Álgebra Abstracta/Grupos Generados

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Álgebra Abstracta


Introducción[editar]

En este capítulo, generalizamos la noción de grupo cíclico, para considerar grupos generados por un subconjunto arbitrario. Aprovecharemos el capítulo para explorar más cuidadosamente los grupos diedrales y expandir nuestro conocimiento de los grupos simétricos. Veremos también como extender las operaciones entre elementos de un grupo a subconjuntos del grupo. Aprovecharemos lo anterior para ver un criterio para determinar si un grupo es producto de dos de sus subgrupos.

Sea un grupo y sea ¿Qué quiere decir que genera a  ? Simplemente que cada elemento de es un producto de potencias enteras de elementos de Por ejemplo, Inclusive, podríamos considerar conjuntos infinitos y formar productos, como arriba, de subconjuntos finitos de La manera matemática de hacer lo anterior será expuesta a continuación.

Subgrupos Generados por Subconjuntos[editar]

Sean un grupo, un subconjunto no vacío de y un subgrupo de Cuando x, y son elementos de tenemos que tanto como y son elementos de Las relaciones anteriores se extienden a productos cualesquiera.

Lema 1. Sean un grupo, un subconjunto no vacío de y un subgrupo de Sean elementos de tales que está en o su inverso está en . Entonces, está en

    Demostración: (Inducción sobre .) Si , el resultado es trivial.
    Supongamos el resultado válido para productos de elementos con la propiedad indicada y consideremos ahora un producto de elementos: . Por la hipótesis de inducción, el producto de los primeros elementos es un elemento de Como el producto total es igual a , se concluye que el producto está en El resultado sigue por inducción.


Lema 2. Sean un grupo, un subconjunto no vacío de Sea el conjunto formado por todos los productos de la forma

donde cada factor o su inverso están en Entonces, es un subgrupo de que es un subgrupo de cualquier subgrupo que contenga a

(Convenio. Diremos que un producto con k=0 factores es el elemento neutro del grupo.)

    Demostración: Sean , elementos de Claramente, no es vacío ya que contiene todos los elementos de (productos de largo 1). Igualmente, es fácil ver que es un producto de la forma indicada para estar en . Finalmente, como
    tenemos que es un subgrupo de El resto sigue del lema anterior.


Definición. (Subgrupo Generado) Sean un grupo y un subconjunto de Decimos que un subgrupo de está generado por cuando . En tal caso, decimos que es un conjunto de generadores de

  • En particular, un grupo es un grupo generado por un subconjunto cuando lo sea como subgrupo de si mismo.
  • Notemos que cuando contiene un solo elemento, es el grupo cíclico generado por ese único elemento.
  • Cuando la notación es aditiva, está formado por todas las sumas cuyos sumandos son elementos de u opuestos aditivos de elementos de
  • Decimos que el grupo está finitamente generado, cuando sea un conjunto finito.
  • De acuerdo al convenio indicado, el subgrupo generado por el conjunto vacío es el subgrupo trivial {e}.

Ejemplos.

  • Los grupos cíclicos son grupos generados por un elemento.
  • El conjunto de generadores no es único.
    Por ejemplo, el grupo cíclico es generado por pero también por ya que

La siguiente proposición establece una caracterización de en términos de subgrupos de

Proposición 1. (Intersección de Subgrupos) Sean un grupo y un subconjunto de Sea la intersección de todos los subgrupos de que contienen a Entonces, .

    Demostración: Realmente lo único que hay que probar es que es un subgrupo de Notemos que no es vacío, ya que el elemento neutro es elemento de cualquier subgrupo y, en particular, de aquellos que contienen a Sean x, y elementos de Entonces, dichos elementos estarán en cualquier subgrupo que contenga a (Lema 1). Para cada uno de esos subgrupos , tendremos que está en por lo que estará en la intersección de esos subgrupos. Lo que prueba que es un subgrupo. Por el lema 2, es un subgrupo de Pero como, es la intersección de todos los subgrupos que contienen a está contenido en Luego, .


El siguiente ejemplo muestra como usamos lo anterior para asegurar la existencia de un subgrupo, aunque no tengamos una idea precisa de cuales son sus elementos.

Ejemplo.(Subgrupo de los Conmutadores).

Sea un grupo. Llamamos conmutador de los elementos al elemento denotado por y definido por .
Llamamos subgrupo de los conmutadores o grupo derivado de al subgrupo generado por todos los conmutadores de Lo simbolizamos por .


El grupo Diedral[editar]

Llamamos grupo diedral de orden al grupo denotado por y definido como

Esto es, tiene dos generadores llamados y , sujetos a las restricciones indicadas.

Observemos que genera un subgrupo cíclico de orden y un subgrupo cíclico de orden 2. Luego, es el inverso de mientras que es su propio inverso. Al ser generado por los elementos son productos de . Por la observación anterior, esto se reduce a productos de potencias naturales de y .

donde los son positivos o cero. Observando que la tercera restricción, implica que vemos que cada vez que haya una delante de una , podremos aplicar la relación anterior y la pasa para detrás de Así, que consiste de los productos

Luego, tiene elementos diferentes.

Por ejemplo, supongamos que tenemos en ( ) los elementos , y Entonces, tenemos las siguientes simplificaciones.

De acuerdo a lo anterior, tenemos que,

Aplicando lo dicho arriba, tenemos la siguiente tabla para


Generadores del Grupo Lineal[editar]

En cursos básicos (también en curso de ÁLgebra Lineal) se estudia un procedimiento muy eficaz para la resolución de sistemas numéricos de ecuaciones lineales: el procidiemiento de Gauss-Joradan. Dicho procedimiento consiste de manipulaciones de las filas del sistema que permite (cuando hay solución única) diagonalizar el sistema.

Dichos procedimientos son equivalengtes a multiplicaciones por la izquierda con matrices especiales, llamadas matrices elementales . El procedimiento implica que cualquier matriz invertible, multiplicada de una secuencia de matgrices elementales produce la identidad. Como los inversos de matrices elementales son también elmentales, lo anterior implica que cualquier matriz invertible es igual a un producto de matrices elementales. Es decir que el grupo lineal está generado por las matrices elementales.


Los Generadores del Grupo Simétrico[editar]

En el capítulo anterior, vimos que cada permutación era un producto de ciclos, lo que el lenguaje de esta capítulo dice que los grupos simétricos son generados por ciclos. Veremos, a continuación, otros posibles conjuntos de generadores. Introduciremos la noción de signo de una permutación que ilustrará la eficiencia de disponer de buenos conjuntos de generadores y que nos servirá para introducir un importante subgrupo de el grupo alternante.

Descomposición en transposiciones[editar]

Sabemos que cada permutación puede expresarse como producto de ciclos disjuntos. Veremos, a continuación, como expresar un ciclo como producto de transposiciones y, posteriormente, como producto de una familia especial de transposiciones.

Proposición 2. Cada ciclo de largo es un producto de transposiciones.

    Demostración: Si el resultado es trivial. Supongamos el resultado cierto para todos los ciclos de largo inferior o igual a Sea y sea Entonces, For Also, and Luego, es un ciclo de largo Por inducción,

    Multiplicando en la derecha por obtenemos el resultado.


Corolario 1.1. El grupo simétrico es generado por sus transposiciones.


La cantidad de generadores de un grupo simétrico puede reducirse aún más si consideramos una familia especial de transposiciones.

Definición. (Transposición Simple) Llamamos transposiciones simples de a las transposiciones


Una noción que está asociada con las transposiciones es la noción de inversión.

Definición. (Inversión) Sea en Una inversión de es un par tal que Simbolizaremos al conjunto formado por todas las inversiones de por y por a la cantidad de inversiones de


Ejemplo.

Sea

Se tiene las siguientes inversiones: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (3,4), por lo que


Ejemplo (Bubble Sort).

En muchas situaciones, necesitamos ordenar (respecto a algún criterio) una lista desordenada de objetos. En computación, hay un algoritmo llamado ordenamiento por la burbuja (en inglés, bubble sort) que se basa en el resultado anunciado. El algoritmo es fácil de recordar:

Suponer dada una lista

  1. Recorra la lista, cuando haya una inversión, intercambie los objetos correspondientes.
  2. Si se hallan inversiones, la lista está ordenada.
  3. Volver al inicio de la lista y efectuar el paso 1.


Ejemplo.

Ordenar la lista 632145 en orden ascendente.

A continuación, indicamos los pasos

Si pensamos la lista original como una permutación de 123456, tenemos que multiplicando por las transposiciones realizadas, obtendremos la identidad.

Luego, como las transposiciones son sus propios inversos, tenemos que

Notemos que aparecieron las transposiciones simples.



Lema A Sea en ssi, Si entonces hay un tal que

    Demostración: Cuando se tiene que no hay inversiones de donde se tiene el resultado. Supongamos que Si para todo se tiene que implica que Luego, implica que Si para Entonces implica que Por inducción, concluimos que Luego, hay tales que Sea el menor de tales enteros. Entonces, el par es una inversión. Lo que prueba que Si se tiene que  ; por lo que tenemos la segunda afirmación.


Lema B. Sea una transposición simple y sea en Entonces,

    Demostración: Supongamos que Entonces, Por lo que el par es una inversión de Sea una inversión de y consideremos el par Se debe tener que ya que la única inversión de es que como no es una inversión de no se puede tener que Entonces es una inversión de que no es igual a Por lo tanto, la correspondencia que a cada par de le asocia el par de es una función que probaremos que es biyectiva. En efecto, dicha función tiene inversa dada por por el mismo argumento usado arriba. Luego, Suponer, ahora, que Entonces, Luego, por el resultado anterior. Despejando se obtiene lo anunciado.


Usaremos los lemas anteriores para probar la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea en Entonces

  1. es un producto de transposiciones simples.
  2. es la menor cantidad de transposiciones simples necesarias para escribir como un producto de transposiciones simples.
    Demostración: Usaremos inducción sobre para probar a). Si se tiene que que se puede considerar como el producto de un conjunto vacío de transposiciones. Cuando no es la identidad, por el lema A, hay un entero tal que Por lo que Por inducción, puede escribirse como el producto de transposiciones simples. Luego, es el producto de transposiciones simples. Lo que prueba la parte a). Para probar la minimalidad de supongamos que es la cantidad menor necesaria de transposiciones. Sigue de lo anterior que Por inducción, sobre probaremos que Si el resultado sigue de la primera parte. Supongamos que Entonces, podremos hallar una transposición elemental tal que Por lo que por inducción y por el lema B, se tendrá que de donde el resultado.


El Signo de una Permutación[editar]

Sea Para cada en definamos

Notemos, que difiere de a lo más por el signo. Definamos por

Por lo tanto,

Ejemplo ( ).

Sea Entonces,

Luego,


Ejemplo ( ).

Sea la transposición Probaremos, formalmente que Organizaremos los factores de como en el ejemplo anterior. Primero aquellos donde luego aquellos con etc.

Sean

Veamos, el efecto de en y

Luego, Por lo que, \end{ejemplo}

Claramente, cada inversión produce un cambio de signo, por lo que De forma más general, cuando es una función cualquiera, tenemos que

Lema C.

  1. La función signo es un homomorfismo suprayectivo de grupos, cuando
  2. Si entonces s decir que la función signo es constante en las clases de conjugación de
    Demostración:
    1. Es decir que

      Lo que prueba el resultado.

      Como vimos en el ejemplo, cuando lo que prueba la suprayectividad.

    2. Como se tiene el resultado.


Proposición 4.

  1. Las transposiciones tienen signo
  2. Cuando es un --ciclo, su signo es

    Demostración: Todas las transposiciones son conjugadas de Los --ciclos son productos de transposiciones. <


Nomenclatura. Diremos que una permutación es par cuando su signo sea igual a 1; en caso contrario diremos que es una permutación impar.


El Grupo Alternante[editar]

Definición. (Grupo Alternante) Llamamos grupo alternante de grado al núcleo del homomorfismo signo. Es decir al subgrupo de formado por todas las permutaciones pares. Notación:


Observaciones.

  1. El grupo es un subgrupo de índice 2 en
  2. Como los 3--ciclos son permutaciones pares todos ellos están contenidos en

La siguiente proposición es un recíproco parcial de la última observación.

Proposición 5. Cada permutación de es un producto de 3-ciclos, cuando Es decir que los 3--ciclos generan al grupo

    Demostración: Como cada permutación es el producto de una cantidad pares de transposiciones, bastara probar que el producto de dos transposiciones es siempre un 3--ciclo o un producto de 3--ciclos.
    • Transposiciones disjuntas.
    • Transposiciones no disjuntas,


Ejercicios[editar]

  1. Hallar la descomposición en ciclos disjuntos de cada uno de los elementos de Determinar además para cada uno de ellos.
  2. Expresar como producto de ciclos disjuntos a
    .

    Hallar

  3. Verificar las relaciones siguientes.

    Conjeturar un resultado que establezca una relación entre transposiciones y transposiciones simples, probando de esta manera que las transposiciones simples generan al grupo simétrico.

  4. Escribir cada una de las permutaciones siguientes como un producto de transposiciones simples. \smallskip\setcounter{ejt}{0} \begin{tabular}{lp{1.8in}ll} \nejt & &% \nejt & \\ \nejt & &% \nejt & \\ \end{tabular}
  5. Sea igual al producto de cinco transposiciones simples disjuntas. Hallar
  6. Sea y sea Hallar
  7. Probar que el orden de es divisible por 8, pero no hay elemento de orden 8 en ese grupo.
  8. Listar todos los ordenes posibles para los elementos de y hallar elementos de cada uno de ese orden.
  9. Probar que no tiene un elemento de orden 13, pero sí tiene un elemento de orden 60.
  10. Sea un número primo menor que Hallar la cantidad de subgrupos de orden de
  11. Probar las siguientes afirmaciones:
    1. La cantidad de --ciclos en es
    2. La cantidad de --ciclos en es

    Generalizar para --ciclos.

  12. Sea un grupo con generadores tales que
    • , cuando

    Entonces,

Los Grupos de Simetrías[editar]

En esta sección, veremos algunos grupos que se presentan de forma natural cuando consideramos simetrías de figuras planas. Primeramente, precisaremos la nomenclatura que usa alremos. Nuestro universo es el plano, al que siempre consideraremos como el plano cartesiano .

Llamamos transformación del plano a cualquier función del plano en si mismo. Las transformaciones biyectivas son los elementos del grupo simétrico del plano. Estamos interesados en una familia de transformaciones especiales: Las congruencias, que son aquellas transformaciones biyectivas que preservan la distancia entre puntos. Es decir, que la distancia entre las imágenes de un par de puntos es igual a la distancia entre los puntos. Es fácil ver que todas las congruencias determinan un grupo de transformaciones del plano, llamado el grupo euclídeo} del plano y que denotaremos como .

En efecto, si y son congruencias, se tiene que

  • y

Lo que prueba que efectivamente es un grupo de transformaciones.

En textos de Geometría se prueba que las traslaciones, rotaciones y reflexiones son congruencias. Además, se verifica que las reflexiones generan el grupo Euclídeo. De hecho que cada congruencia es el producto de a lo más tres reflexiones. Ver [1] o [2]

Nomenclatura. Para las transformaciones de un conjunto cualquiera, tenemos la siguiente nomenclatura con respecto a su acción.

Sea una transformación de un conjunto

  • Decimos que un punto de es fijo por o que fija a ssi,
  • Decimos que un subconjunto es fijo puntualmente por o que fija puntualmente a ssi, cada punto de es fijo por
  • Decimos que un subconjunto es fijo (globalmente) por o que fija puntualmente a ssi,

Una rotación siempre deja a su centro fijo. Una reflexión (del plano) entorno al eje deja fijo puntualmente el eje y globalmente, pero no puntualmente, al eje

Las Simetrías[editar]

Llamamos figura (plana) a un subconjunto cualquiera del plano. Algunos \newline ejemplos de figuras son las líneas, los cuadrados, las circunferencias, los sectores circulares, etc.

Decimos que una congruencia es una simetría de una figura </math> F</math> cuando la congruencia fija globalmente a la figura, o sea es tal que

Las simetrías de una figura forman un grupo, subgrupo del grupo Euclídeo, ya que (como es fácil verificar) la identidad es una simetría (de cualquier figura), la composición de dos simetrías de y la inversa de una simetrías de son simetrías. Usaremos la notación para las simetrías de

Las Simetrías del Cuadrado[editar]

Supongamos que tenemos un cuadrado hecho de un material rígido, donde por material rígido queremos decir que lo podemos manipular sin que se deforme. Supongamos, además, que:

  • los vértices están identificados como B, y en ambas caras del cuadrado;
  • el cuadrado está sobre una superficie fija y hemos marcado los bordes del cuadrado sobre esa superficie y copiado las etiquetas de los vértices;
  • el cuadrado está sujeto a la superficie por un alfiler colocado en su centro, de manera que pueda rotar libremente alrededor del alfiler.
RotacionesCuadrado.jpg

Observemos que si rotamos por un cuarto de vuelta, el cuadrado quedará coincidiendo con su imagen en la superficie y que si no fuera por las etiquetas de los vértices, no nos daríamos cuenta del cambio. Esto es lo que quiere decir dejar fija globalmente a la figura. Llamemos a la rotación por un cuarto de vuelta.

Si volvemos a rotar por nuevamente llevaremos al cuadrado a coincidir con su imagen en la superficie. Simbolizaremos por la doble rotación, por la triple rotación, etc. Notemos que si efectuamos (cuatro cuartos de vuelta), volveremos a la posición original, por lo que si no hubiéramos visto el cambio, diríamos que nada ha pasado, que todo se encuentra idénticamente igual a la posición original. Por esa razón escribiremos que donde significa que las etiquetas en el cuadrado y en la superficie coinciden. Es decir que se trata de la identidad que fija todos los puntos de la figura.

En lenguaje de la teoría de grupos, tiene orden 4.

Es fácil ver que todas las posibles rotaciones distintas, que llevan al cuadrado sobre su imagen, son y y que aplicando consecutivamente dos de esas rotaciones, obtenemos una rotación de ese conjunto. Es decir que tenemos una operación en el conjunto de las rotaciones que corresponde a la composición de transformaciones (como funciones).

Como tenemos que las rotaciones determinan un grupo cíclico.

¿Habrá otros movimientos del cuadrado que lo lleven a cubrir su imagen en la superficie?
La respuesta es afirmativa, pero tendremos que sacar el alfiler que lo sujetaba a la superficie.

Sea la reflexión entorno a la diagonal Es decir que envía en en y los puntos y quedan fijos. Notemos que Análogamente, tenemos la reflexión entorno a que envía en y en Hay dos reflexiones adicionales ( ) que introduciremos más tarde. La figura muestra las simetrías que son reflexiones del cuadrado, identificadas por su eje. Introduciremos, a continuación, una notación que nos servirá para identificar las simetrías del cuadrado con permutaciones de los vértices.

ReflexionesCuadrado.jpg

Observemos que las simetrías quedan totalmente identificadas cuando damos sus efectos en los vértices. Por ejemplo la rotación es tal que

Por lo que podemos identificar a las simetrías del cuadrado con permutaciones del conjunto de vértices. Usando esta identificación, tenemos que

De la misma manera, tenemos que las reflexiones introducidas tendrán como permutaciones a

Notemos que escribiendo las simetrías anteriores como ciclos, tenemos que

Usando la identificación resulta fácil computar los efectos de aplicar simetrías en forma consecutiva. Por ejemplo,

Es decir que se intercambian con y con Geométricamente, esta es la reflexión entorno a la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos y Tendremos otra reflexión, entorno a un línea que pasa por los puntos medios de y es decir que

Computemos

.

Observemos que implica que

Sea el grupo generado por y Como tenemos las relaciones y vemos que coincide con el grupo diedral poniendo y


Interrogante ¿Habrá otras simetrías del cuadrado?

Suponer que es una simetría del cuadrado diferente de la identidad.

Cuando un vértice queda fijo por el vértice opuesto también queda fijo, porque en caso contrario su imagen sería adyacente al vértice fijo y no permanecerían invariantes las distancias entre los vértices. Es decir que es o Este razonamiento prueba también que no hay 3--ciclos que puedan ser simetrías del cuadrado.

Cuando un conjunto de dos vértices queda globalmente fijo, pero no puntualmente fijo, hay una transposición de los dos vértices. Cuando los vértices son adyacentes, sus opuestos deben intercambiarse ( ). Si los vértices son opuestos, el otro par de vértices puede quedar fijo puntualmente o intercambiarse. Por lo que es una de las siguientes simetrías.

es decir y

Si una simetría diferente de la identidad deja fijo globalmente tres vértices, el cuarto vértice quedaría fijo; lo que vimos anteriormente que es imposible.

Finalmente consideremos el caso donde la simetría no tiene subconjuntos con dos elementos fijo globalmente. Por lo que se representa por un 4--ciclo.

Entonces, Si entonces ya que en caso contrario no se preservaría distancias. Luego, la imagen de es un vértice adyacente. El mismo razonamiento aplica a los otros vértices, por lo que concluimos que

o

Como conclusión final tenemos la siguiente proposición.

Proposición 6. El grupo diedral contiene a todas las simetrías del cuadrado.

Representación Matricial de D8[editar]

Supongamos que estamos trabajando en el plano cartesiano Supongamos, además, que nuestro cuadrado tiene como vértices a y

Sean y

  1. Las matrices y definen transformaciones (biyectivas) del plano, ya que sus determinantes no son nulos.
  2. Sea Entonces,
  3. Sea Entonces,

    Es decir que es una congruencia del plano.

  4. Se tiene que De manera análoga a lo hecho con se verifica que define una congruencia del plano.
  5. Por la parte b) se tiene que

    Por lo tanto, es una simetría del cuadrado.

  6. Es fácil ver que y
  7. Observando los resultados anteriores tenemos que

    por lo que tiene orden 4.

    Por su parte tiene orden 2. Finalmente, tenemos que:

Es decir que generan un subgrupo de matrices isomorfo a

Ejercicios[editar]

  1. Construir el grupo de simetrías de un triángulo equilátero y verificar que es isomorfo a
  2. Sea un grupo de transformaciones de un conjunto ( o sea , un subgrupo del grupo simétrico de
    1. Las transformaciones que fijan un punto determinan un subgrupo de
    2. Sea las trasformaciones que fijan globalmente un subconjunto de Probar que es un subgrupo de que contiene como subgrupo a las transformaciones que fijan puntualmente.
    3. Sea un punto fijo de Entonces, es un punto fijo de

  3. Sean y Sea el polígono regular con vértices \ldots ubicados en la circunferencia unitaria del plano cartesiano de modo que Probar las siguientes afirmaciones.
    1. y son congruencias del plano.
    2. es una rotación por un ángulo que mide radianes.
    3. es una reflexión entorno al eje
    4. El orden de es y el orden de es 2.
    5. El grupo de matrices generados por y es isomorfo al grupo diedral
  4. (*) Construir el grupo de simetrías del tetraedro regular.
  5. (*) Construir el grupo de simetrías de un cubo.

Operaciones con Subconjuntos[editar]

Introduciremos una notación que nos ayudará en el enunciado de teoremas y que, también, será útil en consideraciones posteriores.

Definición. (Operaciones con Subconjuntos) Sea un grupo y sean A, subconjuntos de

  1. Llamamos (conjunto) producto de con al conjunto denotado por y que está formado por todos los productos tales que está en y está en B. Cuando o consistan solamente de un elemento, escribiremos solamente el elemento; por ejemplo, si escribiremos en lugar de Cuando la notación es aditiva, simbolizamos por al conjunto formado por todas las sumas de un elemento de con un elemento de B.
  2. denotará al conjunto formado por los inversos de los elementos de
    Notación Aditiva: (los opuestos aditivos de todos los elementos de
  3. En forma general, denotará el conjunto de las potencias enésimas de elementos de Notación aditiva: (todos los múltiplos de elementos de A.).

Observaciones. Sea un grupo.

  • Decir que es una parte cerrada de es equivalente a decir que es un subconjunto de
  • Análogamente, decir que es cerrado respecto a inversos, es equivalente a decir que es un subconjunto de
  • Decir que es un subgrupo de es equivalente a decir que no es vacío y que es un subconjunto de
  • Decir que es equivalente a decir que para cada de hay un en tal que

Ejemplo.

Sean y ¿Qué es  ? Notemos la notación aditiva usada ya que la operación del grupo es suma.

    Resolución. Como está formado por todos los múltiplos de 2 y por todos los múltiplos de 3, estará formado por todos los enteros que son iguales a la suma de un múltiplo de 2 con un múltiplo de 3. Como Se tiene que

Advertencia.

Cuando y son subgrupos de el conjunto no es necesariamente un subgrupo de ya que si son elementos de no necesariamente se tiene que sea igual a un de


Ejemplo.

Sea Sean y Entonces, Notemos que, en este ejemplo, y son subgrupos de pero que no lo es (¿por qué no es subgrupo?).

Sea entonces


Ejercicios[editar]

  1. Sea Hallar los elementos de los conjuntos indicados, cuando
  2. Sea y sean Hallar los conjuntos indicados.
  3. Sean subconjuntos de un grupo cualquiera. Entonces,

Subgrupo Generado por dos Subgrupos[editar]

En general, cuando y son subgrupos, el producto no es un subgrupo, por lo que el subgrupo que contenga a dos subgrupos debe definirse otra manera.

Definición. ( ) Sean y subgrupos de un grupo Por denotaremos al subgrupo generado por la (re)unión de y


Sea Claramente, y están contenidos en por lo que y son subgrupos de Sea cualquier subgrupo de que contenga a y a Entonces, contendrá cualquier producto de elementos de y por lo que contendrá a probando que es el menor subgrupo que contiene a y

Proposición 6. ( ) Sean subgrupos de Entonces, es el menor subgrupo (respecto a la inclusión) que contiene a ambos subgrupos.}}

Ejemplo.

Sea Sean y Entonces,


Diagrama de Subconjuntos El conjunto de subgrupos es un conjunto parcialmente ordenado por la inclusión. Dados subgrupos se tiene que


Es decir, que dos elementos tienen siempre un mayor elemento menor o igual que ellos y un menor elemento mayor o igual que ellos. Conjuntos parcialmente ordenados con esa propiedad se llaman Retículos.


Producto Directo de Subgrupos[editar]

Diremos que un grupo es el producto interno de dos subgrupos y cuando sea isomorfo al product

Proposición 7. (Producto Interno) Sea un grupo y sean subgrupos de es el producto interno de y ssi, se cumple que:

  1. Si está en y está en
  2. está generado por y
    Demostración: ( ) Supongamos que hay un isomorfismo tal que Observemos que en es un subgrupo de cuya imagen por es Por lo que Análogamente, Observemos que si entonces está en y por lo debe ser igual a de donde Observando que tenemos la parte 2. La tercera parte sigue de que está generado por ( ) Sea tal que La conmutatividad de los elementos de con los elementos de implica que

    Es decir que es un homomorfismo de grupos.

    Si tenemos que es decir que h está en por lo que lo que implica que es inyectiva. Como generan a tenemos que los elementos de son productos de la forma

    Por la conmutatividad de los elementos de con los elementos de tenemos que el producto anterior se puede reescribir con todos los adelante de los es decir de la forma hk con h en y k en K. Lo que muestra que es suprayectiva, probando que es un isomorfismo.


Ejercicios del Capítulo[editar]

  1. Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo
  2. Sea el grupo cuya tabla se indica a continuación.

    1. Probar que
    2. Probar que es el grupo de las simetrías del hexágono regular. (Sugerencia: Suponga que los vértices del hexágono son en forma ordenada cíclica y Llamar a la rotación entorno al centro por grados. Llamar a la reflexión entorno a la línea que pasa por Probar que y que Representar y como permutaciones para efectuar las computaciones.)
    3. Hallar cada uno de los subgrupos indicados:
    4. Dibujar el diagrama de subgrupos de
    5. Hallar el centro y las clases de conjugación del grupo.
  3. Probar que Interpretar geométricamente el resultado.
  4. Sea Sean y Determinar los siguientes conjuntos
  5. Consideremos el grupo
    1. Probar que cada número entero puede escribirse como un múltiplo de 5 más un múltiplo de 3. Usar lo anterior, para concluir que
    2. Probar que
    3. ¿Cuándo, para un par de números enteros y se cumple que  ?
  6. Sean y subgrupos de tales que Probar que cada elemento de tiene una única representación como con en y en (Sug. Suponer que ).
  7. Construir la tabla del grupo aditivo Sean math>H= [2],</math> Probar que de las dos maneras siguientes.
    1. Usando el teorema de la sección de productos.
    2. Mostrando que y
  8. Sea Hallar los subgrupos generados por los conjuntos indicados.
  9. Clasificar los enunciados siguientes en válidos o falsos.
    1. Todo grupo puede presentarse como un conjunto de generadores.
    2. Un grupo finitamente generado es finito.
    3. Cuando los generadores de un grupo permutan entre si, entonces el grupo es abeliano.
    4. Un grupo que es producto de otros dos es infinito.


  10. Los generadores de . Verificar que las matrices elementales generan al grupo lineal.
    Las matrices elementales son:

    donde es cualquier número real.

    Hallar los inversos de cada una de las matrices elementales y observar que son también elementales.

    Sea invertible. Por lo tanto, el determinante de , no es nu

    1. Suponer que . Entonces .
      Probar que es una matriz diagonal.
    2. Suponer y .Probar que es una matriz que tiene un cero en la posición (2,1).
    3. Suponer que (por lo que .) Probar que intercambia la primera fila con la segunda.

    Los procedimientos anteriores muestran como podemos por multiplicación por matrices elementales obtener una matriz diagonal a partir de una matriz invertible cualquiera.

    1. Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, usamos la matriz de intecambio (c) para obtener un elemento no nulo en la posición (1,1) del producto.
    2. Si en la posición (1,1) hay un elemento no nulo, aplicando el paso (b) obtenemos un elemento nulo en la posicion (2,3) del producto.
    3. Finalmente, si el elemento en la posición (1,2) no es nulo, aplicamo el paso (a) para obtener un producto con cero en la posición (1,2).

    Nuestro producto es ahora una matriz diagonal. Observando que

    completamos los productos necesario obtener la identidad.


Comentarios[editar]

La determinación de los conjuntos generadores de un grupo tienen importancia teórica y práctica. Una rama especializada la teoría combinatoria de grupos, que estudia a los gruposgrupos desde el punto de vista de sus generadores y restricciones.

Un objeto muy interesante es el grupo libre sobre un conjunto que consiste de todos las palabras posibles con alfabeto . Se prueba que tofo grupo finito se obiene por restricciones de un rupo linreinitente generado.

Lectura adicïonal Wiipedia:Concepto generador de un grupo.

Notas[editar]