Introducción[editar]
En este capítulo, generalizamos la noción de grupo cíclico, para considerar grupos generados por un subconjunto arbitrario. Aprovecharemos el capítulo para explorar más cuidadosamente los grupos diedrales y expandir nuestro conocimiento de los grupos simétricos. Veremos también como extender las operaciones entre elementos de un grupo a subconjuntos del grupo. Aprovecharemos lo anterior para ver un criterio para determinar si un grupo es producto de dos de sus subgrupos.
Sea
un grupo y sea
¿Qué quiere decir que
genera a
?
Simplemente que cada elemento de
es un producto de potencias enteras de elementos de
Por ejemplo,
Inclusive, podríamos considerar conjuntos
infinitos y formar productos, como arriba, de subconjuntos finitos de
La manera matemática de hacer lo anterior será expuesta a continuación.
Subgrupos Generados por Subconjuntos[editar]
Sean
un grupo,
un subconjunto no vacío de
y
un subgrupo de
Cuando x, y son elementos de
tenemos que tanto
como
y
son elementos de
Las relaciones anteriores se extienden a productos cualesquiera.
Lema 1. Sean
un grupo,
un subconjunto no vacío de
y
un subgrupo de
Sean
elementos de
tales que
está en
o su inverso está en
. Entonces,
está en
Lema 2. Sean
un grupo,
un subconjunto no vacío de
Sea
el conjunto formado por todos los productos de la forma
donde cada factor o su inverso están en
Entonces,
es un subgrupo de
que es un subgrupo de cualquier subgrupo
que contenga a
(Convenio. Diremos que un producto con k=0 factores es el elemento neutro del grupo.)
- En particular, un grupo es un grupo generado por un subconjunto
cuando lo sea como subgrupo de si mismo.
- Notemos que cuando
contiene un solo elemento,
es el grupo cíclico generado por ese único elemento.
- Cuando la notación es aditiva,
está formado por todas las sumas cuyos sumandos son elementos de
u opuestos aditivos de elementos de
- Decimos que el grupo
está finitamente generado, cuando
sea un conjunto finito.
- De acuerdo al convenio indicado, el subgrupo generado por el conjunto vacío es el subgrupo trivial {e}.
Ejemplos.
- Los grupos cíclicos son grupos generados por un elemento.
- El conjunto de generadores no es único.
Por ejemplo, el grupo cíclico
es generado por
pero también por
ya que
La siguiente proposición establece una caracterización de
en términos de subgrupos de
Proposición 1. (Intersección de Subgrupos) Sean
un grupo y
un subconjunto de
Sea
la intersección de todos los subgrupos de
que contienen a
Entonces,
.
Demostración: Realmente lo único que hay que probar es que
es un subgrupo de
Notemos que
no es vacío, ya que el elemento neutro es elemento de cualquier subgrupo y, en particular, de aquellos que contienen a
Sean x, y elementos de
Entonces, dichos elementos estarán en cualquier subgrupo
que contenga a
(Lema 1). Para cada uno de esos subgrupos
, tendremos que
está en
por lo que
estará en la intersección
de esos subgrupos. Lo que prueba que
es un subgrupo. Por el lema 2,
es un subgrupo de
Pero como,
es la intersección de todos los subgrupos que contienen a
está contenido en
Luego,
.
El siguiente ejemplo muestra como usamos lo anterior para asegurar la existencia de un subgrupo, aunque no tengamos una idea precisa de cuales son sus elementos.
Ejemplo.(Subgrupo de los Conmutadores).
Sea
un grupo. Llamamos conmutador de los elementos
al elemento denotado por
y definido por
.
Llamamos subgrupo de los conmutadores o grupo derivado de
al subgrupo generado por todos los conmutadores de
Lo simbolizamos por
.
El grupo Diedral[editar]
Llamamos grupo diedral de orden
al grupo denotado por
y definido como
Esto es,
tiene dos generadores llamados
y
, sujetos a las restricciones indicadas.
Observemos que
genera un subgrupo cíclico de orden
y
un subgrupo cíclico de orden 2. Luego,
es el inverso de
mientras que
es su propio inverso.
Al ser generado por
los elementos
son productos de
.
Por la observación anterior, esto se reduce a productos de potencias naturales de
y
.
donde los
son positivos o cero.
Observando que la tercera restricción,
implica que
vemos que cada vez que haya una
delante de una
, podremos aplicar la relación anterior y la
pasa para detrás de
Así, que
consiste de los productos
Luego,
tiene
elementos diferentes.
Por ejemplo, supongamos que tenemos en
(
) los elementos
,
y
Entonces, tenemos las siguientes simplificaciones.
De acuerdo a lo anterior, tenemos que,
Aplicando lo dicho arriba, tenemos la siguiente tabla para
Generadores del Grupo Lineal[editar]
En cursos básicos (también en curso de ÁLgebra Lineal) se estudia un procedimiento muy eficaz para la resolución de sistemas numéricos de ecuaciones lineales: el procidiemiento de Gauss-Joradan.
Dicho procedimiento consiste de manipulaciones de las filas del sistema que permite (cuando hay solución única) diagonalizar el sistema.
Dichos procedimientos son equivalengtes a multiplicaciones por la izquierda con matrices especiales, llamadas matrices elementales . El procedimiento implica que cualquier matriz invertible, multiplicada de una secuencia de matgrices elementales produce la identidad. Como los inversos de matrices elementales son también elmentales, lo anterior implica que cualquier matriz invertible es igual a un producto de matrices elementales. Es decir que el grupo lineal está generado por las matrices elementales.
Los Generadores del Grupo Simétrico[editar]
En el capítulo anterior, vimos que cada permutación era un producto de ciclos, lo que el lenguaje de esta capítulo dice que los grupos simétricos son generados por ciclos. Veremos, a continuación, otros posibles conjuntos de generadores.
Introduciremos la noción de signo de una permutación que ilustrará la eficiencia de disponer de buenos conjuntos de generadores y que nos servirá para introducir un importante subgrupo de
el grupo alternante.
Descomposición en transposiciones[editar]
Sabemos que cada permutación puede expresarse como producto de ciclos disjuntos. Veremos, a continuación, como expresar un ciclo como producto de transposiciones y, posteriormente, como producto de una familia especial de transposiciones.
Proposición 2.
Cada ciclo de largo
es un producto de
transposiciones.
Corolario 1.1. El grupo simétrico
es generado por sus transposiciones.
La cantidad de generadores de un grupo simétrico puede reducirse aún más si consideramos una familia especial de transposiciones.
Definición. (Transposición Simple) Llamamos transposiciones simples de
a las transposiciones
Una noción que está asociada con las transposiciones es la noción de inversión.
Ejemplo.
Sea
Se tiene las siguientes inversiones: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (3,4), por lo que
Ejemplo (Bubble Sort).
En muchas situaciones, necesitamos ordenar (respecto a algún criterio) una lista desordenada de objetos. En computación, hay un algoritmo llamado ordenamiento por la burbuja (en inglés, bubble sort) que se basa en el resultado anunciado. El algoritmo es fácil de recordar:
Suponer dada una lista
- Recorra la lista, cuando haya una inversión,
intercambie los objetos correspondientes.
- Si se hallan inversiones, la lista está ordenada.
- Volver al inicio de la lista y efectuar el paso 1.
Ejemplo.
Ordenar la lista 632145 en orden ascendente.
A continuación, indicamos los pasos
Si pensamos la lista original como una permutación de 123456, tenemos que multiplicando por las transposiciones realizadas, obtendremos la identidad.
Luego, como las transposiciones son sus propios inversos, tenemos que
Notemos que aparecieron las
transposiciones simples.
Lema A Sea
en
ssi,
Si
entonces hay un
tal que
Demostración: Cuando
se tiene que no hay inversiones de donde se tiene el resultado.
Supongamos que
Si
para todo
se tiene que
implica que
Luego,
implica que
Si
para
Entonces
implica que
Por inducción, concluimos que
Luego, hay
tales que
Sea
el menor de tales enteros. Entonces, el par
es una inversión. Lo que prueba que
Si
se tiene que
; por lo que tenemos la segunda afirmación.
Lema B.
Sea
una transposición simple y sea
en
Entonces,
Demostración: Supongamos que
Entonces,
Por lo que el par
es una inversión de
Sea
una inversión de
y consideremos el par
Se debe tener que
ya que la única inversión de
es
que como no es una inversión de
no se puede tener que
Entonces
es una inversión de
que no es igual a
Por lo tanto, la correspondencia que a cada par
de
le asocia el par
de
es una función
que probaremos que es biyectiva. En efecto, dicha función tiene inversa dada por
por el mismo argumento usado arriba. Luego,
Suponer, ahora, que
Entonces,
Luego,
por el resultado anterior. Despejando
se obtiene lo anunciado.
Usaremos los lemas anteriores para probar la siguiente proposición.
Proposición 3. Sea
en
Entonces
-
es un producto de
transposiciones simples.
-
es la menor cantidad de transposiciones simples necesarias para escribir
como un producto de transposiciones simples.
Demostración: Usaremos inducción sobre
para probar a). Si
se tiene que
que se puede considerar como el producto de un conjunto vacío de transposiciones. Cuando
no es la identidad, por el lema A, hay un entero
tal que
Por lo que
Por inducción,
puede escribirse como el producto de
transposiciones simples. Luego,
es el producto de
transposiciones simples. Lo que prueba la parte a).
Para probar la minimalidad de
supongamos que
es la cantidad menor necesaria de transposiciones. Sigue de lo anterior que
Por inducción, sobre
probaremos que
Si
el resultado sigue de la primera parte. Supongamos que
Entonces, podremos hallar una transposición elemental tal que
Por lo que
por inducción y por el lema B, se tendrá que
de donde el resultado.
El Signo de una Permutación[editar]
Sea
Para cada
en
definamos
Notemos, que
difiere de
a lo más por el signo.
Definamos
por
Por lo tanto,
Ejemplo (
).
Sea
Entonces,
Luego,
Ejemplo (
).
Sea
la transposición
Probaremos, formalmente que
Organizaremos los factores de
como en el ejemplo anterior. Primero aquellos donde
luego aquellos con
etc.
Sean
Veamos, el efecto de
en
y
Luego,
Por lo que,
\end{ejemplo}
Claramente, cada inversión produce un cambio de signo, por lo que
De forma más general, cuando
es una función cualquiera, tenemos que
Lema C.
- La función signo
es un homomorfismo suprayectivo de grupos, cuando
-
- Si
entonces
s decir que la función signo
es constante en las clases de conjugación de
Demostración:
-
Es decir que
Lo que prueba el resultado.
Como vimos en el ejemplo, cuando
lo que prueba la suprayectividad.
- Como
se tiene el resultado.
-
Proposición 4.
- Las transposiciones tienen signo
- Cuando
es un
--ciclo,
su signo es
Demostración: Todas las transposiciones son conjugadas de
Los
--ciclos son productos de
transposiciones. <
Nomenclatura. Diremos que una permutación es par cuando su signo sea igual a 1; en caso contrario diremos que es una permutación impar.
El Grupo Alternante[editar]
Observaciones.
- El grupo
es un subgrupo de índice 2 en
-
- Como los 3--ciclos son permutaciones pares todos ellos están contenidos en
La siguiente proposición es un recíproco parcial de la última observación.
Proposición 5.
Cada permutación
de
es un producto de 3-ciclos, cuando
Es decir que los 3--ciclos generan al grupo
Demostración: Como cada permutación es el producto de una cantidad pares de transposiciones, bastara probar que el producto de dos transposiciones es siempre un 3--ciclo o un producto de 3--ciclos.
- Transposiciones disjuntas.
- Transposiciones no disjuntas,
- Hallar la descomposición en ciclos disjuntos de cada uno de los elementos de
Determinar además
para cada uno de ellos.
- Expresar como producto de ciclos disjuntos a
.
Hallar
- Verificar las relaciones siguientes.
-
-
-
Conjeturar un resultado que establezca una relación entre transposiciones y transposiciones simples, probando de esta manera que las transposiciones simples generan al grupo simétrico.
- Escribir cada una de las permutaciones siguientes como un producto de transposiciones simples.
\smallskip\setcounter{ejt}{0}
\begin{tabular}{lp{1.8in}ll}
\nejt &
&%
\nejt &
\\
\nejt &
&%
\nejt &
\\
\end{tabular}
- Sea
igual al producto de cinco transposiciones simples disjuntas. Hallar
- Sea
y sea
Hallar
- Probar que el orden de
es divisible por 8, pero no hay elemento de orden 8 en ese grupo.
- Listar todos los ordenes posibles para los elementos de
y hallar elementos de cada uno de ese orden.
- Probar que
no tiene un elemento de orden 13, pero sí tiene un elemento de orden 60.
- Sea
un número primo menor que
Hallar la cantidad de subgrupos de orden
de
- Probar las siguientes afirmaciones:
- La cantidad de
--ciclos en
es
- La cantidad de
--ciclos en
es
Generalizar para
--ciclos.
- Sea
un grupo con generadores
tales que
-
-
, cuando
-
Entonces,
Los Grupos de Simetrías[editar]
En esta sección, veremos algunos grupos que se presentan de forma natural cuando consideramos simetrías de figuras planas. Primeramente, precisaremos la nomenclatura que usa alremos. Nuestro universo es el plano, al que siempre consideraremos como el plano cartesiano
.
Llamamos transformación del plano a cualquier función del plano en si mismo. Las transformaciones biyectivas son los elementos del grupo simétrico del plano. Estamos interesados en una familia de transformaciones especiales: Las congruencias, que son aquellas transformaciones biyectivas que preservan la distancia entre puntos. Es decir, que la distancia entre las imágenes de un par de puntos es igual a la distancia entre los puntos. Es fácil ver que todas las congruencias determinan un grupo de transformaciones del plano, llamado el grupo euclídeo} del plano y que denotaremos como
.
En efecto, si
y
son congruencias, se tiene que
-
y
-
Lo que prueba que efectivamente
es un grupo de transformaciones.
En textos de Geometría se prueba que las traslaciones, rotaciones y reflexiones son congruencias. Además, se verifica que las reflexiones generan el grupo Euclídeo. De hecho que cada congruencia es el producto de a lo más tres reflexiones. Ver [1] o [2]
Nomenclatura. Para las transformaciones de un conjunto cualquiera, tenemos la siguiente nomenclatura con respecto a su acción.
Sea
una transformación de un conjunto
- Decimos que un punto
de
es fijo por
o que
fija a
ssi,
- Decimos que un subconjunto
es fijo puntualmente por
o que
fija puntualmente a
ssi, cada punto de
es fijo por
- Decimos que un subconjunto
es fijo (globalmente) por
o que
fija puntualmente a
ssi,
Una rotación siempre deja a su centro fijo. Una reflexión (del plano) entorno al eje
deja fijo puntualmente el eje
y globalmente, pero no puntualmente, al eje
Las Simetrías[editar]
Llamamos figura (plana) a un subconjunto cualquiera del plano. Algunos \newline ejemplos de figuras son las líneas, los cuadrados, las circunferencias, los sectores circulares, etc.
Decimos que una congruencia
es una simetría de una figura </math> F</math> cuando la congruencia fija globalmente a la figura, o sea es tal que
Las simetrías de una figura forman un grupo, subgrupo del grupo Euclídeo, ya que (como es fácil verificar) la identidad es una simetría (de cualquier figura), la composición de dos simetrías de
y la inversa de una simetrías de
son simetrías. Usaremos la notación
para las simetrías de
Las Simetrías del Cuadrado[editar]
Supongamos que tenemos un cuadrado hecho de un material rígido, donde por material rígido queremos decir que lo podemos manipular sin que se deforme. Supongamos, además, que:
- los vértices están identificados como
B,
y
en ambas caras del cuadrado;
- el cuadrado está sobre una superficie fija y hemos marcado los bordes del cuadrado sobre esa superficie y copiado las etiquetas de los vértices;
- el cuadrado está sujeto a la superficie por un alfiler colocado en su centro, de manera que pueda rotar libremente alrededor del alfiler.
Observemos que si rotamos por un cuarto de vuelta, el cuadrado quedará coincidiendo con su imagen en la superficie y que si no fuera por las etiquetas de los vértices, no nos daríamos cuenta del cambio. Esto es lo que quiere decir dejar fija globalmente a la figura. Llamemos
a la rotación por un cuarto de vuelta.
Si volvemos a rotar por
nuevamente llevaremos al cuadrado a coincidir con su imagen en la superficie. Simbolizaremos por
la doble rotación, por
la triple rotación, etc. Notemos que si efectuamos
(cuatro cuartos de vuelta), volveremos a la posición original, por lo que si no hubiéramos visto el
cambio, diríamos que nada ha pasado, que todo se encuentra
idénticamente igual a la posición original. Por esa razón
escribiremos que
donde
significa que las etiquetas en el cuadrado y en la superficie coinciden. Es decir que se trata de la identidad que fija todos los puntos de la figura.
En lenguaje de la teoría de grupos,
tiene orden 4.
Es fácil ver que todas las posibles rotaciones distintas, que llevan al cuadrado sobre su imagen, son
y
y que aplicando consecutivamente dos de esas rotaciones, obtenemos una rotación de ese conjunto. Es decir que tenemos una operación en el conjunto de las rotaciones que corresponde a la composición de transformaciones (como funciones).
Como
tenemos que las rotaciones determinan un grupo cíclico.
¿Habrá otros movimientos del cuadrado que lo lleven a cubrir su
imagen en la superficie?
La respuesta es afirmativa, pero tendremos que sacar el alfiler que lo sujetaba a la superficie.
Sea
la reflexión entorno a la diagonal
Es decir que envía
en
en
y los puntos
y
quedan fijos. Notemos que
Análogamente, tenemos la reflexión
entorno a
que envía
en
y
en
Hay dos reflexiones adicionales (
) que introduciremos más tarde. La figura muestra las simetrías que son reflexiones del cuadrado, identificadas por su eje. Introduciremos, a continuación, una notación que nos servirá para identificar las simetrías del cuadrado con permutaciones de los vértices.
Observemos que las simetrías quedan totalmente identificadas cuando damos sus efectos en los vértices. Por ejemplo la rotación
es tal que
Por lo que podemos identificar a las simetrías del cuadrado con permutaciones del conjunto de vértices. Usando esta identificación, tenemos que
De la misma manera, tenemos que las reflexiones introducidas tendrán como
permutaciones a
Notemos que escribiendo las simetrías anteriores como ciclos, tenemos que
Usando la identificación resulta fácil computar los efectos de aplicar simetrías en forma consecutiva.
Por ejemplo,
Es decir que se intercambian
con
y
con
Geométricamente, esta es la reflexión
entorno a la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos
y
Tendremos otra reflexión,
entorno a un línea que pasa por los puntos medios de
y
es decir que
Computemos
.
Observemos que
implica que
Sea
el grupo generado por
y
Como tenemos las relaciones
y
vemos que coincide con el grupo diedral
poniendo
y
Interrogante ¿Habrá otras simetrías del cuadrado?
Suponer que
es una simetría del cuadrado diferente de la identidad.
Cuando un vértice queda fijo por
el vértice opuesto también queda fijo, porque en caso contrario su imagen sería adyacente al vértice fijo y no permanecerían invariantes las distancias entre los vértices. Es decir que
es
o
Este razonamiento prueba también que no hay 3--ciclos que puedan ser simetrías del cuadrado.
Cuando un conjunto de dos vértices queda globalmente fijo, pero no puntualmente fijo, hay una transposición de los dos vértices. Cuando los vértices son adyacentes, sus opuestos deben intercambiarse (
). Si los vértices son opuestos, el otro par de vértices puede quedar fijo puntualmente o intercambiarse. Por lo que
es una de las siguientes simetrías.
es decir
y
Si una simetría diferente de la identidad deja fijo globalmente tres vértices, el cuarto vértice quedaría fijo; lo que vimos anteriormente que es imposible.
Finalmente consideremos el caso donde la simetría
no tiene subconjuntos con dos elementos fijo globalmente. Por lo que se representa por un 4--ciclo.
Entonces,
Si
entonces
ya que en caso contrario no se preservaría distancias. Luego, la imagen de
es un vértice adyacente. El mismo razonamiento aplica a los otros vértices, por lo que concluimos que
o
Como conclusión final tenemos la siguiente proposición.
Proposición 6. El grupo diedral
contiene a todas las simetrías del cuadrado.
Representación Matricial de D8[editar]
Supongamos que estamos trabajando en el plano cartesiano
Supongamos, además, que nuestro cuadrado tiene como vértices a
y
Sean
y
- Las matrices
y
definen transformaciones (biyectivas) del plano, ya que sus determinantes no son nulos.
- Sea
Entonces,
- Sea
Entonces,
Es decir que
es una congruencia del plano.
- Se tiene que
De manera análoga a lo hecho con
se verifica que
define una congruencia del plano.
- Por la parte b) se tiene que
Por lo tanto,
es una simetría del cuadrado.
- Es fácil ver que
y
- Observando los resultados anteriores tenemos que
por lo que
tiene orden 4.
Por su parte
tiene orden 2. Finalmente, tenemos que:
Es decir que
generan un subgrupo de matrices isomorfo a
- Construir el grupo de simetrías de un triángulo equilátero y verificar que es isomorfo a
- Sea
un grupo de transformaciones de un conjunto
( o sea , un subgrupo del grupo simétrico de
- Las transformaciones que fijan un punto
determinan un subgrupo de
- Sea
las trasformaciones que fijan globalmente un subconjunto
de
Probar que
es un subgrupo de
que contiene como subgrupo a las transformaciones que fijan
puntualmente.
- Sea
un punto fijo de
Entonces,
es un punto fijo de
- Sean
y
Sea
el polígono regular con
vértices
\ldots
ubicados en la circunferencia unitaria del plano cartesiano de modo que
Probar las siguientes afirmaciones.
-
-
y
son congruencias del plano.
-
es una rotación por un ángulo que mide
radianes.
-
es una reflexión entorno al eje
- El orden de
es
y el orden de
es 2.
- El grupo de matrices generados por
y
es isomorfo al grupo diedral
- (*) Construir el grupo de simetrías del tetraedro regular.
- (*) Construir el grupo de simetrías de un cubo.
Operaciones con Subconjuntos[editar]
Introduciremos una notación que nos ayudará en el enunciado de teoremas y que, también, será útil en consideraciones posteriores.
Observaciones. Sea
un grupo.
- Decir que
es una parte cerrada de
es equivalente a decir que
es un subconjunto de
- Análogamente, decir que
es cerrado respecto a inversos, es equivalente a decir que
es un subconjunto de
- Decir que
es un subgrupo de
es equivalente a decir que
no es vacío y que
es un subconjunto de
- Decir que
es equivalente a decir que para cada
de
hay un
en
tal que
Ejemplo.
Sean
y
¿Qué es
? Notemos la notación aditiva usada ya que la operación del grupo es suma.
Resolución. Como
está formado por todos los múltiplos de 2 y
por todos los múltiplos de 3,
estará formado por todos los enteros que son iguales a la suma de un múltiplo de 2 con un múltiplo de 3.
Como
Se tiene que
Advertencia.
Cuando
y
son subgrupos de
el conjunto
no es necesariamente un subgrupo de
ya que si
son elementos de
no necesariamente se tiene que
sea igual a un
de
Ejemplo.
Sea
Sean
y
Entonces,
Notemos que, en este ejemplo,
y
son subgrupos de
pero que
no lo es (¿por qué no es subgrupo?).
Sea
entonces
- Sea
Hallar los elementos de los conjuntos indicados, cuando
-
-
-
- Sea
y sean
Hallar los conjuntos indicados.
- Sean
subconjuntos de un grupo cualquiera. Entonces,
Subgrupo Generado por dos Subgrupos[editar]
En general, cuando
y
son subgrupos, el producto
no es un subgrupo, por lo que el subgrupo que contenga a dos subgrupos debe definirse otra manera.
Sea
Claramente,
y
están contenidos en
por lo que
y
son subgrupos de
Sea
cualquier subgrupo de
que contenga a
y a
Entonces, contendrá cualquier producto de elementos de
y
por lo que contendrá a
probando que
es el menor subgrupo que contiene a
y
Proposición 6. (
) Sean
subgrupos de
Entonces,
es el menor subgrupo (respecto a la inclusión) que contiene a ambos subgrupos.}}
Ejemplo.
Sea
Sean
y
Entonces,
Diagrama de Subconjuntos El conjunto de subgrupos es un conjunto parcialmente ordenado por la inclusión. Dados subgrupos
se tiene que
|
|
|
Es decir, que dos elementos tienen siempre un mayor elemento menor o igual que ellos y un menor elemento mayor o igual que ellos. Conjuntos parcialmente ordenados con esa propiedad se llaman Retículos.
Producto Directo de Subgrupos[editar]
Diremos que un grupo
es el producto interno de dos subgrupos
y
cuando
sea isomorfo al product
Proposición 7. (Producto Interno) Sea
un grupo y sean
subgrupos de
es el producto interno de
y
ssi, se cumple que:
-
- Si
está en
y
está en
-
está generado por
y
Demostración: (
) Supongamos que hay un isomorfismo
tal que
Observemos que en
es un subgrupo de
cuya imagen por
es
Por lo que
Análogamente,
Observemos que si
entonces
está en
y
por lo debe ser igual a
de donde
Observando que
tenemos la parte 2. La tercera parte sigue de que
está generado por
(
) Sea
tal que
La conmutatividad de los elementos de
con los elementos de
implica que
Es decir que
es un homomorfismo de grupos.
Si
tenemos que
es decir que h está en
por lo que
lo que implica que
es inyectiva. Como
generan a
tenemos que los elementos de
son productos de la forma
Por la conmutatividad de los elementos de
con los elementos de
tenemos que el producto anterior se puede reescribir con todos los
adelante de los
es decir de la forma hk con h en
y k en K. Lo que muestra que
es suprayectiva, probando que
es un isomorfismo.
Ejercicios del Capítulo[editar]
- Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo
- Sea
el grupo cuya tabla se indica a continuación.
- Probar que
- Probar que
es el grupo de las simetrías del hexágono regular. (Sugerencia: Suponga que los vértices del hexágono son en forma ordenada cíclica
y
Llamar
a la rotación entorno al centro por
grados. Llamar
a la reflexión entorno a la línea que pasa por
Probar que
y que
Representar
y
como permutaciones para efectuar las computaciones.)
- Hallar cada uno de los subgrupos indicados:
- Dibujar el diagrama de subgrupos de
- Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo.
- Probar que
Interpretar geométricamente el resultado.
- Sea
Sean
y
Determinar los siguientes conjuntos
- Consideremos el grupo
- Probar que cada número entero puede escribirse como un múltiplo de 5 más un múltiplo de 3. Usar lo anterior, para concluir que
- Probar que
- ¿Cuándo, para un par de números enteros
y
se cumple que
?
- Sean
y
subgrupos de
tales que
Probar que cada elemento de
tiene una única representación como
con
en
y
en
(Sug. Suponer que
).
- Construir la tabla del grupo aditivo
Sean math>H= [2],</math>
Probar que
de las dos maneras siguientes.
- Usando el teorema de la sección de productos.
- Mostrando que
y
- Sea
Hallar los subgrupos generados por los conjuntos
indicados.
-
-
-
- Clasificar los enunciados siguientes en válidos o falsos.
- Todo grupo puede presentarse como un conjunto de generadores.
- Un grupo finitamente generado es finito.
- Cuando los generadores de un grupo permutan entre si, entonces el grupo es abeliano.
- Un grupo que es producto de otros dos es infinito.
- Los generadores de
.
Verificar que las matrices elementales generan al grupo lineal.
Las matrices elementales son:
donde
es cualquier número real.
Hallar los inversos de cada una de las matrices elementales y observar que son también elementales.
Sea
invertible. Por lo tanto, el determinante de
,
no es nu
- Suponer que
. Entonces
.
Probar que
es una matriz diagonal.
- Suponer
y
.Probar que
es una matriz que tiene un cero en la posición (2,1).
- Suponer que
(por lo que
.)
Probar que
intercambia la primera fila con la segunda.
Los procedimientos anteriores muestran como podemos por multiplicación por matrices elementales obtener una matriz diagonal a partir de una matriz invertible cualquiera.
- Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, usamos la matriz de intecambio (c) para obtener un elemento no nulo en la posición (1,1) del producto.
- Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, aplicando el paso (b) obtenemos un elemento nulo en la posicion (2,3) del producto.
- Finalmente, si el elemento en la posición (1,2) no es nulo, aplicamo el paso (a) para obtener un producto con cero en la posición (1,2).
Nuestro producto es ahora una matriz diagonal. Observando que
completamos los productos necesario obtener la identidad.
Comentarios[editar]
La determinación de los conjuntos generadores de un grupo tienen importancia teórica y práctica.
Una rama especializada la teoría combinatoria de grupos, que estudia a los gruposgrupos desde el punto de vista de sus generadores y restricciones.
Un objeto muy interesante es el grupo libre sobre un conjunto
que consiste de todos las palabras posibles con alfabeto
. Se prueba que tofo grupo finito se obiene por restricciones de un rupo linreinitente generado.
Lectura adicïonal Wiipedia:Concepto generador de un grupo.