Problemario de Señales y Sistemas/Muestreo de señales y respuesta de sistemas LTI

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Problemario de Señales y Sistemas

Contenido

[editar] Muestreo de señales y respuesta de sistemas LTI


[editar] Problemas

[editar] Problema #1

Considere el sistema que se muestra Signal1.png en el que la señal de entrada, x(t) \,, es muestreada con un tren de pulsos p(t) \, para producir la señal z(t)(=x(t)p(t)) \,. La señal z(t) \, pasa a través de un sistema lineal invariante en el tiempo cuya respuesta el impulso es h(t) \,.

Se desea que determine y grafique el par: (z(t), y(t)) \,.

En este caso x(t)=\cos(2 \pi t) \,, h(t)=3e^{-5t}u(t) \, y p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-0.5n) \,

Nota: Para efectos de la solución, puede suponer que, h(t)=0\, \forall t \geq t_1\,, donde h(t_1)=0.1h(0)\,. Igualmente H(j\omega)=0 \quad \forall \omega \geq \omega_1\,, donde |H(j\omega_1)|=0.1|H(j0)|\,. Esto es, que, para todo fin práctico, la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia del sistema se consideran cero cuando alcanzan el 10% de su valor en cero.

[editar] Subsección solución 1

Hecho por: Pedro Torruella #04-37657

1) Primero elijo trabajar sobre la base de la frecuencia, ya que por las propiedades de la transformada de Fourier puedo hacer los calculos facilmente.

Primero convierto

x(t) = cos {(2 \pi\ t)} \qquad\qquad (1)

Que por propiedades de la transformada de fourier queda como:


X (j\omega) = \pi\ \left ( \delta\ \left ( \omega - 2\pi\ \right ) + \delta\ \left ( \omega + 2\pi\ \right )\right )\qquad\qquad (2)

Luego transformo

p(t) = \sum_{n=- \infty }^ \infty \delta \left ( t - 0.5n \right ) \qquad\qquad (3)

que por tablas obtenemos

P(j \omega) = 4 \pi \sum_{k=- \infty }^ \infty \delta \left ( \omega - k 4 \pi \right )

Al convolucionar con la funcion X \left ( j \omega \right ) obtenemos unos deltas con modulos de 4π2 de la siguiente forma


Z(j \omega) = 4 \pi^2 \sum_{k=- \infty }^ \infty \delta \left ( \omega - k 4 \pi - 2\pi \right ) + \delta \left ( \omega - k 4 \pi + 2\pi \right )

o lo que es lo mismo

Z(j \omega) = 8 \pi^2 \sum_{k=- \infty }^ \infty \delta \left ( \omega - k 2 \pi \right ) - \delta \left ( \omega - k 4 \pi \right )

Al convertir Z(jω) al dominio del tiempo por las tablas de transformadas, obtenemos un tren de pulsos

z(t) = \sum_{k=- \infty }^ \infty 4 \delta \left ( t - k \right ) - 2 \delta \left ( t - k \cfrac {1} {2} \pi \right )

Double impulse train loRes.gif

Para obtener y(t) tengo que convolucionar z(t) con h(t). Como z(t) es un tren de impulsos, lo que voy a obtener es una repeticion de h(t) por cada pulso, por otro lado, los pulsos tienen un espaciado de 0,5, como h(t) es nula para valores mayores a 0,46 unidades de tiempo, una no se sobrepone con la otra cuando se convolucionan con el tren de pulsos, por lo tanto obtendremos algo como esto:

y(t) = \sum_{k= - \infty }^ \infty 12 e^{ -5 \left ( t - k \right )} - 6 e^{ -5 \left ( t - k \cfrac {1} {2} \pi \right ) }

Exp train.gif

[editar] Subsección solución 2

Por: Alejandro González 04-37066

Trabajando en la base del tiempo, se tiene para z(t) \,:

z(t)= \cos(2 \pi t)\cdot \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-0.5n)\,

Esto, gráficamente, es algo así:

Tren de pulsos por coseno.png

Esta función se puede reescribir como:

z(t)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n \cdot \delta(t-0.5n)\,


Con la suposición, h(t)=0\, \forall t \geq t_1\,, donde h(t_1)=0.1h(0)\,

se calcula t_1 \,:


h(0)=3e^0=3 \,

luego, h(t_1)=0.1h(0)=0.3 \,

finalmente:


3e^{-5t_1}=0.3 \Rightarrow \ -5t_1 = ln( 0.1) \Rightarrow \ t_1\approx 0.46 \,


y se puede reescribir h(t) \, como: h(t) = 3e^{-5t}u(t)u(0.46-t) \,

Ahora, convolucionando la función z(t) \, con la función h(t) \,, se tiene:

\begin{matrix}y(t) & = & z(t)*h(t) \\ \ & = & h(t)*z(t) \\ \ & = & \int_{-\infty}^{\infty} (3e^{-5\tau}u(\tau)u(0.46-\tau))\cdot(\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n \cdot \delta(t-\tau-0.5n))\, d\tau \end{matrix} \,

y(t)=3\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-5\tau}u(\tau)u(0.46-\tau)\delta(t-\tau-0.5n)\, d\tau \,

finalmente:

y(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n3e^{-5t+2.5n}u(t-0.5n)u(0.46+0.5n-t) \,

y su representación gráfica:

Archivo:Yt pulsos por exponencial negativa.png

[editar] Subsección solución 3

Por: Pedro Torruella #04-37657

Para determinar Y(t) tambien se puede aplicar una forma intuitiva y rapida que es la siguiente.

Si nos olvidamos de la sumatoria y convolucionamos h(t) para una sola delta, obtenemos la misma h(t), luego sabemos que h(t) esta definida desde 0 a 0.46 y que cada delta esta espaciada una de la otra 0.5, entonces una funcion no entorpece a la otra y es facil imaginar como se repite la misma funcion h(t) una y otra vez cambiando de signo junto con las delta.

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