Álgebra/Teoría de grupos/Grupos

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Semigrupos, monoides y grupos[editar]

Definición 1.1: Sea un conjunto. Una aplicación



se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en . La imagen de cualquier par bajo la operación se representa por , en lugar de o de . Cuando el símbolo que representa la operación es , entonces la imagen de bajo la operación suele representarse también por .

Una operación binaria sobre un conjunto se dice asociativa si


para cualesquiera y de . Cuando para cualesquiera de se cumple , se dice que la operación es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos o para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.


Definición 1.2: Sea un conjunto y una operación binaria en . Se dice que el par es un semigrupo si la operación es asociativa. Si, además, existe un elemento tal que


entonces el par se llama un monoide.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide simplemente como el monoide , haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide , y es único, pues si fuera otro elemento de con las mismas propiedades, entonces . Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por al cardinal de un monoide . Si es el elemento de un monoide y es un entero positivo, definimos


Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos en lugar de .

Sea un monoide y elementos de con . Se define inductivamente el producto de como


Definimos


Con estas definiciones, se cumple el


Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea un monoide y elementos de . Entonces


Demostración: Por inducción sobre . Para es evidente. Supuesto cierto para , vemos que

lo que demuestra el teorema.


Se dice que un monoide es conmutativo si su operación es conmutativa.


Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea un monoide conmutativo y elementos de . Sea una aplicación del conjunto sobre sí mismo. Entonces



Demostración: Por inducción sobre . Para es evidente. Supóngase cierto para . Sea el entero tal que . Entonces,

Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación por

Así tenemos que

donde por hipótesis de inducción, y así



Definición 1.5: Sea un monoide. Un elemento de se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento , llamado inverso izquierdo de (resp. inverso derecho de ), tal que (resp. ). Se llama invertible a un elemento que es invertible por ambos lados.

Si un elemento de un monoide es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si y son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de , entonces .

Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo de existe de tal que


El elemento aludido en la definición anterior se llama inverso de y es único, pues si es otro inverso de , entonces . En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de se denota, respectivamente, por y .

Se define


En notación aditiva se escribe en lugar de .

Un grupo en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que para cualesquiera y de , se dice grupo abeliano.


El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos

Teorema 1.7: Sea un grupo y elementos de . Se cumplen

(G-1) implica
(G-2) implica
(G-3)
(G-4)
(G-5)


Demostración: (G-1) Si , entonces . (G-2) Si , entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por se obtiene . (G-3) . (G-4) , de modo que es inverso de , pero éste es único, así es que ha de ser . (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.


Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.


Teorema 1.8: Un semigrupo es un grupo si y sólo si

  1. existe una identidad por la izquierda tal que para todo elemento de , ;
  2. todo elemento de tiene un inverso por la izquierda .


Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte, cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de


se deduce que , por lo que es también inverso de por la derecha. Además, , por lo que 1 es también una identidad por la derecha en , luego es un grupo.


Teorema 1.9: Un semigrupo es un grupo si y sólo si para cualesquiera y de las ecuaciones



tienen soluciones únicas en .

Demostración: Si es un grupo, entonces las soluciones de y en son y . Recíprocamente, si es un semigrupo en el que las ecuaciones y tienen soluciones únicas, entonces, tomando , tenemos que existen y tales que


y si es un elemento cualquiera de , entonces también existen y de tales que


de modo que

(1.1


y

(1.2


Puesto que es cualquier elemento de , podemos tomar en (1.1)

y  en (1.2)

, obteniendo y , luego es la identidad de . Ahora, si y son las soluciones de y , entonces y son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de , y como vimos, debe de ser . Esto prueba que es un grupo.