Problemario de Señales y Sistemas/Modulación de señales y respuesta de sistemas LTI

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Problemario de Señales y Sistemas


Contenido

[editar] Modulación de señales y respuesta de sistemas LTI

[editar] Problemas

[editar] Problema #1

Considere el sistema que se muestra Signal1.png en el que la señal de entrada, x(t) \,, es modulada por una señal p(t) \, para producir la señal z(t)(=x(t)p(t)) \,. La señal z(t) \, pasa a través de un sistema lineal invariante en el tiempo cuya respuesta el impulso es h(t) \,.

Se desea que determine y grafique el par: (z(t), Y(j\omega)) \,.

En este caso h(t)=3e^{-5t}u(t) \,, p(t)=\cos(2 \pi t) \, y x(t)=\left\{ \begin{matrix} 1 & 0 <t< 0.5 \\ 0 & 0.5<t<1 \end{matrix} \right. , que se repite cada segundo.

[editar] Subsección de Solución 1

Por: Pedro Torruella #04-37657


Graficamente tenemos que x(t) es un tren de pulsos, al modularla con p(t) nos queda Z(t):


z(t) = cos( 2\pi t) \cdot \sum_{k= - \infty}^\infty u(t-k)-u(t-k-0.5) \qquad (1)

Cos mod square.gif

Resulta más sencillo trabajar en el dominio de la frecuencia, se deben obtener los coeficientes de la serie de fourier para z(t). Esto por medio de

An = \int_{\Tau} z(t) \cdot e^{- jn \omega_o t }\, dt \qquad \qquad (2)

An = \int_{0}^{0.5} cos( 2 \pi t ) \cdot e^{- jn \omega_o t }\, d \tau \qquad \qquad (3)

Despues de integrar por partes y despejar, obtengo:


z(t) = \sum_{n=- \infty}^\infty \frac{jn}{2 \pi (1-n)} \cdot \left [ e^{jn \pi } + 1 \right ] \cdot e^{jn \omega_o t} \qquad \qquad (4)

Aplicando la transformada de Fourier obtengo

Z(J \omega) = \sum_{n=- \infty}^\infty \frac{jn}{2 \pi (1-n)} \cdot \left [ e^{jn \pi } + 1 \right ] \cdot 2 \pi \delta (\omega - 2 \pi n) \qquad \qquad (5)

Ahora solo multiplico por H(jw) para obtener Y (jw)

Y(J \omega) = \left [ \sum_{n=- \infty}^\infty \frac{jn}{2 \pi (1-n)} \cdot \left [ e^{jn \pi } + 1 \right ] \cdot 2 \pi \delta (\omega - 2 \pi n) \right ] \cdot \frac {3} {5 + j \omega} \qquad \qquad (6)


-- falta graficar las funciones...

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