Semigrupos, monoides y grupos
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Definición 1.1: Sea
un conjunto. Una aplicación
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se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en
. La imagen de cualquier par
bajo la operación
se representa por
, en lugar de
o de
. Cuando el símbolo que representa la operación es
, entonces la imagen de
bajo la operación
suele representarse también por
.
Una operación binaria
sobre un conjunto
se dice asociativa si
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para cualesquiera
y
de
. Cuando para cualesquiera
de
se cumple
, se dice que la operación
es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo
para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos
o
para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.
Definición 1.2: Sea
un conjunto y
una operación binaria en
. Se dice que el par
es un semigrupo si la operación
es asociativa. Si, además, existe un elemento
tal que
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entonces el par
se llama un monoide.
En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide
simplemente como el monoide
, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.
El elemento
aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide
, y es único, pues si
fuera otro elemento de
con las mismas propiedades, entonces
. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.
Representaremos por
al cardinal de un monoide
.
Si
es el elemento de un monoide
y
es un entero positivo, definimos
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Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos
en lugar de
.
Sea
un monoide y
elementos de
con
. Se define inductivamente el producto de
como
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Definimos
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Con estas definiciones, se cumple el
Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea
un monoide y
elementos de
. Entonces
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Se dice que un monoide
es conmutativo si su operación es conmutativa.
Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea
un monoide conmutativo y
elementos de
. Sea
una aplicación del conjunto
sobre sí mismo. Entonces
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Demostración: Por inducción sobre
. Para
es evidente. Supóngase cierto para
. Sea
el entero tal que
. Entonces,
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Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación
por
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Así tenemos que
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donde
por hipótesis de inducción, y así
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Definición 1.5: Sea
un monoide. Un elemento
de
se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento
, llamado inverso izquierdo de
(resp. inverso derecho de
), tal que
(resp.
). Se llama invertible a un elemento
que es invertible por ambos lados.
Si un elemento
de un monoide
es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si
y
son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de
, entonces
.
Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide
cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo
de
existe
de
tal que
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El elemento
aludido en la definición anterior se llama inverso de
y es único, pues si
es otro inverso de
, entonces
. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de
se denota, respectivamente, por
y
.
Se define
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En notación aditiva se escribe
en lugar de
.
Un grupo
en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que
para cualesquiera
y
de
, se dice grupo abeliano.
El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos
Teorema 1.7: Sea
un grupo y
elementos de
. Se cumplen
- (G-1)
implica 
- (G-2)
implica 
- (G-3)

- (G-4)

- (G-5)

Demostración: (G-1) Si

, entonces

. (G-2) Si

, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por

se obtiene

. (G-3)

. (G-4)

, de modo que

es inverso de

, pero éste es único, así es que ha de ser

. (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.

Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.
Teorema 1.8: Un semigrupo
es un grupo si y sólo si
- existe una identidad por la izquierda
tal que para todo elemento
de
,
;
- todo elemento
de
tiene un inverso por la izquierda
.
Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte,
cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de
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se deduce que

, por lo que

es también inverso de

por la derecha. Además,

, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en

, luego

es un grupo.

Teorema 1.9: Un semigrupo
es un grupo si y sólo si para cualesquiera
y
de
las ecuaciones
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tienen soluciones únicas en
.
Demostración: Si
es un grupo, entonces las soluciones de
y
en
son
y
. Recíprocamente, si
es un semigrupo en el que las ecuaciones
y
tienen soluciones únicas, entonces, tomando
, tenemos que existen
y
tales que
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y si
es un elemento cualquiera de
, entonces también existen
y
de
tales que
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de modo que
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(1.1)
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y
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(1.2)
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Puesto que
es cualquier elemento de
, podemos tomar
en (1.1)
y
en (1.2)
, obteniendo

y

, luego

es la identidad de

. Ahora, si

y

son las soluciones de

y

, entonces

y

son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de

, y como vimos, debe de ser

. Esto prueba que

es un grupo.
