ,+>,$ $A=2\mathbb {Z}$ y $B=3\mathbb {Z} .$ ¿Qué es $A+B$ ? Notemos la notación aditiva usada ya que la operación del grupo es suma.

Resolución. Como $2\mathbb {Z}$ está formado por todos los múltiplos de 2 y $3\mathbb {Z}$ por todos los múltiplos de 3, $A+B$ estará formado por todos los enteros que son iguales a la suma de un múltiplo de 2 con un múltiplo de 3. Como $1=(-1)*2+1*3$ Se tiene que $2\mathbb {Z} +3\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$

Advertencia.

Cuando $H$ y $K$ son subgrupos de $G,$ el conjunto $HK$ no es necesariamente un subgrupo de $G,$ ya que si $x_{1}y_{1}yx_{2}y_{2}$ son elementos de $HK,$ no necesariamente se tiene que $x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}$ sea igual a un $xy$ de $HK.$

Ejemplo.

Sea $G={\textsf {S}}_{3}=\langle a,b:a^{3}=b^{2}=e,bab^{-1}=a^{2}\rangle .$ Sean $A=\langle ab\rangle =\{e,ab\}$ y $B=\langle b\rangle =\{e,b\}.$ Entonces, $AB=\{ee,eb,abe,abb\}=\{e,b,ab,a\}.$ Notemos que, en este ejemplo, $A$ y $B$ son subgrupos de $G,$ pero que $AB$ no lo es (¿por qué no es subgrupo?).
Sea $C=\{a,ab\},$ entonces $C^{-1}=\{a^{-1},(ab)^{-1}\}=\{a^{2},ba^{2}\}=\{a^{2},ab\}.$

Ejercicios
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Sea $G=\mathbb {Z} _{36}.$ Hallar los elementos de los conjuntos indicados, cuando $A=\{9,10\},$ $B=\{5,18,20\}.$

$A+B.$
$-A.$
$-B.$

Sea $G={\textsf {D}}_{8}$ y sean $A=\{a,a^{2}\},$ $B=\{ab,a^{2}b\}.$ Hallar los conjuntos indicados. $AB,\quad BA,\quad aB,\quad bA,\quad ABBA,\quad A^{-1}.$
Sean $A,B,C$ subconjuntos de un grupo cualquiera. Entonces, $A(BC)=(AB)C.$

Subgrupo Generado por dos Subgrupos

En general, cuando $H$ y $K$ son subgrupos, el producto $HK$ no es un subgrupo, por lo que el subgrupo que contenga a dos subgrupos debe definirse otra manera.

Definición. ( $H\vee K$ ) Sean $H$ y $K$ subgrupos de un grupo $G.$ Por $H\vee K$ denotaremos al subgrupo generado por la (re)unión de $H$ y $K.$

H\vee K=\langle H,G\rangle :=\langle H\cup K\rangle .

Sea $L=HvK.$ Claramente, $H$ y $K$ están contenidos en $L,$ por lo que $H$ y $K$ son subgrupos de $L.$ Sea $S$ cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $H$ y a $K.$ Entonces, contendrá cualquier producto de elementos de $H$ y $K,$ por lo que contendrá a $L,$ probando que $L$ es el menor subgrupo que contiene a $H$ y $K.$

Proposición 6. ( $H\vee K$ ) Sean $H,$ $K$ subgrupos de $G.$ Entonces, $H\vee K$ es el menor subgrupo (respecto a la inclusión) que contiene a ambos subgrupos.}}

Ejemplo.

Sea $G={\textsf {D}}_{8}=\langle a,b|a^{4}=b^{2}=e,bab^{-1}=a^{3}\rangle .$ Sean $H=\langle a\rangle$ y $K=\langle b\rangle .$ Entonces, $G=H\vee K.$

Diagrama de Subconjuntos El conjunto de subgrupos es un conjunto parcialmente ordenado por la inclusión. Dados subgrupos $H,$ $K$ se tiene que

$H\cap K\subset H,K\subset H\vee K.$

Es decir, que dos elementos tienen siempre un mayor elemento menor o igual que ellos y un menor elemento mayor o igual que ellos. Conjuntos parcialmente ordenados con esa propiedad se llaman Retículos.

Producto Directo de Subgrupos
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Diremos que un grupo $G$ es el producto interno de dos subgrupos $H$ y $K,$ cuando $G$ sea isomorfo al product $H\times K.$
Proposición 7. (Producto Interno) Sea $G$ un grupo y sean $H,$ $K$ subgrupos de $G.$ $G$ es el producto interno de $H$ y $K,$ ssi, se cumple que:

$H\cap K=\{e\}.$
Si $h$ está en $H$ y $k$ está en $K,$ $hk=kh.$
$G$ está generado por $H$ y $K.$

Demostración: ( $\Rightarrow$ ) Supongamos que hay un isomorfismo $\mu :P=H\times K\rightarrow G$ tal que $\mu (h,k)=hk.$ Observemos que en $P=H\times K,$ $H\times \{e\}$ es un subgrupo de $P$ cuya imagen por $\mu$ es $\{he:h\in H\}=H.$ Por lo que $H\times \{e\}\cong H.$ Análogamente, $K\times \{e\}\cong K.$ Observemos que si $x\in H\cap K$ entonces $\mu ^{-1}(x)$ está en $H\times \{e\}$ y $\{e\}\times K,$ por lo debe ser igual a $(e,e),$ de donde $x=e.$ Observando que $hk\leftrightarrow (h,e)(e,k)=(h,k)=(k,e)(h,e)\leftrightarrow kh,$ tenemos la parte 2. La tercera parte sigue de que $H\times K$ está generado por $H\times \{e\}{\text{ y }}\{e\}\times K.$ ( $\Leftarrow$ ) Sea $\theta :H\times K\rightarrow G$ tal que $\theta (h,k)=hk.$ La conmutatividad de los elementos de $H$ con los elementos de $K$ implica que $\theta ((h,k)(h',k'))=\theta (hh',kk')=hh'kk'=hkh'k'=\theta (h,k)\theta (h',k').$
Es decir que $\theta$ es un homomorfismo de grupos.
Si $\theta (h,k)=hk=e,$ tenemos que $h=k^{-1}$ es decir que h está en $H\cap K,$ por lo que $h=k=e,$ lo que implica que $\theta$ es inyectiva. Como $H,$ $K$ generan a $G,$ tenemos que los elementos de $G$ son productos de la forma
$h_{1}k_{1}h_{2}k_{2}\cdots h_{r}k_{r}.$
Por la conmutatividad de los elementos de $H$ con los elementos de $K,$ tenemos que el producto anterior se puede reescribir con todos los $h_{i}$ adelante de los $k_{j},$ es decir de la forma hk con h en $H$ y k en K. Lo que muestra que $\theta$ es suprayectiva, probando que $\theta$ es un isomorfismo.

Ejercicios del Capítulo
[editar]

Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo ${\textsf {D}}_{8}.$
Sea $G$ el grupo cuya tabla se indica a continuación. $\scriptstyle {\begin{array}{c|cccccccccccc}&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b\\\hline e&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b\\a&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&e&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b&b\\a^{2}&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&e&a&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b&b&ab\\a^{3}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&e&a&a^{2}&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b&b&ab&a^{2}b\\a^{4}&a^{4}&a^{5}&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}b&a^{5}b&b&ab&a^{2}b&a^{3}b\\a^{5}&a^{5}&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}b&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b\\b&b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&e&a^{5}&a^{4}&a^{3}&a^{2}&a\\ab&ab&b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&a&e&a^{5}&a^{4}&a^{3}&a^{2}\\a^{2}b&a^{2}b&ab&b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}&a&e&a^{5}&a^{4}&a^{3}\\a^{3}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{3}b&a^{4}b&a^{3}&a^{2}&a&e&a^{5}&a^{4}\\a^{4}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{5}b&a^{4}&a^{3}&a^{2}&a&e&a^{5}\\a^{5}b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{5}&a^{4}&a^{3}&a^{2}&a&e\end{array}}$

Probar que $G=\langle a,b|a^{6}=b^{2}=e,bab=a^{5}\rangle .$
Probar que $G={\textsf {D}}_{12}$ es el grupo de las simetrías del hexágono regular. (Sugerencia: Suponga que los vértices del hexágono son en forma ordenada cíclica $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ y $F.$ Llamar $\alpha$ a la rotación entorno al centro por $60$ grados. Llamar $\beta$ a la reflexión entorno a la línea que pasa por $AD.$ Probar que $\alpha ^{6}=id=\beta ^{2}$ y que $\beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{5}..$ Representar $\alpha$ y $\beta$ como permutaciones para efectuar las computaciones.)
Hallar cada uno de los subgrupos indicados: $<a>,$ $,$ $<a^{3}>,$ $<a^{2}b>,$ $<a,b>,$ $<a^{2},b>,$ $<a^{3},b>.$
Dibujar el diagrama de subgrupos de ${\textsf {D}}_{12}.$
Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo.

Probar que ${\textsf {D}}_{12}\cong {\textsf {D}}_{6}\times \mathbb {Z} _{2}.$ Interpretar geométricamente el resultado.
Sea $G=\mathbb {Z} _{10}.$ Sean $A=\{[2],[4],[5]\}$ y $B=\{[1],[7]\}.$ Determinar los siguientes conjuntos $A+B,$ $-A,$ $2B.$
Consideremos el grupo $<\mathbb {Z} ,+>.$

Probar que cada número entero puede escribirse como un múltiplo de 5 más un múltiplo de 3. Usar lo anterior, para concluir que $\mathbb {Z} =5\mathbb {Z} +3\mathbb {Z} .$
Probar que $4\mathbb {Z} +6\mathbb {Z} \neq \mathbb {Z} .$
¿Cuándo, para un par de números enteros $m$ y $n,$ se cumple que $m\mathbb {Z} +n\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ ?

Sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ tales que $H\cap K=\{e\}.$ Probar que cada elemento de $HK$ tiene una única representación como $hk$ con $h$ en $H$ y $k$ en $K.$ (Sug. Suponer que $h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}$ ).
Construir la tabla del grupo aditivo $\mathbb {Z} _{10}.$ Sean math>H= [2],</math> $K=<5>.$ Probar que $\mathbb {Z} _{10}\cong H\oplus K.$ de las dos maneras siguientes.

Usando el teorema de la sección de productos.
Mostrando que $Z_{10}\cong \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{2},$ $\mathbb {Z} _{5}\cong H$ y $\mathbb {Z} _{2}\cong K$

Sea $G={\textsf {S}}_{4}.$ Hallar los subgrupos generados por los conjuntos $S$ indicados.

$S=\{(12)(34),(14)(23)\}.$
$S=\{(1234)\}.$
$S=\{(123),(234),(143)\}.$

Clasificar los enunciados siguientes en válidos o falsos.

Todo grupo puede presentarse como un conjunto de generadores.
Un grupo finitamente generado es finito.
Cuando los generadores de un grupo permutan entre si, entonces el grupo es abeliano.
Un grupo que es producto de otros dos es infinito.

Los generadores de ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ . Verificar que las matrices elementales generan al grupo lineal.
Las matrices elementales son: ${\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\x&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\0&x\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.$
donde $x$ es cualquier número real.
Hallar los inversos de cada una de las matrices elementales y observar que son también elementales.
Sea $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ invertible. Por lo tanto, el determinante de $A$ , $ad-bc$ no es nu

Suponer que $c=0$ . Entonces $ad\neq 0$ .
Probar que ${\begin{bmatrix}1&-d/b\\0&1\end{bmatrix}}*A$ es una matriz diagonal.
Suponer $a\neq 0$ y $c\neq 0$ .Probar que ${\begin{bmatrix}1&-c/a\\0&1\end{bmatrix}}*A$ es una matriz que tiene un cero en la posición (2,1).
Suponer que $a=0$ (por lo que $c\neq 0$ .) Probar que ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ intercambia la primera fila con la segunda.

Los procedimientos anteriores muestran como podemos por multiplicación por matrices elementales obtener una matriz diagonal a partir de una matriz invertible cualquiera.

Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, usamos la matriz de intecambio (c) para obtener un elemento no nulo en la posición (1,1) del producto.
Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, aplicando el paso (b) obtenemos un elemento nulo en la posicion (2,3) del producto.
Finalmente, si el elemento en la posición (1,2) no es nulo, aplicamo el paso (a) para obtener un producto con cero en la posición (1,2).

Nuestro producto es ahora una matriz diagonal. Observando que
${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}1&0\\0&a\end{bmatrix}}$
completamos los productos necesario obtener la identidad.

Comentarios
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La determinación de los conjuntos generadores de un grupo tienen importancia teórica y práctica. Una rama especializada la teoría combinatoria de grupos, que estudia a los gruposgrupos desde el punto de vista de sus generadores y restricciones.
Un objeto muy interesante es el grupo libre sobre un conjunto $S$ que consiste de todos las palabras posibles con alfabeto $S$ . Se prueba que tofo grupo finito se obiene por restricciones de un rupo linreinitente generado.
Lectura adicïonal Wiipedia:Concepto generador de un grupo.

Notas
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↑ (BB) Dieudonné

↑ (WEB) Curso de Geometría

9. Los Grupos Cocientes
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[[Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Grupos Cocientes|Los Grupos Cocientes}}
10. Teoremas de Homomorfismos
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Introducción
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Clasificar familias de grupos significa hallar todos los posibles tipos (no isomorfos) de los grupos de la familia. En este capítulo, veremos la clasificación por orden de grupos finitos.
Sea $G$ un grupo con $|G|=n$ . Sabemos que:

cuando n es un número primo, $G$ es cíclico
hay un único grupo de orden n, cuando n=1,2,3 y que
para cada n, hay al menos un grupo de orden n, el grupo cíclico de ese orden

Clasificación de los Grupos de Orden 4
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Sea $G=\{e,a,b,c\}$ un grupo de orden 4, que no sea cíclico. Como $G$ no es cíclico, todos los elementos diferentes del neutro deben tener orden 2. Por lo que $G$ tiene tres subgrupos de orden 2, $\{e,x\}$ , donde $x=a,b,c.$
Sea $z=ab$ .

Si z=e, se tiene que ab = e, lo que implica que aab=a, o sea que b= a. Imposible.
Si z=a o z=b se concluye, respectivamente que b=e o que a =e. Imposible.
La única posibilidad es
que $z=ab=c$ . Por simetría entre a y b, concluimos que, también, ba=c. Por lo tanto, si existe un grupo no cíclico $G$ de orden 4, debería ser

$\langle a,b|a^{2}=b^{2}=e,ab=ba\rangle .$

Claramente, este grupo existe, es nuestro viejo conocido:el grupo de Klein.

Grupos de Orden 4
Un grupo de orden 4 es isomorfo a:

el grupo cíclico de orden 4, o
el grupo de Klein.

La Cardinalidad del Producto de dos Subgrupos
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Antes de continuar nuestros estudios de clasificación, probaremos un resultado acerca de la cardinalidad del conjunto producto de dos subgrupos, que nos ayudará en clasificaciones futuras.
Recordemos que el conjunto producto de dos subgrupos no necesariamente determina un subgrupo. Sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ , ¿cuántos elementos tiene $HK$ ? Suponiendo $|H|=m$ y $|K|=n$ . tendremos que todos los productos que podemos tomar con primer factor en $H$ y segundo en $K$ serán $mn$ . Sin embargo, algunos de esos productos podrían ser iguales entre si. Es decir que podemos afirmar que:
$|HK|\leq |H||K|=mn.$ ¿Cuándo dos de esos
productos son iguales? Si $h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}$ se tiene que $h_{2}^{-1}h_{1}=k_{2}k_{1}^{-1}$ . Llamando $x$ a este elemento, tendremos por su representación de la izquierda que $x$ está en $H$ . mientras que su representación de la derecha nos dice que $x$ está en $K$ . Por lo que $x$ está en $H\cap K$ . Esto nos indica que debemos velar por los productos de elementos que provienen de la intersección de los dos subgrupos.
En efecto, supongamos que $g=hk$ es un elemento cualquiera de
$HK$ y sea $x$ un elemento de $H\cap K$ . Entonces, $g=hk=(hx)(x^{-1}k)=h_{1}k_{1}.$ Lo que prueba que para cada $x$ en
$H\cap K$ . podemos escribir $g$ de una manera distinta como producto de un elemento de $H$ por $K$ . Es decir que en los productos $hk$ . cada elemento aparecerá repetido al menos $|H\cap K|$ veces. El argumento del párrafo anterior muestra que las repeticiones ocurren exactamente cuando el elemento proviene de dicha intersección; por lo que la cantidad de repeticiones es exactamente $|H\cap K|$ . Por lo que tenemos la siguiente proposición.
Proposición 1 (Cardinalidad de un Conjunto Producto de Subgrupos) Sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ . Entonces,
${\quad |HK|={\frac {|H||K|}{|H\cap K|}}\quad }.$
Clasificación de los grupos de orden 6
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Aplicaremos los resultados anteriores a la clasificación de los grupos de orden 6. Clasificar significa, hallar todos los posibles tipos (no isomorfos) de una familia de grupos, en este caso de los grupos cuyo orden es 6.
Sea $G$ un grupo de orden 6. Como, para cada posible orden tenemos un grupo cíclico de orden 6, nos podemos preguntar ¿aparte del cíclico cuántos (tipos de) grupos diferentes de orden 6 hay? Nosotros conocemos al menos uno adicional, ${\textsf {S}}_{3}={\textsf {D}}_{6}$ .
Supongamos que $G$ no fuera cíclico. Por el teorema de Lagrange, sabemos que los únicos ordenes posibles para los subgrupos y, por lo tanto, para los elementos son 1, 2, 3 y 6.
El neutro es el único elemento de orden $1$ .
Si hubiera un elemento con orden 6, el grupo sería cíclico. Lo que nos deja como posibles ordenes para subgrupos 2 y 3, por lo que esos subgrupos necesariamente tienen que ser cíclicos.
Supongamos que todos los elementos diferentes del neutro tuvieran orden 2. En tal caso, como $x^{2}=e$ . sigue que $x=x^{-1}$ para todo $x$ . Además, $(xy)^{2}=xyxy=e$ implicará que $yx=x^{-1}y^{-1}=xy$ , o sea que el grupo sería abeliano. Sean $a$ y $b$ dos de esos elementos de orden $2$ . Entonces, $H=<a,b>$ sería un subgrupo de $G$ . Por la conmutatividad, $H$ consistiría exactamente de los productos de la forma $a^{i}b^{j}$ $i,j=0,1$ . o sea, $H=\{e,a,b,ab\}$ . Pero esto es imposible, ya que no puede haber un subgrupo de orden 4 en un grupo de orden 6. Conclusión: no todos los elementos pueden tener orden 2; lo cual implica que debe haber al menos un elemento de orden 3, digamos $a$ .
Como $a$ tiene orden 3, el subgrupo $<a>=\{e,a,a^{2}\}$ también tiene orden 3, lo que implica $a$ y $a^{2}$ son elementos con orden 3. ¿Habrá algún otro subgrupo de orden $3$ ? Supongamos que sí y que se tratara de $H$ . Como este subgrupo sería distinto de $<a>$ , tendríamos que $H\cap <a>=\{e\}$ . Por lo tanto, calculando la cantidad de elementos del producto $H\,<a>$ , tendríamos que
$|H<a>|={\dfrac {|H||<a>|}{|H\cap <a>|}}=9;$ lo cual es imposible. Por lo
tanto, hay solamente un subgrupo de orden $3$ y todos los elementos restantes, diferentes del neutro, deberán tener orden 2.
Sea $b$ uno de ellos, entonces la clase lateral derecha $<a>b$ tendrá tres elementos y, por ser disjunta con $<a>$ , coincide con el complemento de $<a>$ . por lo que contendrá a todos los elementos de orden 2. Se tiene así que
$G=\{e,a,a^{2},b,ab,a^{2}b\}.$ Para completar la
estructura de $G$ . bastará con conocer el producto de $ba$ .

Si $ba=e$ entonces, $b$ es el inverso de $a$ y tendría su mismo orden, lo que no puede ser.
Si $ba=a$ entonces $b=e$ . imposible.
Si $ba=a^{2}$ entonces, $b=a$ . imposible.
Si $ba=b$ . entonces $a=e$ . imposible.
Si $ba=ab$ . el grupo sería abeliano y el elemento $ab$ tendría orden 6, por lo que el grupo sería cíclico; imposible.
Por lo tanto la única posibilidad es que $ba=a^{2}b$

Los razonamientos anteriores muestran que la única posibilidad de grupo de orden 6, aparte del cíclico, será entonces ${\textsf {S}}_{3}$ . Resumiendo tenemos lo siguiente:

Grupos de orden 6 Un grupo $G$ con seis elementos es isomorfo a uno de los dos grupos siguientes:

el grupo cíclico de orden 6, o
el grupo ${\textsf {D}}_{6}={\textsf {S}}_{3}$ . caracterizado como $<a,b:a^{3}=e,b^{2}=e,ba=ab^{2}>$ .

Clasificación de los Grupos Abelianos de orden 8
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Sea $G$ un grupo abeliano tal que $|G|=8$ . Si hay un elemento en $G$ cuyo orden sea igual a $|G|$ , se tiene que $G$ es un grupo cíclico de orden 8.
Supongamos que $G$ no es cíclico. Entonces, todos los elementos no nulos deben tener ordenes 2 o 4.
Suponer que $a$ de $G$ tiene orden $4$ y sea $H$ el subgrupo generado por $a$ . Supongamos que haya otro elemento de orden 4, digamos $b$ tal que $b$ no está en $H$ . Sea $K=$ . Si $H\cap K=\{e\}$ , por el teorema de la cardinalidad de productos, tenemos que

$|HK|=|H|\,|K|/|H\cap K|=16.$

Lo que es imposible, luego $H\cap K\neq \{e\}$ . Entonces, $|H\cap K|=2$ o 4. No puede ser 4, porque entonces $H=K$ . Por lo que $|H\cap K|=2$ .
De donde sigue que $|HK|=8,$ o sea que $G=HK$ . ¿Qué elementos hay comunes en la intersección? Observemos que $H\cap K<H,K$ , por lo que $H\cap K=\{a^{2}\}=\{b^{2}\}$ . Observemos que entonces, $ab$ es un elemento que no está en $H$ , porque $ab=a^{k}$ implica que $b$ estaría en $H$ . Se tiene que $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}=a^{2}a^{2}=a^{4}=e$ , por lo que hay un elemento de $G$ con orden 2. Sea $L=<ab>$ . Entonces $H\cap L=\{e\}$ , y $|HL|=8$ o sea que $G=HL$ . Sigue entonces, de la proposición acerca del producto de subgrupos normales, que $G\cong H\times L\cong {\textsf {C}}_{4}\times {\textsf {C}}_{2}$ .
Si fuera de $H$ todos los elementos tuvieran orden 2. Escogiendo, uno cualesquiera de ellos, podríamos repetir el argumento anterior. Supongamos que todos los elementos no nulos tuvieran orden 2. Seleccionando tres de ellos, digamos, $a$ , $b$ y $c$ , tendríamos que

$G\cong {\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}.$

Grupos abelianos de orden 8 Un grupo abeliano de orden 8 es

un grupo cíclico de orden 8, o
el producto de un grupo cíclico de orden 4 con uno de orden 2, o
el producto de tres grupos cíclicos de orden 2 cada uno.

Clasificación de los Grupos de orden 9
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Sea $G$ un grupo cuyo orden es $9$ . Si $G$ tiene un elemento de orden 9, $G$ es el grupo cíclico de orden 9, ${\textsf {C}}_{9}$ . En caso contrario, todos los elementos diferentes del neutro deben tener orden 3. Sean $H=<a>$ y $K=$ dos subgrupos diferentes generados por elementos de orden 3. Se tiene que $H\cap K=\{e\}$ , por lo que $|HK|=|H||K|=9$ . Es decir que $G=HK$ . Primeramente, probaremos que $H$ es normal en $G$ . Es decir que, para todo $g$ en $G$ se cumple que $gag^{-1}$ es un elemento de $H$ . El típico elemento de $G$ es

$g=a^{i}b^{j}\quad {\text{ con }}\quad 0\leq i,j<3.$ (*)

Observando que $(a^{i}b^{j})a(a^{i}b^{j})^{-1}=a^{i}b^{j}a(b^{j})^{-1}(a^{i})^{-1},$ vemos que basta verificar que $bab^{-1}$ está en $H$ .
Se tiene que

$bab^{-1}=a^{i}b^{j}.$ (**)

para $i,j$ tales que $0\leq i,j<3$ . Queremos probar, que necesariamente $j=0$ . Recordemos, que como los elementos $x$ diferentes del neutro son de orden 3, tenemos que $x^{-1}=x^{2}$ . Además, $ab\neq e$ y $ba\neq e$ , ya que, en caso contrario, tendríamos que $<a>=$

Si $i=0$ , entonces (**) implica que $bab^{-1}=b^{j}$ lo que implica que $a=b^{-1}b^{j}b\in $ , lo que no puede ser. Luego, $i>0$ .
$bab^{-1}=ab\implies abab^{-1}=a^{2}b\implies abab^{2}=ab\implies abab=a^{2}$ . Esto dice que $<ab>=\{e,ab,(ab)^{2}\}\cap \{e,a,a^{2}\}\neq {e}$ . Esto dice que $ab=a$ o que $ab=a^{2}$ , y ambas posibilidades son contradictorias a las elecciones de $a$ y $b$ .
$bab^{-1}=ab^{2}=ab^{-1}$ implica que $ba=a$ , o sea que $b=e$ .
$bab^{-1}=a^{2}b\implies a(bab^{2})=a^{2}b\implies abab^{2}=a^{2}b\implies abab=a^{2}$ , lo que sabemos que es contradictorio.
$bab^{-1}=a^{2}b^{2}\implies bab^{2}=a^{2}b^{2}\implies ba=a^{2}\implies b=a$ . Una contradicción.

Como todos los casos con $j>0$ conducen a contradicción, debemos concluir que $j=0$ . Lo que prueba que $H$ es normal en $G$ .
Por la simetría de la situación, tenemos que $K$ es, también, normal en $G$ . Por la proposición \ref{propInternoNormales}, tenemos que $G=HK\cong H\times K$ .
Es decir que cualquier grupo con 9 elementos es el grupo cíclico de 9 elementos, ${\textsf {C}}_{9}$ , o el producto de dos grupos cíclicos de orden 3 cada uno. Resumiendo,

$|G|=9\implies G\cong {\textsf {C}}_{9}{\text{ o }}G\cong {\textsf {C}}_{3}\times {\textsf {C}}_{3}.$

Además, lo anterior implica que no hay grupos no
conmutativos de orden 9.

Caracterización de los Grupos Cíclicos Finitos
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Sabemos que cada elemento $g$ de un grupo finito tiene un orden que es un divisor del orden del grupo. Introduciremos la noción de exponente de un grupo que nos ayudará en la caracterización de los grupos cíclicos finitos.

Definición. (Exponente de un Grupo) Sea $G$ un grupo finito. Llamamos exponente del grupo al menor entero positivo $r$ tal que $x^{r}=e$ para todo elemento $x$ dell grupo. Lo denotaremos por $\exp(G)$ .

Por ejemplo, $exp({\textsf {S}}_{3})=6$ , $exp({\textsf {D}}_{8})=4$ . Como $x^{\exp(G)}=e$ , tenemos que $exp(G)$ es un múltiplo de $o(x)$ .
Un grupo cíclico $G$ es un grupo tal que $exp(G)=|G|$ . El objetivo de esta sección es mostrar que esa relación caracteriza a los grupos cíclicos.
Necesitaremos el siguiente lema que provee una caracterización para el exponente.
Lema. Sea $G$ un grupo finito abeliano y sea $g$ un elemento cuyo orden es maximal entre los ordenes de los elementos de $G$ . Entonces, $\exp(G)=o(g)$ .

Demostración: Debemos probar que $h^{o(g)}=e$ para todo $h$ en $G$ . Supongamos que tenemos descomposiciones en factores primos de $o(g)$ y $o(h)$ dadas por

$o(g)=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\dots p_{k}^{r_{k}}{\text{ y }}o(h)=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\dots p_{k}^{s_{k}},$

donde los $p_{i}$ 's son primos diferentes entre si y los exponentes $r_{i}$ 's, $s_{i}$ 's son mayores o iguales que cero.
Si $h^{o(g)}\neq e$ , se tendría que habría un $s_{i}>r_{i}$ , sin perdida de generalidad, podemos suponer que $s_{1}>r_{1}$ . Sean $u=p_{1}^{r_{1}}$ , $v=p_{2}^{s_{2}}\dots p_{k}^{s_{k}}$ , $g'=g^{u}$ y $h'=h^{v}$ . Entonces, tenemos que $o(h')=p_{1}^{s_{1}}$ y $o(g')=p_{2}^{r_{2}}\dots p_{k}^{r_{k}}$ . Se tiene entonces que el máximo común divisor de $o(h')$ y $o(g')$ es 1, por lo que $o(h'g')=o(h')o(g')=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{r_{2}}\dots p_{k}^{r_{k}}>o(g)$ . Pero esto contradice la maximalidad de $o(g)$ .

Proposición 2. (Caracterización de Grupos Cíclicos) Sea $G$ un grupo finito abeliano. Entonces, $G$ es cíclico, ssi, $\exp(G)=|G|$ .

Demostración: Si $G=<g>$ , entonces $exp(G)=o(g)=|G|$ . Recíprocamente, supongamos que $exp(G)=|G|$ ; entonces hay un elemento $g$ tal que $o(g)=exp(G)=|G|$ , por lo que $G$ es cíclico.

Ejercicios del Capítulo
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Probar que el producto de dos grupos abelianos es un grupo abeliano.
Sea $G$ un grupo abeliano tal que $|G|=pq$ donde $p$ y $q$ son números primos diferentes. Probar que hay elementos $x$ , $y$ tales que $o(x)=p$ , $o(y)=q$ y que $G\cong {\textsf {C}}_{p}\times {\textsf {C}}_{q}$ .
Clasificar los grupos de orden 10, 14 y 15.

11. Clasificación de Grupos
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Introducción
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Clasificar familias de grupos significa, hallar todos los posibles tipos (no isomorfos) de los grupos de la familia. En este capítulo, veremos la clasificación por orden de grupos finitos.
Sea $G$ un grupo con $|G|=n$ . Sabemos que:

cuando n es un número primo, $G$ es cíclico
hay un único grupo de orden n, cuando n=1,2,3 y que
para cada n, hay al menos un grupo de orden n, el grupo cíclico de ese orden

Clasificación de los Grupos de Orden 4
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Sea $G=\{e,a,b,c\}$ un grupo de orden 4, que no sea cíclico. Como $G$ no es cíclico, todos los elementos diferentes del neutro deben tener orden 2. Por lo que $G$ tiene tres subgrupos de orden 2, $\{e,x\}$ , donde $x=a,b,c.$
Sea $z=ab$ .

Si z=e, se tiene que ab = e, lo que implica que aab=a, o sea que b= a. Imposible.
Si z=a o z=b se concluye, respectivamente que b=e o que a =e. Imposible.
La única posibilidad es
que $z=ab=c$ . Por simetría entre a y b, concluimos que, también, ba=c. Por lo tanto, si existe un grupo no cíclico $G$ de orden 4, debería ser

$\langle a,b|a^{2}=b^{2}=e,ab=ba\rangle .$

Claramente, este grupo existe, es nuestro viejo conocido: el grupo de Klein.

Grupos de Orden 4
Un grupo de orden 4 es isomorfo a:

el grupo cíclico de orden 4, o
el grupo de Klein.

La Cardinalidad del Producto de dos Subgrupos
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Antes de continuar nuestros estudios de clasificación, probaremos un resultado acerca de la cardinalidad del conjunto producto de dos subgrupos, que nos ayudará en clasificaciones futuras.
Recordemos que el conjunto producto de dos subgrupos no necesariamente determina un subgrupo. Sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ , ¿cuántos elementos tiene $HK$ ? Suponiendo $|H|=m$ y $|K|=n$ . tendremos que todos los productos que podemos tomar con primer factor en $H$ y segundo en $K$ serán $mn$ . Sin embargo, algunos de esos productos podrían ser iguales entre si. Es decir que podemos afirmar que:
$|HK|\leq |H||K|=mn.$ ¿Cuándo dos de esos productos son iguales? Si $h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}$ se tiene que $h_{2}^{-1}h_{1}=k_{2}k_{1}^{-1}$ . Llamando $x$ a este elemento, tendremos por su representación de la izquierda que $x$ está en $H$ . mientras que su representación de la derecha nos dice que $x$ está en $K$ . Por lo que $x$ está en $H\cap K$ . Esto nos indica que debemos velar por los productos de elementos que provienen de la intersección de los dos subgrupos. En efecto, supongamos que $g=hk$ es un elemento cualquiera de $HK$ y sea $x$ un elemento de $H\cap K$ . Entonces, $g=hk=(hx)(x^{-1}k)=h_{1}k_{1}.$ Lo que prueba que para cada $x$ en $H\cap K$ . podemos escribir $g$ de una manera distinta como producto de un elemento de $H$ por $K$ . Es decir que en los productos $hk$ . cada elemento aparecerá repetido al menos $|H\cap K|$ veces. El argumento del párrafo anterior muestra que las repeticiones ocurren exactamente cuando el elemento proviene de dicha intersección; por lo que la cantidad de repeticiones es exactamente $|H\cap K|$ . Por lo que tenemos la siguiente proposición.
Proposición 1 (Cardinalidad de un Conjunto Producto de Subgrupos)

Sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ .
Entonces, ${\quad |HK|={\frac {|H||K|}{|H\cap K|}}\quad }.$
Clasificación de los grupos de orden 6
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Aplicaremos los resultados anteriores a la clasificación de los grupos de orden 6. Clasificar significa, hallar todos los posibles tipos (no isomorfos) de una familia de grupos, en este caso de los grupos cuyo orden es 6.
Sea $G$ un grupo de orden 6. Como, para cada posible orden tenemos un grupo cíclico de orden 6, nos podemos preguntar ¿aparte del cíclico cuántos (tipos de) grupos diferentes de orden 6 hay? Nosotros conocemos al menos uno adicional, ${\textsf {S}}_{3}={\textsf {D}}_{6}$ .
Supongamos que $G$ no fuera cíclico. Por el teorema de Lagrange, sabemos que los únicos ordenes posibles para los subgrupos y, por lo tanto, para los elementos son 1, 2, 3 y 6.
El neutro es el único elemento de orden $1$ .
Si hubiera un elemento con orden 6, el grupo sería cíclico. Lo que nos deja como posibles ordenes para subgrupos 2 y 3, por lo que esos subgrupos necesariamente tienen que ser cíclicos.
Supongamos que todos los elementos diferentes del neutro tuvieran orden 2. En tal caso, como $x^{2}=e$ . sigue que $x=x^{-1}$ para todo $x$ . Además, $(xy)^{2}=xyxy=e$ implicará que $yx=x^{-1}y^{-1}=xy$ , o sea que el grupo sería abeliano. Sean $a$ y $b$ dos de esos elementos de orden $2$ . Entonces, $H=<a,b>$ sería un subgrupo de $G$ . Por la conmutatividad, $H$ consistiría exactamente de los productos de la forma $a^{i}b^{j}$ $i,j=0,1$ . o sea, $H=\{e,a,b,ab\}$ . Pero esto es imposible, ya que no puede haber un subgrupo de orden 4 en un grupo de orden 6. Conclusión: no todos los elementos pueden tener orden 2; lo cual implica que debe haber al menos un elemento de orden 3, digamos $a$ .
Como $a$ tiene orden 3, el subgrupo $<a>=\{e,a,a^{2}\}$ también tiene orden 3, lo que implica $a$ y $a^{2}$ son elementos con orden 3. ¿Habrá algún otro subgrupo de orden $3$ ? Supongamos que sí y que se tratara de $H$ . Como este subgrupo sería distinto de $<a>$ , tendríamos que $H\cap <a>=\{e\}$ . Por lo tanto, calculando la cantidad de elementos del producto $H\,<a>$ , tendríamos que
$|H<a>|={\dfrac {|H||<a>|}{|H\cap <a>|}}=9;$ lo cual es imposible. Por lo
tanto, hay solamente un subgrupo de orden $3$ y todos los elementos restantes, diferentes del neutro, deberán tener orden 2.
Sea $b$ uno de ellos, entonces la clase lateral derecha $<a>b$ tendrá tres elementos y, por ser disjunta con $<a>$ , coincide con el complemento de $<a>$ . por lo que contendrá a todos los elementos de orden 2. Se tiene así que
$G=\{e,a,a^{2},b,ab,a^{2}b\}.$ Para completar la
estructura de $G$ . bastará con conocer el producto de $ba$ .

Si $ba=e$ entonces, $b$ es el inverso de $a$ y tendría su mismo orden, lo que no puede ser.
Si $ba=a$ entonces $b=e$ . imposible.
Si $ba=a^{2}$ entonces, $b=a$ . imposible.
Si $ba=b$ . entonces $a=e$ . imposible.
Si $ba=ab$ . el grupo sería abeliano y el elemento $ab$ tendría orden 6, por lo que el grupo sería cíclico; imposible.
Por lo tanto la única posibilidad es que $ba=a^{2}b$

Los razonamientos anteriores muestran que la única posibilidad de grupo de orden 6, aparte del cíclico, será entonces ${\textsf {S}}_{3}$ . Resumiendo tenemos lo siguiente:

Grupos de orden 6 Un grupo $G$ con seis elementos es isomorfo a uno de los dos grupos siguientes:

el grupo cíclico de orden 6, o
el grupo ${\textsf {D}}_{6}={\textsf {S}}_{3}$ . caracterizado como $<a,b:a^{3}=e,b^{2}=e,ba=ab^{2}>$ .

Clasificación de los Grupos Abelianos de orden 8
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Sea $G$ un grupo abeliano tal que $|G|=8$ . Si hay un elemento en $G$ cuyo orden sea igual a $|G|$ , se tiene que $G$ es un grupo cíclico de orden 8.
Supongamos que $G$ no es cíclico. Entonces, todos los elementos no nulos deben tener ordenes 2 o 4.
Suponer que $a$ de $G$ tiene orden $4$ y sea $H$ el subgrupo generado por $a$ . Supongamos que haya otro elemento de orden 4, digamos $b$ tal que $b$ no está en $H$ . Sea $K=$ . Si $H\cap K=\{e\}$ , por el teorema de la cardinalidad de productos, tenemos que

$|HK|=|H|\,|K|/|H\cap K|=16.$

Lo que es imposible, luego $H\cap K\neq \{e\}$ . Entonces, $|H\cap K|=2$ o 4. No puede ser 4, porque entonces $H=K$ . Por lo que $|H\cap K|=2$ .
De donde sigue que $|HK|=8,$ o sea que $G=HK$ . ¿Qué elementos hay comunes en la intersección? Observemos que $H\cap K<H,K$ , por lo que $H\cap K=\{a^{2}\}=\{b^{2}\}$ . Observemos que entonces, $ab$ es un elemento que no está en $H$ , porque $ab=a^{k}$ implica que $b$ estaría en $H$ . Se tiene que $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}=a^{2}a^{2}=a^{4}=e$ , por lo que hay un elemento de $G$ con orden 2. Sea $L=<ab>$ . Entonces $H\cap L=\{e\}$ , y $|HL|=8$ o sea que $G=HL$ . Sigue entonces, de la proposición acerca del producto de subgrupos normales, que $G\cong H\times L\cong {\textsf {C}}_{4}\times {\textsf {C}}_{2}$ .
Si fuera de $H$ todos los elementos tuvieran orden 2. Escogiendo, uno cualesquiera de ellos, podríamos repetir el argumento anterior. Supongamos que todos los elementos no nulos tuvieran orden 2. Seleccionando tres de ellos, digamos, $a$ , $b$ y $c$ , tendríamos que

$G\cong {\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}.$

Grupos abelianos de orden 8 Un grupo abeliano de orden 8 es

un grupo cíclico de orden 8, o
el producto de un grupo cíclico de orden 4 con uno de orden 2, o
el producto de tres grupos cíclicos de orden 2 cada uno.

Clasificación de los Grupos de orden 9
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Sea $G$ un grupo cuyo orden es $9$ . Si $G$ tiene un elemento de orden 9, $G$ es el grupo cíclico de orden 9, ${\textsf {C}}_{9}$ . En caso contrario, todos los elementos diferentes del neutro deben tener orden 3. Sean $H=<a>$ y $K=$ dos subgrupos diferentes generados por elementos de orden 3. Se tiene que $H\cap K=\{e\}$ , por lo que $|HK|=|H||K|=9$ . Es decir que $G=HK$ . Primeramente, probaremos que $H$ es normal en $G$ . Es decir que, para todo $g$ en $G$ se cumple que $gag^{-1}$ es un elemento de $H$ . El típico elemento de $G$ es

$g=a^{i}b^{j}\quad {\text{ con }}\quad 0\leq i,j<3.$ (*)

Observando que $(a^{i}b^{j})a(a^{i}b^{j})^{-1}=a^{i}b^{j}a(b^{j})^{-1}(a^{i})^{-1},$ vemos que basta verificar que $bab^{-1}$ está en $H$ .
Se tiene que

$bab^{-1}=a^{i}b^{j}.$ (**)

para $i,j$ tales que $0\leq i,j<3$ . Queremos probar, que necesariamente $j=0$ . Recordemos, que como los elementos $x$ diferentes del neutro son de orden 3, tenemos que $x^{-1}=x^{2}$ . Además, $ab\neq e$ y $ba\neq e$ , ya que, en caso contrario, tendríamos que $<a>=$

Si $i=0$ , entonces (**) implica que $bab^{-1}=b^{j}$ lo que implica que $a=b^{-1}b^{j}b\in $ , lo que no puede ser. Luego, $i>0$ .
$bab^{-1}=ab\implies abab^{-1}=a^{2}b\implies abab^{2}=ab\implies abab=a^{2}$ . Esto dice que $<ab>=\{e,ab,(ab)^{2}\}\cap \{e,a,a^{2}\}\neq {e}$ . Esto dice que $ab=a$ o que $ab=a^{2}$ , y ambas posibilidades son contradictorias a las elecciones de $a$ y $b$ .
$bab^{-1}=ab^{2}=ab^{-1}$ implica que $ba=a$ , o sea que $b=e$ .
$bab^{-1}=a^{2}b\implies a(bab^{2})=a^{2}b\implies abab^{2}=a^{2}b\implies abab=a^{2}$ , lo que sabemos que es contradictorio.
$bab^{-1}=a^{2}b^{2}\implies bab^{2}=a^{2}b^{2}\implies ba=a^{2}\implies b=a$ . Una contradicción.

Como todos los casos con $j>0$ conducen a contradicción, debemos concluir que $j=0$ . Lo que prueba que $H$ es normal en $G$ .
Por la simetría de la situación, tenemos que $K$ es, también, normal en $G$ . Por la proposición \ref{propInternoNormales}, tenemos que $G=HK\cong H\times K$ .
Es decir que cualquier grupo con 9 elementos es el grupo cíclico de 9 elementos, ${\textsf {C}}_{9}$ , o el producto de dos grupos cíclicos de orden 3 cada uno. Resumiendo,

$|G|=9\implies G\cong {\textsf {C}}_{9}{\text{ o }}G\cong {\textsf {C}}_{3}\times {\textsf {C}}_{3}.$

Además, lo anterior implica que no hay grupos no
conmutativos de orden 9.

Caracterización de los Grupos Cíclicos Finitos
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Sabemos que cada elemento $g$ de un grupo finito tiene un orden que es un divisor del orden del grupo. Introduciremos la noción de exponente de un grupo que nos ayudará en la caracterización de los grupos cíclicos finitos.

Definición. (Exponente de un Grupo) Sea $G$ un grupo finito. Llamamos exponente del grupo al menor entero positivo $r$ tal que $x^{r}=e$ para todo elemento $x$ dell grupo. Lo denotaremos por $\exp(G)$ .

Por ejemplo, $exp({\textsf {S}}_{3})=6$ , $exp({\textsf {D}}_{8})=4$ . Como $x^{\exp(G)}=e$ , tenemos que $exp(G)$ es un múltiplo de $o(x)$ .
Un grupo cíclico $G$ es un grupo tal que $exp(G)=|G|$ . El objetivo de esta sección es mostrar que esa relación caracteriza a los grupos cíclicos entre los grupos finitos abelianos.
Necesitaremos el siguiente lema que provee una caracterización para el exponente.
Lema. Sea $G$ un grupo finito abeliano y sea $g$ un elemento cuyo orden es maximal entre los ordenes de los elementos de $G$ . Entonces, $\exp(G)=o(g)$ .

Demostración: Debemos probar que $h^{o(g)}=e$ para todo $h$ en $G$ . Supongamos que tenemos descomposiciones en factores primos de $o(g)$ y $o(h)$ dadas por

$o(g)=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\dots p_{k}^{r_{k}}{\text{ y }}o(h)=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\dots p_{k}^{s_{k}},$

donde los $p_{i}$ 's son primos diferentes entre si y los exponentes $r_{i}$ 's, $s_{i}$ 's son mayores o iguales que cero.
Si $h^{o(g)}\neq e$ , se tendría que habría un $s_{i}>r_{i}$ , sin perdida de generalidad, podemos suponer que $s_{1}>r_{1}$ . Sean $u=p_{1}^{r_{1}}$ , $v=p_{2}^{s_{2}}\dots p_{k}^{s_{k}}$ , $g'=g^{u}$ y $h'=h^{v}$ . Entonces, tenemos que $o(h')=p_{1}^{s_{1}}$ y $o(g')=p_{2}^{r_{2}}\dots p_{k}^{r_{k}}$ . Se tiene entonces que el máximo común divisor de $o(h')$ y $o(g')$ es 1, por lo que $o(h'g')=o(h')o(g')=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{r_{2}}\dots p_{k}^{r_{k}}>o(g)$ . Pero esto contradice la maximalidad de $o(g)$ .

Proposición 2. (Caracterización de Grupos Cíclicos) Sea $G$ un grupo finito abeliano. Entonces, $G$ es cíclico, ssi, $\exp(G)=|G|$ .

Demostración: Si $G=<g>$ , entonces $exp(G)=o(g)=|G|$ . Recíprocamente, supongamos que $exp(G)=|G|$ ; entonces hay un elemento $g$ tal que $o(g)=exp(G)=|G|$ , por lo que $G$ es cíclico.

Ejercicios del Capítulo
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Probar que el producto de dos grupos abelianos es un grupo abeliano.
Sea $G$ un grupo abeliano tal que $|G|=pq$ donde $p$ y $q$ son números primos diferentes. Probar que hay elementos $x$ , $y$ tales que $o(x)=p$ , $o(y)=q$ y que $G\cong {\textsf {C}}_{p}\times {\textsf {C}}_{q}$ .
Clasificar los grupos de orden 10, 14 y 15.

12. Teoremas de Cardinalidad
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Introducción
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Los teoremas de cardinalidad son aquellos teoremas que establecen relaciones referentes a cantidad de elementos o subgrupos con una cierta propiedad. Con anterioridad, hemos visto dos instancias de este clase de resultados: el teorema de Lagrange y el teorema acerca de la cardinalidad del conjunto producto de dos subgrupos. Los resultados principales que veremos en este capítulo serán la ecuación de clases--una relación acerca de la clases de conjugación, el teorema de Cauchy estableciendo la existencia de elementos de cierto orden y el (primer) teorema de Sylow estableciendo la existencia de subgrupos de cierto orden.

La Ecuación de Clases
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Vimos, anteriormente, que la relación de conjugación es una relación de equivalencia en un grupo, por lo que particiona al grupo en clases disjuntas de equivalencias, llamadas clases de conjugación del grupo. La clase de conjugación de un elemento $x$ , denotada ${\mathcal {C}}(x)$ , está formada por todos los elementos conjugados a $x$ , es decir que
${\mathcal {C}}(x)=\{x^{g}:g\in G\}.$
donde $x^{g}=gxg^{-1}$ . Sea $D$ un conjunto de representantes de las clases de conjugación, es decir que $D$ consiste de un elemento de cada una de las clases de conjugación. Dos elementos diferentes de $D$ corresponden a dos clases diferentes. Como la reunión de las clases de conjugación es todo $G$ y como las clases son disjuntas, tenemos que la cantidad de elementos de $G$ es igual a la suma de los elementos en cada clase, o sea que

$|G|=\sum _{a\in D}|{\mathcal {C}}(a)|$ (*)

Nos referiremos a esa relación como la ecuación de las clases de conjugación. del grupo $G$ .
Hay una variación de la ecuación de clases de conjugación que resultará muy útil para futuros resultados, basada en que la cardinalidad de cada clase de equivalencia es igual al índice de un cierto subgrupo. Empezaremos nuestro trabajo introduciendo la noción de centralizador de un elemento.

Definición. (Centralizador) Sea $G$ un grupo y $a$ un elemento de $G$ . Llamamos centralizador en $\mathbf {G}$ de $\mathbf {a}$ al subconjunto de $G$ denotado por $C(a)$ , o $C_{G}(a)$ ---cuando queremos mencionar el grupo---y que está definido como
$C_{G}(a):=\{g\in G:ga=ag\}.$

Observemos que $g$ esta en $C_{G}(a)$ , ssi, $ga=ag$ , ssi, $gag^{-1}=a$ , ssi, $a^{g}=a$ . Es decir que los elementos del centralizador de $a$ son aquellos $g$ tales que el conjugado por $g$ de $a$ es igual a $a$ . Por lo que $a$ es un elemento de su centralizador.
Proposición 1. El centralizador de un elemento de un grupo es un subgrupo del grupo.

Demostración: Sea $G$ un grupo y $C(a)$ el centralizador de $a$ en $G$ . El elemento neutro, claramente, está en $C(a)$ . Sean $x$ , $y$ elementos de $C(a)$ . Tenemos que $xya=xay=axy$ , lo que muestras que $C(a)$ es cerrado respecto a la operación del grupo. Además, $xa=ax\implies x^{-1}(xa)x^{-1}=x^{-1}(ax)x^{-1}\implies ax^{-1}=x^{-1}a.$
Lo que concluye la demostración.

Nos interesa considerar el conjunto cociente $G/C(a)$ (que, en general, no será un grupo, pues $C(a)$ no siempre es normal). Sean $x$ y $y$ tales que $x$ está en la coclase $yC(a)$ , es decir $x=yh$ para algún $h$ en $C(a)$ . Entonces,
$a^{x}=xax^{-1}=(yh)a(yh)^{-1}=yhah^{-1}y^{-1}=yahh^{-1}y^{-1}=yay^{-1}=a^{y}.$
Es decir que dos elementos de la misma coclase respecto a $C(a)$ producen el mismo conjugado de $a$ .
Veamos el resultado recíproco. Sean $x$ , $y$ tales que $a^{x}=a^{y}$ . Como,
$a^{x}=a^{y}\implies xax^{-1}=yay^{-1}\implies y^{-1}xax^{-1}=ay^{-1}\implies y^{-1}xa=ay^{-1}x.$
Por lo que $y^{-1}x$ está en $C(a)$ , o sea que $x\in yC(a)$ .
Por lo que, elementos de diferentes clases de conjugación de $a$ corresponden a diferentes coclases respecto a $C(a)$ . Es decir que tenemos el siguiente resultado.
Proposición 2. Sea $G$ un grupo y $a$ un elemento del grupo. La cantidad de conjugados de $a$ es igual a la cantidad de coclases del centralizador de $a$ , o sea al índice $[G:C(a)]$ .
$|{\mathcal {C}}(a)|=[G:C(a)].$
Corolario 2.1. El cardinal de una clase de conjugación es un divisor del orden del grupo.

Usaremos el resultado de la proposición para reescribir la ecuación de clases de conjugación vista arriba. Recordemos que cada elemento del centro de un grupo ( $Z(G)$ ) es el único elemento de su clase de conjugación. Por lo que usando el resultado de la proposición anterior, y reagrupando todos los elementos del centro tendremos que la ecuación de las clases de conjugación del grupo puede presentarse como sigue. (Donde $D$ es un conjunto de representantes de las clases de conjugación.)

Ecuación de Clases} $|G|=|Z(G)|\quad +\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C(a)].$

Llamamos a esta ecuación, la ecuación de clases del grupo $G$ .
Algunos autores llaman ecuación de clases a lo que arriba hemos denominado ecuación de clases de conjugación.
Otra demosración de esta ecuación se puede obtener mediante la teoría de G-conjuntos que estudiaremos en el próximo capítulo.

Proposición 3. Sea $G$ un $p$ --grupo, es decir un grupo cuyo orden es una potencia de $p$ , $p$ primo. Entonces, el centro de $G$ no es trivial.

Demostración: Probaremos que $p|\,|Z(G)|$ .
Como $G$ es un $p$ --grupo, tenemos que cualquier elemento o subgrupo de $G$ tiene un orden que es una potencia de $p$ . Igualmente, el índice de cualquier subgrupo es una potencia de $p$ . En particular, para cualquier elemento $a$ de $G$ tenemos que $[G:C(a)]$ es una potencia de $p$ . Consideremos la ecuación de clases $|G|=|Z(G)|\quad +\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C(a)].$
Tenemos que $p$ divide a $|G|$ y a cada sumando en la sumatoria, por lo tanto, $p$ divide el orden de $|Z(G)|$ .

Corolario 3.1. Un grupo cuyo orden es $p^{2}$ , $p$ primo, es un grupo abeliano.

Demostración: Sabemos por la proposición que $|Z(G)|=p^{k}$ , $k=1$ o $2$ .

Si $k=1$ entonces $|Z(G)|=p$ y $|G/Z(G)|=|G|/|Z(G)|=p^{1}/p=p$ . Sigue de la proposición \ref{prop090404} que $G$ es abeliano.
Si $k=2$ entonces $Z(G)=G$ , por lo que $G$ es abeliano.

Teoremas de Cauchy y Sylow
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Anteriormente, afirmamos que no siempre era cierto que para cada divisor del orden de un grupo haya un subgrupo que tenga como orden ese divisor (ver ejemplo más adelante). Sin embargo, por el lado positivo tenemos dos importantes resultados, el teorema de Cauchy ^[1] y el (primer) teorema de Sylow ^[2].
Teorema. (Cauchy) Sea $p$ un factor primo del orden de un grupo. Entonces, hay al menos un subgrupo de orden $p$ en $G$ .
Teorema. (Primer teorema de Sylow) Sea $p$ un factor primo del orden de un grupo y sea $p^{k}$ , $k\geq 1$ , un divisor del orden del grupo. Entonces, hay al menos un subgrupo de orden $p^{k}$ en $G$ .

Definición. ( $p$ --Sylow subgrupo) Sea $G$ un grupo y $p$ un número primo.
Llamamos $p$ --Sylow subgrupo de $G$ al subgrupo de orden $p^{r}$ . tal que $p^{r}$ es la máxima potencia de $p$ que divide el orden de $G$ .

Notemos que del teorema de Sylow sigue la existencia de un $p$ --Sylow subgrupo de cualquier grupo con $p$ un divisor del orden de $G$ . Cuando $p\nmid |G|$ , el subgrupo trivial $\{e\}$ es el $p$ --Sylow subgrupo de $G$ .
Como aplicaciones de los teoremas anteriores tendríamos, por ejemplo, las siguientes afirmaciones.

Un grupo de orden 6 tiene al menos un grupo de orden 3 y uno de orden 2.
Un grupo de orden 12 tiene subgrupos de orden 2, 3 y 4.
Un grupo de orden 15 tiene subgrupos de orden 3 y 5.

(Demostración del teorema de Cauchy)
(Caso Abeliano.) Sea $G$ un grupo abeliano cuyo orden $n$ es divisible por el primo $p$ . Sabemos por ejemplos anteriores, que el resultado de la proposición es válido cuando $n=2,3,4,5,6$ . Razonando por inducción, supondremos el resultado válido para grupos de orden inferior a $n>6$ . Sea $x$ un elemento del grupo con $o(x)=m>1$ . Si $p|m$ tenemos que $x^{m/p}$ es un elemento con orden $p$ . Supongamos, entonces, que $p\nmid m$ y consideremos el subgrupo $\langle x\rangle$ que tiene orden $m$ que es por el teorema de Lagrange un divisor de $n$ . Como $p\nmid m$ , $m$ no puede ser igual a $n$ por lo que $m$ es un divisor propio de $n$ , y lo mismo pasa con el índice $[G:\langle x\rangle ]$ . Luego, $|G/\langle x\rangle |=n/m>1$ . Como $p|n$ , pero $p\nmid m$ , tenemos que $p|(n/m)$ . Como $n/m<n$ , aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que hay un elemento $v$ de orden $p$ en $G/\langle x\rangle$ . Sea $u$ tal que $v=u\langle x\rangle$ , entonces $v^{p}=u^{p}\langle x\rangle$ implica que $u^{p}$ es un elemento de $\langle x\rangle$ , digamos que $u^{p}=x^{t}$ . Sea $k=o(x^{t})$ , como $k|m$ , tenemos que $p\nmid k$ . Entonces, $(u^{k})^{p}=(u^{p})^{k}=(x^{t})^{k}=e.$
En consecuencia, tenemos que $o(u^{k})$ es igual a 1 o a $p$ . Si $o(u^{k})=1$ , se tendría que $o(v^{k})=1$ . Como el orden de $v$ es $p$ , lo anterior,implicaría que $p|1$ , lo que es imposible, luego, el orden de $u^{k}$ es $p$ . Lo que acaba la demostración del caso abeliano.
(Caso no abeliano.) Sea $G$ un grupo no abeliano tal que el orden $n$ de $G$ es divisible por $p$ . Sabemos que el resultado es válido para $n=6$ , el menor grupo no abeliano es ${\textsf {S}}_{3}$ . Supongamos el resultado válido para todos los grupos con orden inferior a $n$ . Consideremos la ecuación de clases de $G$ ,
$|G|=|Z(G)|\quad +\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C_{G(a)}].$
Si $p$ divide el orden de alguno de los $|C(a)|$ , por inducción, este subgrupo propio de $G$ contendrá un elemento de orden $p$ , que será un elemento de orden $p$ de $G$ .
En caso contrario, como $p$ divide al orden de $G$ , $p$ será un factor de $[G:C(a)]=|G|/|C(a)|$ , para todo $a$ en $D\setminus Z(G)$ . Como $p$ divide a $|G|$ , sigue de la ecuación de clases que $p$ divide el orden de $Z(G)$ , Como $Z(G)$ es abeliano, sigue del caso anterior, que hay un elemento de orden $p$ en $Z(G)$ y, por lo tanto, en $G$ .

(Demostración del teorema de Sylow.) Sea $G$ un grupo con orden $p^{k}n$ donde $p$ es primo y $p\nmid n$ . La demostración será por inducción sobre el orden del grupo. Sigue de los ejemplos, que el teorema es válido para grupos con ordenes pequeños. Analicemos la ecuación de clase para el grupo $|G|=|Z(G)|+\sum _{a\in D\setminus Z(G)}[G:C(a)].$
Supongamos que $p$ no divide uno de los índices $[G:C(a)]$ que aparecen en la ecuación. Entonces, $p^{k}$ debe dividir el orden de $C(a)$ que, por no estar $a$ en el centro del grupo, es un subgrupo propio de $G$ . Se tiene, entonces, por inducción, que $C(a)$ contiene un subgrupo de orden $p^{k}$ , por lo que $G$ contiene un subgrupo de orden $p^{k}$ .
En caso contrario, se tiene que $p$ divide el orden del centro. Sea $x$ cualquier elemento de orden $p$ en $\mathbb {Z} (G)$ (que siempre hay por el teorema de Cauchy) y consideremos al grupo cociente $G/\langle x\rangle$ , cuyo orden es $p^{k-1}n$ . Nuevamente, por inducción, tenemos al existencia de un subgrupo $J$ de $G/\langle x\rangle$ de orden $p^{k-1}$ , Sea $H$ la preimagen de $J$ por el supramorfismo canónico que envía cada elemento de $G$ en su coclase respecto a $\langle x\rangle$ . $H$ es un subgrupo de $G$ y su orden es $|J||\langle x\rangle |=p^{k-1}p=p^{k}$ .

Observación. Hablamos de primer teorema de Sylow, porque hay otros que teoremas que establecen entre otras cosas que todos los $p$ --Sylow subgrupos (puede haber varios) son conjugados entre sí, que la cantidad de tales subgrupos es un divisor del orden del grupo, que dicha cantidad es congruente con 1 módulo $p$ y que cada subgrupo de orden una potencia de $p$ está contenido en exactamente un $p$ --Sylow subgrupo. Tales resultados son muy útiles para la clasificación de subgrupos finitos. Sin embargo, exceden los propósitos de este texto. Ver los comentarios al final del capítulo.

Ejemplo
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El ejemplo de esta sección nos servirá para ilustrar que la relación de ser subgrupo normal no es transitiva y que puede haber grupos tales que no hay un subgrupo cuyo orden sea un divisor dado del grupo.

Rotaciones del tetraedro regular.

Consideremos al tetraedro regular con vértices llamados 1, 2, 3 y 4. Consideraremos, inicialmente, rotaciones por 120 grados alrededor de un eje que pasa por uno de los vértices y el centro de la cara opuesta, Dichas rotaciones fijan uno de los vértices y permutan los otros tres, por lo que las indicaremos como permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ , es decir permutaciones de ${\textsf {S}}_{4}$ .
Sean ${\begin{array}{ll}a=(123)\quad &{\text{rotación que fija 4}}\\b=(124)\quad &{\text{rotación que fija 3}}\\c=(143)\quad &{\text{rotación que fija 2}}\\d=(234)\quad &{\text{rotación que fija 1}}\end{array}}$
Sea $T=\langle a,b,c,d\rangle$ . Notemos que cada una de las rotaciones anteriores tiene orden 3. Además son distintas entre si, al igual que sus cuadrados (notar que dejan fijo un vértice distinto). Notemos que el conjunto producto de $\langle a\rangle$ y $\langle b\rangle$ tiene 9 elementos. Por lo que el orden de $T$ será 12 o 24---los únicos divisores de 24 mayores o iguales a 9. Notemos que la permutación $(12)$ de ${\textsf {S}}_{4}$ no puede pertenecer a $T$ ya que representa una transformación imposible para un tetraedro rígido. Por lo que $|T|=12$ .
Notemos que sigue del razonamiento anterior que cualquier par de esas rotaciones genera a todo el grupo. Sean $x=ab$ , $y=ac$ y $z=ad$ . Entonces, todos ellos son elementos de orden 2, ya que

$x=ab=(123)(124)=(13)(24)$ .
$y=ac=(123)(143)=(14)(23)$ .
$z=ad=(123)(234)=(12)(34)$

Aplicando el teorema de Sylow a $T$ cuyo orden 12 es igual a $2^{2}*3$ vemos que $T$ debe tener subgrupos de ordenes $2$ , $4$ y $3$ . Subgrupos de orden $2$ son obviamente $\langle x\rangle$ , $\langle y\rangle$ y $\langle z\rangle$ . El $2$ --Sylow subgrupo de $T$ tiene cuatro elementos, por lo que no puede contener ninguna de las rotaciones, por lo que debe ser $V=\{id,x,y,z\}$ . Notemos que como cada elemento de $V$ es su propio inverso, por lo que $V$ es isomorfo al grupo de Klein. Observemos que $a^{-1}x=b$ , por lo que $\langle a,x\rangle =\langle a,b\rangle =T$ .
Todos los elementos fuera de $V$ tienen orden 3, por lo que los conjugados de elementos de $V$ serán elementos de $V$ y $V$ es por lo tanto normal en $T$ . Hay cuatro 3--Sylow subgrupos: $\langle a\rangle$ , $\langle b\rangle$ , $\langle c\rangle$ y $\langle d\rangle$ . Se puede verificar que ninguno de ellos es normal en $G$ .
Usaremos el grupo $T$ para ilustrar dos situaciones interesantes. Sea $W=\{id,z\}$ . Como $z^{2}=id$ se tiene que $W$ es un subgrupo de $V$ y, en consecuencia, de $T$ . Como subgrupo de $V$ es normal en $V$ , ya que $V$ es abeliano. Computando un conjugado,
$b*z*b^{-1}=(124)(12)(34)(142)=(13)(24)=x,$
vemos que $W$ no es normal en $T$ . Es decir que la relación de ser normal no es transitiva.
Se tiene que 6 es un divisor del orden de $T$ . ¿Hay algún subgrupo de orden 6 en $T$ ? Supongamos que $H$ fuera un subgrupo de orden 6 de $T$ . Entonces, $H$ debe contener un elemento de orden 3 y uno de orden 2. Observemos que $H$ solamente puede contener uno de los $a$ , $b$ , $c$ y $d$ por que un subgrupo conteniendo 2 de ellos es igual a $T$ . Análogamente, solamente uno de los elementos de orden 2 están en ese grupo, ya que dos de ellos generan un subgrupo de orden 4. Supongamos que $ad$ fuera el elemento de orden 2. Si $a$ está en $H$ , $a^{2}$ está en $H$ y $a^{2}\cdot ad=d$ , l que no puede ser. Si $b$ está en $H$ tenemos que $b\cdot ad$ estaría en $H$ , pero $b\cdot ad=(124)(12)(34)=(143)=c$ , lo que es imposible. Si $c$ está en $H$ , también lo estaría $c\cdot ad=(143)(12)(34)=(124)=b$ , imposible. Finalmente, si $d$ estuviera en $H$ , también estaría $ad\cdot d^{2}=a$ , lo que, nuevamente, es imposible. Repitiendo lo anterior con $ac$ y $ab$ , se ve que es imposible la existencia de un subgrupo con 6 elementos.

Ejercicios del Capítulo
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Sea $G$ un grupo abeliano y sean $a$ y $b$ elementos de $G$ tales que el orden de $a$ es $p$ y el orden de $b$ es $q$ . Probar que el orden de $ab$ es igual al mínimo común múltiplo de $p$ y $q$ . (Probar que si $r$ es un múltiplo común de $p$ y $q$ , entonces $(ab)^{r}=e$ ).
Probar que los grupos abelianos de orden 16 son ${\textsf {C}}_{16}$ , ${\textsf {C}}_{8}\times {\textsf {C}}_{2}$ , ${\textsf {C}}_{4}\times {\textsf {C}}_{4}$ , ${\textsf {C}}_{4}\times {\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}$ y ${\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}\times {\textsf {C}}_{2}$ .
Listar todos los subgrupos de $\mathbb {Z} _{18}$ .
Clasificar los grupos abelianos de orden 27.
Sea $G$ un grupo abeliano tal que $|G|=pq$ donde $p$ y $q$ son números primos diferentes. Probar que hay elementos $x$ , $y$ tales que $o(x)=p$ y $o(y)=q$ y $G\cong {\textsf {C}}_{p}\times {\textsf {C}}_{q}$ .
Analizar las estructuras posibles para un grupo de orden 8. (Sug: Hay cinco posibles; tres abelianos y dos no abelianas).
Clasificar los grupos de orden 25.
Sea $G=\{a,b:a^{2}=e,b^{3}=e,(ba)^{3}=e\}$ .

Probar que $G$ es un grupo de orden 12.
Probar que $G$ es isomorfo al grupo de las simetrías del tetraedro.

Sea $G$ un grupo cuyo orden es $p^{r}$ , $p$ primo, $r\geq 1$ . Probar, sin usar el teorema de Cauchy, que $G$ tiene un elemento de orden $p$ . (Sugerencia: probar las siguientes afirmaciones.) \begin{enumerate}
Si $G$ es cíclico entonces $G$ tiene un elemento de orden $p$ .
Si $G$ es abeliano entonces $G$ contiene un elemento de orden $p$ . (Considerar cualquiera de sus subgrupos cíclicos).
Si $G$ no es abeliano, probar que su centro tiene un orden divisible por $p$ , por lo que contiene un elemento de orden $p$ . (Usar la ecuación de clases.)

Comentarios
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Teoremas de Sylow. Hablamos de primer teorema de Sylow, porque hay
otros dos teoremas que enunciaremos a continuación. La demostración se puede ver en el Apéndice "Teoremas de Sylow".
Segundo teorema de Sylow. Sea $G$ un grupo. Dos $p$ -grupos de Sylow cualesquiera son conjugados. Además, cualquier $p$ -subgrupo (subgrupo cuyo orden es una potencia de p) está contenido en un $p$ -Sylow subgrupo.
Tercer teorema de Sylow. Sea $G$ un grupo tal que $|G|=p^{r}m$ donde $p$ es un primo que no divide a $m$ . Sea ${\textsf {Syl}}_{p}(G)$ el conjunto de todos los $p$ -Sylow subgrupos de $G$ . Entonces,

$|Syl_{p}(G)|$ es un divisor de m,
$|Syl_{p}(G)|\equiv 1{\pmod {p}}$ .

Los teoremas de Sylow están entre los resultados más importantes en la teoría general de grupos finitos. Las demostraciones aparecen en el Apéndice Teoremas de Sylow.
Muchos otros detalles y demostraciones se pueden hallar en ^[3]

Notas
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13. Las Acciones de Grupos
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Introducción
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Las acciones de un grupo cualquiera sobre un cierto conjunto son generalizaciones de dos importantes acciones:

la acción del grupo simétrico ${\textsf {S}}_{X}$ sobre los elementos de $X,$ mediante permutación de sus elementos, y
la acción del grupo lineal ${\textsf {GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ sobre los puntos del espacio $n$ -dimensional $\mathbb {R} ^{n},$ mediante la multiplicación de una matriz por un vector.

G-conjuntos
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Definición. (G-Conjunto) Sean $G$ un grupo y $X$ un conjunto no vacío. Decimos que $G$ actúa en $X$ cuando hay una función
$\phi :G\times X\longrightarrow X$
tal que, simbolizando $g\cdot x$ a la imagen por $\phi$ de la pareja $(g,x),$ se cumpla que:

$e\cdot x=e\cdot x.$
$(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x).$

En tal situación, decimos que: $\phi$ es una acción de $G$ sobre $X$ o, también, que $X$ es un G-conjunto.

Ejemplos.

Sea $X$ un conjunto no vacío. El grupo simétrico ${\textsf {S}}_{X}$ actúa de manera natural sobre $X,$ mediante la acción definida por $(\sigma ,x)\mapsto \sigma (x).$
La acción de ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ asocia a cada matriz $A$ del grupo y punto $p={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$ el punto $Ap$ (multiplicación de matriz por vector).
Cada grupo $G$ actúa sobre si mismo mediante la acción definida por la operación del grupo.

(Acción por la izquierda) $(g,x)\mapsto gx.$
(Acción por la derecha) $(g,x)\mapsto xg^{-1}.$

Sea $G$ un grupo. Otra acción de $G$ en si mismo mediante es provista por la conjugación. Para cada $g$ en $G,$ recordemos que llamamos conjugación por $g$ a la función de $G$ en si mismo, $C_{g},$ tal que $C_{g}(x)=gxg^{-1}.$
Es fácil verificar que la función
$(g,x)\mapsto C_{g}(x).$
define una acción de $G$ sobre si mismo. \fin

Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G.$ Entonces $G$ actúa en $G/H$ mediante la acción definida por: $(g,xH)\mapsto gxH.$

Observación. Asociado a $G$ -conjuntos, tenemos la noción de $G$ -subconjunto. Un subconjunto $Y$ de un $G$ -conjunto $X$ es un $G$ -subconjunto, ssi, para todo $g$ en $G,$ $y$ en $Y,$ $g\cdot y$ está en $Y$ . También, decimos que $Y$ es G-invariante.

Definición. (G-morfismo) Sean $X,$ $Y$ dos $G$ -conjuntos. Decimos que una función $f:X\longrightarrow Y$ es un $G$ -morfismo, ssi, $f$ permuta con la acción. Es decir, ssi,
$f(g\cdot x)=g\cdot f(x).$

Claramente, la identidad es un $G$ -morfismo y la composición de dos $G$ -morfismos es un $G$ - morfismo.
Cuando no haya riesgo de confusión, de ahora en adelante, podremos escribir simplemente $gx$ en lugar de $g\cdot x.$
La terminología de mono, supra, endo, auto se extiende a $G$ -morfismos con el significado obvio.

Como se cumple que $x\mapsto gx\mapsto g^{-1}(g\cdot x)=ex=x,$ se tiene que cada función $x\mapsto gx$ es invertible. Es decir que podemos definir de manera natural una función
$G\longrightarrow {\textsf {S}}_{X}$
que asigna a cada $g$ en $G,$ la función $x\mapsto gx$ en ${\textsf {S}}_{X}.$ Las suposiciones sobre la acción implican que esa función es un homomorfismo de grupos. De forma recíproca, cuando $\rho :G\longrightarrow S_{X}$ sea un homomorfismo cualquiera de grupos, podemos definir una acción de $G$ en $X$ por:
$(g,x)\mapsto \rho (g)(x).$
Es decir que hay una correspondencia, que se puede probar que es biyectiva, entre acciones de $G$ sobre $X$ y las representaciones (homomorfismos) de $G$ en ${\textsf {S}}_{X}.$ (Representación permutacional del grupo.)
La última correspondencia nos dice también que si $X$ es un $G$ -conjunto y hay un homomorfismo de grupos $\rho :G'\longrightarrow G,$ $X$ es también un $G'$ - conjunto, vía la composición de homomorfismos.

En particular, cuando $H$ sea una subgrupo de $G,$ cada $G$ - conjunto tendrá una estructura de $H$ -conjunto, vía la inclusión, a la que llamaremos la restricción de la acción de G a H.

Definición. (Órbita, Grupo de isotropía) Sean $X$ un $G$ -conjunto y $x$ un elemento de $X.$

Llamamos órbita de $x$ por $G$ al subconjunto de $X$ formado por todos los elementos de $X$ de la forma $gx.$ Notación: $G\cdot x.$
Cuando sólo haya una órbita para la acción del grupo, decimos que el grupo actúa transitivamente, o también que el $G$ -conjunto es transitivo.
Decimos que un elemento $g$ de $G$ fija a $x,$ cuando $gx=x.$
Llamamos grupo de isotropía o estabilizador de $x$ al subconjunto de $G$ formado por todos los elementos de $G$ que fijan a $x.$ $G_{x}:=\{g\in G:gx=x\}.$

Es fácil verificar que $G_{x}$ es un subgrupo de $G$ (de ahí el nombre de grupo). En efecto, $G_{x}$ no es vacío, ya que contiene al neutro. Si $g$ y $h$ están en $G_{x}$ se tiene que:
${\begin{array}{rcl}(gh)x&=&g(hx)=gx=x\quad {\text{y}}\\g^{-1}x&=&g^{-1}(gx)=ex=x.\end{array}}$

Ejemplos.

El grupo ${\textsf {S}}_{X}$ actúa en $X$ de manera transitiva, ya que dados elementos $x,$ $y,$ la transposición $(x\ y)$ toma uno en el otro. Por lo tanto, todos los elementos de $X$ pertenecen a la misma orbita.
El grupo simétrico en $n-1$ elementos puede considerarse actuando en $\{1,2,\ldots ,n-1,n\}$ , por la acción natural sobre $\{1,2,\ldots ,n-1\}.$ Coincide así con el subgrupo de ${\textsf {S}}_{n}$ formado por las permutaciones que dejan a $n$ fijo. Es decir, que podemos identificar el grupo simétrico ${\textsf {S}}_{n-1}$ con el (sub)grupo de isotropía de $n$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ %
Sea $G$ el subgrupo de ${\textsf {S}}_{4}$ generado por $(2\ 3).$ $G$ actúa en $\{1,2,3,4\},$ fijando $1$ y $4$ y permutando $2$ y $3.$ Por lo tanto, tendremos tres órbitas: $\{1\},$ $\{2,3\}$ y $\{4\}.$
La acción (izquierda o derecha) de una grupo en si mismo definida por la operación es una acción transitiva. Es decir que hay una única órbita para la acción que es igual a todo el grupo.
En la acción por conjugación, la órbita de $x$ es la clase de conjugación de $x$ y el grupo de isotropía de $x$ es el centralizador de $x,$ $C_{G}(x)=\{y\in G:yxy^{-1}=x\}=\{y\in G:yx=xy\}.$
El grupo de isotropía de $eH$ por la acción natural de $G$ en $G/H,$ consiste de todos los $g$ en $G$ tales que $g(eH)=eH=H,$ Es decir de todos los $g$ en $H.$ Es decir, el grupo de isotropía de $eH$ coincide con $H.$ Claramente, la acción de $G$ es transitiva sobre $G/H.$

La siguiente proposición es de fácil verificación:
Proposición 1. Sea $\phi :X\longrightarrow Y$ un $G$ -morfismo. Entonces, el grupo de isotropía de $x$ está contenido en el grupo de isotropía de $\phi (x).$ Además, dichos grupos coincidirán, cuando $\phi$ sea inyectiva.

Sean $X$ un $G$ -conjunto, $x,$ $y$ elementos de $X,$ y $z$ un elemento en las órbitas de $x$ y $y.$ Entonces, podremos hallar $g,$ $g'$ en $G$ tales que $z=gx=g'y.$ Por lo que, $x=g^{-1}g'y;$ lo que implica que $x$ está en la órbita de $y$ y viceversa. Por lo tanto, las órbitas o son iguales o no se intersecan. Es decir, las órbitas de la acción de $G$ definen una partición de $X.$ En otras palabras:
Proposición 2. Sea $X$ un $G$ -conjunto. Si definimos la relación $\sim _{G}$ por $x\sim _{G}y,$ ssi, $x=gy$ para algún $g$ en $G,$ se tiene que: $\sim _{G}$ es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia coinciden con las órbitas de $G$ en $X.$
Sea $X$ un $G$ -grupo y sea $x$ un elemento de $X.$
Sea $f_{x}:G\longrightarrow X$ definida por $f_{x}(g)=gx.$ Como $f_{x}(g'g)=(g'g)x=g'(gx)=g'f_{x}(g)$ tendremos que $f_{x}$ es una $G$ -morfismo, cuya imagen es precisamente la órbita de $x.$ Notemos que $gx=g'x$ es equivalente a afirmar que $x=g^{-1}g'x.$ Es decir, que $g^{-1}g'\in G_{x}.$ Esto, a su vez, implica que las clases de equivalencia de $\sim _{f_{x}}$ coinciden con las clases laterales izquierdas de $G$ respecto a $G_{x}.$ En particular, esto nos dice que hay una biyección entre $G/G_{x}$ y $f_{x}(G)=G\cdot x{\text{ (órbita de x)}}.$ Tal biyección es un G-morfismo, o sea que como G-conjuntos son isomórficos.
Sea $H$ un subgrupo cualquiera de $G,$ entonces $G/H$ es de forma natural un $G$ -conjunto. Supongamos que hubiera una $G$ -morfismo $f$ de $G/H$ en $X,$ tal que $f(eH)=x.$ Entonces, como el grupo de isotropía de $eH$ estaría contenido en el grupo de isotropía de $f(x),$ tendríamos que $H$ sería un subgrupo de $G_{x}.$ En forma recíproca, si $H$ es un subgrupo de $G_{x}$ podemos definir $\phi :G/H\longrightarrow X$ por
$\phi (gH)=gx.$
La función estará bien definida, ya que si $g'=gh,$ se tendría que $g'x=(gh)x=g(hx)=gx.$ Además $\phi (eH)=x,$ y $\phi (g'(gH))=\phi ((g'g)H)=(g'g)x=g'(gx)g'\phi (gH);$ Es decir, $\phi$ es un $G$ -morfismo. Es decir, que hemos probado la siguiente proposición.
Proposición 3. Sea $X$ un $G$ -conjunto, $H$ un subgrupo de $G.$ y un $G$ -mor\-fismo $\phi$ de $G/H$ en $X$ tal que $\phi (eH)=x,$ ssi, $H<G_{x}.$ Dicha aplicación es un $G$ -isomorfismo cuando $H=G_{x};$ Es decir, como $G$ -conjuntos son isomorfos $G/G_{x}$ y $G\cdot x$ (la órbita de $x$ ).
Corolario 3.1. Sea $G$ un grupo finito que actúa en el conjunto finito $X.$ Entonces,
$|G|/|G_{x}|=|G:G_{x}|=|G\cdot x|.$

Las órbitas de $G$ en el $G$ -conjunto $X$ determinan una partición de $X.$ Llamaremos conjunto de representantes de las órbitas, a un subconjunto $Y$ de $X$ que contiene exactamente un elemento de cada una de las órbitas.
Corolario 3.2. (Conteo para $G$ -conjuntos) Sea $X$ un $G$ -conjunto finito. Entonces,
$|X|=\sum _{y\in Y}|G:G_{y}|.$
Donde $Y$ es un conjunto de representantes de las órbitas.

Ejercicios
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Sea $G$ un grupo tal que $|G|=p^{n}$ con $p$ primo.

Cada clase de conjugación de $G$ tiene como cardinal una potencia de $p.$
Considere el conjunto formado por todos los elementos cuya clase de conjugación consiste de un sólo elemento. Probar que dicho conjunto no es vacío.
Usando el hecho que: $|G|=\sum |C_{j}|=\sum _{|C_{j}|=1}|C_{j}|+\sum _{|C_{j}|\neq 1}|C_{j}|$
donde los $C_{j}$ denotan a las distintas clases de conjugación de $G,$ concluir que hay elementos diferentes del neutro que tienen clases de conjugación consistentes de un único elemento. ¿Cuál es el número mínimo de esos elementos?

El centro de un grupo consiste de todos aquellos elementos que permutan con todos los elementos del grupo. $z(G):=\{g\in G:\forall x\in G,gx=xg\}.$

Probar que el centro de un grupo es un subgrupo del grupo.
Probar que la clase de conjugación de cada elemento del centro consiste únicamente del elemento. Usar esto para probar que el centro es un subgrupo normal de G.
Probar que el centro de un $p$ -grupo (un grupo cuyo orden es una potencia de $p,$ $p$ primo) es no trivial.

La intersección de una familia de $G$ -conjuntos es un $G$ -conjunto, cuando dicha intersección no es vacía.
Sea $X$ un $G$ -conjunto, $Y$ un subconjunto no vacío de $X.$ Probar que hay un $G$ -subconjunto de $X$ minimal conteniendo a $Y,$ al que simbolizaremos por $\langle Y\rangle$ y llamaremos el $G$ -subconjunto generado por $Y.$
El $G$ -subconjunto generado por un conjunto no vacío $Y$ consiste de todas las órbitas de elementos de $Y.$

Sea $G$ el subgrupo de ${\textsf {S}}_{5}$ generado por $(12)(34)$ y $(12)(35).$ Considérese la acción natural izquierda de $G$ en $\{1,2,3,4,5\}.$ ¿Cuáles son las órbitas de cada elemento? ¿Cuáles son sus grupos de isotropía?
Sean $X,$ $Y$ dos $G$ -conjuntos. Definir una estructura de $G$ -conjunto en $X\times Y$ de modo que las proyecciones sean $G$ -morfismos.
Sea $X$ un conjunto, $X^{n}$ el producto cartesiano de $n$ copias de $X.$ Para $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n},$ definir $\sigma \cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{\sigma ^{-1}(1)},\ldots ,x_{\sigma ^{-1}(n)}).$ Probar que la definición anterior define una acción de ${\textsf {S}}_{n}$ en $X^{n}.$

Los Grupos Geométricos
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El apéndice Los Grupos Geométricos contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, de los grupos asociados a las nociones geométricas.

En esta sección veremos algunas de las acciones de los grupos geométricos del plano.

Acción de las Traslaciones
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Sea P un punto (vector plano) cualquiera del plano y C un vector fijo. La traslación por $C$ es la transformación biyectiva $t_{C}:P\mapsto C+P$ . Luego, $P$ es fijo por $t_{C}$ , ssi, $C+P=P$ , ssi, $C=0$ . Notemos que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi, $t=id$ . Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.
Las traslaciones determinan el subgrupo ${\textsf {T}}_{2}(\mathbb {R} )$ de transformaciones (ver el apéndice citado).
Notemos que dados puntos $A$ y $B$ del plano, poniendo $C=B-A$ , tenemos que $t_{C}(A)=B$ . Es decir que para la acción deel grupo de las traslaciones, el plano tiene una única órbita, lo que equivale a afirmar que el grupo de las traslaciones actúa transitivamente en el plano.

Acción de las Transformaciones Lineales
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El grupo ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ es el grupo de las matrices invertibles 2x2 (equivalentes a las transformaciones lineales invertibles). Cuando $M={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ , su acción sobre un punto $P$ (representado por una matrix columna) es la multiplicación de matrices. Es decir,
$M(P)=MP={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ap_{1}+bp_{2}\\cp_{1}+dp_{2}\end{bmatrix}}.$
Se verifica (ver apéndice Los Grupos Geométricos) que cuando $u$ es un elemento de ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ , $u$ envía líneas sobre líneas y preserva el paralelismo (si dos líneas son paralelas, sus imágenes también lo son).
Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por ${\textsf {Rot}}_{0}$ , se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por
${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\operatorname {sen}(\theta )\\\operatorname {sen}(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}},$
donde $\theta$ es el ángulo de la rotación.
Un cómputo algebraico prueba que si $r\neq id$ es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por $r$ es el origen. Cuando $P\neq (0,0)$ , se tiene que la orbita de $P$ es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de $P$ al origen.

Clasificación de las Congruencias
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Ilustraremos la importancia de la noción de punto fijo, clasificando a las congruencias, es decir haciendo un listado de todas las posibles congruencias del plano.
Usaremos el siguiente resultado de la Geometría (ver apéndice citado arriba).
Proposición 4. Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos.
Llamamos simetral ortogonal de los puntos a la línea de la proposición.
Notemos que dada una línea $\ell$ la reflexión $\sigma$ entorno a esa línea, fija cada punto de la línea, y envía cada punto $P$ que no está en la línea en un punto $\sigma (P)$ tal que la línea es la simetral ortogonal de $P$ y $\sigma (P)$ .
Sea $f$ una congruencia del plano.

Si $f$ tiene tres puntos no colineales fijos entonces $f=id$ ; es decir $f$ deja a todos los puntos fijos. Supongamos que $A$ , $B$ y $C$ son los tres puntos fijos. Supongamos que $f\neq id$ , es decir supongamos que hay un punto $P$ tal que $f(P)\neq P$ . Sea $X$ fijo por $f$ , o sea $f(X)=X$ . Entonces, $d(f(P),X)=d(f(P),f(X))=d(P,X)$ .
Lo que dice que $X$ equidista de $P$ y $f(P)$ , por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que $A$ , $B$ y $C$ son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que $f$ debe ser la identidad.

Si $f$ tiene dos puntos fijos, $f$ es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos. Sean $A$ y $B$ los puntos fijos. Supongamos que $f$ no es la identidad. Entonces, debe haber un punto $P$ que no es colineal con $A$ y $B$ , tal que $f(P)\neq P$ . Sea $\sigma$ la reflexión en la simetral ortogonal $\ell$ de $P$ y $f(P)$ . Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que $A$ y $B$ están en $\ell$ , por lo que son fijas por $\sigma$ . Tenemos entonces, que $\sigma (f(A))=A,\quad \sigma (f(B))=B,\quad {\text{ y }}\sigma (f(P))=P,$ por lo que $\sigma f$ es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que $\sigma f=id$ , de donde, $\sigma \sigma f=\sigma$ , de donde $f=\sigma$ .
Si $f$ tiene un único punto fijo, entonces $f$ es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo. Sea $A$ el punto fijo. Entonces, para todo $P\neq A$ , $f(P)\neq P$ . Razonando como arriba, $A$ pertenece a la simetral ortogonal a $P$ y $f(P)$ . Sea $\sigma$ la reflexión entorno a esa simetral. Entonces, $\sigma (f(A))=\sigma (A)=A,\quad \sigma (f(P))=P.$
Por lo tanto, $\sigma f$ es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que $\sigma f=\sigma _{1}$ . Luego, (multiplicando por $\sigma$ en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1 </math>.

Si $f$ no tiene puntos fijos, $f$ es el producto de tres reflexiones. Sea $A$ un punto cualquiera y sea $\sigma$ la reflexión entorno a la simetral ortogonal de $A$ y $f(A)$ . Entonces, $\sigma (f(A))=A$ , lo que prueba que $\sigma f$ tiene un punto fijo, por lo que es un producto de dos reflexiones, digamos $\sigma _{1}\sigma _{2}$ . Procediendo, como arriba, se tiene que $f=\sigma \sigma _{1}\sigma _{2}$ .

Los razonamientos anteriores prueban el siguiente teorema.
Teorema de Cartan--Dieudonné Cada congruencia del plano es el producto de a lo más tres reflexiones.

Notemos que los cómputos anteriores muestran que las rotaciones son producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan. Se puede probar que el producto de dos reflexiones cuyos ejes son paralelos es una traslación.

Ejercicios
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Sea $A$ un punto del plano. Verificar que las congruencias que fijan al punto $A$ forman un grupo de transformaciones
Sea $A$ un punto del plano. Probar que las rotaciones alrededor de $A$ forman un grupo ${\textsf {Rot}}_{A}$ . Sea $t=t_{A}$ y sea $r$ una rotación alrededor del origen, o sea un elemento de ${\textsf {Rot}}_{0}$ .

Probar que $trt^{-1}$ es una rotación alrededor de $A$ .
Probar que ${\textsf {Rot}}_{A}$ y ${\textsf {Rot}}_{0}$ son subgrupos conjugados del grupo de transformaciones del plano.

Una simetría central con centro en un punto $C$ es una transformación $s_{C}$ que envía cada punto $P$ en un punto $s_{C}(P)=2C-P$ .

Probar que $C=(1/2)(P+s_{C}(P))$ (punto medio entre $P$ y su imagen.
Probar que las líneas que pasan por $P$ quedan fijas globalmente por $s_{C}$ .
Probar que $s_{C}^{2}=d$ y que $s_{C}s_{D}$ , $C\neq D$ es una traslación.
Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
Si $C$ es el origen, $s_{C}$ es lineal. Hallar la correspondiente matriz.

Representación Lineal de Grupos
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Esta sección requiere un conocimiento de nociones básicas de Álgebra Lineal.

El objetivo de la sección es ver como podemos obtener para cualquier grupo, un grupo de matrices isomorfo. Podemos considerarlo tanto como una generalización o una concretization del teorema de Cayley por grupos de permutaciones, dependiendo de la familiaridad con el Álgebra Lineal. La teoría de las representaciones lineales iniciadas a fines del siglo XIX por Frobenius ^[4]. ha sido, es y continuará siendo un área activa, ya que permite un muy buen entendimiento de los grupos.
Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión $n$ . Lo que significa que hay una base de $n$ vectores en $E$ , es decir un conjunto $\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ tal que cada vector $x$ de $E$ puede escribirse de una única manera como
$x=\alpha _{1}e_{1}+\dots +\alpha _{n}e_{n}.$
Cada transformación lineal de $E$ en si mismo, tiene asociada una matriz, cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base. Las transformaciones lineales biyectivas (isomorfismos lineales) tiene asociadas matrices $n\times n$ invertibles, que determinan un grupo, el grupo lineal de $E$ , ${\textsf {GL}}_{n}(k)$

Definición. (Representación Lineal) Sea $E$ un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera $k$ . Sea $G$ un grupo. Una representación de $G$ en $E$ es un homomorfismo de grupos
$\rho :G\longrightarrow {\textsf {GL}}_{n}(K).$

Tal homomorfismo define una acción de $G$ en $E$ por
$g\cdot x=\rho (g)(x).$
Cada grupo $G$ tiene varias representaciones lineales posibles, qu aunque no siempre e pueden determinar el grupo, usualmente proveen valiosa información sobre el mismo. A nosotros nos interesara una representación en particular: la representación regular, que definiremos a continuación.
Sea $G=\{g_{1}=e,g_{2},\ldots ,g_{n}\}$ . Asociaremos con el grupo $G$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$ (que puede ser los Reales, los Complejos u otro cualquiera) denotado por $k[G]$ y formado por todas las expresiones

$\alpha _{1}g_{1}+\dots \alpha _{n}g_{n}.$

Se define una suma y una multiplicación por escalares de modo que $G$ es una base de $k[G]$ , es decir si $x=\sum _{i}\alpha _{i}g_{i}$ y $y=\sum _{i}\beta _{i}g_{i}$ , entonces
${\begin{array}{rcl}x+y&:=&\sum _{i}(\alpha _{i}+\beta _{i})g_{i}\\\alpha x&:=&\sum _{i}(\alpha \alpha _{i})g_{i}\end{array}}$
Además, podemos definir una multiplicación en $k[G]$ usando la multiplicación del grupo
$xy:=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}g_{i}*g_{j},$
donde $*$ es la multiplicación del grupo. Esta multiplicación provee a $k[G]$ con una estructura de álgebra (anillo con operaciones compatibles con la multiplicación por escalar.
Para cada $g$ en $G$ la multiplicación $g$ produce una transformación lineal $L(g)$ de $k[G]$ . Además, $L(gh)=L(g)L(h)$ es decir que tenemos una representación del grupo $G$ por las matrices de la forma $L(g)$ . Es fácil verifica que la correspondencia $g\mapsto L_{g}$ es inyectiva. Esdecir que $G$ es isomorfo a un grupo de matrices, subgrupo de del grupo de isomorfismos lineales de $k[G]$ .
La matriz de cada $L(g)$ tiene una forma peculiar. En efecto, como su efecto en la base $G$ es una multiplicación por la izquierda en $G$ es una permutación de $G$ . Luego, la matriz
$L(g)={\begin{bmatrix}gg_{1}&gg_{2}&\dots &gg_{n}\end{bmatrix}}.$
Como $gg_{i}$ es un elemento de $G$ digamos que $gg_{i}=g_{j}$ , la $i$ --ésima columna de $L(g)$ , correspondiente a las coordenadas de $gg_{i}$ , tiene un 0 en cada posición, excepto en la $j$ --ésima fila donde aparece un 1. (En otras palabras, las matrices $L(g)$ tienen como columnas permutaciones de las columnas de la matrix identidad.
Ejemplo.

Sea $G={\textsf {C}}_{4}=\{g_{1}=e,g_{2}=a,g_{3}=a_{2},g_{4}=a^{3}\}$

[Apen-1] 1,0 ^1,1 Ver Apéndice sobre Funciones.

[2] (BB) Bourbaki

[3] (BB) Dubreil

[4] (BB) Jacobson

[5] Además, han surgido recientemente otras estructuras con una operación tales como grupoides, lazos, etc.

[6] Abeliano, en honor al matemático noruego N.H. Abel (1802--1829).

[7] Ver apéndice sobre Sistemas Numéricos

[8] Llamamos parámetros de una estructura a todos los componentes diferentes del conjunto base.

[9] En honor a N. H. Abel (1802-1829)

[10] Felix Klein (1802)

[11] Los grupos cíclicos

[12] Louis Evariste Galois (1811-1832)

[13] Véase el apéndice La teoría de las Estructuras Algebraicas.

[14] Por parámetros u operaciones de una estructura, nos referimos a todos los componentes de la misma diferentes del conjunto base.

[15] Véase el apéndice Teoría de Estructuras Algebraicas.

[16] Si no tiene mucha familiaridad con matrices, poner n=2.

[17] Ver, por ejemplo (BB) Dean pag. 152.

[18] (BB) Dieudonné

[19] (WEB) Curso de Geometría

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a. [7]+ [2]	b. [8]*[5]	c. -([3]*[6])
d. 1/[3]	e. 1/[5]	f. 1/[7]