Mecánica cuántica/Suma de momentos angulares

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Supongamos que tenemos 2 partículas de spin y juntas y con un momento angular orbital nulo (onda s). ¿Cuál es el momento angular total ? Ejemplo: 2 quarks dentro de un mesón.

O supongamos una partícula de espín girando en un potencial con momento angular orbital . ¿Cuál será en este caso el momento angular total ?.

Sean

y

Las dos partículas, consideradas a la vez, viven el espacio directo (producto tensorial).

Necesitamos un inciso matemático de tres minutos:

base ortonormal

Sean ahora las partículas con y .

1a Partícula:

2a Partícula:

1a Particula:

¿Y qué pasa con los operadores?

No se qué...

Hagamos unos ejercicios para verlo más claro:

El vector es propio de con valor

(Compruébalo)

¿Cuál es el de esos 4 estados (sin tablas de Clebsch-Gordan)?

Tomo el vector con mayor , . Actúo con sobre el vector, y normalizo el resultado

Busco un vector ortonormal al obtenido

Se repite el proceso con todos los vectores que he obtenido.

Con los subíndices tachados se quiere indicar que a menudo son omitidos en los libros ya que se sobreentienden. También con otros detalles.

Ya hemos acabado el ejemplo

Estas combinaciones de se parecen mucho al espacio que conocemos . Podemos usarlas como definidas

o podemos verlo como .

Sabemos que un tensor es el producto de dos vectores, por ejemplo . El momento angular de dos partículas de spin en un medio viene descrito por los vectores del espacio anterior (combinaciones lineales ellas)

Es común caracterizar el producto tensorial como la dimensión del espacio

El cambio de una base a otra se lleva a cabo mediante los coeficientes de Clebsch-Gordan. Ejemplos:

¿Cuál es el momento angular total de una partícula de espín un medio girando con l=1 alrededor de un potencial central?

Son 6 vectores en total. Equivalente a

Encontremos cómo formar el de la segunda base con los coeficientes C-G. Comprueba esto:

¿Cuál es el momento angular de...?

Hemos analizado el caso de y girando en .

Lo más natural son dos partículas con . En este caso el centro de masas se mueve como una partícula libre de masa . Es aproximádamente una partícula de masa sometido a .