Álgebra Abstracta/Grupos Generados

Introducción

En este capítulo, generalizamos la noción de grupo cíclico, para considerar grupos generados por un subconjunto arbitrario. Aprovecharemos el capítulo para explorar más cuidadosamente los grupos diedrales y expandir nuestro conocimiento de los grupos simétricos. Veremos también como extender las operaciones entre elementos de un grupo a subconjuntos del grupo. Aprovecharemos lo anterior para ver un criterio para determinar si un grupo es producto de dos de sus subgrupos.

Sea $G$ un grupo y sea $S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{k}\}.$ ¿Qué quiere decir que $S$ genera a $G$ ? Simplemente que cada elemento de $G$ es un producto de potencias enteras de elementos de $S.$ Por ejemplo, $s_{3}^{2}s_{5}^{-1}s_{1}s_{3}^{-2}.$ Inclusive, podríamos considerar conjuntos $S$ infinitos y formar productos, como arriba, de subconjuntos finitos de $S.$ La manera matemática de hacer lo anterior será expuesta a continuación.

Subgrupos Generados por Subconjuntos

Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G$ y $H$ un subgrupo de $G.$ Cuando x, y son elementos de $S,$ tenemos que tanto $xy$ como $x^{-1}$ y $xy^{-1}$ son elementos de $H.$ Las relaciones anteriores se extienden a productos cualesquiera.

Lema 1. Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G$ y $H$ un subgrupo de $G.$ Sean $y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ elementos de $G$ tales que $y_{i}$ está en $S$ o su inverso está en $S$ . Entonces, $y=y_{1}y_{2}\dots y_{n}$ está en $H.$

Demostración: (Inducción sobre $n$ .) Si $n=1$ , el resultado es trivial.

Supongamos el resultado válido para productos de $k$ elementos con la propiedad indicada y consideremos ahora un producto de $k+1$ elementos: $y_{1}y_{2}\dots y_{k}y_{k+1}$ . Por la hipótesis de inducción, el producto $y$ de los primeros $k$ elementos es un elemento de $H.$ Como el producto total es igual a $yy_{k+1}$ , se concluye que el producto está en $H.$ El resultado sigue por inducción.

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Lema 2. Sean $G$ un grupo, $S$ un subconjunto no vacío de $G.$ Sea $\langle S\rangle$ el conjunto formado por todos los productos de la forma

$y_{1}y_{2}\dots y_{k},\qquad k=0,1,2,\dots$

donde cada factor o su inverso están en $S.$ Entonces, $\langle S\rangle$ es un subgrupo de $G,$ que es un subgrupo de cualquier subgrupo $H$ que contenga a $S.$

(Convenio. Diremos que un producto con k=0 factores es el elemento neutro del grupo.)

Demostración: Sean $y=y_{1}y_{2}\dots y_{k}$ , $z=z_{1}z_{2}\dots z_{j}$ elementos de $\langle S\rangle .$ Claramente, $\langle S\rangle$ no es vacío ya que contiene todos los elementos de $S$ (productos de largo 1). Igualmente, es fácil ver que $yz$ es un producto de la forma indicada para estar en $\langle S\rangle$ . Finalmente, como $y^{-1}=(y_{1}y_{2}\dots y_{k})^{-1}=y_{k}^{-1}\dots y_{2}^{-1}y_{k}^{-1}.$ tenemos que $\langle S\rangle$ es un subgrupo de $G.$ El resto sigue del lema anterior.

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Definición. (Subgrupo Generado) Sean $G$ un grupo y $S$ un subconjunto de $G.$ Decimos que un subgrupo $H$ de $G$ está generado por $S,$ cuando $H=\langle S\rangle$ . En tal caso, decimos que $S$ es un conjunto de generadores de $H.$

• En particular, un grupo es un grupo generado por un subconjunto $S,$ cuando lo sea como subgrupo de si mismo.
• Notemos que cuando $S$ contiene un solo elemento, $\langle S\rangle$ es el grupo cíclico generado por ese único elemento.
• Cuando la notación es aditiva, $\langle S\rangle$ está formado por todas las sumas cuyos sumandos son elementos de $S$ u opuestos aditivos de elementos de $S.$
• Decimos que el grupo $\langle S\rangle$ está finitamente generado, cuando $S$ sea un conjunto finito.
• De acuerdo al convenio indicado, el subgrupo generado por el conjunto vacío es el subgrupo trivial {e}.

Ejemplos.

• Los grupos cíclicos son grupos generados por un elemento.
• El conjunto de generadores no es único.
  Por ejemplo, el grupo cíclico ${\textsf {C}}_{4,a}$ es generado por $a$ pero también por $a^{3}$ ya que $(a^{3})^{2}=a^{6}=a^{2},(a^{3})^{3}=a^{9}=a,y(a^{3})^{4}=a^{12}=e.$
  

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La siguiente proposición establece una caracterización de $\langle S\rangle$ en términos de subgrupos de $G.$

Proposición 1. (Intersección de Subgrupos) Sean $G$ un grupo y $S$ un subconjunto de $G$ Sea $H$ la intersección de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S.$ Entonces, $H=\langle S\rangle$ .

Demostración: Realmente lo único que hay que probar es que $H$ es un subgrupo de $G.$ Notemos que $H$ no es vacío, ya que el elemento neutro es elemento de cualquier subgrupo y, en particular, de aquellos que contienen a $S.$ Sean x, y elementos de $H.$ Entonces, dichos elementos estarán en cualquier subgrupo $K$ que contenga a $S$ (Lema 1). Para cada uno de esos subgrupos $K$ , tendremos que $xy^{-1}$ está en $K,$ por lo que $xy^{-1}$ estará en la intersección $H$ de esos subgrupos. Lo que prueba que $H$ es un subgrupo. Por el lema 2, $\langle S\rangle$ es un subgrupo de $H.$ Pero como, $H$ es la intersección de todos los subgrupos que contienen a $S,$ $H$ está contenido en $\langle S\rangle .$ Luego, $H=\langle S\rangle$ .

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El siguiente ejemplo muestra como usamos lo anterior para asegurar la existencia de un subgrupo, aunque no tengamos una idea precisa de cuales son sus elementos.

Ejemplo.(Subgrupo de los Conmutadores).

Sea $G$ un grupo. Llamamos conmutador de los elementos $x,y$ al elemento denotado por $[x,y]$ y definido por $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ .
Llamamos subgrupo de los conmutadores o grupo derivado de $G$ al subgrupo generado por todos los conmutadores de $G.$ Lo simbolizamos por $D(G)$ .

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El grupo Diedral

Llamamos grupo diedral de orden $2n$ al grupo denotado por ${\textsf {D}}_{2n}$ y definido como

${\textsf {D}}_{2n}:=\langle a,b|a^{n}=e,b^{2}=e,bab^{-1}=a^{n-1}\rangle .$

Esto es, ${\textsf {D}}_{2n}$ tiene dos generadores llamados $a$ y $b$ , sujetos a las restricciones indicadas.

Observemos que $a$ genera un subgrupo cíclico de orden $n$ y $b$ un subgrupo cíclico de orden 2. Luego, $a^{n-1}$ es el inverso de $a,$ mientras que $b$ es su propio inverso. Al ser generado por $\{a,b\},$ los elementos ${\textsf {D}}_{2n}$ son productos de $a,a^{-1},b{\text{ y }}b^{-1}$ . Por la observación anterior, esto se reduce a productos de potencias naturales de $a$ y $b$ .

$a^{i_{1}}b^{j_{1}}a^{i_{2}}b^{j_{2}}\cdots a^{i_{r}}b^{j_{r}},\quad$

donde los $i_{1},j_{1},\dots ,i_{r},j_{r}$ son positivos o cero. Observando que la tercera restricción, $bab^{-1}=a^{n-1},$ implica que $ba=a^{n-1}b,$ vemos que cada vez que haya una $b$ delante de una $a$ , podremos aplicar la relación anterior y la $b$ pasa para detrás de $a.$ Así, que ${\textsf {D}}_{2n}$ consiste de los productos

$a^{i}b^{j}\quad \quad {\text{ donde }}i=0,1,2,\dots ,n-1{\text{ y }}j=0,1.$

Luego, ${\textsf {D}}_{2n}$ tiene $2n$ elementos diferentes.

Por ejemplo, supongamos que tenemos en ${\textsf {D}}_{8}$ ($n=4$ ) los elementos $x=abbba$ , $y=baaaaab$ y $z=ababab.$ Entonces, tenemos las siguientes simplificaciones.

$\qquad {\begin{array}{rcl}x&=&abbba=aba=aa^{3}b=a^{4}b=b.\\y&=&baaaaab=bab=a^{3}bb=a^{3}.\\z&=&ababab=aba(bab)=abaa^{3}=aba^{4}=ab.\end{array}}$

De acuerdo a lo anterior, tenemos que,

${\textsf {D}}_{8}=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}.$

Aplicando lo dicho arriba, tenemos la siguiente tabla para ${\textsf {D}}_{8}$

${\begin{array}{c|cccccccc}&e&a&a^{2}&a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b\\\hline e&e&a&a^{2}&a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b\\a&a&a^{2}&a^{3}&a&ab&a^{2}b&a^{3}b&b\\a^{2}&a^{2}&a^{3}&e&a&a^{2}b&a^{3}b&b&ab\\a^{3}&a^{3}&e&a&a^{2}&a^{3}b&b&ab&a^{2}b\\b&b&a^{3}b&a^{2}b&ab&e&a^{3}&a^{2}&a\\ab&ab&b&a^{3}b&a^{2}b&a&e&a^{3}&a^{2}\\a^{2}b&a^{2}b&ab&b&a^{3}b&a^{2}&a&e&a^{3}\\a^{3}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{3}&a^{2}&a&e\end{array}}$

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Generadores del Grupo Lineal

En cursos básicos (también en curso de ÁLgebra Lineal) se estudia un procedimiento muy eficaz para la resolución de sistemas numéricos de ecuaciones lineales: el procidiemiento de Gauss-Joradan. Dicho procedimiento consiste de manipulaciones de las filas del sistema que permite (cuando hay solución única) diagonalizar el sistema.

Dichos procedimientos son equivalengtes a multiplicaciones por la izquierda con matrices especiales, llamadas matrices elementales . El procedimiento implica que cualquier matriz invertible, multiplicada de una secuencia de matgrices elementales produce la identidad. Como los inversos de matrices elementales son también elmentales, lo anterior implica que cualquier matriz invertible es igual a un producto de matrices elementales. Es decir que el grupo lineal está generado por las matrices elementales.

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Los Generadores del Grupo Simétrico

En el capítulo anterior, vimos que cada permutación era un producto de ciclos, lo que el lenguaje de esta capítulo dice que los grupos simétricos son generados por ciclos. Veremos, a continuación, otros posibles conjuntos de generadores. Introduciremos la noción de signo de una permutación que ilustrará la eficiencia de disponer de buenos conjuntos de generadores y que nos servirá para introducir un importante subgrupo de ${\textsf {S}}_{n},$ el grupo alternante.

Descomposición en transposiciones

Sabemos que cada permutación puede expresarse como producto de ciclos disjuntos. Veremos, a continuación, como expresar un ciclo como producto de transposiciones y, posteriormente, como producto de una familia especial de transposiciones.

Proposición 2. Cada ciclo de largo $r>1$ es un producto de $r-1$ transposiciones.

$(x_{1}\,x_{2}\,\dots \,x_{r})=(x_{1}\,x_{2})(x_{2}\,x_{3})\dots (x_{r-1},x_{r}).$

Demostración: Si $r=2$ el resultado es trivial. Supongamos el resultado cierto para todos los ciclos de largo inferior o igual a $k,$ $k\geq 2.$ Sea $\sigma =(x_{1}\,\dots ,x_{k}\,x_{k+1})$ y sea $\tau =(x_{k}\,x_{k+1}).$ Entonces, For $i<k,$ $\sigma (\tau (x_{i}))=\sigma (x_{i}).$ Also, $\sigma (\tau (x_{k}))=\sigma (x_{k+1})=x_{1}$ and $\sigma (\tau (x_{k+1})=\sigma (x_{k})=x_{k+1}.$ Luego, $\sigma \tau$ es un ciclo de largo $k,$ Por inducción, $\sigma \tau =(x_{1}\,x_{2})\dots (x_{k-1}\,x_{k}).$

Multiplicando en la derecha por $\tau$ obtenemos el resultado.

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Corolario 1.1. El grupo simétrico ${\textsf {S}}_{n}$ es generado por sus transposiciones.

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La cantidad de generadores de un grupo simétrico puede reducirse aún más si consideramos una familia especial de transposiciones.

Definición. (Transposición Simple) Llamamos transposiciones simples de ${\textsf {S}}_{n}$ a las transposiciones $s_{i}=(i,i+1),$ $i=1,2,\dots ,k-1.$

Una noción que está asociada con las transposiciones es la noción de inversión.

Definición. (Inversión) Sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ Una inversión de $\sigma$ es un par $(i,j),$ $1\leq i<j\leq n$ tal que $\sigma (i)>\sigma (j).$ Simbolizaremos al conjunto formado por todas las inversiones de $\sigma$ por ${\textsf {Invs}}(\sigma )$ y por $n(\sigma )$ a la cantidad de inversiones de $\sigma .$

Ejemplo.

Sea $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&3&2&1&4&5\end{pmatrix}}.$

Se tiene las siguientes inversiones: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (3,4), por lo que $n(\sigma )=8.$

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Ejemplo (Bubble Sort).

En muchas situaciones, necesitamos ordenar (respecto a algún criterio) una lista desordenada de objetos. En computación, hay un algoritmo llamado ordenamiento por la burbuja (en inglés, bubble sort) que se basa en el resultado anunciado. El algoritmo es fácil de recordar:

Suponer dada una lista $a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}.$

1. Recorra la lista, cuando haya una inversión, $a_{i}>a_{i+1},$ intercambie los objetos correspondientes.
2. Si no se hallan inversiones, la lista está ordenada.
3. Volver al inicio de la lista y efectuar el paso 1.

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Ejemplo.

Ordenar la lista 632145 en orden ascendente.

A continuación, indicamos los pasos

${\begin{matrix}632145&\rightsquigarrow &362145&\rightsquigarrow &326145&\rightsquigarrow &321645&\rightsquigarrow \\321465&\rightsquigarrow &321456&\rightsquigarrow &231456&\rightsquigarrow &213456&\rightsquigarrow \\123456\end{matrix}}$

Si pensamos la lista original como una permutación de 123456, tenemos que multiplicando por las transposiciones realizadas, obtendremos la identidad.

${\begin{array}{c}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&4&3&2&1&5\end{pmatrix}}(12)(23)(34)(45)(56)(12)(23)(12)\\={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5&6\end{pmatrix}}\end{array}}$

Luego, como las transposiciones son sus propios inversos, tenemos que

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&4&3&2&1&5\end{pmatrix}}=(12)(23)(12)(34)(23)(12)(45)(56)$

Notemos que aparecieron las $n(\sigma )(=8)$ transposiciones simples.

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Lema A Sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ $n(\sigma )=0,$ ssi, $\sigma =id.$ Si $\sigma \neq id$ entonces hay un $i$ tal que $\sigma (i)>\sigma (i+1).$ $1\leq i<n.$

Demostración: Cuando $\sigma =id$ se tiene que no hay inversiones de donde se tiene el resultado. Supongamos que $\sigma \neq id.$ Si $\sigma (k)\leq k$ para todo $k,$ se tiene que $\sigma (1)\leq 1$ implica que $\sigma (1)=1.$ Luego, $\sigma (2)\leq 2,$ implica que $\sigma (2)=2.$ Si $\sigma (j)=j$ para $j<k.$ Entonces $k-1<\sigma (k)\leq k,$ implica que $\sigma (k)=k.$ Por inducción, concluimos que $\sigma =id.$ Luego, hay $k$ tales que $\sigma (k)>k.$ Sea $i$ el menor de tales enteros. Entonces, el par $(i,\sigma ^{-1}(i))$ es una inversión. Lo que prueba que $n(\sigma )>0.$ Si $\sigma (1)<\sigma (2)<\dots <\sigma (n),$ se tiene que $n(\sigma )=0$ ; por lo que tenemos la segunda afirmación.

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Lema B. Sea $s_{i}=(i\ i+1)$ una transposición simple y sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ Entonces,

$n(\sigma s_{i})={\begin{cases}n(\sigma )+1,&{\text{si }}\sigma (i)<\sigma (i+1),\\n(\sigma )-1.&{\text{si }}\sigma (i)>\sigma (i+1).\end{cases}}$

Demostración: Supongamos que $\sigma (i)<\sigma (i+1).$ Entonces, $\sigma s_{i}(i)=\sigma (i+1)>\sigma (i)=\sigma s_{i}(i+1).$ Por lo que el par $(i,i+1)$ es una inversión de $\sigma s_{i}.$ Sea $(k,l)$ una inversión de $\sigma$ y consideremos el par $(s_{i}(l),s_{i}(k)).$ Se debe tener que $s_{i}(k)<s_{i}(l)$ ya que la única inversión de $s_{i}$ es $(i,i+1),$ que como no es una inversión de $\sigma$ no se puede tener que $k=i,$ $l=i+1.$ Entonces $((\sigma s_{i})(l),(\sigma s_{i}(k))$ es una inversión de $\sigma s_{i}$ que no es igual a $(i,i+1).$ Por lo tanto, la correspondencia que a cada par $(k,l)$ de ${\text{Invs}}(\sigma )$ le asocia el par $(s_{i}(k),s_{i}(l))$ de ${\text{Invs}}(\sigma \,s_{i})\setminus {(i,i+1)}$ es una función $\phi$ que probaremos que es biyectiva. En efecto, dicha función tiene inversa dada por $(k,l)\mapsto (s_{i}(k),s_{i}(l)$ por el mismo argumento usado arriba. Luego, $n(\sigma s_{i})=n(\sigma )+1.$ Suponer, ahora, que $\sigma (i)>\sigma (i+1).$ Entonces, $\sigma s_{i}(i)<\sigma s_{i}(i+1).$ Luego,$n(\sigma )=n((\sigma s_{i})s_{i})=n(\sigma s_{i})+1,$ por el resultado anterior. Despejando $n(\sigma ),$ se obtiene lo anunciado.

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Usaremos los lemas anteriores para probar la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}.$ Entonces

1. $\sigma$ es un producto de $n(\sigma )$ transposiciones simples.
2. $n(\sigma )$ es la menor cantidad de transposiciones simples necesarias para escribir $\sigma$ como un producto de transposiciones simples.

Demostración: Usaremos inducción sobre $n(\sigma )$ para probar a). Si $n(\sigma )=0$ se tiene que $\sigma =id,$ que se puede considerar como el producto de un conjunto vacío de transposiciones. Cuando $\sigma$ no es la identidad, por el lema A, hay un entero $i$ tal que $\sigma (i)>\sigma (i+1).$ Por lo que $n(\sigma s_{i})=n(\sigma )-1.$ Por inducción, $\eta =\sigma s_{i}$ puede escribirse como el producto de $n(\sigma )-1$ transposiciones simples. Luego, $\sigma =\eta s_{i}$ es el producto de $n(\sigma )$ transposiciones simples. Lo que prueba la parte a). Para probar la minimalidad de $n(\sigma ),$ supongamos que $\ell (\sigma )$ es la cantidad menor necesaria de transposiciones. Sigue de lo anterior que $n(\sigma )\geq \ell (\sigma ).$ Por inducción, sobre $\ell (\sigma )$ probaremos que $\ell (\sigma )=n(\sigma ).$ Si $\ell (\sigma )=0,$ el resultado sigue de la primera parte. Supongamos que $\ell (\sigma )>0.$ Entonces, podremos hallar una transposición elemental tal que $\ell (\sigma s_{i})=\ell (\sigma )-1.$ Por lo que $\ell (\sigma s_{i})=n(\sigma s_{i}),$ por inducción y por el lema B, se tendrá que $\ell (\sigma )\geq n(\sigma ),$ de donde el resultado.

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El Signo de una Permutación

Sea $V_{n}:=\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i).$ Para cada $\sigma$ en ${\textsf {S}}_{n}$ definamos

$\sigma (V_{n}):=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\sigma (j)-\sigma (i)).$

Notemos, que $\sigma (V_{n})$ difiere de $V_{n}$ a lo más por el signo. Definamos $\varepsilon _{\sigma }$ por

$\sigma (V_{n}):=\varepsilon _{\sigma }V_{n}.$

Por lo tanto, $\varepsilon _{\sigma }\in \{1,-1\}.$

Ejemplo ($n=5$ ).

${\begin{array}{rcl}V_{5}&:=&(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)\cdot (3-2)(4-2)(5-2)\\&&\qquad \quad \cdot (4-3)(5-3)\cdot (5-4).\end{array}}$

Sea $\tau =(1\,2).$ Entonces,

${\begin{array}{rcl}\tau (V_{5})&:=&(1-2)(3-2)(4-2)(5-2)\cdot (3-1)(4-1)(5-1)\\&&\qquad \quad \cdot (4-3)(5-3)\cdot (5-4).\end{array}}$

Luego, $\varepsilon _{\tau }=-1.$

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Ejemplo ($n\geq 2$ ).

Sea $\sigma$ la transposición $(12).$ Probaremos, formalmente que $\varepsilon _{\sigma }=-1.$ Organizaremos los factores de $V_{n}$ como en el ejemplo anterior. Primero aquellos donde $i=1,$ luego aquellos con $i=2,$ etc.

${\begin{array}{rcl}V_{n}&=&\prod _{i=1}^{n-1}\prod _{1\leq i<j<n}(j-i)\\&=&\prod _{j>1}(j-1)\cdot \prod _{j>2}(j-2)\cdot \prod _{2<i<j<n}(j-i).\end{array}}$

Sean

${\begin{array}{rcl}A&=&\prod _{j>1}(j-1)=(2-1)\prod _{j>2}(j-1)\\B&=&\prod _{j>2}(j-2),\quad {\text{y}}\\C&=&\prod _{2<i<j<n}(j-i).\end{array}}$

Veamos, el efecto de $\sigma$ en $A,$ $B$ y $C.$

${\begin{array}{rcl}\sigma (A)&=&(1-2)\prod _{j>2}(j-2)=(1-2)B=-B\\\sigma (B)&=&\prod _{j>2}(j-1)=A/(2-1)=A\\\sigma (C)&=&C.\end{array}}$

Luego, $\sigma (V_{n})=(-B)AC=-ABC=-V_{n}.$ Por lo que, $\varepsilon _{\sigma }=-1.$ \end{ejemplo}

Claramente, cada inversión produce un cambio de signo, por lo que $\varepsilon _{\sigma }=(-1)^{n(\sigma )}.$ De forma más general, cuando $f:\mathbb {N} ^{+}\longrightarrow \mathbb {N} ^{+}$ es una función cualquiera, tenemos que

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(f(\sigma (j))-f(\sigma (i))=\varepsilon _{\sigma }\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i).$

Lema C.

1. La función signo $\varepsilon :{\textsf {S}}_{n}\rightarrow \{1,-1\}$ es un homomorfismo suprayectivo de grupos, cuando $n\geq 1.$
2. $\varepsilon _{\sigma ^{-1}}=\varepsilon _{\sigma }.$
3. Si $\eta =\tau \sigma \tau ^{-1}$ entonces $\varepsilon _{\eta }=\varepsilon _{\sigma }.$ Es decir que la función signo $\varepsilon$ es constante en las clases de conjugación de ${\textsf {S}}_{n}.$

Demostración:
1. $(\sigma \tau )(V_{n})=\sigma (\tau (V_{n})=\varepsilon _{\sigma }(\tau (V_{n}))=\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\tau }V_{n}.$ Es decir que $\varepsilon _{\sigma \tau }=\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\tau }.$ Lo que prueba el resultado. Como vimos en el ejemplo, cuando $\tau =(12),$ $\varepsilon _{\tau }=-1,$ lo que prueba la suprayectividad.
2. Como $\sigma \sigma ^{-1}=id,$ $\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\sigma ^{-1}}=1,$ se tiene el resultado.
3. $\varepsilon _{\eta }=\varepsilon _{\tau }\varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\tau ^{-1}}=\varepsilon _{\sigma }.$

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Proposición 4.

1. Las transposiciones tienen signo $-1$
2. Cuando $\sigma$ es un $r$ --ciclo, $r>1,$ su signo es $(-1)^{r-1}.$

Demostración: Todas las transposiciones son conjugadas de $(12).$ Los $r$ --ciclos son productos de $(r-1)$ transposiciones. <

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Nomenclatura. Diremos que una permutación es par cuando su signo sea igual a 1; en caso contrario diremos que es una permutación impar.

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El Grupo Alternante

Definición. (Grupo Alternante) Llamamos grupo alternante de grado $n$ al núcleo del homomorfismo signo. Es decir al subgrupo de ${\textsf {S}}_{n}$ formado por todas las permutaciones pares. Notación: ${\textsf {A}}_{n}.$

Observaciones.

1. El grupo ${\textsf {A}}_{n}$ es un subgrupo de índice 2 en ${\textsf {S}}_{n}.$
2. ${\textsf {A}}_{2}=\{id\},$ ${\textsf {A}}_{3}=\{id,(123),(132)\}.$
3. Como los 3--ciclos son permutaciones pares todos ellos están contenidos en ${\textsf {A}}_{n},$ $n>2.$

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La siguiente proposición es un recíproco parcial de la última observación.

Proposición 5. Cada permutación $\sigma$ de ${\textsf {A}}_{n}$ es un producto de 3-ciclos, cuando $n\geq 3.$ Es decir que los 3--ciclos generan al grupo ${\textsf {A}}_{n},$ $n\geq 3,$

Demostración: Como cada permutación es el producto de una cantidad pares de transposiciones, bastara probar que el producto de dos transposiciones es siempre un 3--ciclo o un producto de 3--ciclos.
• Transposiciones disjuntas. $(a\,b)(c\,d)=(a\,d\,c)(a\,b\,c).$
• Transposiciones no disjuntas, $(a\,b)(b\,c)=(a\,b\,c).$

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Ejercicios

1. Hallar la descomposición en ciclos disjuntos de cada uno de los elementos de ${\textsf {S}}_{4}.$ Determinar además $n(\sigma )$ para cada uno de ellos.
2. Expresar como producto de ciclos disjuntos a $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\3&9&7&1&4&2&5&6&6&10\end{pmatrix}}$ .

   Hallar $\sigma ^{-1},$ $\sigma ^{2},$ $\sigma ^{3},$ $\sigma ^{5},$ $\sigma ^{2011}.$

3. Verificar las relaciones siguientes.
   1. $(2\,4)=(2\,3)(3\,4)(2\,3).$
   2. $(2\,5)=(2\,3)(3\,4)(4\,5)(3\,4)(2\,3).$
   3. $(2\,6)=(2\,3)(3\,4)(4\,5)(5\,6)(4\,5)(3\,4)(2\,3).$

   Conjeturar un resultado que establezca una relación entre transposiciones y transposiciones simples, probando de esta manera que las transposiciones simples generan al grupo simétrico.

4. Escribir cada una de las permutaciones siguientes como un producto de transposiciones simples. \smallskip\setcounter{ejt}{0} \begin{tabular}{lp{1.8in}ll} \nejt & $(27).$ &% \nejt & $(1432).$ \\ \nejt & $(123)(456).$ &% \nejt & $(123)(345).$ \\ \end{tabular}
5. Sea $\sigma$ igual al producto de cinco transposiciones simples disjuntas. Hallar $n(\sigma )$
6. Sea $\sigma =(12345)$ y sea $s=(34).$ Hallar $s\sigma s^{-1}.$
7. Probar que el orden de ${\textsf {S}}_{6}$ es divisible por 8, pero no hay elemento de orden 8 en ese grupo.
8. Listar todos los ordenes posibles para los elementos de ${\textsf {S}}_{6}$ y hallar elementos de cada uno de ese orden.
9. Probar que ${\textsf {S}}_{12}$ no tiene un elemento de orden 13, pero sí tiene un elemento de orden 60.
10. Sea $p$ un número primo menor que $n.$ Hallar la cantidad de subgrupos de orden $p$ de ${\textsf {S}}_{p}.$
11. Probar las siguientes afirmaciones:
    1. La cantidad de $2$ --ciclos en ${\textsf {S}}_{n},$ $n\geq 2,$ es ${\dfrac {n(n-1)}{2}}={\binom {n}{2}}.$
    2. La cantidad de $3$ --ciclos en ${\textsf {S}}_{n},$ $n\geq 3,$ es $={\dfrac {n(n-1)(n-2)}{3}}.$

    Generalizar para $r$ --ciclos.

12. Sea $G$ un grupo con generadores $\theta _{I},$ $1\leq i<n,$ tales que
    • $\theta _{i}^{2}=e,$
    • $\theta _{i}\theta _{j}=\theta _{j}\theta _{i}$, cuando $j\neq i\pm 1,$
    • $\theta _{i}\theta _{i+1}\theta _{i}=\theta _{i+1}\theta _{i}\theta _{i+1}.$

    Entonces, $G\cong {\textsf {S}}_{n}.$

Los Grupos de Simetrías

En esta sección, veremos algunos grupos que se presentan de forma natural cuando consideramos simetrías de figuras planas. Primeramente, precisaremos la nomenclatura que usa alremos. Nuestro universo es el plano, al que siempre consideraremos como el plano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}$.

Llamamos transformación del plano a cualquier función del plano en si mismo. Las transformaciones biyectivas son los elementos del grupo simétrico del plano. Estamos interesados en una familia de transformaciones especiales: Las congruencias, que son aquellas transformaciones biyectivas que preservan la distancia entre puntos. Es decir, que la distancia entre las imágenes de un par de puntos es igual a la distancia entre los puntos. Es fácil ver que todas las congruencias determinan un grupo de transformaciones del plano, llamado el grupo euclídeo} del plano y que denotaremos como ${\textsf {Eucl}}_{2}$.

En efecto, si $f$ y $g$ son congruencias, se tiene que

• $d((f(g(P)),f(g(Q))=d(g(P),g(Q))=d(P,Q)$ y
• $d(f^{-1}(P),f^{-1}(Q))=d(f(f^{-1}(P)),f(f^{-1}(Q))=d(P,Q).$

Lo que prueba que efectivamente ${\textsf {Eucl}}_{2}$ es un grupo de transformaciones.

En textos de Geometría se prueba que las traslaciones, rotaciones y reflexiones son congruencias. Además, se verifica que las reflexiones generan el grupo Euclídeo. De hecho que cada congruencia es el producto de a lo más tres reflexiones. Ver o

Nomenclatura. Para las transformaciones de un conjunto cualquiera, tenemos la siguiente nomenclatura con respecto a su acción.

Sea $f$ una transformación de un conjunto $X.$

• Decimos que un punto $x$ de $X$ es fijo por $f,$ o que $f$ fija a $x,$ ssi, $f(x)=x.$
• Decimos que un subconjunto $Y$ es fijo puntualmente por $f,$ o que $f$ fija puntualmente a $Y,$ ssi, cada punto de $f$ es fijo por $f.$
• Decimos que un subconjunto $Y$ es fijo (globalmente) por $f,$ o que $f$ fija puntualmente a $Y,$ ssi, $f(y)=Y.$

Una rotación siempre deja a su centro fijo. Una reflexión (del plano) entorno al eje $X$ deja fijo puntualmente el eje $X$ y globalmente, pero no puntualmente, al eje $Y.$

Las Simetrías

Llamamos figura (plana) a un subconjunto cualquiera del plano. Algunos \newline ejemplos de figuras son las líneas, los cuadrados, las circunferencias, los sectores circulares, etc.

Decimos que una congruencia $\sigma$ es una simetría de una figura </math> F</math> cuando la congruencia fija globalmente a la figura, o sea es tal que $\sigma (F)=F.$

Las simetrías de una figura forman un grupo, subgrupo del grupo Euclídeo, ya que (como es fácil verificar) la identidad es una simetría (de cualquier figura), la composición de dos simetrías de $F$ y la inversa de una simetrías de $F$ son simetrías. Usaremos la notación ${\textsf {Sim}}(F)$ para las simetrías de $F.$

Las Simetrías del Cuadrado

Supongamos que tenemos un cuadrado hecho de un material rígido, donde por material rígido queremos decir que lo podemos manipular sin que se deforme. Supongamos, además, que:

• los vértices están identificados como $A,$ B, $C$ y $D,$ en ambas caras del cuadrado;
• el cuadrado está sobre una superficie fija y hemos marcado los bordes del cuadrado sobre esa superficie y copiado las etiquetas de los vértices;
• el cuadrado está sujeto a la superficie por un alfiler colocado en su centro, de manera que pueda rotar libremente alrededor del alfiler.

Observemos que si rotamos por un cuarto de vuelta, el cuadrado quedará coincidiendo con su imagen en la superficie y que si no fuera por las etiquetas de los vértices, no nos daríamos cuenta del cambio. Esto es lo que quiere decir dejar fija globalmente a la figura. Llamemos $R$ a la rotación por un cuarto de vuelta.

Si volvemos a rotar por $R,$ nuevamente llevaremos al cuadrado a coincidir con su imagen en la superficie. Simbolizaremos por $R^{2}=RR$ la doble rotación, por $R^{3}$ la triple rotación, etc. Notemos que si efectuamos $R^{4}$ (cuatro cuartos de vuelta), volveremos a la posición original, por lo que si no hubiéramos visto el cambio, diríamos que nada ha pasado, que todo se encuentra idénticamente igual a la posición original. Por esa razón escribiremos que $R^{4}=I,$ donde $I$ significa que las etiquetas en el cuadrado y en la superficie coinciden. Es decir que se trata de la identidad que fija todos los puntos de la figura.

En lenguaje de la teoría de grupos, $R$ tiene orden 4.

Es fácil ver que todas las posibles rotaciones distintas, que llevan al cuadrado sobre su imagen, son $I,$ $R,$ $R^{2}$ y $R^{3},$ y que aplicando consecutivamente dos de esas rotaciones, obtenemos una rotación de ese conjunto. Es decir que tenemos una operación en el conjunto de las rotaciones que corresponde a la composición de transformaciones (como funciones).

Como $R^{4}=I,$ tenemos que las rotaciones determinan un grupo cíclico.

¿Habrá otros movimientos del cuadrado que lo lleven a cubrir su imagen en la superficie?
La respuesta es afirmativa, pero tendremos que sacar el alfiler que lo sujetaba a la superficie.

Sea $U$ la reflexión entorno a la diagonal $BD.$ Es decir que envía $A$ en $C,$ $C$ en $A$ y los puntos $B$ y $D$ quedan fijos. Notemos que $U^{2}=I.$ Análogamente, tenemos la reflexión $V$ entorno a $AC$ que envía $B$ en $D$ y $D$ en $V.$ Hay dos reflexiones adicionales ($W_{1},$ $W_{2}$ ) que introduciremos más tarde. La figura muestra las simetrías que son reflexiones del cuadrado, identificadas por su eje. Introduciremos, a continuación, una notación que nos servirá para identificar las simetrías del cuadrado con permutaciones de los vértices.

Observemos que las simetrías quedan totalmente identificadas cuando damos sus efectos en los vértices. Por ejemplo la rotación $R$ es tal que

$A\mapsto B,\quad B\mapsto C,\quad C\mapsto D,\quad D\mapsto A.$

Por lo que podemos identificar a las simetrías del cuadrado con permutaciones del conjunto de vértices. Usando esta identificación, tenemos que

$I={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\A&B&C&D\end{pmatrix}}\quad {\text{y}}\quad R={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\B&C&D&A\end{pmatrix}}.$

De la misma manera, tenemos que las reflexiones introducidas tendrán como permutaciones a

$U={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\C&B&A&D\end{pmatrix}}\quad {\text{y}}\quad V={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\A&D&C&B\end{pmatrix}}.$

Notemos que escribiendo las simetrías anteriores como ciclos, tenemos que

$R=(A\,B\,C\,D),\quad U=(A\,C),\quad V=(B\,D).$

Usando la identificación resulta fácil computar los efectos de aplicar simetrías en forma consecutiva. Por ejemplo,

$RU=(A\,B\,C\,D)(A\,C)=(A\,D)(B\,C)$

Es decir que se intercambian $A$ con $D$ y $B$ con $C.$ Geométricamente, esta es la reflexión $W_{1}$ entorno a la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos $AD$ y $BC.$ Tendremos otra reflexión, $W_{2}$ entorno a un línea que pasa por los puntos medios de $AB$ y $CD,$ es decir que

$W_{2}={\begin{pmatrix}A&B&C&D\\B&A&D&C\end{pmatrix}}=(A\,B)(C\,D).$

Computemos $URU.$

$URU=(A\,C)(A\,B\,C\,D)(A\,C)=(A\,D\,C\,B)=R^{-1}=R^{3}$

.

Observemos que $URU=R^{3}$ implica que $UR=R^{3}U.$

Sea $G$ el grupo generado por $R$ y $U.$ Como tenemos las relaciones $R^{3}=U^{2}=I$ y $RUR=R^{3},$ vemos que coincide con el grupo diedral ${\textsf {D}}_{8},$ poniendo $a=R$ y $b=U.$

Interrogante ¿Habrá otras simetrías del cuadrado?

Suponer que $\sigma$ es una simetría del cuadrado diferente de la identidad.

Cuando un vértice queda fijo por $\sigma ,$ el vértice opuesto también queda fijo, porque en caso contrario su imagen sería adyacente al vértice fijo y no permanecerían invariantes las distancias entre los vértices. Es decir que $\sigma$ es $U=(A\,C)$ o $V=(B\,D).$ Este razonamiento prueba también que no hay 3--ciclos que puedan ser simetrías del cuadrado.

Cuando un conjunto de dos vértices queda globalmente fijo, pero no puntualmente fijo, hay una transposición de los dos vértices. Cuando los vértices son adyacentes, sus opuestos deben intercambiarse ($(X\,Y)(X^{o}\,Y^{o})$ ). Si los vértices son opuestos, el otro par de vértices puede quedar fijo puntualmente o intercambiarse. Por lo que $\sigma$ es una de las siguientes simetrías.

$(A\,B)(C\,D),\quad (A\,D)(B\,C),\quad (A\,C)(B\,D)$

es decir $W_{2},$ $W_{1}$ y $R^{2}.$

Si una simetría diferente de la identidad deja fijo globalmente tres vértices, el cuarto vértice quedaría fijo; lo que vimos anteriormente que es imposible.

Finalmente consideremos el caso donde la simetría $\sigma$ no tiene subconjuntos con dos elementos fijo globalmente. Por lo que se representa por un 4--ciclo.

Entonces, $\sigma (A)\in \{B,C,D\}.$ Si $\sigma (A)=C$ entonces $\sigma (C)=A,$ ya que en caso contrario no se preservaría distancias. Luego, la imagen de $A$ es un vértice adyacente. El mismo razonamiento aplica a los otros vértices, por lo que concluimos que

$\sigma =(A\,B\,C\,D)=R\quad$ o $\quad \sigma =(A\,D\,C\,B)=R^{-1}.$

Como conclusión final tenemos la siguiente proposición.

Proposición 6. El grupo diedral ${\textsf {D}}_{8}$ contiene a todas las simetrías del cuadrado.

Representación Matricial de D₈

Supongamos que estamos trabajando en el plano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}.$ Supongamos, además, que nuestro cuadrado tiene como vértices a $A=(1,0),$ $B=(0,1),$ $C=(-1,0)$ y $D=(0,-1).$

Sean $a={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ y $b={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$

1. Las matrices $a$ y $b$ definen transformaciones (biyectivas) del plano, ya que sus determinantes no son nulos.
2. Sea $P=(p_{1},p_{2}).$ Entonces, $a(P)={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-p_{2}\\p_{1}\end{bmatrix}}.$
3. Sea $Q=(q_{1},q_{2}).$ Entonces, ${\begin{array}{rcl}d(a(P),a(Q))&=&{\sqrt {(-p_{2}-(-q_{2}))^{2}+(p_{1}-q_{1})^{2}}}\\&=&{\sqrt {(p_{1}-p_{2})^{2}+(q_{1}-q_{2})^{2}}}\\&=&d(P,Q).\end{array}}$

   Es decir que $a$ es una congruencia del plano.

4. Se tiene que $b({\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}p_{1}\\-p_{2}\end{bmatrix}}.$ De manera análoga a lo hecho con $a,$ se verifica que $b$ define una congruencia del plano.
5. Por la parte b) se tiene que ${\begin{array}{rcl}a(A)&=&a(1,0)=(0,-1)=B.\\a(B)&=&a(0,1)=(-1,0)=C.\\a(C)&=&a(-1,0)=(0,-1)=D.\\a(D)&=&a(0,-1)=(1,0)=A\end{array}}$

   Por lo tanto, $a$ es una simetría del cuadrado.

6. Es fácil ver que $b(A)=A,$ $b(B)=D,$ $b(C)=A$ y $b(D)=B.$
7. Observando los resultados anteriores tenemos que $a:A\mapsto B\mapsto C\mapsto D\mapsto A$

   por lo que $A$ tiene orden 4.

   Por su parte $b$ tiene orden 2. Finalmente, tenemos que:

   ${\begin{array}{rcl}bab&=&{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}\\&=&{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}=a^{-1}=a^{3}.\end{array}}$

Es decir que $a,b$ generan un subgrupo de matrices isomorfo a $D_{8}.$

Ejercicios

1. Construir el grupo de simetrías de un triángulo equilátero y verificar que es isomorfo a ${\textsf {D}}_{6}.$
2. Sea $G$ un grupo de transformaciones de un conjunto $X$ ( o sea , un subgrupo del grupo simétrico de $X.$
   1. Las transformaciones que fijan un punto $x$ determinan un subgrupo de $G.$
   2. Sea $G_{Y}$ las trasformaciones que fijan globalmente un subconjunto $Y$ de $X.$ Probar que $G_{Y}$ es un subgrupo de $G,$ que contiene como subgrupo a las transformaciones que fijan $Y$ puntualmente.
   3. Sea $x$ un punto fijo de $f,$ Entonces, $g(x)$ es un punto fijo de $gfg^{-1}.$
   
   
3. Sean $\sigma ={\begin{bmatrix}\cos(2\pi /n)&-\operatorname {sen}(2\pi /n)\\\operatorname {sen}(2\pi /n&\cos(2\pi /n)\end{bmatrix}}$ y $\tau ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$ Sea ${\mathcal {P}}_{n}$ el polígono regular con $n$ vértices $A_{0}$ \ldots $A_{n-1},$ $n\geq 3$ ubicados en la circunferencia unitaria del plano cartesiano de modo que $A_{0}=(1,0).$ Probar las siguientes afirmaciones.
   1. $A_{i}=(\cos(2\pi /n,\operatorname {sen}(2\pi /n)$
   2. $\sigma$ y $\tau$ son congruencias del plano.
   3. $\sigma$ es una rotación por un ángulo que mide $2\pi /n$ radianes.
   4. $\tau$ es una reflexión entorno al eje $X.$
   5. El orden de $\sigma$ es $n$ y el orden de $\tau$ es 2.
   6. El grupo de matrices generados por $\sigma$ y $\tau$ es isomorfo al grupo diedral $2n.$
4. (*) Construir el grupo de simetrías del tetraedro regular.
5. (*) Construir el grupo de simetrías de un cubo.

Operaciones con Subconjuntos

Introduciremos una notación que nos ayudará en el enunciado de teoremas y que, también, será útil en consideraciones posteriores.

Definición. (Operaciones con Subconjuntos) Sea $G$ un grupo y sean A, $B$ subconjuntos de $G.$

1. Llamamos (conjunto) producto de $A$ con $B$ al conjunto denotado por $AB$ y que está formado por todos los productos $ab$ tales que $a$ está en $A$ y $b$ está en B. Cuando $A$ o $B$ consistan solamente de un elemento, escribiremos solamente el elemento; por ejemplo, si $A=\{a\}$ escribiremos $aB$ en lugar de ${a}B.$ Cuando la notación es aditiva, simbolizamos por $A+B,$ al conjunto formado por todas las sumas de un elemento de $A$ con un elemento de B.
2. $A^{-1}$ denotará al conjunto formado por los inversos de los elementos de $A.$
   Notación Aditiva: $-A$ (los opuestos aditivos de todos los elementos de $A.$
   
3. En forma general, $A^{n}$ denotará el conjunto de las potencias enésimas de elementos de $A.$ Notación aditiva: $nA$ (todos los $n$ múltiplos de elementos de A.).

Observaciones. Sea $G$ un grupo.

• Decir que $F$ es una parte cerrada de $G,$ es equivalente a decir que $FF$ es un subconjunto de $F.$
• Análogamente, decir que $F$ es cerrado respecto a inversos, es equivalente a decir que $F^{-1}$ es un subconjunto de $F.$
• Decir que $H$ es un subgrupo de $G,$ es equivalente a decir que $H$ no es vacío y que $HH^{-1}$ es un subconjunto de $H.$
• Decir que $aS=Sa$ es equivalente a decir que para cada $s$ de $S$ hay un $s'$ en $S$ tal que $as=s'a,$

Ejemplo.

Sean $G=<\mathbb {Z} ,+>,$ $A=2\mathbb {Z}$ y $B=3\mathbb {Z} .$ ¿Qué es $A+B$ ? Notemos la notación aditiva usada ya que la operación del grupo es suma.

Resolución. Como $2\mathbb {Z}$ está formado por todos los múltiplos de 2 y $3\mathbb {Z}$ por todos los múltiplos de 3, $A+B$ estará formado por todos los enteros que son iguales a la suma de un múltiplo de 2 con un múltiplo de 3. Como $1=(-1)*2+1*3$ Se tiene que $2\mathbb {Z} +3\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$

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Advertencia.

Cuando $H$ y $K$ son subgrupos de $G,$ el conjunto $HK$ no es necesariamente un subgrupo de $G,$ ya que si $x_{1}y_{1}yx_{2}y_{2}$ son elementos de $HK,$ no necesariamente se tiene que $x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}$ sea igual a un $xy$ de $HK.$

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Ejemplo.

Sea $G={\textsf {S}}_{3}=\langle a,b:a^{3}=b^{2}=e,bab^{-1}=a^{2}\rangle .$ Sean $A=\langle ab\rangle =\{e,ab\}$ y $B=\langle b\rangle =\{e,b\}.$ Entonces, $AB=\{ee,eb,abe,abb\}=\{e,b,ab,a\}.$ Notemos que, en este ejemplo, $A$ y $B$ son subgrupos de $G,$ pero que $AB$ no lo es (¿por qué no es subgrupo?).

Sea $C=\{a,ab\},$ entonces $C^{-1}=\{a^{-1},(ab)^{-1}\}=\{a^{2},ba^{2}\}=\{a^{2},ab\}.$

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Ejercicios

1. Sea $G=\mathbb {Z} _{36}.$ Hallar los elementos de los conjuntos indicados, cuando $A=\{9,10\},$ $B=\{5,18,20\}.$
   1. $A+B.$
   2. $-A.$
   3. $-B.$
2. Sea $G={\textsf {D}}_{8}$ y sean $A=\{a,a^{2}\},$ $B=\{ab,a^{2}b\}.$ Hallar los conjuntos indicados. $AB,\quad BA,\quad aB,\quad bA,\quad ABBA,\quad A^{-1}.$
3. Sean $A,B,C$ subconjuntos de un grupo cualquiera. Entonces, $A(BC)=(AB)C.$

Subgrupo Generado por dos Subgrupos

En general, cuando $H$ y $K$ son subgrupos, el producto $HK$ no es un subgrupo, por lo que el subgrupo que contenga a dos subgrupos debe definirse otra manera.

Definición. ($H\vee K$ ) Sean $H$ y $K$ subgrupos de un grupo $G.$ Por $H\vee K$ denotaremos al subgrupo generado por la (re)unión de $H$ y $K.$

$H\vee K=\langle H,G\rangle :=\langle H\cup K\rangle .$

Sea $L=HvK.$ Claramente, $H$ y $K$ están contenidos en $L,$ por lo que $H$ y $K$ son subgrupos de $L.$ Sea $S$ cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $H$ y a $K.$ Entonces, contendrá cualquier producto de elementos de $H$ y $K,$ por lo que contendrá a $L,$ probando que $L$ es el menor subgrupo que contiene a $H$ y $K.$

Proposición 6. ($H\vee K$ ) Sean $H,$ $K$ subgrupos de $G.$ Entonces, $H\vee K$ es el menor subgrupo (respecto a la inclusión) que contiene a ambos subgrupos.}}

Ejemplo.

Sea $G={\textsf {D}}_{8}=\langle a,b|a^{4}=b^{2}=e,bab^{-1}=a^{3}\rangle .$ Sean $H=\langle a\rangle$ y $K=\langle b\rangle .$ Entonces, $G=H\vee K.$

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Diagrama de Subconjuntos El conjunto de subgrupos es un conjunto parcialmente ordenado por la inclusión. Dados subgrupos $H,$ $K$ se tiene que

$H\cap K\subset H,K\subset H\vee K.$

Es decir, que dos elementos tienen siempre un mayor elemento menor o igual que ellos y un menor elemento mayor o igual que ellos. Conjuntos parcialmente ordenados con esa propiedad se llaman Retículos.

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Producto Directo de Subgrupos

Diremos que un grupo $G$ es el producto interno de dos subgrupos $H$ y $K,$ cuando $G$ sea isomorfo al product $H\times K.$

Proposición 7. (Producto Interno) Sea $G$ un grupo y sean $H,$ $K$ subgrupos de $G.$ $G$ es el producto interno de $H$ y $K,$ ssi, se cumple que:

1. $H\cap K=\{e\}.$
2. Si $h$ está en $H$ y $k$ está en $K,$ $hk=kh.$
3. $G$ está generado por $H$ y $K.$

Demostración: ($\Rightarrow$ ) Supongamos que hay un isomorfismo $\mu :P=H\times K\rightarrow G$ tal que $\mu (h,k)=hk.$ Observemos que en $P=H\times K,$ $H\times \{e\}$ es un subgrupo de $P$ cuya imagen por $\mu$ es $\{he:h\in H\}=H.$ Por lo que $H\times \{e\}\cong H.$ Análogamente, $K\times \{e\}\cong K.$ Observemos que si $x\in H\cap K$ entonces $\mu ^{-1}(x)$ está en $H\times \{e\}$ y $\{e\}\times K,$ por lo debe ser igual a $(e,e),$ de donde $x=e.$ Observando que $hk\leftrightarrow (h,e)(e,k)=(h,k)=(k,e)(h,e)\leftrightarrow kh,$ tenemos la parte 2. La tercera parte sigue de que $H\times K$ está generado por $H\times \{e\}{\text{ y }}\{e\}\times K.$ ($\Leftarrow$ ) Sea $\theta :H\times K\rightarrow G$ tal que $\theta (h,k)=hk.$ La conmutatividad de los elementos de $H$ con los elementos de $K$ implica que $\theta ((h,k)(h',k'))=\theta (hh',kk')=hh'kk'=hkh'k'=\theta (h,k)\theta (h',k').$

Es decir que $\theta$ es un homomorfismo de grupos.

Si $\theta (h,k)=hk=e,$ tenemos que $h=k^{-1}$ es decir que h está en $H\cap K,$ por lo que $h=k=e,$ lo que implica que $\theta$ es inyectiva. Como $H,$ $K$ generan a $G,$ tenemos que los elementos de $G$ son productos de la forma

$h_{1}k_{1}h_{2}k_{2}\cdots h_{r}k_{r}.$

Por la conmutatividad de los elementos de $H$ con los elementos de $K,$ tenemos que el producto anterior se puede reescribir con todos los $h_{i}$ adelante de los $k_{j},$ es decir de la forma hk con h en $H$ y k en K. Lo que muestra que $\theta$ es suprayectiva, probando que $\theta$ es un isomorfismo.

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Ejercicios del Capítulo

1. Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo ${\textsf {D}}_{8}.$
2. Sea $G$ el grupo cuya tabla se indica a continuación. $\scriptstyle {\begin{array}{c|cccccccccccc}&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b\\\hline e&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b\\a&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&e&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b&b\\a^{2}&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&e&a&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b&b&ab\\a^{3}&a^{3}&a^{4}&a^{5}&e&a&a^{2}&a^{3}b&a^{4}b&a^{5}b&b&ab&a^{2}b\\a^{4}&a^{4}&a^{5}&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}b&a^{5}b&b&ab&a^{2}b&a^{3}b\\a^{5}&a^{5}&e&a&a^{2}&a^{3}&a^{4}&a^{5}b&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&a^{4}b\\b&b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&e&a^{5}&a^{4}&a^{3}&a^{2}&a\\ab&ab&b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&a&e&a^{5}&a^{4}&a^{3}&a^{2}\\a^{2}b&a^{2}b&ab&b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}&a&e&a^{5}&a^{4}&a^{3}\\a^{3}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{3}b&a^{4}b&a^{3}&a^{2}&a&e&a^{5}&a^{4}\\a^{4}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{5}b&a^{4}&a^{3}&a^{2}&a&e&a^{5}\\a^{5}b&a^{5}b&a^{4}b&a^{3}b&a^{2}b&ab&b&a^{5}&a^{4}&a^{3}&a^{2}&a&e\end{array}}$
   1. Probar que $G=\langle a,b|a^{6}=b^{2}=e,bab=a^{5}\rangle .$
   2. Probar que $G={\textsf {D}}_{12}$ es el grupo de las simetrías del hexágono regular. (Sugerencia: Suponga que los vértices del hexágono son en forma ordenada cíclica $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ y $F.$ Llamar $\alpha$ a la rotación entorno al centro por $60$ grados. Llamar $\beta$ a la reflexión entorno a la línea que pasa por $AD.$ Probar que $\alpha ^{6}=id=\beta ^{2}$ y que $\beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{5}..$ Representar $\alpha$ y $\beta$ como permutaciones para efectuar las computaciones.)
   3. Hallar cada uno de los subgrupos indicados: $<a>,$ $<b>,$ $<a^{3}>,$ $<a^{2}b>,$ $<a,b>,$ $<a^{2},b>,$ $<a^{3},b>.$
   4. Dibujar el diagrama de subgrupos de ${\textsf {D}}_{12}.$
   5. Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo.
3. Probar que ${\textsf {D}}_{12}\cong {\textsf {D}}_{6}\times \mathbb {Z} _{2}.$ Interpretar geométricamente el resultado.
4. Sea $G=\mathbb {Z} _{10}.$ Sean $A=\{[2],[4],[5]\}$ y $B=\{[1],[7]\}.$ Determinar los siguientes conjuntos $A+B,$ $-A,$ $2B.$
5. Consideremos el grupo $<\mathbb {Z} ,+>.$
   1. Probar que cada número entero puede escribirse como un múltiplo de 5 más un múltiplo de 3. Usar lo anterior, para concluir que $\mathbb {Z} =5\mathbb {Z} +3\mathbb {Z} .$
   2. Probar que $4\mathbb {Z} +6\mathbb {Z} \neq \mathbb {Z} .$
   3. ¿Cuándo, para un par de números enteros $m$ y $n,$ se cumple que $m\mathbb {Z} +n\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ ?
6. Sean $H$ y $K$ subgrupos de $G$ tales que $H\cap K=\{e\}.$ Probar que cada elemento de $HK$ tiene una única representación como $hk$ con $h$ en $H$ y $k$ en $K.$ (Sug. Suponer que $h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}$ ).
7. Construir la tabla del grupo aditivo $\mathbb {Z} _{10}.$ Sean math>H= [2],</math> $K=<5>.$ Probar que $\mathbb {Z} _{10}\cong H\oplus K.$ de las dos maneras siguientes.
   1. Usando el teorema de la sección de productos.
   2. Mostrando que $Z_{10}\cong \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{2},$ $\mathbb {Z} _{5}\cong H$ y $\mathbb {Z} _{2}\cong K$
8. Sea $G={\textsf {S}}_{4}.$ Hallar los subgrupos generados por los conjuntos $S$ indicados.
   1. $S=\{(12)(34),(14)(23)\}.$
   2. $S=\{(1234)\}.$
   3. $S=\{(123),(234),(143)\}.$
9. Clasificar los enunciados siguientes en válidos o falsos.
   1. Todo grupo puede presentarse como un conjunto de generadores.
   2. Un grupo finitamente generado es finito.
   3. Cuando los generadores de un grupo permutan entre si, entonces el grupo es abeliano.
   4. Un grupo que es producto de otros dos es infinito.

   
   

10. Los generadores de ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$. Verificar que las matrices elementales generan al grupo lineal.
    Las matrices elementales son: ${\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\x&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\0&x\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.$

    donde $x$ es cualquier número real.

    Hallar los inversos de cada una de las matrices elementales y observar que son también elementales.

    Sea $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ invertible. Por lo tanto, el determinante de $A$, $ad-bc$ no es nu

    1. Suponer que $c=0$. Entonces $ad\neq 0$.
       Probar que ${\begin{bmatrix}1&-d/b\\0&1\end{bmatrix}}*A$ es una matriz diagonal.
    2. Suponer $a\neq 0$ y $c\neq 0$.Probar que ${\begin{bmatrix}1&-c/a\\0&1\end{bmatrix}}*A$ es una matriz que tiene un cero en la posición (2,1).
    3. Suponer que $a=0$ (por lo que $c\neq 0$.) Probar que ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ intercambia la primera fila con la segunda.

    Los procedimientos anteriores muestran como podemos por multiplicación por matrices elementales obtener una matriz diagonal a partir de una matriz invertible cualquiera.

    1. Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, usamos la matriz de intecambio (c) para obtener un elemento no nulo en la posición (1,1) del producto.
    2. Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, aplicando el paso (b) obtenemos un elemento nulo en la posicion (2,3) del producto.
    3. Finalmente, si el elemento en la posición (1,2) no es nulo, aplicamo el paso (a) para obtener un producto con cero en la posición (1,2).

    Nuestro producto es ahora una matriz diagonal. Observando que

    ${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}1&0\\0&a\end{bmatrix}}$

    completamos los productos necesario obtener la identidad.

Comentarios

La determinación de los conjuntos generadores de un grupo tienen importancia teórica y práctica. Una rama especializada la teoría combinatoria de grupos, que estudia a los gruposgrupos desde el punto de vista de sus generadores y restricciones.

Un objeto muy interesante es el grupo libre sobre un conjunto $S$ que consiste de todos las palabras posibles con alfabeto $S$. Se prueba que tofo grupo finito se obiene por restricciones de un rupo linreinitente generado.

Lectura adicïonal Wiipedia:Concepto generador de un grupo.

Notas