Álgebra Abstracta/Sistemas Numéricos

Introducción

Los Sistemas Numéricos son los Naturales, los Enteros, los Racionales, los Reales y los Complejos.

Suponemos conocidas las maneras de efectuar computaciones con los elementos de esos conjuntos así como de sus principales propiedades algebraicas. Aquí solamente daremos un resumen de las mismas, algunas veces con una demostración, cuando no suponemos conocida la demostración.

Formalmente, uno tiene dos caminos para proceder con los Sistemas Numéricos.

1. La primera vía es suponer la existencia de los Reales (presentados como un cuerpo ordenado completo) y deducir la existencia y propiedades del resto de los sistemas numéricos. Esa será la vía que adoptaremos. El lector interesado puede, por ejemplo mirar a (BB) Spivak.
2. La otras vía es comenzar con los axiomas de Peano para los números naturales para, posteriormente, construir los otros sistemas numéricos.

Los Números Reales

El conjunto de números Reales se puede identificar con las expansiones decimales (finitas e infinitas). Formalmente, se supone que determinan un cuerpo ordenado completo.

La noción de cuerpo se estudia en el texto en los capítulos Los Anillos y Extensiones de Cuerpos. Un cuerpo es ordenado cuando hay una relación de orden total compatible con las operaciones. La noción de completo es más delicada, formalmente se pide axiomáticamente que "cualquier subconjunto no vacío tal que ha un número mayor que cada uno de sus elementos (cota superior), tiene una cota superior estricta, menor o igual que cualquier otra cota superior". Ese postulado implica entre otras cosas que cada expansión decimal representa a un número real, que los naturales no tienen cota superior (Propiedad Arquimediana) y que cada sucesión de Cauchy converge. Aunque esas propiedades son muy importantes,para los efectos del texto consideraremos principalmente las nociones de cuerpo y orden. Nuestro desarrollo no será, por lo tanto, totalmente formal.

Los Naturales ($\mathbb {N}$), los Enteros ($\mathbb {Z}$) y los Racionales que veremos a continuación son subconjuntos de los Reales. Los Complejos que veremos más tarde, son una extensión de los Reales, o sea que los contienen.

Los Números Naturales

Decimos que un subconjunto $S$ de los Reales es un conjunto inductivo, ssi, (i) $S$ contiene al cero (0) y (ii) cuando $x$ está en $S$, entonces $k+1$ también está en $S$. Observemos que $\mathbb {R}$ mismo es un conjunto inductivo.

Definición. (Naturales, $\mathbf {\mathbb {N} }$) Llamamos Naturales al subconjunto de $\mathbb {R}$ que es la intersección de todos los conjuntos inductivos en $\mathbb {R}$. Un número natural es un elemento de $\mathbb {N}$.

Claramente, $\mathbb {N}$ es un conjunto inductivo que está contenido en cualquier conjunto inductivo. Aplicando la definición tenemos que

$\mathbb {N} =\{0,\,1,\,2,\,\dots \}.$

Observemos, que siguiendo las tendencias recientes, incluimos al 0 en los naturales.

La definición nos dice que cuando $S$ sea un conjunto inductivo contenido en $\mathbb {N}$, $S$ deberá ser igual a $\mathbb {N}$ (ya que $\mathbb {N}$ está contenido en cualquier conjunto inductivo de $\mathbb {R}$). Esta observación sirve de fundamento para la propiedad más característica de los Naturales: el principio de inducción matemática, usado frecuentemente en el texto.

Proposición. ( (Primer) Principio de Inducción (PIM)) Sea ${\mathcal {P}}(n)$ un enunciado que tiene sentido para cada número natural. Si se cumple que

1. ${\mathcal {P}}(0)$ es válida, y
2. cuando un entero ${\mathcal {P}}(k)$ es válida, también lo es ${\mathcal {P}}(k+1)$.

Entonces, ${\mathcal {P}}(n)$ es válida para todo número natural.

Demostración: Sea $S$ el conjunto formado por todos los números naturales tales que el enunciado ${\mathcal {P}}(n)$ es válido. Sigue de las hipótesis de la proposición, que $S$ es un conjunto inductivo. Por lo que concluye que $S$ es igual a $\mathbb {N}$.

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Se puede también probar lo siguiente. Proposición. (Segundo Principio de Inducción) Sea ${\mathcal {P}}(n)$ un enunciado que tiene sentido para cada número natural. Si se cumple que

1. ${\mathcal {P}}(0)$ es válida, y
2. suponiendo la propiedad ${\mathcal {P}}(x)$ válida para todo $x<k$, se concluye que lo es ${\mathcal {P}}(k)$.

Entonces, ${\mathcal {P}}(n)$ es válida para todo número natural.

Se verifica, por inducción, que los Naturales son cerrados respecto a la adición y a la multiplicación (de los Reales). Cuando <mamth>m</math> y $n$ son números naturales, se verifica que $M<n$, ssi, $m-n$ es un natural diferente de 0. De ahí, sigue que cualquier natural diferente de 0 es positivo.

Los Números Enteros

Definición. (Enteros, $\mathbf {\mathbb {Z} }$) Decimos que un número real $z$ es entero, ssi, $z$ es natural positivo o $z=0$ o $-z$ es un natural positivo.

$\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots \}.$

Las Propiedades Básicas de los Enteros

Se verifica que los Enteros son cerrados respecto a la suma, resta y multiplicación. Además la multiplicación es cancelativa. En término de estructuras se trata de un dominio de integridad (ver definiciones en el capítulo Estructuras).

El Orden en los Enteros

Se verifica que $a<b$, ssi, $(b-a)$ es un número natural positivo. Se verifica que $0<1<2<\dots$ Sigue de la definición de entero, que para cada entero $z$ se cumple una, y solo una, de las siguientes alternativas.

${\begin{array}{lclclcl}{\text{(Tricotomía)}}&(i)&z>0\quad &(ii)&z=0\quad &(iii)&-z>0.\end{array}}$

Como cada natural positivo es mayor o igual a 1, no hay un número entero entre $0$ y $1$, ya que por ser no nulo y positivo sería natural positivo. Sigue, en forma inmediata de lo anterior, que cuando $m$ es un número entero no hay entero entre $m$ y $m+1$.

Principio del Buen Orden (PBO)

Una de las propiedades más característica de los Enteros con relación al orden es el Principio del Buen Orden, que tiene bastante uso en el texto..

Proposición. (Principio del Buen Orden) Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb {N}$. Si $S$ no es vacío, contiene un elemento minimal, es decir un número entero que es menor o igual que todos los otros elementos del conjunto.

Demostración: . Supongamos que $S\neq \emptyset$ no tuviera elemento minimal y sea $T$ el complemento en los Naturales de $S$. Tenemos que $0$ no puede estar en $S$, ya que sería un elemento minimal, por lo que $0$ está en $T$. Supongamos que $k\geq 0$ fuera un elemento de $T$. Cualquier número natural menor que $k$ no puede estar en $S$, ya que si hubiera tales números en $S$, el menor entre ellos sería un minimal de $S$. Luego, todos los números en $S$ deben ser mayores o iguales a $(k+1)$; por lo que $(k+1)$ no puede estar en $S$, ya que sería un minimal de $S$. Por lo tanto $k+1$ está en $T$. Por PIM, $T$ debe ser igual a $\mathbb {N}$, pero, esto implica que su complemento $S$ sería vacío, lo que contradice la suposición de que $S$ no fuera vacío.

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Notemos que tal resultado no es válido para los Racionales. En efecto, si consideramos el conjunto de los Racionales formado por todos los recíprocos de enteros positivos, es fácil ver que ese conjunto no tiene un elemento minimal.

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El Algoritmo de la División de los Enteros

El resultado de la siguiente proposición es conocido como el Algoritmo de la División (de Euclides).

Proposición. (Algoritmo de Euclides) Sea $a$ y $b$ números enteros tales que $b>0$. Entonces, hay únicos enteros $q$ (cociente de la división de $a$ por $b$) y $r$ (residuo de la división de $a$ por $b$) tales que

$a=qb+r,{\text{ con }}0\leq r<b.$

Demostración: Suponer que $a\geq 0$. Considerar el conjunto $S=\{a-zb:z\in \mathbb {Z} \}$. Haciendo $z=0$ se ve que $S$ contiene números positivos o cero. Por el PBO, hay un $r=a-qb$ que es el menor de todos ellos. Mostraremos que $r<b$. Si $r\geq b$ entonces, hallaríamos un $r'\geq 0$ tal que $r=r'+b$. Entonces, la relación $r=a-qb$ implicaría que $r'+b=a-qb$; de donde, $r'=a-(q+1)b$. Lo que muestra que $r'$ sería un elemento de $S$ que es menor que el minimal $r$, lo que no puede ser. Luego, $r<b$. Lo que prueba la existencia de $q$ y $r$ como en la proposición. Probaremos ahora la unicidad. Supongamos que $a=qb+r=q'b+r'$ con $0\leq r,r'<b$. De donde $(q-q')b=r'-r$ (***). Si $r'=r$, sigue inmediatamente que $q=q'$, por lo tanto la unicidad. Igualmente, si $q=q'$, entonces $r=r'$. Supongamos que $r'\neq r$. Sin perdida de generalidad podemos suponer que $r<r'$. Entonces, $0<r'-r<b-r'\leq b$, o sea $0<r-r'<b$. Por (***) $(q-q')b$ de be ser positivo, lo que implica que $(q-q')\geq 1$, por lo que $(q-q')b\geq b$. Vemos, entonces, que el lado derecho de (***) es mayor o igual que $b$, mientras que su lado izquierdo es menor que $b$. Como esto es imposible, obtenemos que $r-r'$. Veamos ahora el caso donde $a<0$. Aplicando el resultado obtenido a $-a$ y $b$, obtenemos que hay únicos $q$ y $r$ tales que $-a=qb+r'$ con $0\leq r'<b$. De donde {{Eqn}$-a=(-q)b-r'.$|****}} Si $r'=0$ se tiene el resultado deseado. Si $r'>0$, sea $r=b-r'$, Sustituyendo en (****), obtenemos que $-a=(-q)b-(b-r)=(-q-1)b+r,{\text{ con }}0\leq r<b.$

Lo que concluye la demostración.

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Una consecuencia importante es la siguiente.

Proposición. (Identidad de Bezout) Sean $a$ y $b$ números enteros positivos y sea $d$ el máximo común divisor de $a$ y $b$. Entonces, hay enteros $x$, $y$ tales que

$d=ax+by.$

Demostración: Sea $S=\{ax+by:x,y\in \mathbb {Z} \}$. Como $S$ contiene al $a$ (</math>x=1</math>, $y=0$) hay enteros positivos en $S$. Por el PBO hay un menor entero positivo $d$ en $S$, digamos que

$d=ax_{0}+by_{0}.$

(*)


Sigue directamente de (*) que cualquier divisor común de $a$ y $b$ divide a $d$. Por el algoritmo de la división, hay $q$, $r$ tales que $a=qd+r,0\leq r<d$ (**). Usando (*) obtenemos que $a=q(ax_{0}+by_{0})+r$, de donde

$r=a(1-qx_{0})+b(-y_{0}).$

Si $r$ fuera positivo sería un número positivo de $S$ que sería menor que el minimal positivo de $S$, lo que no puede ser; luego, $r=0$. Por (**) $d$ es un divisor de $a$. Análogamente , se prueba que $d$ es un divisor de $b$. En consecuencia, $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ que es divisible por cualquier otro divisor común, luego es el máximo común divisor.

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Los Números Primos

Recordemos que llamamos número primo a un entero positivo $p$ cuyos únicos factores positivos son él mismo o 1. Un número diferente de $0,\pm 1$ que no es primo se llama un número compuesto.

Propiedades de los Primos.

• Si $p$ es un número primo y $p=xy$ entonces $x=\pm 1$ o $y=\pm 1$.
• Si $p$ es un factor de $ab$, entonces $p|a$ o $p|b$. Supongamos que $p$ es un factor de $ab$. Si $p$ es un factor de $a$, no hay nada más que probar. Supongamos que $p$ no divida a $a$. Entonces, ${\textsf {mcd}}(a,p)=1$. Luego, por Bezout, hay enteros $x$, $y$ tales que $ax+py=1$. Multiplicando por $b$ en ambos lados de esa relación, obtenemos que $abx+pby=b$. Como $p$ es un factor de $ab$, $p$ es un factor del lado izquierdo, por lo que es un factor del lado derecho, o sea de $b$.
• Un número $n>1$ es compuesto, ssi, $n=xy$ con $1<x,y<n$.
• Cada número $n>1$ tiene un factor primo (que puede ser él mismo, cuando $n$ es primo). El resultado es válido cuando $n=2$, ya que 2 es primo. Supongamos $n>2$ arbitrario y que el resultado es válido para números menores que $n$. Si $n$ es primo, no hay nada más que probar. Si $n$ es compuesto, entonces $n=xy$, con $x<n$. Por lo que tiene un factor primo, que es también un factor de $n$.

Teorema Fundamental de la Aritmética
Cada número entero $n>1$, puede expresarse como un producto único de potencias de primos. La unicidad significa que los primos que aparecen en el producto, y sus exponentes, dependen solamente de $n$.

Demostración: [Esquema Abreviado de la Demostración] Usando el principio del Buen Orden se prueba que $n$ tiene al menos un factor primo. Si $n$ no es primo, $n=n_{1}n_{2}$ con $1<n_{1},n_{2}<n$. Usando el segundo princpio de inducción, se concluye la existencia de un producto de primos iguales $n$. La unicidad sigue de las propiedades de los primos.

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Los Números Racionales e Irracionales

Los (números) Racionales ($\mathbb {Q}$) son los números reales que son iguales a una fracción de números enteros. La suma, resta, producto y cocientes de dos números racionales es un número racional

Un número racional es positivo si es igual a una fracción de enteros cuyo numerador y denominador son positivos.

Un número real es irracional, ssi, no es irracional.

Se verifica que cuando $p$ es primo ${\sqrt {p}}$ no puede ser racional (suponiendo que lo es, se halla una contradicción al teorema fundamental.

Los Números Complejos

Llamamos número complejo a una expresión de la forma $a+bi$ donde $a$, $b$ son números reales e $i^{2}=-1$. Se define la suma y multiplicación por

${\begin{array}{rcl}(a+bi)+(c+di)&:=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc).\end{array}}$

Se verifica que tales operaciones tiene las propiedades usuales (en término de estructuras, determinan un cuerpo).

• Se define el conjugado de $z=a+bi$ como el complejo ${\overline {z}}:=a+bi$. Se verifica que la conjugación conmuta con la adición y multiplicación. ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},\quad {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}.$

  Además, $z\cdot {\overline {z}}$ es un número real que es positivo, excepto cuando $z=0$.

• Se define el \textbf{módulo} del complejo como $\|z\|:={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}$. El módulo tiene propiedades análogas al valor absoluto de los reales.
• Cada complejo $a+bi$ puede escribirse de la forma $r(\cos(\theta )+i\operatorname {sen}(\theta )$ donde $r=\|(a+bi\|$, $r\cos(\theta )=a$ y $r\operatorname {sen}(\theta )=b$,
• Se verifica que $(\cos(\theta )+i\operatorname {sen}(\theta ))^{n}=\cos(n\theta )+i\operatorname {sen}(n\theta )$.
• Definiendo $e^{bi}:=\cos(b)=i\operatorname {sen}(b)$ se obtiene una exponencial compleja, con propiedades formales de las potencias. $e^{a+bi}=e^{a}e^{bi}.$

Comentarios

La construcción de los Reales a partir de los axiomas de Peano es más extensa que partiendo de los axiomas de cuerpo ordenado completo. Realmente es la prueba matemática de que tal objeto existe. Los lectores interesados pueden consultar o a la monografía .

Notas