Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 104b

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Lección 104

Mathematik auf Deutsch - 54

BM2651 - BM2660

BM2651

Gerade durch die beiden Punkte $P$ und $Q$ in einem kartesischen Koordinatensystem

Geradengleichung

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Gerade besteht aus all den Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen.

Die Abbildung zeigt eine Gerade durch zwei gegebene Punkte P und Q in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte existiert in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade.

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Koordinatengleichungen

In einem kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt $P$ der Ebene zwei Zahlen $x$ und $y$ als Koordinaten zugeordnet. Man schreibt $P(x|y)$ oder $P=(x,y)$. Eine Gleichung mit den Variablen $x$ und $y$ beschreibt dann eine Menge von Punkten in der Ebene und zwar die Menge aller Punkte, deren $x$- und $y$-Koordinate die Gleichung erfüllen. Die Schreibweise

$g\colon \ y=2x$

bedeutet beispielsweise, dass die Gerade $g$ aus allen Punkten $(x,y)$ besteht, die die Gleichung $y=2x$ erfüllen. Die entsprechende Mengenschreibweise lautet

$g=\{(x,y)\mid y=2x\}$.

Geraden sind nun dadurch ausgezeichnet, dass es sich bei der zugehörigen Geradengleichung um eine lineare Gleichung handelt. Für solche Gleichungen gibt es eine Reihe unterschiedlicher Darstellungsformen.

BM2652

Gerade mit Steigung m und y-Achsenabschnitt n

1.) Haupt- oder Normalform der Geradengleichung

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Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, ist der Graph einer linearen Funktion

$f(x)=m\cdot x+n$,

wobei $m$ und $n$ reelle Zahlen sind. (Der Parameter $n$ wird in der Literatur auch mit $b$, $c$ oder $t$ bezeichnet. In Österreich schreibt man meist $f(x)=k\cdot x+d$.)

Die zugehörige Geradengleichung lautet dann

$y=m\cdot x+n$.

Die Parameter $m$ und $n$ der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl $m$ ist die Steigung der Geraden und entspricht der senkrechten Seite des Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Seite die Länge $1$ aufweist. Die Zahl $n$ ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt $(0,n)$. Ist $n=0$, so verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität.

Die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x+n$ erhält man aus der Geraden mit der Gleichung $y=m\cdot x$, indem sie um $n$ in Richtung der y-Achse verschoben wird. Diese Verschiebung erfolgt nach oben, wenn $n$ positiv ist, und nach unten, wenn $n$ negativ ist.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Schaubilder von Funktionen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form

$x=a$

darstellen, wobei $a$ eine reelle Zahl ist. Eine solche Gerade schneidet die x-Achse im Punkt $(a,0)$.

BM2653

Steigungsdreiecke einer Geraden

2.) Zweipunkteform der Geradengleichung

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Verläuft die Gerade durch die beiden Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$, wobei $x_{1}$ und $x_{2}$ verschieden seien, dann kann die Steigung $m$ der Geraden mit Hilfe des Differenzenquotienten durch

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

berechnet werden. Statt des Punktes $(x_{2},y_{2})$ kann auch ein beliebiger anderer Punkt $(x,y)$ der Geraden gewählt werden, ohne dass die Steigung sich verändert. Damit ergibt sich die Zweipunkteform

${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

oder äquivalent dazu, indem die Gleichung nach $y$ aufgelöst wird,

$y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}$.

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Punktsteigungsform einer Geradengleichung

3.) Punktsteigungsform der Geradengleichung

Eine Gerade durch den Punkt $(x_{1},y_{1})$ mit der Steigung $m$ wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$y-y_{1}=m\cdot (x-x_{1})$.

Diese Formel kann auch benutzt werden, wenn zwei Punkte bekannt sind, aber man den Schnittpunkt mit der y-Achse (oben $n$ genannt) nicht explizit bestimmen will.

BM2654

4.) Koordinatenform der Geradengleichung

Die Koordinatenform der Geradengleichung in der Ebene lautet

$ax+by=c$,

wobei $a$ und $b$ nicht beide 0 sein dürfen.

Durch Auflösen der Gleichung nach $y$ (falls $b\neq 0$) erhält man hieraus die explizite Form. Die Koordinatenform hat den Vorteil, dass sie symmetrisch in $x$ und $y$ ist. Es wird also keine Richtung der Geraden bevorzugt. Geraden, die parallel zur y-Achse sind, spielen keine Sonderrolle.

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Achsenabschnittsform einer Geradengleichung

5.) Achsenabschnittsform der Geradengleichung

Eine spezielle Form der Koordinatenform ist die Achsenabschnittsform.

Schneidet die Gerade die x-Achse im Punkt $(x_{0},0)$ und die y-Achse im Punkt $(0,y_{0})$, wobei $x_{0}$ und $y_{0}$ nicht null seien, so lässt sich die Geradengleichung in der Form

${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1$

schreiben. Diese Form heißt Achsenabschnittsform der Geradengleichung mit dem x-Achsenabschnitt $x_{0}$ und dem y-Achsenabschnitt $y_{0}$.

Wird die Gleichung nach $y$ aufgelöst, so ergibt sich die explizite Form

$y=-{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\cdot x+y_{0}$,

wobei das Verhältnis $-{\tfrac {y_{0}}{x_{0}}}$ gerade der Steigung $m$ der Geraden entspricht.

BM2655

Wiederholung:

Zweipunkteform der Geradengleichung

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Gerade dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden.

Die der Zweipunkteform entsprechende Form einer Ebenengleichung wird Dreipunkteform genannt.

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Zweipunkteform einer Geradengleichung

Darstellung der Zweipunkteform

In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ verläuft, als die Menge derjenigen Punkte $(x,y)$ beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung

${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

erfüllen. Hierbei müssen $x_{1}$ und $x_{2}$ verschieden sein und $x$ darf nicht gleich $x_{1}$ gewählt werden. Wird die Geradengleichung nach $y$ aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

$y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}$,

die auch für $x=x_{1}$ verwendet werden kann. Ohne Einschränkung gültig ist die Darstellung

$(y-y_{1})\cdot (x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})$.

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Beispiel

Sind beispielsweise die beiden gegebenen Geradenpunkte $(1,3)$ und $(3,2)$, so erhält man als Geradengleichung

${\frac {y-3}{x-1}}={\frac {2-3}{3-1}}$

oder aufgelöst nach $y$

$y={\frac {2-3}{3-1}}\cdot (x-1)+3=-{\frac {x}{2}}+{\frac {7}{2}}$

beziehungsweise

$(y-3)\cdot (3-1)=(x-1)\cdot (2-3)$.

BM2656

Wiederholung

Punktsteigungsform der Geradengleichung

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Die Punktsteigungsform oder Punkt-Steigungs-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Punktsteigungsform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene mit Hilfe eines Punkts der Gerade und der Steigung der Gerade dargestellt.

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Punktsteigungsform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Punktsteigungsform wird eine Gerade in der Ebene, die durch den Punkt $(x_{1},y_{1})$ verläuft und die Steigung $m$ aufweist, als die Menge derjenigen Punkte $(x,y)$ beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung

$y-y_{1}=m\cdot (x-x_{1})$

erfüllen. Wird die Geradengleichung nach $y$ aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

$y=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}$.

Die Gerade ist dann der Graph der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$f(x)=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}$.

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Beispiel

Im Bild oben ist beispielsweise der gegebene Geradenpunkt $(2,2)$ und die Steigung $m=-{\tfrac {1}{2}}$, und man erhält als Geradengleichung

$y-2=-{\tfrac {1}{2}}\cdot (x-2)$

beziehungsweise

$y=-{\tfrac {1}{2}}\cdot (x-2)+2$.

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Herleitung

Geht man von der allgemeinen Form einer Geraden

$y=m\cdot x+n$

aus, dann gilt insbesondere, da der Punkt $(x_{1},y_{1})$ auf der Geraden liegt,

$y_{1}=m\cdot x_{1}+n$.

Wird diese Gleichung nach $n$ aufgelöst und in die allgemeine Form eingesetzt, folgt daraus

$y=m\cdot x+(y_{1}-m\cdot x_{1})$.

Durch Ausklammern von $m$ erhält man dann die Punktsteigungsform

$y=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}$.

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Umrechnung

Wird $m$ mit Hilfe des Steigungsdreiecks durch den Punkt $(x_{1},y_{1})$ und einen weiteren Geradenpunkt $(x_{2},y_{2})$ mittels

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

berechnet, erhält man die Zweipunkteform einer Geradengleichung.

BM2657

Wiederholung

Koordinatenform der Geradengleichung

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Die Koordinatenform oder Koordinatengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Koordinatenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die Unbekannten der Gleichung sind dabei die Koordinaten der Punkte der Gerade oder Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Koordinatenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

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Koordinatenform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen $a$, $b$ und $c$ über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten $(x,y)$ die Gleichung

$ax+by=c$

erfüllen. Hierbei muss $a$ oder $b$ ungleich null sein.

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Beispiel

Im Bild oben ist die Geradengleichung in Koordinatenform

$1x+2y=6$.

Jede Wahl von $(x,y)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(0,3)$ oder $(4,1)$, entspricht genau einem Geradenpunkt.

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Spezialfälle

• Falls $a=0$ ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, und falls $b=0$ ist, parallel zur y-Achse.
• Falls $c=0$ ist, handelt es sich bei der Geraden um eine Ursprungsgerade.
• Falls $c=1$ ist, liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann $(1/a,0)$ und $(0,1/b)$.

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Berechnung aus der Zweipunkteform

Aus der Zweipunkteform einer Gerade durch die beiden Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ erhält man durch Ausmultiplizieren die Parameter der Koordinatenform

$a=y_{1}-y_{2},b=x_{2}-x_{1},c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}$.

BM2658

Wiederholung

Achsenabschnittsform der Geradenform

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Die Achsenabschnittsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene über ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen beschrieben. Diese Schnittpunkte werden auch Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen bei einer Ebene allgemein auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Die Achsenabschnittsform ist eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene. Sie ist nicht definiert, wenn die Gerade oder Ebene den Koordinatenursprung enthält.

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Achsenabschnittsform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der Ebene durch zwei reelle Zahlen $a$ und $b$ folgendermaßen über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten $(x,y)$ die Gleichung

${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1$

erfüllen. Hierbei sind $(x_{0},0)$ und $(0,y_{0})$ die Schnittpunkte der Gerade mit den beiden Koordinatenachsen, die auch als Spurpunkte bezeichnet werden. Wird die Gleichung nach $y$ aufgelöst, ergibt sich

$y=-{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\cdot x+y_{0}$,

wobei das Verhältnis $-y_{0}/x_{0}$ der Steigung der Geraden entspricht. Verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen, dann fällt der jeweilige Spurpunkt und damit auch der entsprechende Term in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft.

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Beispiel

Ein Beispiel für eine Geradengleichung in Achsenabschnittsform ist

${\frac {x}{6}}+{\frac {y}{3}}=1$

Jede Wahl von $(x,y)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(2,2)$ oder $(4,1)$, entspricht genau einem Geradenpunkt. Die beiden Spurpunkte der Geraden sind $(6,0)$ und $(0,3)$ und ihre Steigung ist $-{\tfrac {1}{2}}$.

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Berechnung

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern $a,b$ und $c$ lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform mittels Division durch $c$ direkt angeben:

$x_{0}={\frac {c}{a}},~y_{0}={\frac {c}{b}}$.

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Normalenform, der Parameterform und der Zweipunkteform, wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Gerade ermittelt und daraus dann die Achsenabschnittsform.

BM2659

Um welche Form der Geradengleichung handelt es sich jeweils?

a) $y-6=-7\cdot (x-5)$

b) ${\frac {x}{6}}+{\frac {y}{3}}=1$

c) ${\frac {y-3}{x-6}}={\frac {2-11}{5-2}}$

d) $7x+3y=-8$

e) $y=3\cdot x-7$

Lösung BM2659
a) $y-6=-7\cdot (x-5)$ (Punktsteigungsform) b) ${\frac {x}{6}}+{\frac {y}{3}}=1$ (Achsenabschnittsform ) c) ${\frac {y-3}{x-6}}={\frac {2-11}{5-2}}$ (Zweipunkteform) d) $7x+3y=-8$ (Koordinatenform) e) $y=3\cdot x-7$ (Hauptform; Normalform)

BM2660

Aufgabe: Sprechen Sie über die Darstellungsformen der Geradengleichung!

BM2661 - BM2670

BM2661

Aufgabe: Schreiben Sie alles über die Darstellungsformen der Geradengleichung!

BM2662

Graphen linearer Gleichungen mittels x-y-Abschnitten zeichnen

(ohne die langsame und unefektive WErtetabelle)

Eine Gerade kann maximal einen x-Abschnitt und einen y-Abschnitt haben.

Für den y-Abschnitt setzen wir die y-Koordinate gleich Null → (x, 0)

Die x-Loordinate für jeden y-Abschnitt ist 0 → (0, y)

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Gegeben ist

$2x+5y=10$

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Um den Graphen dieser Gleichung zu zeichnen, muss man nicht nach y umstellen und in die Form $y=mx+n$ umwandeln. Das muss man nur, wenn man die Steigung m ermitteln soll.

Stattdessen ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen.

${\begin{aligned}2x+5y&=10\\2\cdot 0+5y&=10\\0+5y&=10\\5y&=10\quad \quad |\quad :5\\y&=2\end{aligned}}$

Also P₁ (0; 2)

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Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen.

${\begin{aligned}2x+5y&=10\\2x+0&=10\\2x=10\quad \quad |\quad :2\\x&=5\end{aligned}}$

Also P₂ (5; 0)

Und schon haben wir zwei Punkte P₁ (0; 2) und P₂ (5; 0), mit denen wir den Graphen der Gleichung $2x+5y=10$ zeichnen können.

BM2663

Es gibt für unterschiedliche Formen von linearen Gleichungen unterschiedlich effektive Methoden zum Ermitteln des Graphen. Und gib die Steigung und den y-Achsenabschnitt an!

$y=mx+n$ (Normalform)

$ax+by=c$ (Koordinatenform)

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Stelle die Gleichung $2x+5y=10$ in die Normalform um!

${\begin{aligned}2x+5y&=10\quad \quad |\quad -2x\\5y&=10-2x\\5y&=-2x+10\quad \quad |\quad :5\\y&={\frac {-2x}{5}}+{\frac {10}{5}}\\y&={\frac {-2}{5}}x+2\end{aligned}}$

$m={\frac {-2}{5}}$

$n=2$

BM2664

Normalform und Koordinatenform

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$y=mx+n$ (Normalform)

$ax+by=c$ (Koordinatenform)

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Der Nachteil der Koordinatenform ist, dass man die Steigung nicht unmittelbar (intuitiv) aus der Gleichung rauszulesen ist.

Aus der Gleichung in Koordinatenform lässt sich die Steigung nur durch Umstellen in die Normalform oder durch Analyse des Graphen ermitteln.

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Ein Graph ist die graphische Dartellung einer linearen Gleichung.

Ein Graph ermöglicht die Interpretation einer linearen Gleichung.

Ein Graph ermöglicht die anschauliche Darstellung einer linearen Gleichung.

BM2665

$5x-3y=15$

Ermittle die Achsenabschnitte!

Zeichne den Graphen!

1. Lösung BM2665

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}5x-3y&=15\\5\cdot 0-3y&=15\\0-3y&=15\\3y&=15\quad \quad |\quad :3\\y&=5\end{aligned}}$ Also P1 (0; 5) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}5x-3y&=15\\5x-3\cdot 0&=15\\5x=15\quad \quad |\quad :5\\x&=3\end{aligned}}$ Also P2 (3; 0)

2. Lösung BM2665

Die erste Lösung war falsch!! Wo war der Fehler? --- Hier kommt die richtige Lösung Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}5x-3y&=15\\5\cdot 0-3y&=15\\0-3y&=15\\{\color {Blue}-}3y&=15\quad \quad |\quad :{\color {Blue}(-3)}\\y&={\color {Blue}-5}\end{aligned}}$ Also P1 (0; -5) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}5x-3y&=15\\5x-3\cdot 0&=15\\5x=15\quad \quad |\quad :5\\x&=3\end{aligned}}$ Also P2 (3; 0)

BM2666

$-2y+6x=18$

(Ob erst y oder x steht ist eigentlich egal. Obwohl normalerweise erst das x geschrieben wird. Immer schön in alfabetischer Reihenfolge. Die Hauptsache ist, dass x und y gemeinsam auf einer Seite stehen.)

Ermittle die Achsenabschnitte!

Zeichne den Graphen!

Lösung BM2666
Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}-2y+6x&=18\\-2y&=18\quad \quad |\quad :(-2)\\y&=-9\end{aligned}}$ Also P1 (0; -9) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}-2y+6x&=18\\6x&=18\quad \quad |\quad :6\\x&=3\end{aligned}}$ Also P2 (3; 0)

BM2667

$-x-y=-1$

Ermittle die Achsenabschnitte!

Zeichne den Graphen!

Lösung BM2667

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}-x-y&=-1\quad \quad |\quad x=0\\-y&=-1\quad \quad |\quad :(-1)\\y&=1\end{aligned}}$ Also P1 (0; 1) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}-x-y&=-1\quad \quad |\quad y=0\\-x&=-1\quad \quad |\quad :(-1)\\x&=1\end{aligned}}$ Also P2 (1; 0)

BM2668

Forme $-x-y=-1$ in die Normalform um!

Gib die Steigung und den y-Achsenabschnitt an!

Zeichne den Graphen!

Lösung BM2668
${\begin{aligned}-x-y&=-1\quad \quad |\quad +x\\-y&=x-1\quad \quad |\quad :(-1)\\y&=-x+1\end{aligned}}$ m = -1 Schnittpunkt mit der y-Achse im Punkt (0; 1)

BM2669

Bild 1

Wenn der Schnittpunkt des Graphen mit dem Ursprung (also mit dem Nullpunkt) zusammenfällt, dann können wir den Graphen nicht mit Hilfe der Koordinatenform zeichnen.

Wenn also der Schnittpunkt mit der y-Achse (0; 0) identisch ist mit dem Schnittpunkt der x-Achse (0; 0), dann haben wir keine zwei unterschiedlichen Punkte, um eine Gerade zu zeichnen.

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  Bild 2
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  Bild 3

Beispiel:

$6x-5y=0$

Ermittle die Achsenabschnitte!

Zeichne den Graphen!

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Wir erinnern uns bitte:

Man darf nicht durch Null dividieren (a/0 geht nicht), aber

man darf Null durch eine andere Zahl dividieren (0/a geht).

Natürlich geht auch Null durch Null nicht (0/0 geht nicht)

Und los geht's:

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen.

${\begin{aligned}6x-5y&=0\quad \quad |\quad x=0\\-5y&=0\quad \quad |\quad :(-5)\\{\frac {-5}{-5}}y&={\frac {0}{-5}}\\y&=0\end{aligned}}$

Also P₁ (0; 0)

---

Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen.

${\begin{aligned}6x-5y&=0\quad \quad |\quad y=0\\6x&=0\quad \quad |\quad :6\\x&=0\end{aligned}}$

Also P₂ (0; 0)

Eigentlich hätten wir schon mit der Rechnung aufhören können, als wir für den ersten Punkt die Koordinaten (0; 0) ermittelt hatten.

Zwei identische Punkt ergeben keine eindeutige Gerade. Das könnte alles mögliche sein, wenn wir keine Steigung haben.

---

Bei der Gleichung $6x-5y=0$ funktioniert die Methode mit den zwei Punkten nicht, weil rechts eine Null steht.

Bei jeder Gleichung in der Form $ax+by=0$ funktioniert die Mathode wegen der Null nicht.

Mit anderen Worten: wenn in der Gleichung $ax+by=c$ c den Wert Null hat (c=0), dann funktioniert die Methode nicht.

BM2670

$6x-5y=30$

Ermittle die Achsenabschnitte!

Zeichne den Graphen!

Lösung BM2670

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}6x-5y=30\quad \quad |\quad x=0\\-5y=30\quad \quad |\quad :(-5)\\y&=-6\end{aligned}}$ Also P1 (0; -6) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}6x-5y=30\quad \quad |\quad y=0\\6x=30\quad \quad |\quad :6\\x&=5\end{aligned}}$ Also P2 (5; 0)

BM2671 - BM2680

BM2671

$6x-5y=0$

Ermittle die Steigung!

Lösung BM2671
Dazu müssen wir die Gleichung nach y umstellen, um die Form $y=mx+n$ zu erhalten. ${\begin{aligned}6x-5y&=0\quad \quad |\quad -6x\\-5y&=-6x\quad \quad |\quad :(-5)\\y&={\frac {-6x}{-5}}\\y&={\frac {-6}{-5}}x\\y&={\frac {6}{5}}x\end{aligned}}$

Wir haben also

$y={\frac {6}{5}}x$ durch Umstellung erhalten.

Das entspricht nicht ganz der Form $y=mx+n$, aber wenn wir eine Null dazu schreiben

$y={\frac {6}{5}}x+0$, dann haben wir die identische Form.

Und schon können wir m direkt ablesen:

$m={\frac {6}{5}}$

und n = 0, aber das war nicht gefragt. Wir hätten uns das auch sparen können die "$+0$" dazu zu schreiben.

BM2672

Achsenabschnitt-Methode mit Bruchzahlen (mit Brüchen; mit Dezimalzahlen)

mit der Koordinatenform der Geradengleichung

$ax+by=c$

---

$-{\frac {x}{4}}+{\frac {y}{3}}=1$

(Gut, dass rechts eine 1 und keine Null steht, also funktioniert die Methode mit den beiden Schnittpunkten.)

Als ersten Schritt müssen wir die Brüche los werden.

Der erste Schritt ist die Brüche los zu werden.

Der erste Schritt ist die Brüche zu beseitigen.

Der erste Schritt ist die Brüche in ganze Zahlen umzuwandeln.

---

Das machen wir mit dem kgV.

Das kgV von 4 und 3 ist 12.

${\begin{aligned}-{\frac {x}{4}}+{\frac {y}{3}}&=1\quad \quad |\quad \cdot 12\\12(-{\frac {x}{4}}+{\frac {y}{3}})&=12\cdot 1\\-{\frac {12\cdot x}{4}}+{\frac {12\cdot y}{3}}&=12\\-{\frac {12}{4}}x+{\frac {12}{3}}y&=12\\-3x+4y&=12\end{aligned}}$

Der Rest ist pillepalle.

Ermittle die Schnittpunkte und zeichne den Graphen!

Lösung BM2672

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}-3x+4y&=12\quad \quad |\quad x=0\\4y&=12\quad \quad |\quad :4\\y&=3\end{aligned}}$ Also P1 (0; 3) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}-3x+4y&=12\quad \quad |\quad y=0\\-3x&=12\quad \quad |\quad :(-3)\\x&=-4\end{aligned}}$ Also P2 (-4; 0)

BM2673

Wir nehmen noch einmal die Gleichung aus der vorhergehenden Übung

$-{\tfrac {x}{4}}+{\tfrac {y}{3}}=1$

und ermitteln den Graphen ohne die Brüche vorher zu beseitigen. Das geht nämlich auch.

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen.

${\begin{aligned}-{\tfrac {x}{4}}+{\tfrac {y}{3}}&=1\\-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{3}}y&=1\quad \quad |\quad x=0\\{\tfrac {1}{3}}y&=1\quad \quad |\quad \cdot 3\\y&=3\end{aligned}}$

Also P₁ (0; 3)

---

Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen.

${\begin{aligned}-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{3}}y&=1\quad \quad |\quad y=0\\-{\tfrac {1}{4}}x&=1\quad \quad |\quad \cdot (-4)\\y&=-4\end{aligned}}$

Also P₂ (-4; 0)

BM2674

Achsenabschnitt-Methode mit Bruchzahlen - dieses mal mit Dezimalzahlen -

mit der Koordinatenform der Geradengleichung

$ax+by=c$

$0,5y-0,4x=2$

Dezimalzahlen sind Brüche, bei denen der Nenner eine Potenz von 10 ist.

10¹; 10²; 10³; 10¹

10; 100; 1000; 10.000; ....

---

$0,5y-0,4x=2$

Ermittle die Achsenabschnitte!

Zeichne den Graphen!

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Zuerst wollen wir die Kommas loswerden, indem wir mit 10 oder 100 oder 1000 oder einer größeren Zehnerpotenz multiplizieren.

Die Zahl mit den meisten Nachkommastellen gibt vor, mit welcher Zehnerporten wir multiplizeiren müssen.

Wenn diese Zahl beispielsweise 3 Nachkommastellen hat (z. B. 6,462), dann müssen wir mit 10³ multiplizieren (also mit 1000).

Beispiel: $6,462\cdot 1000=6462$

und schon sind wir das Komma los.

Also los gehts:

${\begin{aligned}0,5y-0,4x=-2\quad \quad |\quad \cdot 10\\10(0,5y-0,4x)=10\cdot (-2)\\5y-4x=-20\end{aligned}}$

Der Rest ist pillepalle.

Ermittle die Schnittpunkte und zeichne den Graphen!

Lösung BM2674

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}5y-4x&=-20\quad \quad |\quad x=0\\5y&=-20\quad \quad |\quad :5\\y&=-4\end{aligned}}$ Also P1 (0; -4) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}5y-4x&=-20\quad \quad |\quad y=0\\-4x&=-20\quad \quad |\quad :(-4)\\x&=5\end{aligned}}$ Also P2 (5; 0)

BM2675

Wir nehmen nochmals die Gleichung aus der vorherigen Übung

$0,5y-0,4x=-2$

und ermitteln den Graphen ohne die Dezimalzahlen vorher durch Multiplikation in ganze Zahlen umzuwandeln. Das geht nämlich auch.

---

$0,5y-0,4x=-2$

Ermittle die Schnittpunkte mit der x- und der y-Achse und zeichne den Graphen!

Lösung BM2675

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}0,5y-0,4x&=-2\quad \quad |\quad x=0\\0,5y&=-2\quad \quad |\quad :0,5\\y&=-{\tfrac {2}{0,5}}\\y&=-{\tfrac {2\cdot 10}{0,5\cdot 10}}\\y&=-{\tfrac {20}{5}}\\y&=-4\end{aligned}}$ Also P1 (0; -4) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}0,5y-0,4x&=-2\quad \quad |\quad y=0\\-0,4x&=-2\quad \quad |\quad \cdot :(-0,4)\\x&={\tfrac {-2}{-0,4}}\\x&={\tfrac {-2\cdot 10}{-0,4\cdot 10}}\\x&={\tfrac {20}{4}}\\x&=5\end{aligned}}$ Also P2 (5; 0)

BM2676

$-4x+3y=8$

Ermittle die Achsenabschnitte!

Zeichne den Graphen!

1. Lösung BM2676

Als ersten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem wir x auf Null setzen. ${\begin{aligned}-4x+3y&=8\quad \quad |\quad x=0\\3y&=8\quad \quad |\quad :3\\y&={\tfrac {8}{3}}\end{aligned}}$ Also P1 ($0;{\tfrac {8}{3}}$) Da der Punkt 8/3 wegen der Bruchzahlen schlecht zu finden ist, divieren wir 8 durch 3 ${\begin{aligned}{\tfrac {8}{3}}&={\tfrac {6}{3}}+{\tfrac {2}{3}}\\&=2{\tfrac {2}{3}}\\&=2,{\overline {6}}\\&\approx 2,667\end{aligned}}$ Also nochmal P1 (0; 2,667) --- Als zweiten Punkt ermitteln wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, indem wir y auf Null setzen. ${\begin{aligned}-4x+3y&=8\quad \quad |\quad y=0\\-4x&=8\quad \quad |\quad :(-4)\\x&=-2\end{aligned}}$ Also P2 (-2; 0)

BM2676

In der letzten Übung haben wir für

$-4x+3y=8$

den Graphen gezeichnet!

der Graph aus der letzten Übung

Bei diesem Graphen liegen beide Achsenabschnitte relativ dicht am Koordinatenursprung.

Bei Zeichnungen in rel. großem Maßstab (also mit x-Werten und y-Werten, die - sagen wir mal - bis 100 gehen) ist der graph nur relativ ungenau zu zeichnen, da das Steigungsdreieck sehr klein ist, weil die beiden Stützpunkte der Geraden nicht besonders weit auseinander liegen.

---

In diesem Fall wäre es besser, diese Koordinatengleichung in die Normalform umzuwandeln

$y=mx+n$

und dann daraus den y-Achsenabschnitt n und die Steigung m abzulesen.

So könnte man den Graphen wesentlich genauer zeichnen.

Also, los gehts!

Wandle $-4x+3y=8$ in die Normalform um.

umformen; Umformung

umwandeln; Umwandlung

umstellen; Umstellung

1. Lösung BM2676

${\begin{aligned}-4x+3y&=8\quad \quad |\quad +4x\\3y&=4x+8\quad \quad |\quad :(3)\\y&={\tfrac {4x+8}{3}}\\y&={\tfrac {4}{3}}x+{\tfrac {8}{3}}\end{aligned}}$ Und schon haben wir unser Steigung $m={\tfrac {8}{3}}$ und den y-Achsenabschnitt $n={\tfrac {4}{3}}$ Dieses hässlich 8/3 ( ≈ 2,666666...) hatten wir auch schon bei der vorherigen Aufgabe. --- Der y-Achsenabschnitt $(0;{\tfrac {4}{3}})$ oder $(0;1,333)$ lässt sich nur ungenau auf der y-Achse eintragen. Viel schöner und genauer wäre es aber, wenn wir uns den x-Achsenabschnitt aus der vorherigen Aufgabe nehmen, denn der Punkt (-2; 0) lässt sich nun wirklich genau zeichnen. Wir zeichnen den Graphen: Zuerst tragen wir den Punkt (-2; 0) auf der x-Achse ein. Dann tragen wir die Steigung $m={\tfrac {8}{3}}$ an. Dazu gehen wir 3 Einheiten nach rechts und 8 Einheiten nach oben. Wir könnten auch 30 Einheiten nach rechts und 80 Einheiten nach oben gehen, um das Steigungsdreieck größer und genauer zu zeichnen.

Problem BM2676

Bild 1: 1. Rechenweg; 1. Graph Bild 2: 2. Rechenweg; 2. Graph Es gibt ein großes Problem. Der 1. und der 2. Rechenweg haben unterschiedliche Ergebnisse gebracht. Beide Graphen sehen total unterschiedlich aus. Kann das sein? Können beide Graphen richtig sein? Oder ist einer der Graphen falsch? Aber welcher? Oder könnten sogar beide Graphen falsch sein? Vielleicht gibt es sogar unendlich viele Lösungen für dies lineare Gleichung und noch unendlich viele andere Graphen für diese Gleichung. Finde den Fehler! Schau Dir erst dann die 2. Lösung weiter unten an!

2. Lösung BM2676

Der Fehler liegt beim zweiten Rechenweg. Der eigentliche Rechenweg war korrekt ${\begin{aligned}-4x+3y&=8\quad \quad |\quad +4x\\3y&=4x+8\quad \quad |\quad :(3)\\y&={\tfrac {4x+8}{3}}\\y&={\tfrac {4}{3}}x+{\tfrac {8}{3}}\end{aligned}}$ Aber dann haben wir einen kleinen Flüchtigkeitsfehler (Schusselfehler) gemacht. Wir haben fälschlicherweise m und n vertauscht. Wir haben den Wert von n für die Steigung genommen. Das ist FALSCH: unser Steigung $m={\tfrac {8}{3}}$ Das ist RICHTIG: unsere Steigung ist $n={\tfrac {4}{3}}$ --- Also zeichnen wir noch einmal einen Graphen: 1. Punkt: (-2; 0) 2. Punkt: 3 nach rechts und 4 nach oben. Das ergibt den Punkt (1; 4). Dieser Graph sieht doch schon besser aus. Er ist identisch mit dem 1. Rechenweg. Bild 1: 2. Rechenweg; 2. Graph Bild 2: 1. Rechenweg; 1. Graph

BM2677

Steigung

---

Die Steigung m beschreibt die Art ob und wie eine Linie steigt oder fällt, wenn wir uns von links nach rechts bewegen.

Welche der folgenden Graphen

a) steigt stark an?

b) steigt schwach an?

c) fällt stark ab?

d) fällt stark ab?

a) steigt gar nicht an?

e)hat die Steigung Null?

f) hat eine positive Steigung?

g) hat eine negative Steigung?

h) hat eine nicht definierte Steigung?

i) hat eine unendlich große Steigung?

j) fällt unendlich stark ab?

(Mehrfachnennungen sind möglich.)

Begründe Deine Zuordnung!

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BM2678

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Steigung (Teil 2)

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Die Steigung m beschreibt die Art ob und wie eine Linie steigt oder fällt, wenn wir uns von links nach rechts bewegen.

Welche der folgenden Graphen

a) steigt stark an?

b) steigt schwach an?

c) fällt stark ab?

d) fällt stark ab?

a) steigt gar nicht an?

e)hat die Steigung Null?

f) hat eine positive Steigung?

g) hat eine negative Steigung?

h) hat eine nicht definierte Steigung?

i) hat eine unendlich große Steigung?

j) fällt unendlich stark ab?

(Mehrfachnennungen sind möglich.)

Begründe Deine Zuordnung!

BM2679

Die Steigung m ist das Verhältnis von Höhengewinn je horizontaler Strecke

${\text{Steigung}}={\frac {\text{Hoehengewinn}}{\text{horiz. Strecke}}}$

oder kurz: Steigung ist Höhe durch Strecke.

${\text{Steigung}}={\tfrac {\text{Hoehe}}{\text{Strecke}}}$

Die Steigung ist also die Änderungsrate der Höhe, je weiter wir nach rechts gehen.

Bei einer pos. Steigung sprechen wir von steigen. Die Gerade steigt an.

Bei einer neg. Steigung sprechen wir von fallen. Die Gerade fällt ab.

---

1. Beispiel:

$m=3$

$m={\tfrac {3}{1}}$

Ein Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben.

Schritte = Längeneinheiten: z. B. Zentimeter; Meter; Kilometer usw.

---

2. Beispiel:

$m=-3$

$m=-{\tfrac {3}{1}}$

$m={\tfrac {-3}{1}}$

Einen Schritt nach rechts und drei Schritte nach unten.

---

3. Beispiel:

$m={\tfrac {5}{7}}$

Sieben Schritte nach rechts und fünf Schritte nach oben.

---

Wenn wir beispielsweise ausgehend vom Ursprung, der bekanntlich die Koordinaten (0; 0) hat einen zweiten Punkt für die Gerade mit der Steigung $m={\tfrac {5}{7}}$ finden wollen, dann müssen wir rechnen:

0 + 7 = 7 (unser x-Wert für den 2. Punkt) und

0 + 5 = 5 (unser y-Wert für den 2. Punkt).

Der 2. Punkt hat also die Koordinaten (7; 5)

BM2680

Wie lauten die Koordinaten der beiden Punkte für die Gerade $y={\tfrac {2}{5}}x+1,5$?

Zeichne den Graphen!

1. Lösung BM2680
$y={\tfrac {2}{5}}x+1,5$ $m={\tfrac {2}{5}}$ $n=1,5$ --- 1. Punkt: y-Achsenabschnitt ($0;1,5$) 2. Punkt: ($0+5;1,5+2$) also ($5;3,5$)

In welchem Punkt schneidet dieser Graph die x-Achse?

2. Lösung BM2680

Dazu setzen wir in der Gleichung $y={\tfrac {2}{5}}x+1,5$ unser y gleich Null. ${\begin{aligned}y&={\tfrac {2}{5}}x+1,5\quad \quad |\quad y=0\\0&={\tfrac {2}{5}}x+1,5\quad \quad |\quad -{\tfrac {2}{5}}x\\-{\tfrac {2}{5}}x&=1,5\quad \quad |\quad \cdot 5\\-2x&=7,5\quad \quad |\quad :(-2)\\x&=-{\tfrac {7,5}{2}}\\x&=-{\tfrac {75}{20}}\\x&=-{\tfrac {15}{4}}\\x&=-({\tfrac {12}{4}}+{\tfrac {3}{4}})\\x&=-(3+0,75)\\x&=-3,75\end{aligned}}$ Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt (-3,75; 0) Bitte auswendig lernen: 1/2 = 0,5 1/3 = 0,33333... 1/4 = 0,25 1/5 = 0,2 1/10 = 0,1

BM2681 - BM2690

BM2682

Im Gegensatz zu einer Parabel hat eine Gerade (also der Graph einer linearen Gleichung) an allen Stellen die gleiche Steigung..

Wir nehmen nochmals die Gleichung aus der vorhergehenden Übung

$y={\tfrac {2}{5}}x+1,5$

und nehmen die Koordinaten des Schnittpunktes mit der x-Achse, die wir bereits errechnet hatten und bestimmen mit Hilfe der Steigung die Koordinaten von weiteren Punkten: für x gleich -10; -5; -1; 0 und + 1.

Lösung BM2682

Als Schnittpunkt mit der x-Achse hatten wir den Punkt (0; -3,75) ermittelt $m={\tfrac {2}{5}}$ --- Wenn wir am Punkt (-3,75; 0) die Steigung antragen (-3,75 + 5; 0 + 2) dann erhalten wir den Punkt (1,25; 2) Das ist leider nicht der vorgegebene x-Wert. Man könnte die Aufgabe lösen, indem man das Steigungsdreieck ins Verhältnis zu der gewünschten Distanz setzt. Beispiel: Wir wollen von -3,75 nach -1, also 2,75 Schritte nach rechts ${\tfrac {h}{2,75}}={\tfrac {2}{5}}$ h = 1,1 (Es geht also 1,1 Einheiten hoch). Damit haben wir den Punkt (-1; 1,1). Das wollen wir hier nicht weiter vertiefen. --- Momentan ist für uns folgender Lösungsweg, ohne Verwendung des Steigungsdreiecks, viel einfacher: Wir setzen einfach den vorgegebenen x-Wert in die Gleichung und rechnen den dazugehörigen y-Wert aus. $x=-10$ also $y={\tfrac {2}{5}}\cdot (-10)+1,5$ und errechnen $y=-2,5$ So erhalten wir folgende Punkte: 1.) (-10; -2,5) 2.) (-5; -0,5) 3.) (-1; 1,1) 4.) (0; 1,5) 5.) (1; 1,9)

BM2683

Bild 1

Bild 2

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Bild 3

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Bild 4

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Bild 5

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${\text{Steigung}}={\frac {\text{Hoehengewinn}}{\text{horiz. Strecke}}}$

oder kurz: Steigung ist Höhe durch Strecke.

${\text{Steigung}}={\tfrac {\text{Hoehe}}{\text{Strecke}}}$

oder

${\text{Steigung}}={\frac {\text{vertikale Bewegung}}{\text{horizontale Bewegung}}}$

---

Gegeben sind zwei Punkte A und B.

Welche Steigung hat die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte?

Dazu müssen wir die vertikale Strecke ermitteln, also den Höhenabstand zwischen Punkt A und Punkt B.

Weiterhin müssen wir die horizontale Strecke ermitteln, also den waagerechten Abstand zwischen Punkt A und Punkt B.

(vertikal = senkrecht) (senken)

(horizontale = waagerecht) (Horizont; Waage)

Der verikale Abstand ergibt sich aus der Differenz der y-Werte von Punkt A und B.

y_B - y_A nennen wir $\Delta y$ (lies: Delta y), wobei der griechische Buchstabe Delta ($\Delta$) für Differenz steht.

Der horizontale Abstand ergibt sich aus der Differenz der x-Werte von Punkt A und B.

x_B - x_A nennen wir Delta x (lies: $\Delta y$).

Die Steigung ist:

${\text{Steigung}}={\frac {\text{vertikale Bewegung}}{\text{horizontale Bewegung}}}$ also

${\text{Steigung}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

oder

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

oder

$m={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$

BM2683

Beispiel für die Ermittlung der Steigung:

Punkt A (2; 3); Punkt B (9; 7)

$\Delta y=7-3=4$

$\Delta x=9-2=7$

Somit ergibt sich die Steigung aus dem Quotienten:

${\text{Steigung}}={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}={\tfrac {7}{4}}$

$m={\tfrac {7}{4}}$

BM2684

Ob man für die Seigung Punkt A minus Punkt B sagt oder umgekehrt Punkt B minus Punkt A ist egal.

Beispiel:

geg.: :Punkt A (2; 3); Punkt B (9; 7)

A - B

$\Delta y=7-3=4$

$\Delta x=9-2=7$

$m={\tfrac {7}{4}}$

---

B - A

$\Delta y=3-7=-4$

$\Delta x=2-9=-7$

$m={\tfrac {-7}{-4}}={\tfrac {7}{4}}$

---

Die Erklärung ist, dass durch ein Austauschen der Punkte A und B sich zwar das Vorzeichen von $\Delta y$ und $\Delta x$ umkehrt, da das aber im Nenner und Zähler gleichzeitig geschieht, kürzen sich beide Minuszeichen weg und man erhält wieder ein Plus.

BM2685

Negative Steigung

---

Gegeben sind die Punkt A (1; 6) und B (10; 3).

Berechne die Steigung!

Lösung BM2685

Zuerst rechnen wir B - A $\Delta y=3-6=-3$ $\Delta x=10-1=9$ ${\text{Steigung}}={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ $m={\tfrac {-3}{9}}=-{\tfrac {1}{3}}$ --- Und dann rechnen wir spaßenshalber auch noch A - B $\Delta y=6-3=3$ $\Delta x=1-10=-9$ ${\text{Steigung}}={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ $m={\tfrac {3}{-9}}=-{\tfrac {1}{3}}$ --- Das eine Mal kommt das Minuszeichen mit dem Zähler mit und das andere Mal mit dem Nenner. Das ERgebnis bleibt das gleiche: eine negative Steigung.

BM2686

Auch wenn die beiden Punkte der Geraden, deren Steigung bestimmt werden soll, nicht beide im gleichen Quadranten liegen ist der Rechenweg der Gleiche.

---

Bild 1

1. Beispiel: A im 3. Quadranten und B im 1. Quadranten

A (-30; -3); B (5; 2)

Berechne die Steigung mit beiden Methoden!

1.Lösung BM2686
$m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ Punkt B - Punkt A $\Delta y=2-(-3)=5$ $\Delta x=5-(-30)=35$ $m={\tfrac {5}{35}}={\tfrac {1}{7}}$ --- Punkt A - Punkt B $\Delta y=(-3)-2=-5$ $\Delta x=(-30)-5=35$ $m={\tfrac {-5}{-35}}={\tfrac {1}{7}}$

---

Bild 2

2. Beispiel: A im 1. Quadranten und B im 4. Quadranten

A (10; 20); B (40; -20)

Berechne die Steigung mit beiden Methoden!

2. Lösung BM2686
$m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ Punkt B - Punkt A $\Delta y=(-20)-20=-40$ $\Delta x=40-10=30$ $m={\tfrac {-40}{30}}=-{\tfrac {4}{3}}$ --- Punkt A - Punkt B $\Delta y=20-(-20)=40$ $\Delta x=10-40=-30$ $m={\tfrac {40}{-30}}=-{\tfrac {4}{3}}$

---

Bild 3

3. Beispiel: A im 2. Quadranten und B im 1. Quadranten

A (-30; 3); B (14; 6)

Berechne die Steigung mit beiden Methoden!

3. Lösung BM2686
$m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ Punkt B - Punkt A $\Delta y=6-3=3$ $\Delta x=14-(-30)=44$ $m={\tfrac {3}{44}}$ --- Punkt A - Punkt B $\Delta y=3-6=-3$ $\Delta x=(-30)-14=-44$ $m={\tfrac {-3}{-44}}={\tfrac {3}{44}}$

---

Bild 4

4. Beispiel: B im 3. Quadranten und A im 2. Quadranten

A (-19; 11); B (-6; -2)

Berechne die Steigung mit beiden Methoden!

4. Lösung BM2686
$m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ Punkt B - Punkt A $\Delta y=-2-11=-13$ $\Delta x=(-6)-(-19)=13$ $m={\tfrac {-13}{13}}=-1$ --- Punkt A - Punkt B $\Delta y=11-(-2)=13$ $\Delta x=(-19)-(-6)=-13$ $m={\tfrac {13}{-13}}=-1$

---

Bild 5

5. Beispiel: A im 3. Quadranten und B im 4. Quadranten

A (-20; -7); B (13; -2)

Berechne die Steigung mit beiden Methoden!

5. Lösung BM2686
$m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ Punkt B - Punkt A $\Delta y=-2-(-7)=5$ $\Delta x=13-(-20)=33$ $m={\tfrac {5}{33}}$ --- Punkt A - Punkt B $\Delta y=-7-(-2)=-5$ $\Delta x=-20-13=-33$ $m={\tfrac {-5}{-33}}={\tfrac {5}{33}}$

BM2687

Durch wie viel Quadranten muss eine Gerade mindestens gehen? Welche Quadranten sind das? Nenne alle Möglichkeiten!

Durch wie viel Quadranten kann eine Gerade höchstens gehen? Nenne alle Möglichkeiten!

Lösung BM2687

Eine Gerade ist unendlich lang. Wenn sie durch den Koordinatenursprung geht, dann geht eine steigende Gerade durch den 1. und 3. Quadranten. Eine fallenden Gerade geht durch den 2. und 4. Quadranten. Wenn die Gerade die Steigung Null hat und durch den Koordinatenursprung geht, dann liegt sie waagerecht auf der x-Achse und geht durch gar keinen Quadranten --- Wenn die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht, dann geht eine steigende Gerade durch den 3., 2. und 1. Quadranten bzw. durch den 3., 4. und 1. Quadranten. Eine fallenden Gerade geht durch den 2., 1. und 4. Quadranten bzw. durch den2., 3. und 4. Quadranten. Wenn die Gerade die Steigung Null hat und nicht durch den Koordinatenursprung geht, dann liegt sie waagerecht im 2. und 1. Quadranten bzw. im 3. und 4. Quadranten. --- Eine vertikal verlaufende Gerade gehört nicht zu einer linearen Gleichung und soll hier nicht betrachtet werden.

BM2688

$m={\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$

Die y-Bewegung ( $\Delta y$) kann hoch oder runter gehen, also pos. oder neg. sein.

Dagegen geht die x-Bewegung ( $\Delta x$) immer von links nach rechts.

Die Steigung gibt uns an wie viel Änderung es gibt, wenn wir uns auf der x-Achse eine Einheit nach rechts bewegen.

Wenn x steigt und y steigt, dann geht es aufwärts, wir haben eine pos. Steigung.

${\text{pos. Steigung}}={\frac {\text{y steigt}}{\text{x steigt}}}$

Die x-Bewegung ist immer pos.

Die Bewegung auf der x-Achse ist immer in Richung der pos. Zahlen.

Nur der y-Wert kann pos. oder neg. sein.

Wenn x steigt und y fällt, dann geht es abwärts, wir haben eine neg. Steigung.

${\text{neg. Steigung}}={\frac {\text{y faellt}}{\text{x steigt}}}$

---

Bei einem schnellen Anstieg z. B. ${\tfrac {200m}{10m}}$ ist der Anstieg steil.

Bei einem langsamen Anstieg z. B. ${\tfrac {500m}{10m}}$ ist der Anstieg flach.

BM2689

Bild 1

Horizontale und vertikale Linien

---

Welche Gleichung hat der Graph in Bild 1?

Lösung BM2689
ungefähr: $y=2x-2$

Jede Variable in einer variablen Gleichung gibt den Abschnitt auf ihrer zugehörigen Achse an. (siehe Bild 1).

Die Variable „x“ gibt also die Entfernung vom Nullpunkt auf der x-Achse an

und die Variable „y“ gibt die Entfernung vom Nullpunkt auf der y-Achse an. (sieh Bild 1)

---

Aber die folgende Gleichung hat nur eine Variable.

2x = 8

Was nun?

Wenn es keine y-Variable gibt, dann gibt es auch keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

Horizontale und vertikale Linien sind lineare Gleichungen, die nur noch eine Variable enthalten.

---

Bild 2

$2x=8$ können wir nach x auflösen und erhalten $x=4$.

Also ist „y“ für alle „x“ gleich Vier. (siehe Bild 2)

Das heißt z. B

y = 0 ⇒ x = 4;

y = 1 ⇒ x = 4;

y = 2 ⇒ x = 4;

y = 3 ⇒ x = 4;

y = 10 ⇒ x = 4;

y = -1 ⇒ x = 4;

y = -100 ⇒ x = 4.

---

Bild 3

Bild 4

Eine Linie, die NICHT die y-Achse schneidet muss parallel zur y-Achse liegen, also senkrecht stehen.

Denn nur Parallelen schneiden sich nicht. (Bild 2)

Die Geraden in Bild 3 und 4 schneiden sich scheinbar auch nicht. Sie schneiden sich aber in ihrer Verlägerung. Das ist nur nicht auf dem Bild dargestellt. Bei einem größeren Bildmaßstab wären die Schnittpunkte noch innerhalb des Bildes.

BM2690

Bild 3

$-3y=9$

Diese Gleichung hat nur eine x-Variable. Ihr Graph verläuft also parallel zur x-Achse, denn „y“ hat immer den gleichen Wert. Nur der x-Wert ändert sich.

Wir stellen $-3y=9$ nach „y“ um und erhalten $y=-3$.

(siehe Bild)

BM2691 - BM2700

BM2691

Wenn „x“ konstant ist also $x=c$ (wobei der Buchstabe „c“ für „Konstante“ oder altmodisch „Constante“ steht), dann ist der Graph eine vertikale Linie.

Wenn „y“ konstant ist also $y=c$, dann ist der Graph eine horizontale Linie.

---

Beispiel (siehe Bild)

$-2y=-12$

Umstellen nach „y“ ergibt $y=6$

Alle Wertepaare der Gleichung bzw. des Graphen, der diese Gleichung repräsentiert, haben den y-Wert 6.

---

Aufgabe:

Welche Gleichung hat als Graphen eine horizontale Linie durch den Punkt (-1; 7,3)? Zeichne den Graphen und gib die lineare Gleichung an!

Lösung BM2691
Für horizontale Linien sind die x-Werte piepsegal, weil alle x-Werte von minus Unendlich bis plus Unendlich zur Linie gehören. Die Frage ist nur bei welchem y-Wert sie die y-Achse schneidet. Von den Koordinaten des Punktes Punkt (-1; 7,3) interessiert eigentlich nur die 7,3. Die Gleichung lautet: $y=7,3$

BM2692

Welche Gleichung hat als Graphen eine vertikale Linie durch den Punkt (-2; 4)? Zeichne den Graphen und gib die lineare Gleichung an!

Lösung BM2692
Für vertikale Linien sind die x-Werte schnurzegal, weil alle x-Werte von minus Unendlich bis plus Unendlich zur Linie gehören. Die Frage ist nur bei welchem x-Wert die Linie die x-Achse schneidet. Von den Koordinaten des Punktes Punkt (-2; 4) interessiert nur die minus Zwei. Die Gleichung lautet: $x=-2$

BM2693

Gesucht ist eine Gleichung und ihr Graph, der parallel zum Graphen $x=7$ verläuft und durch den Punkt (-3; 8) geht.

Lösung BM2693

Der Graph $x=7$ ist eine vertikale Linie. Unser gesuchter Graph soll parallel dazu liegen. Das ist das Gleich, als ob die Aufgabenstellung lauten würde, dass unser gesuchter Graph eine vertikale Linie ist oder dass er parallel zur y-Achse liegen soll. Gesucht ist also eine vertikale Linie, die durch den Punkt (-3; 8) geht. Von den Koordinaten des gegebenen Punktes interessiert uns nur der x-Wert minus Drei. Der y-Wert wird für diese Gleichung nicht betrachtet. Die gesuchte Gleichung zum Graphen lautet $x=-3$.

BM2694

Finde die Gleichung für die Senkrechte auf $y=-1$, die durch den Pkt. (7; 9) geht! Zeichne den Graphen!

Lösung BM2694
$y=-1$ ist eine waagerechte Linie. Unsere gesuchte Linien soll senkrecht (rechtwinklig; 90°) dazu stehen, also soll sie vertikal sein. Außerdem soll unsere gesuchte vertikale Linie durch den Punkt (7; 9) gehen. Wir benötigen also nur den x-Wert Sieben. Ergebnis: $x=7$

BM2695

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Bild 4

Bild 5

Steigung

---

Wir haben eine zufällig gezeichnete Linie. Nun legen wir willkürlich zwei Punkte auf der Linie fest, denn um die Steigung einer Linie zu finden brauchen wir zwei Punkte, die auf der Linie liegen.

Wir suchen nun die Steigung zweischen den Punkten A und B.

Die Steigung ist eine konstante Änderungsrate. Deshalb haben wir eine Gerade als Graphen.

Wenn wir die Steigungsrate innerhalb eines Graphen ändern, dann haben wir nicht mehr länger eine Linie, sondern eine Kurve. Dazu in späteren Lektionen mehr.

Die Steigung einer Geraden ändert sich NICHT.

Wenn wir also die Steigung zwischen zwei willkürlich festgelegten Punkten A und B auf der Linie finden, dann haben wir damit die Steigung für die gesamte Gerade - auch außerhalb des Abschnitts zwischen Punkt A und B.

Um einen Pkt. einzuzeichnen benötigen wir seine beiden Koordinaten x und y. Also hat auch Pkt. A seine x- und y-Koordinaten. Ebenso Punkt B. Um beide x-Koordinaten unterscheiden zu können geben wir ihnen einen unterschiedlichen Index. Der Index kann eine Zahl oder ein Buchstabe sein:

x_A; y_A; x_B; y_B

x₁; y₁; x₂; y₂

Der Indes ist tiefergestellt, nicht hochgestellt, denn das ist die Notation (Scheibweise) für Potenzen (z. B. x²).

---

Punkt A hat folglich gnz allgemein gesprochen die Koordinaten (x_A; y_A) und Punkt B hat die Koordinaten (x_B; y_B).

Man könnte auch den Punkt A und B vertauschen, wie in den obigen Übungen schon dargelegt wurde.

Wenn wir zwei ganz bestimmte Punkte nehmen würden, z. B. $x=1$ und $y=10$, dann wäre die resultierende Formel nicht mehr allgemeingültig, sondern wir müssten immer mit diesem x-Wert arbeiten. Wir wollen aber gerade mit beliebigen x- und x-Werten arbeiten. Wir suchen also eine allg. Formel, in die wir nur die x-Werte und die y-Werte von zwei beliebigen Punkten eintragen müssen um die Steigung zu erhalten.

${\text{Steigung}}={\frac {\text{Hoehe}}{\text{horiz. Strecke}}}$

oder auch nur kurz

${\text{Steigung}}={\frac {\text{Hoehe}}{\text{Strecke}}}$

Höhe hat mit dem y-Wert zu tun.

BM2696

Bild 1

Bild 2

Wie hoch liegt Punkt A? Wie weit muss man an der y-Achse hoch gehen, um zur Höhe des Punktes A zu kommen?

Höhe A entspricht dem y-Wert der Koordinaten von A (x₁; y₁), also y₁.

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Bild 3

Welche Variablen müssen im grünen und blauen Rahmen in Bild 3 stehen?

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Bild 4

Die x-Koordinate gibt die Entfernung auf der x-Achse an, die y-Koordinate die Entfernung auf der y-Achse.

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Bild 6

${\text{Steigung}}={\frac {\text{Hoehe}}{\text{Strecke}}}$

Höhe ist die vertikale Bewegung, die Höhenänderung, also der Abstand zw. den beiden y-Werten der Pkt.-Koordinaten.

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Bild 7

Beispiel:

Zwei Punkte haben den y-Wert 3 und 10. Dann ist ihre Höhendifferenz 7.

Wie sind wir darauf gekommen? $10-3=7$

Das können wir verallgemeinern:

Den Höhen-Abstand ($\Delta y$) zwischen zwei beliebigen Zahlenwerten findet man, indem man einen Wert von anderen subtrahiert.

Also:

$\Delta y=B_{y}-A_{y}$

oder anders rum geht es auch:

$\Delta y=A_{y}-B_{y}$.

Das ist mit den konkreten Zahlenwerten 3 und 10

$10-3=7$

oder anders rum

$3-10=-7$

Da ein Abstand nie negativ sein kann ist der Abstand nicht -7 sondern +7.

$\Delta (3-10)=7$

$|3-10|=|-7|=7$

$|10-3|=|7|=7$

Zum Betrag in der nächsten Übung mehr.

BM2696

Bild 1: Verlauf der Betragsfunktion

Betrag = Betragsfunktion

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In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen Zahl (rationalen doer natürlichen Zahl) ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutbetrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative Zahl. Der Betrag einer Zahl $x$ wird meist mit $|x|$ (lies: Betrag von x), seltener mit $\operatorname {abs} (x)$ (lies: absolut), bezeichnet.

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$|-a|=|+a|=a$

Kurz gesagt: Durch die Betragsfunktion wird das Minuszeichen im Endergebnis entfernt.

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Den absoluten Betrag einer reellen (rationelsn; natürlichen) Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengeraden bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null. Es ist dann also egal ob dieser Abstand von Null aus nach rechts oder nach links gemessen wird.

Für eine reelle Zahl $x$ gilt:

$|x|:={\begin{cases}\ \;\;\;\ x&{\text{fuer }}x\geq 0\\\ -x&{\text{fuer }}x<0\end{cases}}$

Lies: Der Betrag von x ist wie folgt definiert:

x für den Fall, dass x größer oder gleich Null ist.

-x für den Fall, dass x kleiner als Null ist.

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Beispiel:

$|-7|$ ist kleiner als Null. ACHTUNG: Unser $x$ entspricht hier minus Sieben und nicht nur einfach Sieben.

Also $|-7|=-(-7)=7$

Noch ein anderes Beispiel:

$|4|=4$. Da hier x größer als Null ist, nehmen wir die obere Zeile der Definition der Betragsfunktion.

Praktisch müssen wir bei einem Betrag einer positiven Zahl nichts machen. Nur bei neg. Zahlen müssen wir zum Schluss das Vorzeichen umdrehen.

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Solche Betragsfunktionen sind nicht so banal, wie sie auf den ersten Blick erscheinen.

Gleichungen mit eingebauten Beträgen sind schon kein Kinderspiel mehr.

Beispiel: $|x+3|=5$

Ungleichungen mit Beträgen sind noch interessanter:

$|x-3|\leq 9$

Dazu in späteren Lektionen mehr.

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Wir haben hier die Betragsfunktion angerissen, um klar zu machen, dass mit Hilfe der Betragsfunktion der Abstand von zwei Punkten angegeben werden kann. Dass also mit Hilfe des Betrages die Streckenlänge angegeben wrden kann, unabhängig davon, ob beide Endpunkte der Strecke im positiven Zahlenbereich liegen oder ob beide Endpunkte der Strecke im negativen Zahlenbereich liegen. Es können auch beide Punkte in unterschielichen zahlenbereichen (pos. und neg.) liegen. Es ist sogar egal, ob man den einen Endpunkte vom anderen oder umgekehrt den anderen vom einen abzieht. Durch die Betragsfunktion erhält man zum Schluss einfach eine positive Zahl, und das ist die Länge der Strecke.

Wie weiter oben schon gesagt: Strecken können keine neg. Länge haben. (Und die Zeit kann nicht rückwärs gehen.)

Bild 2

Beispiel: In Bild 2 zwei sind alle drei Strecken gleich lang (genau 4 Einheiten).

Die blaue Strecke liegt zwischen -8 und -4.

Die grüne Strecke liegt zwischen -2 und +2.

Die rote Strecke liegt zwischen +6 und +10.

(Zur Erinnerung: eine Strecke hat zwei Endpunkte, während eine Gerade in beide Richtungen unendlich weit geht. Eine Gerade kann man zwar durch zwei Punkte angeben, aber das sind nie ihre Endpunkte.)

Wir rechnen jetzt für alle drei Strecken jeweils in beide Richtungen:

blaue Strecke: $|(-8)-(-4)|=|-8+4|=|-4|=4$

Übrigens wird die Betragsfunktion immer als letzter Schritt angewendet, nachdem, am erst mal alles ausgerechnet hat was zwischen den beiden senkrechten Betragsstrichen steht.

Und noch die Gegenrichtung für die blaue Strecke: $|(-4)-(-8)|=|-4+8|=|4|=4$

grüne Strecke: $|(-2)-(2)|=|-2-2|=|-4|=4$

und anders rum: $|(+2)-(-2)|=|2+2|=|4|=4$

rote Strecke: $|6-10|=|-4|=4$

und anders herum: $|10-6|=|4|=4$

Die Strecken sind also immer 4 Einheiten lang. Egal wo sie liegen, egal wohin wir sie verschieben, egal wie rum wir ihre Länge ausrechnen.

Das $\Delta x$ (bzw. das $\Delta y$) drückt genau das aus: dass wir die Länge der Strecke mit Hilfe des Betrages ermitteln.

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Übrigens ist in Bild 2 die y-Achse mit ihren Zahlenwerten grau, um anzudeuten, dass wir zur Erklärung der Betragsfunktion nur die x-Achse brauchen, unseren allseits bekannten Zahlenstrahl. Natürlich kann man die Betragsfunktion auch auf die y-Achse anwenden, dann bräucht man aber die x-Achse nicht.

BM2697

Wir kommen wieder zurück zur Steigung von Graphen linearer Gleichungen

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Der horizontale Abstand von zweier Punkte ist x₂-x₁ oder ganz allgemein:

$\Delta x=|x_{2}-x_{1}|$ (dann darf x₂ auch links von x₁ liegen)

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Folglich ist die Steigung m

${\text{Steigung}}={\frac {\text{Hoehe}}{\text{Strecke}}}$

oder

${\text{Steigung}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {|y_{2}-y_{1}|}{|x_{2}-x_{1}|}}$

Und noch mal zum Mitschreiben: Die Steigung ist das Verhältnis von Höhengewinn zur horizontalen Strecke in der dieser Höhengewinn stattfindet.

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Bild 1

Bild 1: Ganz faule Leute lesen die Koordinaten der beiden Punkte direkt aus dem Steigungsquotienten m ab indem sie den Kopf stark zur Seite legen.

1. gibt die Formel für m

2. lege man den Kopf zur Seite, so dass man die Formel um 90° gedreht sieht.

3. kann man nun oben (rosa umrandet) die Koordinaten für Punkt A direkt ablesen, entsprechend unten (hellgrün umrandet) für Punkt B. Natürlich kann man Punkt A und B beliebig vertauschen.

Das geht auch anders herum: Wir haben eine Tabelle mit Punkten und sollen daraus die Steigungsformel schreiben.

A	xA	yA
B	xB	yB

Dazu gehen wir rückwärs von Punkt 3 zu Punkt 2 zu Punkt 1. (Bild 1)

BM2698

In der vorherigen Übung (Übung BM2697) hat sich ein Fehler eingeschlichen. Kannst du ihn finden?

Lösung BM2698
In der folgenden Gleichung ist die Betragsfunktion überflüssig: ${\text{Steigung}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {|y_{2}-y_{1}|}{|x_{2}-x_{1}|}}$ Denn ${\text{Steigung}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ gibt immer das gleiche Ergebnis.

BM2699

Ist die Formel für die Steigung

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

oder

$m={\frac {\Delta x}{\Delta y}}$ ?

Oder gehen beide Formeln?

Lösung BM2699
Es geht natürlich nur eine Formel: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ „y“ steht immer oben im Bruch und „x“ immer unten im Bruch. --- Eselsbrücke: An den Koordinatenachsen steht „y“ auch immer oben und „x“ immer (weiter rechts) unten.

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Woher kommt der Buchstabe „m“ für Steigung? Wofür steht der Buchstabe „m“?

Niemand weiß es. Es gibt unbestätigte Gerüchte, dass „m“ vom frz. Wort „monter“ (frz. für steigen) kommt. Jedenfalls scheint „m“ keine Abkürzunge für irgendein naheliegendes deutsches Wort zu sein.

BM2700

„m“ ist die Steigung. Die Steigung sagt uns, ob eine Linie steigt oder fällt, ob sie stark (steil) oder schwch (flach) steigt. Ob sie horizontal liegt (Null Steigung) oder vertikal liegt (undefinierte Steigung; unendlich stark steigt = unendlich stark fällt).

Ordne den Abbildungen zu!

a) $m=0$

b) $m>0$

c) $m<0$

d) $m=+\infty$

e) $m=-\infty$

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  Bild 1
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  Bild 2
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  Bild 3
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  Bild 4
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  Bild 5

Lösung BM2700

Bild 1: $m=-\infty$; $m=+\infty$ (korrekter wäre: nicht definiert, denn wenn keine horiz. Strecke zurückgelegt wird, dann lässt sich auch nicht beantworten welche Höhenänderung dabei auftritt.) Bild 2: $m=-\infty$; $m=+\infty$ (korrekter wäre: nicht definiert! Die Frage lässt sich nicht beantworten welcher Höhengewinn je Strecke auftritt, wenn keine Strecke zurückgelegt wird. „m“ ist undefiniert. „Unendlich“ ist keine Zahl. a = b/0 n.def.) Bild 3: $m=0$ Bild 4: $m<0$ Bild 5: $m>0$ --- Bild 6 $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {0}{\Delta x}}=0$ denn: $\Delta y=0$ --- Bild 7 $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta y}{0}}={\text{nicht definiert!}}$ denn: $\Delta x=0$

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