Usuario:Juan rincon/ejercicio12

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PRESENTADO POR:

JUAN MIGUEL RINCÓN MERCHÁN


(Este el punto 3. del segundo parcial de la asignatura, realizado el 09 de Abril de 2005)


2. Muestre o refute que:


∃x [p(x) v q(x)] ∃xp(x) v ∃xq(x)



SOLUCIÓN

Para resolver este ejercicio con doble implicación, es necesario tomar primero la implicación en unsentido, analizarla y luego cambiar el sentido, como se ve a continuación.


1. ∃x [p(x) v q(x)] → ∃xp(x) v ∃xq(x)


Supongo que el antecedente es verdadero y consecuente falso, por tanto la implicación es falsa y la negación del consecuente, la hace verdadera.


[∃xp(x) v ∃xq(x)] ≡ V
∃xp(x) Λ ∃xq(x) ≡ V Ley de Morgan
∀xp(x) Λ ∀xq(x) ≡ V Equivalencia


De lo anterior, observamos que se genera una contradicción con el antecedente Verdadero, pues para que el antecedente sea verdadero o bien p(x) es verdadero, o q(x) es verdadero.


Por último, cambiamos nuestra implicación y repetimos el proceso anterior, ó lo hacemos empleando también particularización y generalización, así:


2. ∃xp(x) v ∃xq(x) → ∃x [p(x) v q(x)]

Supongo que el antecedente es verdadero y consecuente falso, por tanto la implicación es falsa y la negación del consecuente, la hace verdadera.

{∃x [p(x) v q(x)]} ≡ V
∀x [p(x) v q(x)] ≡ V Equivalencia
[p(a) v q(a)] ≡ V Particularización universal
p(a) Λ q(a) ≡ V Ley de Morgan
∃x [p(x) Λ q(x)] ≡ V Generalización existencial


De lo anterior, observamos que se genera una contradicción con el antecedente Verdadero, pues para que el antecedente sea verdadero o bien p(x) es verdadero, o q(x) es verdadero.


Luego de realizar ambos procedimientos podemos decir que la suposición nos lleva a una contradicción, por lo tanto, la proposición inicial es VERDADERA.



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