Semigrupos, monoides y grupos
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Definición 1.1: Sea
un conjunto. Una aplicación
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se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en
. La imagen de cualquier par
bajo la operación
se representa por
, en lugar de
o de
. Cuando el símbolo que representa la operación es
, entonces la imagen de
bajo la operación
suele representarse también por
.
Una operación binaria
sobre un conjunto
se dice asociativa si
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para cualesquiera
y
de
. Cuando para cualesquiera
de
se cumple
, se dice que la operación
es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo
para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos
o
para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.
Definición 1.2: Sea
un conjunto y
una operación binaria en
. Se dice que el par
es un semigrupo si la operación
es asociativa. Si, además, existe un elemento
tal que
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entonces el par
se llama un monoide.
En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide
simplemente como el monoide
, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.
El elemento
aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide
, y es único, pues si
fuera otro elemento de
con las mismas propiedades, entonces
. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.
Representaremos por
al cardinal de un monoide
.
Si
es el elemento de un monoide
y
es un entero positivo, definimos
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Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos
en lugar de
.
Sea
un monoide y
elementos de
con
. Se define inductivamente el producto de
como
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Definimos
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Con estas definiciones, se cumple el
Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea
un monoide y
elementos de
. Entonces
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Se dice que un monoide
es conmutativo si su operación es conmutativa.
Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea
un monoide conmutativo y
elementos de
. Sea
una aplicación del conjunto
sobre sí mismo. Entonces
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Demostración: Por inducción sobre
. Para
es evidente. Supóngase cierto para
. Sea
el entero tal que
. Entonces,
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Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación
por
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Así tenemos que
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donde
por hipótesis de inducción, y así
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Definición 1.5: Sea
un monoide. Un elemento
de
se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento
, llamado inverso izquierdo de
(resp. inverso derecho de
), tal que
(resp.
). Se llama invertible a un elemento
que es invertible por ambos lados.
Si un elemento
de un monoide
es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si
y
son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de
, entonces
.
Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide
cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo
de
existe
de
tal que
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El elemento
aludido en la definición anterior se llama inverso de
y es único, pues si
es otro inverso de
, entonces
. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de
se denota, respectivamente, por
y
.
Se define
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En notación aditiva se escribe
en lugar de
.
Un grupo
en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que
para cualesquiera
y
de
, se dice grupo abeliano.
El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos
Teorema 1.7: Sea
un grupo y
elementos de
. Se cumplen
- (G-1)
implica ![{\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)
- (G-2)
implica ![{\displaystyle b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b133a00dc90e54130a96482c99750f845feb955e)
- (G-3)
![{\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75aeb06be476dd8810d1ce8816cde5bddbc789c)
- (G-4)
![{\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f5c96926b3d8867843b4df0ccc01709d76a45f)
- (G-5)
![{\displaystyle (a_{1}\cdots a_{n})^{-1}=a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8f2956c0d947d79ff03dd57522f0245a76e14e)
Demostración: (G-1) Si
![{\displaystyle aa=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1183f12b681ac450fb5301b14a1283a0897ab16f)
, entonces
![{\displaystyle a=a(aa^{-1})=(aa)a^{-1}=aa^{-1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4e4c6070774f0766a86ab520f299a39704de22)
. (G-2) Si
![{\displaystyle ab=ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66bc658be9d643119e9b7fc0df7f0bbe37b99d2)
, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por
![{\displaystyle a^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5709c8d86f7fec8fb86069bf5d15a9eabe564e)
se obtiene
![{\displaystyle b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b133a00dc90e54130a96482c99750f845feb955e)
. (G-3)
![{\displaystyle (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059afc6b833dd4ff3ac429a19d9613ec0df7f14e)
. (G-4)
![{\displaystyle (b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42666d2ad8aaf8cae2c0dd72b97466dfc98aa514)
, de modo que
![{\displaystyle b^{-1}a^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04eadf3b9572ba26f2133e6e8021f483ea7dbfad)
es inverso de
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
, pero éste es único, así es que ha de ser
![{\displaystyle b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04570a8c02f6a22ac3344d2fc71e57bb0bac3a73)
. (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.
Teorema 1.8: Un semigrupo
es un grupo si y sólo si
- existe una identidad por la izquierda
tal que para todo elemento
de
,
;
- todo elemento
de
tiene un inverso por la izquierda
.
Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte,
cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de
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se deduce que
![{\displaystyle aa^{-1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ab9896f2fe53b99dfd6558f43e0053284a2367)
, por lo que
![{\displaystyle a^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5709c8d86f7fec8fb86069bf5d15a9eabe564e)
es también inverso de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
por la derecha. Además,
![{\displaystyle a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa108a30702d25f0972c37a017b116769c97e8f)
, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
, luego
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
es un grupo.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
Teorema 1.9: Un semigrupo
es un grupo si y sólo si para cualesquiera
y
de
las ecuaciones
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tienen soluciones únicas en
.
Demostración: Si
es un grupo, entonces las soluciones de
y
en
son
y
. Recíprocamente, si
es un semigrupo en el que las ecuaciones
y
tienen soluciones únicas, entonces, tomando
, tenemos que existen
y
tales que
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y si
es un elemento cualquiera de
, entonces también existen
y
de
tales que
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de modo que
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(1.1)
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y
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(1.2)
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Puesto que
es cualquier elemento de
, podemos tomar
en (1.1)
y
en (1.2)
, obteniendo
![{\displaystyle e'e=e'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8d43562373c249629178609243750b4ab53114)
y
![{\displaystyle e'e=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c371eb70798c570c2d8475ad11b350456d46d9eb)
, luego
![{\displaystyle e=e'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc71899bcfc70ee6042c4551b52e01dd2f09fc1)
es la identidad de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
. Ahora, si
![{\displaystyle a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743)
y
![{\displaystyle a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee7739ee4f2ff0621c2da9bc4bf98324b9f9e33)
son las soluciones de
![{\displaystyle ax=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4e28e4983f32800655e0753e1e70369af77a54)
y
![{\displaystyle ya=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6089fb2606731c533317236d92220968c05bc63f)
, entonces
![{\displaystyle a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743)
y
![{\displaystyle a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee7739ee4f2ff0621c2da9bc4bf98324b9f9e33)
son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
, y como vimos, debe de ser
![{\displaystyle a'=a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7603580104d9794a3ec8c985578ee8d948e4aaf)
. Esto prueba que
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
es un grupo.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)