Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 083b

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Lección 083

Mathematik auf Deutsch - 33

BM1601 - BM1610

BM1601

Planimetrie

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Unter Planimetrie versteht man allgemein metrische Problemstellungen der ebenen Geometrie, insbesondere die Flächeninhaltsberechnung in der Ebene. (Für die Flächenberechnung im Raum gibt es die Stereometrie.)

Laubblatt des Spitz-Ahorns

Der Flächeninhalt einfacher Flächen in der Ebene kann aus bekannten Längenwerten berechnet werden. Die Errechnung komplizierterer Flächen wird meist über Zerlegung in Flächenstücke, die sich leichter errechnen lassen, erreicht. Unregelmäßige Flächen, wie z. B. die Fläche eines Ahornblattes, müssen analytisch mit dem Kurvenintegral – sofern die Kurve analytisch vorliegt – errechnet, mit planimetrischen Methoden abgeschätzt oder planimetriert (ausgemessen) werden.

BM1602

Die Planimetrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. In der Planimetrie werden Punkte, Geraden und andere Figuren betrachtet, die in ein und derselben Ebene liegen.

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Beziehungen zwischen Punkt und Geraden:

Bild 1

Punkt A liegt auf der Geraden a.

Die Gerade a geht durch Punkt A.

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Bild 2

Punkt A liegt nicht auf der Geraden a.

Die Gerade a geht nicht durch Punkt A.

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Bild 3

Durch zwei Punkte A und B geht genau eine Gerade. Wir bezeichnen sie als Gerade AB.

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Bild 4

Zwei Geraden sind entweder zueinander parallel oder sie schneiden einander in einem Punkt.

Im Bild sind nicht nur die Gerade b und c zueinander parallel, sondern auch die Gerade b. Die Gerade a schneidet auch die Geraden c und d, auch wenn der Schnittpunkt außerhalb des Bildes liegt. Beachte: Eine Gerade geht in beide Richtungen unendlich weiter, sie kann also auf einer Zeichnung nie vollständig dargestellt werden.

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Bild 5

Zu jeder Geraden a gibt es durch jeden Punkt A außerhalb dieser Geraden genau eine Gerade b, die zu a parallel ist.

Im Bild ist diese Parallele schwach dargestellt und zusätzlich noch eine schwache rötliche Linien, die NICHT parallel zu a verläuft.

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Bild 6

Von drei Punkten einer Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Von drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, kann man das nicht unbedingt sagen (siehe: Punkte F, E und K).

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Bild 7

Jeder Punkt A einer Geraden a zerlegt diese Gerade in zwei Strahlen.

Strahlen, die auf zueinander parallelen Geraden liegen, nennen wir auch zueinander parallel.

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Bild 8

Bild 9

Bild 10

Bild 11

Bei zueinander parallelen Strahlen unterscheiden wir Strahlen mit gleichem Richtungssinn und Strahlen mit entgegengesetztem Richtungssinn.

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Bild 12

Zwei Punkte A und B legen auf der Geraden AB die Strecke ${\overline {AB}}$ fest. Ihr gehören außer den Punkten A und B alle und nur die Punkte an, die auf der Geraden AB zwischen den Punkten A und B liegen.

Eine Strecke ${\overline {AB}}$ kann man auch mit ${\overline {BA}}$ bezeichnen. Wenn man aber festlegt, dass einer der beiden Punkte A bzw. B vor dem anderen kommt, so heißt die Strecke orientiert. Wir haben dann zwischen den orientieren Strecken ${\overrightarrow {AB}}$ und ${\overrightarrow {BA}}$ zu unterscheiden.

BM1603

Winkel

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Bild 1

Ein Paar von Strahlen h und k, die denselben Anfangspunkt A haben, nennen wir einen Winkel. Die Strahlen h und k heißen Schenkel, der Punkt A heißt Scheitel des Winkels, den wir mit Winkel (h,k) oder $\sphericalangle$ (h,k) bezeichnen.

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Bild 2

Einen Winkel mit dem Scheitel A und den Punkten B bzw. C auf seinen Schenkeln h bzw. k bezeichnen wir auch mit Winkel BAC bzw. $\sphericalangle$ BAC.

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Bild 3

Bild 4

Liegen die Schenkel eines Winkels auf ein und derselben Geraden und fallen sie nicht zusammen, so sprechen wir von einem gestreckten Winkel.

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Bild 5

Jedem Winkel können zwei Ebenenteile zugeordnet werden.

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Bild 6

Manchmal ist es zweckmäßig, unter einem Winkel (h, k) das Strahlenpaar h und k einschließlich der Punkte eines der beiden Ebenenteile zu verstehen. Dann zeichnen wir in den betreffenen Ebenenteil (Winkelfeld) einen Kreisbogen ein.

Hier im Bild ist der rosafarbene Teil der Ebene der Winkel.

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Bild 7

Oft geht aus dem Zusammenhang hervor welches der beiden Winkelfelder gemeint ist

Hier im Bild ist der grüne Teil der Ebene der Winkel.

BM1604

Winkel

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Ordne die Winkel den richtigen Bildern zu!

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Einteilung der Winkel nach ihrer Größe:

1.) rechter Winkel

2.) stumpfer Winkel

3.) gestreckter Winkel

4.) spitzer Winkel

5.) überstumpfer Winkel

6.) Vollwinkel

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  Bild: a
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  Bild: b
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  Bild: c
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  Bild: d
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  Bild: e
• 
  Bild: f

Lösung BM1604
1b - rechter Winkel 2c - stumpfer Winkel 3f - gestreckter Winkel 4a - spitzer Winkel 5d - überstumpfer Winkel 6e - Vollwinkel

BM1605

Winkel

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Einen Winkel (h, k) kann man auch mit (k, h) bezeichnen, Wenn man aber festlegt, dass einer der beiden Schenkel h bzw. k der erste sein soll, so heißt der Winkel orientiert. Wir haben dann zwischen den orientierten Winkeln (${\overrightarrow {h,k}}$) und (${\overleftarrow {h,k}}$) zu unterscheiden.

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links: positiv orientiert; rechts: negativ orientiert

Erfolgt die Orientierung eines Winkels so, dass die Pfeilspitze den entgegengesetzten Drehsinn eines Uhrzeigers angibt, so heißt der Winkel positiv orientiert, andernfalls negativ orientiert.

Zwei Winkel heißen gleich orientiert, wenn sie entweder beide positiv orientiert oder beide negativ orientiert sind.

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mathematischer Drehsinn:

gegen den Uhrzeiger: mathematisch positiv

mit dem Uhrzeiger (im Urhzeigersinn): mathematisch negativ

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Wenn die Orientierung festliegt, kann man das Winkelfeld durch die Reihenfolge der Schenkel bzw. der Punkte auf den Schnekeln ausdrücken: nämlich als Winkelfeld, das überstrichen wird, wenn der erstgenannte Schenkel der angegebenen Orientierung folgend bis zum zweiten Schenkel gedreht wird.

BM1606

Original und Bild

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  Bild 1
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  Bild 2
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  Bild 3
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  Bild 4
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  Bild 5
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  Bild 6

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Abbild

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Abbild bezeichnet ein Bild und seine Beziehung zu einem darauf abgebildeten wiedererkennbaren Gegenstand. Ein Abbild kann einen natürlichen Ursprung haben (z. B. Schatten, Spiegelbild) oder künstlich geschaffen sein (z. B. Gemälde, symbolisches Zeichen).

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Funktion

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In der Mathematik ist eine Funktion (lat. functio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder Zahl deren Quadrat.

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Das Bild dieser Funktion ist {A, B, D}.

Bild (in der Mathematik)

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Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.

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Abbildungsgeometrie

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In der Mathematikdidaktik bezeichnet Abbildungsgeometrie oder Bewegungsgeometrie das didaktische Konzept, mit Hilfe von Abbildungen und deren Eigenschaften Geometrie zu betreiben, welches der üblichen kongruenzgeometrischen Methode nach Euklid gegenübergestellt wird.

BM1607

rechtwinklige Projektion (Orthogonalprojektion)

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In der Geometrie ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts auf eine Gerade oder eine Ebene, sodass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild mit dieser Gerade oder Ebene einen rechten Winkel bildet.

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Prinzip einer Dreitafelprojektion

In der darstellenden Geometrie und im technischen Zeichnen dienen Projektionen dazu, zweidimensionale Abbildungen von dreidimensionalen geometrischen Körpern herzustellen. Neben der Zentralprojektion kommen hierbei häufig Parallelprojektionen zum Einsatz. Eine Parallelprojektion ist eine Abbildung, die Punkte des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenen Bildebene abbildet, wobei die Projektionsstrahlen zueinander parallel sind. Treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene, so spricht man von einer Orthogonalprojektion.

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Zentralprojektion eines Würfels

Parallelprojektion bzw. Zentralprojektion einer Häuserreihe

Zentralprojektion

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Mit Hilfe der Zentralprojektion stellt man in der darstellenden Geometrie anschauliche Bilder von räumlichen Objekten her. Im Gegensatz zur Parallelprojektion, in der man parallele Strahlen zur Projektion auf eine Ebene (Bildtafel) verwendet, benutzt man bei der Zentralprojektion Strahlen (Geraden) durch einen festen Punkt O {\displaystyle O} O, den Augpunkt. Die Zentralprojektion erzeugt Bilder, wie sie auch beim Sehen mit einem Auge im Augpunkt entstehen. Während bei der Parallelprojektion parallele Geraden auf ebensolche abgebildet werden, werden bei der Zentralprojektion parallele Geraden, die nicht parallel zur Bildtafel verlaufen, auf Geraden abgebildet, die sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt, schneiden. Zentralprojektionen geben den räumlichen Eindruck eines Objektes viel besser wieder als eine Parallelprojektion (s. Häuserreihe). Die Zentralprojektion entspricht der Abbildung der Umwelt durch das menschliche Auge und ergibt somit einen natürlichen Bildeindruck. Sie wird in Technik und Architektur, in der Kartografie, in der Malerei und beim Zeichnen, sowie in der Computergrafik angewendet.

BM1608

Orthogonalprojektion eines Punkts $\scriptstyle P$ auf eine Gerade $\scriptstyle g$. Das Lot $\scriptstyle {\overline {PP'}}$ steht auf der Gerade senkrecht.

Projektion auf eine Gerade

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In der euklidischen Ebene ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts $P$ auf eine Gerade $g$, derart dass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild $P'$ einen rechten Winkel mit der Gerade bildet. Eine Orthogonalprojektion muss demnach die beiden Bedingungen

• $P'\in g$   (Projektion)
• ${\overline {PP'}}\perp g$   (Orthogonalität)

erfüllen. Die Linie ${\overline {PP'}}$ heißt Lot des Punkts auf die Gerade und der projizierte Punkt $P'$ wird Lotfußpunkt genannt. Die zeichnerische Konstruktion des Lots mit Zirkel und Lineal ist eine Standardaufgabe der euklidischen Geometrie und man spricht dabei vom Fällen des Lots.

BM1609

eindeutig

eineindeutig

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Bild 1: eineindeutige Abbildung

Bild 2: eineindeutige Abbildung

Bild 3: eineindeutige Abbildung

Gegeben ist ein Dreieck ABC und ein Punkt Z, der innerhalb des Dreiecks liegt. (Bild 1)

Wir zeichnen von Punkt Z aus Strahlen, die durch die Punkte des Dreiecks ABC gehen. Auf diesen Strahlen tragen wir von Z aus jeweils die Strecken mti der doppelten Läge der Strecke $\scriptstyle {\overline {ZA}}$, $\scriptstyle {\overline {ZB}}$, $\scriptstyle {\overline {ZC}}$, $\scriptstyle {\overline {ZD}}$ usw. ab. Wir erhalten die Punkte E, F,G H usw. (siehe Bild 2)

Auf diese Weise wird jedem Punkt des Dreiecks ABC ein Punkt der Ebene zugeordnet. Einige Paare der einander zugeordneten Paare sind in Bild 3 angegeben.

In Bild 1 wird jedem Punkt einer geometrischen Figur (Dreieck ABC) ein Punkt einer anderen geometrischen Figur (Dreieck EFG) zugeordnet.

Originalpunkte: A, B, C, D

Bildpunkte: E, F, G, H

Wir sprechen von einer Abbildung.

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Bei Abbildungen unterscheiden wir Originale und Bilder. In Bild 1 ist jedem OriginalpunktP genau ein Punkt P' als Bildpunkt zugeordnet.

Umgekehrt gehört zu jedem Bildpunkt P' genau ein Originalpunkt P.

Einse solche Abbildung heißt umkehrbar eindeutig oder eineindeutig.

BM1610

eindeutige Abbildung

Wir zeichnen zueinander parallele Strahlen, die von den Punkten eines Dreiecks ABC ausgehen und die eine Gerade a schneiden. Jedem Punkt des Dreiecks ordnen wir den Schnittpunkt des von ihm ausgehenden Strahls mit der Geraden a zu. Einige Punkte der auf diese Weise zugeordneten Punkte sind im Bild 2 angegeben.

In diesem Beispiel ist zwar jedem Originalpunkt wiederum genau ein Punkt als Bildpunkt zugeordnet. Umgekehrt gibt es jedoch Bildpunkte, die zu mehr als einem Originalpunkt gehören.

Eine solche Abbildung heißt eindeutig.

BM1611 - BM1620

BM1611

Abbildung von Punktmengen auf sich selbst

Wir zeichnen ein Quadrat ABCD und bestimmen das Bild des Quadrates bei einer Drehung umd den Schnittpunkt der Diagonalen mit einem Drehwinkel von 90°.

Durch die angegebene Abbildung ist jedem Punkt des Quadrates ABCD genau ein Punkt desselben Quadrats zugeordnet. Einigne Paare der einadner zugeordneten Punkte sind in Bild 3 angegeben.

In diesem Beispiel ist durch die Abbildung jedem Punkt der gegebenen geometrischen Figur genau ein Punkt derselben geometrischen Figur als Bildpunkt zugeordnet. Wir sagen, dass die gegebene geometrische Figur auf sich selber abgebildet wird.

BM1612

Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen

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Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen sind Beispiel für eineindeutige Abbildungen der Ebene auf sich selbst.

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Konstruiere das Bild eines Dreiecks ABC bei einer selbstgewählten Verschiebung!

Welche Eigenschaften besitzen die Geraden, die einander zugeordneten Original- und Bildpunkte verbinden?

Lösung BM1612
Die Geraden, die einander zugeordneten Original- und Bildpunkte verbinden, sind parallel zueinander und haben alle die gleiche Länge.

BM1613

Parallelverschiebung eines Dreiecks

Parallelverschiebung

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Die Parallelverschiebung oder Translation ist eine geometrische Abbildung, die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raumes in dieselbe Richtung um dieselbe Strecke verschiebt.

Parallelverschiebungen gehören zu den Bewegungen, da bei ihrer Anwendung Längen und Winkel erhalten bleiben. Als Bewegungen werden sie – vor allem die Parallelverschiebungen in der Ebene – auch zu den Kongruenzabbildungen gezählt.

Im zweidimensionalen (euklidischen) Raum $\mathbb {R} ^{2}$ ist eine Parallelverschiebung eine mathematische Funktion, die jeden Punkt des Raums um die gleiche Strecke in die gleiche Richtung verschiebt.

BM1614

Verschiebung

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Definition: Unter Verschiebung versteht man eineindeutige Abbildungen der Ebene auf sich mit folgenden Eigenschaften:

1.) Die Geraden AA' und BB', die die Originalpunkte A bzw. B mit den ihnen zugeordneten Bildpunkten A' bzw. B' verbinden, sind zueinander parallel.

2) Die Strahlen AA' und BB' sind gleich orientiert.

3.) Die Strecken ${\overline {AA'}}$ und ${\overline {BB'}}$ sind gleich lang.

BM1615

Drehung

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Unter einer Drehung versteht man in der Geometrie eine Selbstabbildung des euklidischen Raumes mit mindestens einem Fixpunkt, die alle Abstände invariant lässt und die Orientierung erhält.

Da Drehungen Längen (und folglich Winkel) invariant lassen, ist jede Drehung eine Kongruenzabbildung.

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Bild 1

In der euklidischen Ebene lässt jede echte Drehung (d. h. nicht die Drehung um den Winkel null) genau einen Punkt $Z$ fest, das Drehzentrum. Ist $P$ ein von $Z$ verschiedener Punkt der Ebene und $P'$ sein Bild, dann hängt der Winkel $PZP'$ nicht von $P$ ab und definiert den Drehwinkel.

Bild 2

Bild 3

Eine Drehung um 180° bewirkt dieselbe Abbildung der Ebene wie eine Punktspiegelung am Drehzentrum $Z$.

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Bild 4: Drehungen sind identisch, wenn sie sich um ein Vielfaches von 360° unterscheiden.

Drehungen, die sich um ein Vielfaches von 360° unterscheiden, sind identisch.

BM1616

Bild 1

Bild 2

Drehung

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Definition: Unter Drehungen um einen Punkt M versteht man eineindeutige Abbildungen der Ebene auf sich mit folgenden Eigenschaften:

1.) Das Bild A' eines Punktes A (wobei A verschieden von M ist) liegt auf dem Kreis um M mit dem Radius ${\overline {MA}}$

2.) Die Winkel AMA' und BMB', die durch den Punkt A bzw. B und ihre Bilder A' bzw. B' bestimmt werden, sind gleich orientiert.

3.) Die Winkel AMA' und BMB' sind gleich groß.

4.) Der Punkt M wird auf sich selber abgebildet. (Der Punkt M und sein Bild M' liegen exakt an der gleichen Stelle.)

BM1617

Spiegelung

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Definiton: Unter Spiegelung an Geraden a versteht man eineindeutige Abbildungen der Ebene auf sich mit folgenden Eigenschaften:

1.) Jeder Punkt A, der nicht der Geraden a angehört, liegt mit seinem Bildpunkt A' auf verschiedenen Seiten der Geraden a.

2.) Jede Gerade AA' schneidet die Gerade a in einem Punkt L unter einem rechten Winkel.

3.) Die Strecken ${\overline {LA}}$ und ${\overline {LA'}}$ sind gleich lang.

4.) Jeder Punkt (Punkt B) der Geraden a wird auf sich selbst abgebildet.

BM1618

Konstruktion einer Spiegelung

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Um in einer Ebene einen Punkt P an der Geraden AB zu spiegeln zeichnet man eine Senkrechte von der Spiegelachse AB zu diesem Punkt. Diese Senkrechte wird auf die andere Seite der Spiegelachse um den gleichen Betrag verlängert.

Um die Spiegelung einer geometrischen Figur zu konstruieren, zeichnet man den Spiegelpunkt jedes Eckpunktes dieser Figur.

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Um den Punkt P an der Linie AB zu spiegeln verwendet man einen Zirkel und eine Lineal.

Man geht folgendermaßen vor:

Schritt 1 (rot): Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt P und irgendeinem Radius r um die Schnittpunkte A' und B' auf der Linie AB zu erhalten. Die Punkte A' und B' haben beide den gleichen Abstand von P.

Schritt 2 (grün): Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt A' und einen zweiten Kreis mit dem Mittelpunkt B', beide mit dem Radius r. Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise sind die Punkte P und Q.

Der Punkt Q ist de Spiegelpunkt von Punkt P an der Linie AB.

Schritt 3 (blau): Die Verbindungsstrecke vom Originalpunkt P zum Bildpunkt Q schneidet die Spiegelachse AB rechtwinklig im Punkt O.

BM1619

Bild 1

Bild 1: Doppelte Spiegelung (an parallelen Geraden)

Eine Spiegelung an einer Geraden (Die rote Figur ist das Original der Spiegelung. Die grüne Figur ist das Spiegelbild.) gefolgt von einer zweiten Siegelung (grün nach blau) an einer zweiten Geraden, die parallel zur ersten Geraden liegt. Das Ergebnis ist eine Verschiebung (Translation).

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Bild 2

Bild 2: doppelte Spiegelung - horizontal und vertikal

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Bild 3

Bild 3: doppelte Spiegelung (an NICHT parallelen Geraden)

Ein Spiegelung an einer Geraden, gefolgt von einer Spiegelung an einer zweiten Geraden, die nicht parallel zur ersten Geraden ist, ergibt insgesamt ein Drehung um den Schnittpunkt der beiden Spiegelgeraden.

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Bild 4

Bild 4: mehrfache Spiegelung an nicht-parallelen Geraden in einem Kaleidoskop.

BM1620

Bild 1: Halbieren der Verbindungsstrecke; Halbdrehung

Punktspiegelung

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Es handelt sich um eine Abbildung, die durch einen Punkt Z (Spiegelpunkt, Zentrum) gegeben ist. Die Spiegelung am Punkt Z ordnet jedem Punkt P der Zeichenebene (im Bild 1: Punkte A, B und C) oder des Raumes einen Bildpunkt P' zu (im Bild 1: Punkte A', B' und C'), der dadurch bestimmt ist, dass die Verbindungsstrecke ${\overline {PP'}}$ [PP'] vom Punkt Z halbiert wird.

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Eine Punktspiegelung hat genau einen Fixpunkt (das heißt einen Punkt, den die Abbildung unverändert lässt), nämlich das Zentrum Z. Fixgeraden (also die Geraden, die die Abbildung in sich selbst überführt) sind genau die Geraden durch Z.

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Bild 2

In der Ebene ist die Punktspiegelung am Zentrum Z gleichbedeutend mit einer Drehung um 180° um das Drehzentrum Z.

Punktspiegelungen sind geraden-, längen- und winkeltreu, also Kongruenzabbildungen.

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Bild 3

Bild 4

Jede ebene Punktspiegelung lässt sich ersetzen durch zwei hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen, wobei die Achsen dieser Spiegelungen durch das Zentrum Z gehen und zueinander senkrecht sind. Die Reihenfolge dieser Spiegelungen ist daher beliebig.

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Jede räumliche Punktspiegelung lässt sich ersetzen durch drei hintereinander ausgeführte Ebenenspiegelungen, wobei die drei Spiegelebenen durch das Zentrum Z gehen und zueinander senkrecht sind. Die Reihenfolge dieser Spiegelungen ist daher beliebig.

BM1621 - BM1630

BM1621

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  Bild 1
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  Bild 2

Punktsymmetrie auf einer Spielkarte (Bild 1: Herz König: Bild 2: Könige aus einem Skatspiel). Der Symmetriepunkt liegt in der Mitte der Spielkarte

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Bild 3

Die Kombination von zwei Punktreflexion ist eine Translation.

BM1622

Bild 1

Bild 2

Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Punkt auf sich selbst abgebildet wird.

Dieser Punkt is der sogenannten Symmetriepunkt oder das Symmetriezentrum.

In vielen Fällen handelt es sich dabei um eine Drehung der Figur um 180°.

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Beispiele für eine Punktspiegelung:

• Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
• Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
• Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
• Manchmal gibt es mehrere Symmetriezentren. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
• Ein Dreieck ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.

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Eine beliebige Gerade g wird auf eine zu g parallele Gerade (Bildgerade) g' abgebildet.

Bild 1: Punktspiegelung von parallelen Strecken

Bild 2: Punktspiegelung von parallelen Strecken

Bild 3: Punktspiegelung von zwei Geraden

BM1623

Was ist der Unterschied zwischen einer Punktspiegelung und einer Achsenspiegelung?

Bild 1: Achsenspiegelung

Bild 2: Punktspiegelung

Lösung BM1623

Objekte die durch Achsenspiegelung auseinander hervor gegangen sind, sind zueinander achsensymmetrisch. Objekte die durch Punktspiegelung auseinander hervor gegangen sind, sind zueinander punktsymmetrisch. --- Bei einer Punktspiegelung sind die Figuren deckungsgleich. Bei einer Achsenspiegelung sind die Figuren nicht deckungsgleich, sondern sie liegen aufeinander wenn an der Spiegel-Achse gefaltet wird. Bei einer Punktspiegelung wird der Richtungssinn der Buchstaben, die die Eckpunkte bezeichnen, beibehalten. Bei einer Achsenspiegelung ist dieser Richtungssinn entgegengesetzt. Bei einer Punktspiegelung schneiden sich die Geraden zwischen den Original- und Bildpunkten (z. B. zwischen A und A') im Spiegelpunkt. Bei einer Achsenspiegelung liegen die Verbindungsgeraden zwischen Original- und Bildpunkten parallel zueinander.

BM1624

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  Bild 1
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  Bild 2
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  Bild 3
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  Bild 4

Radialsysmmetrie

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Radialsymmetrie ist eine Form der Symmetrie, bei der das Objekt invariant gegenüber allen Rotationen (also allen Winkeln und allen Achsen durch die Objektmitte) ist. Für ein Bezugssystem ist also nur der Koordinatenursprung, nicht aber die Ausrichtung von Bedeutung, wenn man ein radialsymmetrisches Objekt beschreiben will.

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Im dreidimensionalen Fall nennt man die Radialsymmetrie auch Kugelsymmetrie, da Kugeln (genauer: auch konzentrische Kombinationen von Kugeloberflächen) die einzigen radialsymmetrischen dreidimensionalen Objekte sind.

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Invarianz ist die Unveränderlichkeit von Größen. Das zugehörige Adjektiv lautet invariant.

BM1625

Bild 1: Achtzählig drehsymmetrische Wandfliese

Bild 2: Radiärsymmetrie: Qualle Symmetrieachse parallel zur Bildebene, Symmetrie daher kaum sichtbar

Bild 3: Radiärsymmetrie: Korallenskelette; Symmetrieachse senkrecht zur Bildebene, Einzelskelette daher auch im Bild radiärsymmetrisch

Radiärsymmetrie

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Eine spezielle Form der Drehsymmetrie wird in der Biologie Radiärsymmetrie genannt. (Die Unterschiede zwischen beiden Begriffen werden weiter unten im Abschnitt Biologie erläutert.) Zunächst soll im Folgenden der allgemeinere Begriff der Drehsymmetrie erklärt werden.

Mathematisch gesehen handelt sich bei der Drehsymmetrie um eine Form der Symmetrie, bei der die Drehung eines Objektes um einen gewissen Winkel um eine Gerade (Drehachse, Symmetrieachsen) das Objekt wieder mit sich selbst zur Deckung bringt. Bei zweidimensionalen mathematischen Objekten muss diese Achse als senkrecht auf der betrachteten Ebene angenommen werden. Sie verläuft dann durch den Flächen- oder Volumen-Schwerpunkt des Objektes und kann in der Ebene auch nur als Punkt dargestellt werden. Man spricht von einer n-zähligen Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n das Objekt auf sich selbst abbildet. Beispielsweise ist das rechts abgebildete Parallelogramm zweizählig drehsymmetrisch und besitzt eine Drehachse senkrecht zur Zeichenebene, so dass es bei Drehung um 180° auf sich selbst abgebildet wird.

Manche drehsymmetrischen Objekte werden bei Drehung um einen beliebigen Winkel auf sich selbst abgebildet, etwa der Kreis, die Kugel, der Zylinder oder der Kegel. Dies nennt man Rotationssymmetrie. Ist die Drehung um einen beliebigen Winkel und eine beliebige Achse durch den Schwerpunkt möglich, so dass das Objekt auf sich selbst abgebildet wird (wie bspw. bei der Kugel), dann spricht man von Radialsymmetrie.

In der zweidimensionalen Projektion (Bild oder Zeichnung) bleibt die Drehsymmetrie erhalten, wenn die Symmetrieachse senkrecht zur Projektionsebene steht, dies hängt also lediglich vom Blickwinkel ab (siehe Abbildung Qualle und Korallenskelett).

Beispiele für Drehsymmetrie finden sich unter anderem in der Technik (Malteserkreuz, Zahnrad, Anker-Blechpakete von Elektromotoren), Kunst (Kapitelle) und der Morphologie der Lebewesen.

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  Bild 4
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  Bild 5
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  Bild 6

Bild 4-6: Zweizählig drehsymmetrische Objekte in 2D

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Bild 7: drei Symmetrieebenen

Bild 8: vier Symmetrieebenen

Bild 9: fünf Symmetrieebenen

Bild 10: sechs Symmetrieebenen

Biologie:

In der Biologie versteht man unter Radiärsymmetrie eine drei- oder mehrzählige Drehsymmetrie, wenn zusätzliche Symmetrieebenen durch die Drehachse verlaufen. So besitzt z. B. der fünfarmige Seestern in Ruhelage neben seiner Drehachse fünf Symmetrieebenen, die jeweils durch einen der Arme und die Drehachse verlaufen.

Allerdings gibt es viele drehsymmetrische Objekte (wie z. B. das weiter oben abgebildete Parallelogramm oder die achtzählige Fliese), die diese zusätzlichen Symmetrien nicht besitzen. Die Radiärsymmetrie ist also ein Spezialfall der Drehsymmetrie.

Dieses Symmetrie-Phänomen kann bei Lebewesen niemals dieselbe Perfektion wie bei mathematischen Objekten annehmen, wird aber dennoch als Symmetrie bezeichnet und in der Wahrnehmung auch als solche empfunden.

Radiärsymmetrisch sind viele Nesseltiere und die meisten Stachelhäuter (Pentasymmetrie; fünfzählig). Von der Radiärsymmetrie wird die Disymmetrie (2 Symmetrieebenen; Rippenquallen), und die Bilateralsymmetrie (eine Symmetrieebene; Bilateria) unterschieden.

In der Botanik kommt Radiärsymmetrie häufig beim Aufbau der Blüten vor.

BM1626

Geometrische Transformationen

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In der Geometrie versteht man unter dem Begriff Transformation die Bewegung einer Punktmenge (Objekt) im als ruhend gedachten Raum (bzw. gegenüber einem als ruhend angenommenen Koordinatensystem).

Typische Transformationen sind dabei:

• Verschiebung (Translation)
• Drehung (Rotation)
• Spiegelung
• Starre Bewegung (Hintereinanderausführung von Rotation und Translation)
• Isometrie (Hintereinanderausführung von Spiegelung, Rotation und Translation)
• Streckung

BM1627

1.) Ist die untere linke Figur punktsymmetrisch?

2.) Sind diese beiden Figuren zueinander punktsymmetrisch?

Lösung BM1627
1.) Ist die untere linke Figur punktsymmetrisch? - Ja. 2.) Sind diese beiden Figuren zueinander punktsymmetrisch? - Ja.

BM1628

Bild 1

Bild 2

Das Ergebnis einer Punktspiegelung (Bild 1) ist identisch mit einer Rotation um 180° (Bild 2).

BM1629

Bild 1

Gegeben sind ein Dreieck und der Punkt für eine Punktspiegelung.

Erkläre die einzelnen Arbeitsschritte, wie du bei der Konstruktion einer Punktspiegelung vorgehst!

Lösung BM1629

Bild 2 Vom Punkt A aus zeichnet man mit dem Lineal eine Linie, die durch den Spiegelpunkt Z geht und verlängert diese Linie auf der anderen Seite. Ebenso zeichnet man von Punkt B und C aus Linien durch den Punkt Z. --- Bild 3 Die Entfernung von Punkt A zu Punkt Z (also die Länge der Strecke AZ) trägt man jenseits des Punktes Z auf der Geraden AZ ab und erhält so den ersten Spiegelpunkt (Punkt A'). Das Abtragen der Strecke erfolgt nicht durch Ablesen der Entfernung mit dem Lineal, sondern durch Abgreifen der Strecke mit einem Zirkel und Antragen auf der anderen Seite von Z. Ebenso verfährt man mit den Strecken BZ und CZ und erhält so den Punkt B' bzw. C'.

BM1630

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Abtragen einer Strecke mit dem Zirkel

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Gegeben ist eine Zeichnung mit der Strecke AB.

Mit dem Zirkel sollen wir diese Strecke (die Länge dieser Strecke) auf eine Gerade g auf der der Punkt P liegt abtragen (übertragen).

Dazu stechen wir zunächst den Zirkel beim Punkt A ein und stellen den Abstand zu B ein.

Nun nehmen wir den Zirkel hoch und stechen danach mit dem Zirkel in den Punkt P und ziehen einen Kreis umd den Punkt P. Dieser Kreis schneidet die Gerade g genau zwei mal - in den Punkten $Q_{1}$ und $Q_{2}$.

Die Strecken ${\overline {Q_{1}P}}$ und ${\overline {Q_{2}P}}$ entsprechen der Strecke ${\overline {AB}}$ auf der Geraden g. Wir können uns nun aussuchen, ob wir ${\overline {Q_{1}P}}$ oder ${\overline {Q_{2}P}}$ als die abgetragenen Strecke ${\overline {AB}}$ bezeichnen.

BM1631 - BM1640

BM1631

Bild 1

Bild 2

Auch Kurven können punktsymmetrisch sein.

Wo liegt für diese Kurven der Symmetriepunkt?

Lösung BM1631
Bild 3 Bild 4 Bild 5 Bild 6

BM1632

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Bild 4

Bild 5

Bild 6

Bild 7

Bei einer Punktspiegelung einer Figur muss der Spiegelpunkt nicht unbedingt außerhalb der Figur liegen, er kan auch innerhalb der Figur liegen.

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Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte!

BM1633

Figuren mit ihren Symmetrieachsen

Achsensymmetrie in der Architektur

Achsensymmetrie

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Achsensymmetrie ist eine Eigenschaft einer Figur in der Geometrie. Gleichbedeutende Bezeichnungen dieser Eigenschaft sind axiale Symmetrie oder Axialsymmetrie. Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch die senkrechten Achsenspiegelung an ihrer Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet wird. Im Falle einer zweidimensionalen Figur sind die Begriffe „Achsensymmetrie“ und „Spiegelsymmetrie“ gleichbedeutend. In dreidimensionalen Räumen wird in der Regel die Symmetrie zu einer Symmetrieebene als Spiegelsymmetrie bezeichnet.

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Definition

Eine Figur ist achsensymmetrisch, falls es eine Gerade gibt, so dass es zu jedem Punkt $P$ der Figur einen weiteren (eventuell mit P identischen) Punkt $P'$ der Figur gibt, so dass die Verbindungsstrecke $[PP']$ von dieser Geraden rechtwinklig halbiert wird.

Diese Gerade wird dann Symmetrieachse genannt.

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Beispiele:

• Wie man in der nebenstehenden Abbildung erkennen kann, hat das Quadrat genau vier Symmetrieachsen. Vierecke, die keine Quadrate sind, haben weniger oder gar keine Symmetrieachsen. Ein Rechteck hat zum Beispiel immer noch zwei Symmetrieachsen, und zwar die beiden Mittelsenkrechten der gegenüberliegenden Seiten und das gleichschenklige Trapez, das Drachenviereck und das Antiparallelogramm besitzen noch mindestens eine Symmetrieachse.

(a. - Ein Drachenviereck ist ein ebenes Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist.)

(b. - Als Antiparallelogramm wird ein sich selbstüberschneidendes Viereck bezeichnet, dessen jeweils gegenüberliegende, also nicht benachbarte Seiten die gleiche Länge besitzen und bei dem sich [im Gegensatz zu einem gewöhnlichen Parallelogramm] zwei Seiten schneiden und nicht parallel liegen.)

(c. - Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Seiten, die nicht Grundseiten sind, gleich lang sind.)

(d. - Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn es eine zu einer Seite senkrechte Symmetrieachse besitzt.)

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Bild 6

• Der Kreis hat sogar unendlich viele Symmetrieachsen, da dieser bezüglich jedes Durchmessers symmetrisch ist.
  

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• Eine andere Figur mit unendlich vielen Symmetrieachsen ist die Gerade. Sie ist unendlich lang und damit symmetrisch bezüglich jeder zu ihr senkrechten Achse, sowie der auf ihr selbst liegenden Achse.

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Bild 7

• Nicht nur 2-dimensionale Figuren können achsensymmetrisch sein. So ist die Kugel bezüglich jeder Gerade durch den Mittelpunkt achsensymmetrisch. Dies darf man nicht mit der Ebenensymmetrie verwechseln. Die Kugel ist auch ebenensymmetrisch. Das heißt, sie ist symmetrisch bezüglich einer Spiegelung an einer Ebene, die den Mittelpunkt der Kugel enthält.
  

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Bild 8

• Auch der Quader ist achsensymmetrisch.
  

BM1634

Welche Symmetrieformen sind in den folgenden Abbildungen vorhanden?

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Lösung BM1634

Prinzipiell kann es in einer Ebene (zwei Dimensionen) folgende Symmetrien geben: 1.) achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) 2.) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie 3.) drehsymmetrisch; Drehsymmetrie zweizählig drehsymmetrisch; zwei Symmetrieebenen 4.) radiärsymmetrisch; Radiärsymmetrie dreizählig drehsymmetrisch; drei Symmetrieebenen vierzählig drehsymmetrisch; vier Symmetrieebenen fünfzählig drehsymmetrisch; fünf Symmetrieebenen sechszählig drehsymmetrisch; sechs Symmetrieebenen Bild 1 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) fünfzählig drehsymmetrisch; fünf Symmetrieebenen --- Bild 2 punktsymmetrisch; Punktsymmetrie achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) dreizählig drehsymmetrisch; drei Symmetrieebenen --- Bild 3 punktsymmetrisch; Punktsymmetrie achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) dreizählig drehsymmetrisch; drei Symmetrieebenen --- Bild 4 punktsymmetrisch; Punktsymmetrie (ABER nur, wenn wir die unterschiedliche schwarze und weiße Farbe nicht berücksichtigen) --- Bild 5 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) --- Bild 6 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 7 links: Rechteck achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) rechts: Quadrat achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie vierzählig drehsymmetrisch; vier Symmetrieebenen --- Bild 8 KEINE Symmetrie --- Bild 9 KEINE Symmetrie --- Bild 10 punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 11 punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 12 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) --- Bild 13 KEINE Symmetrie --- Bild 14 KEINE Symmetrie Nur einen einzelnen Stern zu betrachten ist natürlich etwas anderes. Stern: achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) --- Bild 15 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie vierzählig drehsymmetrisch; vier Symmetrieebenen --- Bild 16 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 17 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 18 KEINE Symmetrie Die britische Fahne links oben wird in Bild 24 näher besprochen. --- Bild 19 KEINE Symmetrie Auch wenn man die Farben unberücksichtigt lässt, liegt keine Punktsymmetrie vor, denn dann müsste einer der Sterne auf dem Kopf stehen. --- Bild 20 Nur wenn man die Farben außer Acht lässt: achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) --- Bild 21 Nur wenn man die Farben außer Acht lässt: punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 22 KEINE Symmetrie. Aber wenn man den weißen Halbmond und den weißen Stern getrennt betrachtet: achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) - mit einer horizontalen Spiegelachse. Wenn man die drei waagerechten Farbstreifen getrennt betrachten: achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) - mit einer senkrechter Spiegelachse. --- Bild 23 Nur wenn man die Farben außer Acht lässt: punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 24 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 25 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 26 achsensymmetrisch; Achsensymmetrie; (spiegelsymmetrisch; Spiegelsymetrie) fünfzählig drehsymmetrisch; fünf Symmetrieebenen --- Bild 27 punktsymmetrisch; Punktsymmetrie --- Bild 28 dreizählig drehsymmetrisch; drei Symmetrieebenen

BM1635

Kongruenz

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In der Geometrie sind zwei Figuren kongruent (deckungsgleich oder gleichförmig) (von lat. congruens = übereinstimmend, passend), wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können. Kongruenzabbildungen (auch Bewegungen genannt) sind Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung und die Verknüpfungen dieser Abbildungen.

Die Kongruenz von zwei ebenen geometrischen Figuren lässt sich anschaulich so deuten: Man kann die eine Figur mit der Schere ausschneiden und so auf die andere legen, dass beide genau übereinander liegen, einander also exakt „überdecken“ (→ vergleiche Kongruenzabbildung). Man nennt kongruente ebene Figuren daher auch deckungsgleich. Figuren, die nicht kongruent sind, werden auch inkongruent genannt.

Kongruente ebene Vielecke und räumliche Polyeder zeichnen sich dadurch aus, dass entsprechende Streckenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen.

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Beispiele:

Die ersten beiden Figuren sind kongruent. Die dritte hat zwar die gleiche Form, ist aber kleiner. Sie ist daher ähnlich der ersten und zweiten Figur, aber nicht kongruent. Die letzte Figur hat nicht die gleiche Form, und ist somit weder ähnlich noch kongruent zu den T-förmigen Figuren.

BM1636

Ähnlichkeit

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In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als Ähnlichkeit bezeichnet) ineinander überführt werden können. Das heißt, es gibt eine geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen (also Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen) zusammensetzen lässt und die eine Figur auf die andere abbildet. Ähnlichkeit erweitert somit die Kongruenz (Deckungsgleichheit) von Figuren um die Möglichkeit der Streckung.

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Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Eigenschaften

Winkel und Streckenverhältnisse stimmen in ähnlichen Figuren überein; somit sind alle Kreise sowie jeweils alle regelmäßigen Vielecke gleicher Eckenzahl, wie gleichseitige Dreiecke und Quadrate, zueinander ähnlich.

Es gilt, dass kongruente Figuren stets ähnlich sind. Das Umgekehrte ist hingegen falsch: Ähnliche Figuren sind nicht notwendigerweise kongruent, da sie verschieden groß sein können.

Als mathematisches Zeichen für geometrische Ähnlichkeit wird $\sim$ (die Tilde) verwendet, z.B: $\!\ \Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$ bedeutet, dass die Dreiecke $\Delta ABC$ und $\Delta A'B'C'$ ähnlich sind.

BM1637

Euklidische Geometrie

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Die euklidische Geometrie ist zunächst die uns vertraute, anschauliche Geometrie des Zwei- oder Dreidimensionalen. Der Begriff hat jedoch sehr verschiedene Aspekte und lässt Verallgemeinerungen zu. Benannt ist dieses mathematische Teilgebiet der Geometrie nach dem griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria.

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Die Geometrie des Euklid

Im engsten Sinne ist euklidische Geometrie die Geometrie, die Euklid in Die Elemente dargelegt hat.

Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie nach diesem axiomatischen Aufbau gelehrt.

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Definitionen:

Euklid geht dabei folgendermaßen vor:

Das Buch beginnt mit einigen Definitionen, beispielsweise:

• Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
• Eine Linie ist eine breitenlose Länge.
• Eine Gerade ist eine Linie, die bezüglich der Punkte auf ihr stets gleich liegt.

Ähnlich werden Ebene, Winkel u. a. definiert.

Außer diesen mehr oder weniger anschaulichen Definitionen von Grundbegriffen gibt es auch Definitionen, die im modernen Sinne als Worteinführungen zu verstehen sind, weil sie im folgenden Text abkürzend gebraucht werden, so zum Beispiel für Parallelen: „Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins Unendliche verlängert, auf keiner Seite einander treffen.“

Insgesamt geben die Elemente 35 Definitionen.

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Postulate:

Nach den eher beschreibenden Definitionen folgen die fünf eher festlegenden Postulate. Gefordert wird hier,

• dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen könne,
• dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern könne,
• dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen könne,
• dass alle rechten Winkel einander gleich seien.

BM1638

Albrecht Dürer: Zentralprojektion einer Laute

Screenshot von Free CAD: Kugellager

Auf- und Seitenriss eines Hauses

a) senkr. Parallelprojektion
b) Zentralprojektion eines Hauses

Parallelprojektion eines Würfels:
a) orthogonal
b) schief

Zentralprojektion eines Würfels

Parallelprojektion bzw. Zentralprojektion einer Häuserreihe

Darstellende Geometrie

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Darstellende Geometrie ist der Teilbereich der Geometrie, der sich mit den geometrisch-konstruktiven Verfahren von Projektionen dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene befasst. Die Anwendungsbereiche ihrer Methoden sind breit gefächert und erstrecken sich neben den heute bekanntesten Anwendungen in der Technik- und Architekturdarstellung auch auf Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik. Die Darstellende Geometrie beschränkt sich nicht nur auf das Darstellen von räumlichen Objekten, sondern bietet auch Möglichkeiten raumgeometrische Probleme zeichnerisch zu lösen: z. B. die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade mit einer Ebene oder die Schnittkurve zweier Flächen oder den Schatten eines Objektes.

Im Gegensatz zu früher ist die Darstellende Geometrie nicht mehr das einzige Mittel, um räumliche Objekte anschaulich darzustellen oder raumgeometrische Probleme zu lösen. Hierfür verwendet man heute Computer. Die Bedeutung der Darstellenden Geometrie liegt heute vielmehr im Training der Benutzer geometrischer Software, damit sie verstehen, was eine Software kann und an Eingaben verlangt. Für erste Skizzen einer (räumlichen) Idee oder Interpretationen und Ergänzungen von Computerzeichnungen ist das Zeichnen mit Zirkel und Lineal eine hervorragende Übung.

Bei der Darstellung räumlicher Objekte in einer Zeichenebene spielen zwei konkurrierende Gesichtspunkte eine wesentliche Rolle. Will man Maßgenauigkeit erreichen, so ist dies meistens nur unter Verlust von Anschaulichkeit möglich. Z. B. lassen die beiden folgenden Bilder eines Hauses leicht auf Länge, Breite und Höhe schließen; sie sind aber nicht sehr anschaulich. Dagegen bringen die nächsten beiden Bilder den räumlichen Eindruck mehr zur Geltung. Genaue Abmessungen lassen sich aber (insbesondere aus dem rechten Bild) nur schwer ablesen.

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Abbildungsverfahren

In der Darstellenden Geometrie bedient man sich im Wesentlichen zweier Abbildungsverfahren: Parallelprojektion und Zentralprojektion. Dabei werden Punkte und Kurven eines Objektes mit Hilfe von Strahlen (Geraden) auf eine Bildtafel (Ebene) projiziert:

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Parallelprojektion

Die Abbildungsstrahlen sind parallel, wie z. B. beim Sonnenlicht. Dabei unterscheidet man noch die beiden Fälle:

• Die Strahlen stehen senkrecht auf der Bildtafel (senkrechte Parallelprojektion oder Orthogonalprojektion oder Normalprojektion).
• Die Strahlen stehen nicht senkrecht zur Bildtafel (schiefe oder schräge Parallelprojektion).

Parallelprojektionen werden gerne von Ingenieuren verwendet wegen ihrer Teilverhältnistreue (Teilverhältnisse auf Geraden bleiben invariant). Der Spezialfall Vogelperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion, die insbesondere zur Veranschaulichung von Stadtplänen verwendet wird. Sie lässt sich relativ einfach von Hand herstellen. Parallelprojektionen lassen sich schnell als axonometrische Bilder oder bei umfangreicheren Objekten mit Hilfe des Einschneideverfahrens herstellen.

Für fast alle Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie verwendet man Grund- und Aufriss eines Objektes. Das sind senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale (Grundriss) bzw. senkrechte Ebene (Aufriss) (s. Zweitafelprojektion). Durch sie ist (mit den entsprechenden Bezeichnungen) ein Objekt räumlich eindeutig beschrieben.

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Zentralprojektion

Alle Abbildungsstrahlen gehen durch einen Punkt, dem Projektionszentrum oder Augpunkt {\displaystyle O} O. Bei Parallelprojektion sind die Bilder paralleler Geraden i. A. wieder parallel. Bei Zentralprojektionen schneiden sich die Bilder paralleler Geraden i. A. in einem Punkt, dem Fluchtpunkt des Parallelbüschels.

Dass eine Zentralprojektion den besten optischen Eindruck verschafft, zeigen die Bilder mit einer Häuserreihe. Bei dem Bild in Parallelprojektion erscheint das hintere Haus größer als das erste. Dies liegt an einer optischen Täuschung. Das Auge erkennt das Haus als räumliches Objekt und erwartet, dass ein gleich großes, entferntes Haus kleiner ist, was bei Parallelprojektion aber nicht der Fall ist.

BM1639

Zentrische Streckung mit positivem Streckungsfaktor

Zentrische Streckung mit negativem Streckungsfaktor

Zentrische Streckung

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Unter einer zentrischen Streckung versteht man in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen.

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Definition:

Gegeben seien ein Punkt $Z$ der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl $m\neq 0$. Die zentrische Streckung mit Zentrum $Z$ und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) $m$ ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt $P'$ eines Punktes $P$ folgende Eigenschaften besitzt:

• $Z$, $P$ und $P'$ liegen auf einer Geraden.
• Für $m>0$ liegen $P$ und $P'$ auf derselben Seite von $Z$, für $m<0$ auf verschiedenen Seiten.
• Die Streckenlänge ${\overline {ZP'}}$ ist gleich dem $|m|$-fachen der Streckenlänge ${\overline {ZP}}$.

Die beiden Skizzen zeigen die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit $m=3$ und $m=-0{,}5$) auf jeweils ein Dreieck ABC.

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Spezialfälle

Für $m=1$ ergibt sich die identische Abbildung (Identität), für $m=-1$ eine Punktspiegelung.

Der Fall $m=0$ ist nicht erlaubt, da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Zentrum.

BM1640

Wie viel Symmetriechachsen hat ein

a) rechtwinkliges Dreieck

b) gleichseitiges Dreieck

c) gleichschenkliges Dreieck

d) Quadrat

e) Rechteck

Lösung BM1640
a) rechtwinkliges Dreieck: keine Symmetrieachse b) gleichseitiges Dreieck: drei Symmetrieachsen c) gleichschenkliges Dreieck: eine Symmetrieachse d) Quadrat: vier Symmetrieachsen e) Rechteck: zwei Symmetrieachsen

BM1641 - BM1650

BM1641

Gemeinsame Eigenschaften von Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen

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Es gibt Eigenschaften, die nur für Verschiebungen oder nur für Drehungen oder nur für Spiegelungen gelten.

Es gibt aber auch Eigenschaften, die für alle genannten Abbildungen gemeinsam gelten.

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Aufgabe:

1.) Zeichne eine Strecke. Konstruiere das Bild

a) einer Verschiebung

b) einer Drehung

c) einer Spiegelung

Erkläre die Arbeitsschritte!

1. Lösung BM1641
Bild 1a Bild 1b Bild 1c

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2.) Zeichne ein Dreieck. Konstruiere das Bild

a) einer Verschiebung

b) einer Drehung

c) einer Spiegelung

Erkläre die Arbeitsschritte!

2. Lösung BM1641
Bild 2a Bild 2b Bild 2c

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3.) Zeichne zwei zueinander parallele Geraden. Konstruiere das Bild

a) einer Verschiebung

b) einer Drehung

c) einer Spiegelung

Erkläre die Arbeitsschritte!

3. Lösung BM1641
Bild 3a Bild 3b Bild 3c

BM1642

Verschiebung (Translation), Drehung und Spiegelung haben u. a. folgende gemeinsame Eigenschaften:

1.) Das Bild einer Geraden ist stets wieder eine Gerade.

2.) Liegt ein Punkt A auf einer Geraden g, so liegt auch der Bildpunkt A' auf der Bildgeraden g'.

3.) Liegt ein Punkt B zwischen den Punkten A und C, so leigt auch der Bildpunkt B' zwischen den Bildpunkten A' und C'.

4.) Sind zwei Geraden zueinander parallel, so sind auch ihre Bilder zueinander parallel.

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Bild 1

Eine Nacheinanderausführung zweier Verschiebungen kann durch eine einzige Verschiebung angegeben werden.

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Bild 2

Die Nacheinanderausführung von zwei Drehungen um ein und denselben Punkt P kann durch eine einzige Drehung um P angegeben werden.

BM1643

Was ergibt die Nacheinanderausführung zweier Spiegelungen an ein und derselben Geraden?

1. Lösung BM1613
Original ⇒ Bild ⇒ zurück zum Original

Was ergibt die Nacheinanderausführung zweier Spiegelungen an zwei Geraden, die einander schneiden?

2. Lösung BM1643
Bild 1 Bild 2 Das Ergebnis ist identisch mit einer Punktspiegelung.

Was ergibt die Nacheinanderausführung zweier Spiegelungen an zwei Geraden, die einander parallel sind?

3. Lösung BM1643
Das Endergebnis ist das gleich, wie nach einer einfachen Verschiebung.

BM1644

Je zwei Verschiebungen, zwei Drehungen bzw. zwei Spiegelungen können nacheinander ausgeführt werden.

Man kann aber auch Verschiebungen und Drehungen oder Verschiebungen und Spiegelungen oder Drehungen und Spiegelungen in beliebiger Reihenfolge nacheinander ausführen.

Eine Gleitspiegelung ist die Kombination aus einer Spiegelung und einer Translation.

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Nacheinanderausführung einer Verschiebung und einer Drehung:

Das Dreieck $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ ist das Bild des Dreiecks $ABC$ bei der Verschiebung ${\vec {PQ}}$.

Das Dreieck $A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$ ist das Bild des Dreiecks $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ bei der Drehung um den Punkt $Q$ mit einem positiv orientiereten rechten Winkel als Drehwinkel.

Die Nacheinanderausführung der Verschiebung und einer der Drehung ergibt eine Abbildung, bei der das Dreieck $A^{\prime \prime }B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }$ das Bild des Dreiecks $ABC$ ist.

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Bei jeder Nacheinanderausführung von Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen wird jedem Punkt P der Ebene genau ein Bildpunkt P' zugeordnet.

Umgekehr gehört zu jedem Bildpunkt P' genau ein Originalpunkt P.

Führt man die genannten Abbildungen nacheinander aus, so wird also die Ebene ebenfalls umkehrbar eindeutig auf sich abgebildet.

BM1645

Definition: Unter Bewegung versteht man:

1.) Verschiebungen

2.) Dehungen

3.) Spiegelungen und die

4.) Abbildungen, die man erhält, wenn man endlich viele Verschiebungen, Drehungen oder Spiegelungen nacheinander ausführt.

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Zu jeder Bewegung gibt es eine entgegengesetzte Bewegung.

BM1646

Kongruenz

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Bei Bewegungen ist das Bild einer Strecke (eines Winkels, eines Dreiecks usw.) wieder eine Strecke (ein Winkel, ein Dreieck usw.).

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Definiton: Geometrische Figuren heißen kongruent (deckungsgleich) genau dann, wenn es eine Bewegung gibt, die eine Figur auf die andere abbildet.

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Sind z. B. zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ kongruent, so scheiben wir:

$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$ (lies: „Dreieck $ABC$ kongruent Dreieck $A'B'C'$“).

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Bild 1

Bild 1: Die zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ sind kongruent, denn es gibt eine Bewegung, bei der das Dreieck $A'B'C'$ das Bild des Dreiecks $ABC$ ist.

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Bild 2

Bild 2: Das Quadrat $ABCD$ und das Rechteck $EFGH$ haben beide den gleichen Flächeninhalt. Sie sind jedoch nicht kongruent, denn es gibt keine Bewegung, durch die das Quadrat $ABCD$ auf das Rechteck $EFGH$ abgebildet wird.

BM1647

Strecken- und Winkelkongruenz

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Sind zwei Strecken ${\overline {AB}}$ und ${\overline {CD}}$ kongruent, so schreiben wir:

${\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}$

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Kongruente Strecken sind gleich lang.

Umgekehrt gilt auch: Gleich lange Strecken sind kongruent.

Mit anderen Worten: Sind die Strecken ${\overline {AB}}$ und ${\overline {CD}}$ nicht gleich lang, dann sind sie auch nicht kongruent.

Entweder ist dann ${\overline {AB}}$ kürzer oder länger als ${\overline {CD}}$. Wir schreiben dafür:

${\overline {AB}}<{\overline {CD}}$ (lies: „Die Strecke ${\overline {AB}}$ ist kleiner als die Strecke ${\overline {CD}}$“)

oder

${\overline {AB}}>{\overline {CD}}$ (lies: „Die Strecke ${\overline {AB}}$ ist größer als die Strecke ${\overline {CD}}$“)

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Für je zwei Strecken ${\overline {AB}}$ und ${\overline {CD}}$ gilt entweder:

${\overline {AB}}<{\overline {CD}}$

${\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}$

${\overline {AB}}>{\overline {CD}}$.

BM1648

Sind zwei Winkel $(h,k)$ und $(l,m)$ kongruent, so schreiben wir:

$\sphericalangle (h,k)\cong \sphericalangle (l,m)$ (lies: „Winkel $(h,k)$ kongruent Winkel $(l,m)$“)

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Kongruente Winkel sind gleich groß.

Die Umkehrung gilt auch: Gleich große Winkel sind kongruent.

Entweder ist dann $\sphericalangle (h,k)$ kleiner oder größer als $\sphericalangle (l,m)$.

Wir schreiben dafür:

$\sphericalangle (h,k)<\sphericalangle (l,m)$ (lies: „Winkel $(h,k)$ ist kleiner als der Winkel $(l,m)$“)

oder

$\sphericalangle (h,k)>\sphericalangle (l,m)$ (lies: „Winkel $(h,k)$ ist größer als der Winkel $(l,m)$“)

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SATZ: Für je zwei Winkel $(h,k)$ und $(l,m)$ gilt entweder:

$\sphericalangle (h,k)<\sphericalangle (l,m)$

$\sphericalangle (h,k)\cong \sphericalangle (l,m)$

$\sphericalangle (h,k)>\sphericalangle (l,m)$.

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Wie haben die Kongruent nur für geometrische Figuren in ein und derselben Ebene erklärt. Den Begriff der Kongruenz kann man auch für geometrische Figuren im Raum erklären, wenn man von räumlichen Bewegungen ausgeht.

BM1649

Zusammenfassung

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Ebenen Bewegungen sind eineindeutige Abbildungen der Ebene auf sich mit bestimmten Eigenschaften.

Bewegungen können nacheinander ausgeführt werden.

Zu jeder Bewegung gibt es eine entgegengesetzte Bewegung.

Wenn eine Figur durch eine Bewegung auf eine andere Figur abgebildet wird, so sind die beiden Figuren kongruent.

Umgekehrt gilt es zu zwei kongruenten Figuren stets eine Bewegung, bei der die eine das Bild der anderen ist.

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Die Begriffe „Kongruenzabbildung“ und „Bewegung“ sind für die euklidische Geometrie gleichbedeutend, wobei meistens nur ebene Bewegungen als „Kongruenzabbildung“ bezeichnet werden.

Kongruenzabbildungen lassen den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten unverändert (invariant).

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Die Menge der ebenen Kongruenzabbildungen besteht aus

• Spiegelungen, genauer den Punkt- und den senkrechten Achsenspiegelungen,
• Drehungen,
• (Parallel-)Verschiebungen (Translationen) und
• Gleit-/Schubspiegelungen.

BM1650

Satz

Theorem

Lemma

Korollar

Axiom

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Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.

Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner Bedeutung oder seinem Kontext oft auch anders bezeichnet:

• Ein Lemma ist eine Aussage, die als Hilfssatz nur im Beweis anderer Sätze verwendet wird.
• Ein Korollar ist eine triviale Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.
• Der Satz im engeren Sinn gibt eine wesentliche Erkenntnis wieder.

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Beispiele für Sätze

• Jede nicht-leere Menge besitzt mindestens ein Element. (Mengenlehre)
• Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad.
• Zu jeder reellen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.

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Ein Axiom ist ein Grundsatz einer Theorie, einer Wissenschaft oder eines axiomatischen Systems, der innerhalb dieses Systems nicht begründet oder deduktiv abgeleitet wird.

Innerhalb einer formalisierbaren Theorie ist eine These ein Satz, der bewiesen werden soll.

Ein Axiom ist ein Satz, der nicht in der Theorie bewiesen werden soll, sondern beweislos vorausgesetzt wird.

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Beispiele für Axiome:

Satz vom Widerspruch

Der Satz vom Widerspruch oder Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch besagt, dass zwei einander widersprechende Aussagen nicht zugleich zutreffen können.

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt, dass für eine beliebige Aussage nur die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten kann: Eine dritte Möglichkeit, also dass lediglich etwas Mittleres gilt, das weder die Aussage ist, noch ihr Gegenteil, sondern irgendwo dazwischen, kann es nicht geben.

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