Álgebra/Temas de repaso/Funciones

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Definicion[editar]

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango.

Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Donde se dice que f : A → B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x ∈ R / ∃ f (x)}


El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x ∈ D}

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

Variables Dependientes[editar]

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

Variable Independiente[editar]

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

Variable Constante[editar]

Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

Notación. Nomenclatura[editar]

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto aA, denominado la imagen de a.

Ejemplos
  • La función «cubo» puede denotarse ahora como f: RR, con f(x) = x3 para cada número real x.
  • La función «inverso» es g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.
  • La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: MG, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m.
  • La función «área» se puede denotar como A: TR, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura.

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas[editar]

El artículo principal de esta categoría es Clasíficación de Funciones.

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:

Funciones Inyectiva No inyectiva
Sobreyectiva
Correspon 1602.svg
Biyectiva
Correspon 1502.svg
No sobreyectiva Correspon 1402.svg Correspon 1302.svg

Definición. *Se dice que una función f : AB es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas:

o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:

  • Una función f : AB se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:

Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido.

Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos:

Definición. Una función f : AB se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una única «pareja» en B —como todas las funciones—, y a cada elemento de B le corresponde uno solo en A —al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.

Ejemplos.
  • La función cubo f: RR es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
  • La función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}.
  • La función de clasificación de mamíferos γ: MG no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos.
  • La función área A: TR no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R+. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área.
  • En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C.

Fuentes[editar]

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://www.vitutor.com/fun/2/a_1.html