Usuario:Juan rincon/ejercicio12
PRESENTADO POR:
JUAN MIGUEL RINCÓN MERCHÁN
(Este el punto 3. del segundo parcial de la asignatura, realizado el 09 de Abril de 2005)
2. Muestre o refute que:
∃x [p(x) v q(x)] ∃xp(x) v ∃xq(x)
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio con doble implicación, es necesario tomar primero la implicación en unsentido, analizarla y luego cambiar el sentido, como se ve a continuación.
1. ∃x [p(x) v q(x)] → ∃xp(x) v ∃xq(x)
Supongo que el antecedente es verdadero y consecuente falso, por tanto la implicación es falsa y la negación del consecuente, la hace verdadera.
| [∃xp(x) v ∃xq(x)] ≡ V | |
| ∃xp(x) Λ ∃xq(x) ≡ V | Ley de Morgan |
| ∀xp(x) Λ ∀xq(x) ≡ V | Equivalencia |
De lo anterior, observamos que se genera una contradicción con el antecedente Verdadero, pues para que el antecedente sea verdadero o bien p(x) es verdadero, o q(x) es verdadero.
Por último, cambiamos nuestra implicación y repetimos el proceso anterior, ó lo hacemos empleando también particularización y generalización, así:
2. ∃xp(x) v ∃xq(x) → ∃x [p(x) v q(x)]
Supongo que el antecedente es verdadero y consecuente falso, por tanto la implicación es falsa y la negación del consecuente, la hace verdadera.
| {∃x [p(x) v q(x)]} ≡ V | |
| ∀x [p(x) v q(x)] ≡ V | Equivalencia |
| [p(a) v q(a)] ≡ V | Particularización universal |
| p(a) Λ q(a) ≡ V | Ley de Morgan |
| ∃x [p(x) Λ q(x)] ≡ V | Generalización existencial |
De lo anterior, observamos que se genera una contradicción con el antecedente Verdadero, pues para que el antecedente sea verdadero o bien p(x) es verdadero, o q(x) es verdadero.
Luego de realizar ambos procedimientos podemos decir que la suposición nos lleva a una contradicción, por lo tanto, la proposición inicial es VERDADERA.
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