Estadística/Funciones de variables aleatorias

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FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

Sea X una variable aleatoria discreta, y supongamos que los valores posibles que ésta puede asumir están dados por x1, x2, x3, ..., con determinado orden. Supongamos también que estos valores se asumen con posibilidades dadas por:

P(X = kx) = f(xk) k = 1,2, …

Es conveniente representar la función de probabilidad, también denominada distribución de probabilidad, dada por:

f(n) = \begin{cases} f(x_k), & \mbox{si } k= 1,2,.. \\ 0, & \mbox{si } resto \end{cases}

Para x = x_k se reduce a (1), mientras que para otros valores de x, f(x) = 0.

En general f(x) es una función de probabilidad si:

1.f(x) \ge 0

2.\sum f(x) = 1

donde la suma en 2 toma todos los valores posibles de x.

Vamos a ver un ejemplo. Supongamos que se lanza una moneda dos veces, de manera que el espacio muestral es S={CC, CS, SC, SS}. Siendo X en numero de caras que pueden salir. Podemos asociar cada punto muestral con un número de X, como se muestra en la tabla. Así por ejemplo en el caso CC (es decir, 2 caras), X = 2, mientras que para CS (1 cara y un sello) X = 1. Concluimos entonces que X es una variable aleatoria.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} Punto muestral & CC & CS & SC & SS \\ \hline X & 2 & 1 & 1 & 0\\ \hline \end{array}

Suponiendo que la moneda es balanceada, tenemos:

P(CC) = \frac {1}{4} \qquad P(CS) = \frac {1}{4} \qquad P(SC) = \frac {1}{4} \qquad P(SS) = \frac {1}{4}

entonces,

P(X=0) = P(SS) = \frac {1}{4}

P(x=1) = P(CS \bigcup SC) = P(CS) + p(SC) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

P(X=2) = P(CC) = \frac {1}{4}

la función de probabilidad está dada, entonces, por la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|} X & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ \hline \end{array}

FUNCION DE DISTRIBUCION DISCRETA

La función de distribución para una variable aleatoria discreta X puede obtenerse a partir de su función de probabilidad notando que, para todo x en (-\propto, \propto),

F(x) = P (X \le x) = \sum_{u \le x} f(u)

donde la suma sustituye todos los valores u tomados por X para la cual u \le x.

Si X toma solamente un número finito de valores x1,x2,...,xn entonces la función de distribución está dada por:

F(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{si } -\propto < x < x_1 \\ f(x_1), & \mbox{si } x_1 \le x < x_2 \\ f(x_1) + f(x_2), & \mbox{si } x_2 \le x < x_3 \\ . & . \\ . & . \\ . & . \\ f(x_1) + ... + f(x_n), & \mbox{si } x_n \le x < \propto \end{cases}

Ahora vamos a encontrar la función de distribución del ejemplo anterior.

La función de distribución sería:

F(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{si } -\propto < x < 0 \\ \frac{1}{4}, & \mbox{si } 0 \le x < 1 \\ \frac{3}{4}, & \mbox{si } 1 \le x < 2 \\ 1, & \mbox{si } 2 \le x < \propto \end{cases}

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