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Funciones/Clasificación

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Como habrán leído en el material teórico, hay tres categorías en las que se puede clasificar una función.

Estas son:

Función Biyectiva[editar]

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que .

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo de se cumple que existe un único de , tal que la función evaluada en es igual a .

Dados dos conjuntos e finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si e tienen el mismo número de elementos.

Cardinalidad y biyectividad[editar]

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función biyectiva tienen cardinales que cumplen:


Homeomorfismo[editar]

  • Mediante una función biyectiva se define un homeomorfismo o una aplicación topológica entre dos espacios topológicos, diciendo que es una transformación biyectiva y bicontinua. [1]

Función Sobreyectiva[editar]

Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función es sobreyectiva[2] (epiyectiva, suprayectiva,[2] suryectiva, exhaustiva[2] o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de es la imagen de como mínimo un elemento de .

Formalmente,

Cardinalidad y sobreyectividad[editar]

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función sobreyectiva , se tiene que los cardinales cumplen:


Si además existe otra aplicación sobreyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre y , por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Función Inyectiva[editar]

Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto (codominio) de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal[editar]

  • De manera más precisa, la

función es inyectiva si, sólo si son elementos de tales que , entonces .

  • O equivalentemente función es inyectiva si, sólo

si son elementos diferentes de , entonces

Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

[3]

Para probar que una función no es inyectiva basta hallar dos valores distintos del dominio, pero sus imágenes en el codominio son iguales.

Cardinalidad e inyectividad[editar]

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Fuente[editar]

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

  1. Ayala y otros. "Elementos de topología general". ISBN 84-7829-006-0
  2. 2,0 2,1 2,2 Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
  3. Este artículo carece de fuente bibliográfica