Mecánica cuántica/Suma de momentos angulares

Supongamos que tenemos 2 partículas de spin $s_{1}={\frac {1}{2}}$ y $s_{2}={\frac {1}{2}}$ juntas y con un momento angular orbital nulo (onda s). ¿Cuál es el momento angular total ${\vec {S}}_{1}+{\vec {S}}_{2}={\vec {J}}$? Ejemplo: 2 quarks dentro de un mesón.

O supongamos una partícula de espín $s={\frac {1}{2}}$ girando en un potencial con momento angular orbital $l=1$. ¿Cuál será en este caso el momento angular total ${\vec {S}}+{\vec {L}}={\vec {J}}$?.

Sean

$|\alpha \rangle \in \mathbb {H} :\{|e_{i}\rangle \}$

y

$|\beta \rangle \in \mathbb {H} :\{|e'_{i}\rangle \}.$

Las dos partículas, consideradas a la vez, viven el espacio directo $\mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ (producto tensorial).

Necesitamos un inciso matemático de tres minutos:

$\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} \ni |\gamma \rangle =|\alpha \rangle \otimes |\beta \rangle$

$\mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ base ortonormal $\{|e_{i}\rangle \otimes |e'_{j}\rangle \}$

$\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} \ni \gamma =|e_{i}e'j\rangle \gamma _{ij}$

${\text{Dim }}\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} =nm$

Sean ahora las partículas con $s_{1}=1/2$ y $s_{2}=1/2$.

1a Partícula:

$\mathbb {H} ^{1/2}:\{|+\rangle ,|-\rangle \}\to |{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}\rangle$

2a Partícula:

$\mathbb {H} ^{1/2}:\{|+\rangle ,|-\rangle \}\to |{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}\rangle$

$\mathbb {H} ^{1/2}\otimes \mathbb {H} ^{1/2}:\{|++\rangle ,|+-\rangle ,|-+\rangle ,|--\rangle \}$

1a Particula:

$\mathbb {H} ^{j_{1}}:\{|j_{1}m_{1}\rangle \},\quad m_{1}=j_{1}\ldots -j_{1}$

$\mathbb {H} ^{j_{2}}:\{|j_{2}m_{2}\rangle \},\quad m_{1}=j_{2}\ldots -j_{2}$

$\mathbb {H} ^{j_{1}}\otimes \mathbb {H} ^{j_{2}}:\{|j_{1}j_{2};j_{2}m_{2}\rangle \}$

¿Y qué pasa con los operadores?

$A|e_{i}\rangle =|e_{j}\rangle A_{j,i}$

$B|e_{i}\rangle =|e_{j}\rangle B_{j,i}$

$A\otimes B|e_{i}\rangle \otimes |e'_{j}\rangle =A\otimes B|e_{i'}e'_{j'}A_{i'i}B_{j'j}$

No se qué...

$J_{z}\equiv (S_{1})_{z}{\big (}\otimes {\mathcal {I}}{\big )}+{\big (}{\mathcal {I}}\otimes {\big )}(S_{2})_{z}$

$(S_{1})_{z}|+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|+\rangle$ $(S_{1})_{z}|++\rangle =S_{1z}\otimes {\mathcal {I}}|++\rangle =S_{1z}|+\rangle \otimes {\mathcal {I}}|+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|++\rangle$

$(S_{2})_{z}|+-\rangle ={\mathcal {I}}\otimes S_{z2}|+-\rangle ={\mathcal {I}}|+\rangle \otimes S_{2z}|-\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}|+-\rangle$

Hagamos unos ejercicios para verlo más claro:

${\vec {J}}={\vec {S}}_{1}+{\vec {S}}_{2}$ $J_{z}|++\rangle =(S_{1z}+S_{2z})|++\rangle =S_{1z}|+\rangle \otimes {\mathcal {I}}|+\rangle +{\mathcal {I}}|+\rangle \otimes S_{2z}|+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|++\rangle +{\frac {\hbar }{2}}|++\rangle =\hbar |++\rangle$

El vector $|++\rangle$ es propio de $J_{z}$ con valor $\hbar$

$J_{+}\left|++\right\rangle =0$ $J_{-}\left|++\right\rangle =\hbar \left|-+\right\rangle +\hbar \left|+-\right\rangle$

(Compruébalo)

$J_{-}\left|j\ m\right\rangle ={\sqrt {\cdots }}\;\left|j\ m-1\right\rangle$ $J_{-}\left|1/2\ 1/2\right\rangle =\hbar \left|1/2\ -1/2\right\rangle$

$\{|++\rangle ,|+-\rangle ,|-+\rangle ,|--\rangle \}$

¿Cuál es el $j$ de esos 4 estados (sin tablas de Clebsch-Gordan)?

Tomo el vector con mayor $J_{z}$, $|++\rangle$. Actúo con $J_{-}\rangle$ sobre el vector, y normalizo el resultado

$J_{-}|++\rangle =\hbar |-+\rangle +\hbar |+-\rangle$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )$

Busco un vector ortonormal al obtenido

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle -|-+\rangle )$

Se repite el proceso con todos los vectores que he obtenido.

${\begin{matrix}J_{-}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(S_{{\cancel {1}}-}|+\rangle \otimes |-\rangle +|+\rangle \otimes S_{{\cancel {2}}-}|\rangle +S_{1-}|-\rangle \otimes |+\rangle +|-\rangle \otimes S_{2-}|+\rangle )\\&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\hbar |--\rangle +\hbar |--\rangle \right)\\&=&{\sqrt {2}}\hbar |--\rangle \to |--\rangle \qquad (?)\end{matrix}}$

Con los subíndices tachados se quiere indicar que a menudo son omitidos en los libros ya que se sobreentienden. También con otros detalles.

Ya hemos acabado el ejemplo

$\left\{\left|++\right\rangle {\stackrel {J_{-}}{\to }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+-\right\rangle +\left|-+\right\rangle \right){\stackrel {J_{-}}{\to }}\left|--\right\rangle \right\}\land \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+-\right\rangle -\left|-+\right\rangle \right)\right\}.$

Estas combinaciones de $\mathbb {H} ^{1/2}$ se parecen mucho al espacio que conocemos $\mathbb {H} ^{1}$. Podemos usarlas como definidas

$\left|{\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{2}}\right\rangle \equiv |1\ 1\rangle$

o podemos verlo como $\mathbb {H} ^{1}\oplus \mathbb {H} ^{0}$.

Sabemos que un tensor es el producto de dos vectores, por ejemplo $\in \mathbb {H} ^{1/2}\otimes \mathbb {H} ^{1/2}$. El momento angular de dos partículas de spin en un medio viene descrito por los vectores del espacio anterior (combinaciones lineales ellas)

$\mathbb {H} ^{1/2}\otimes \mathbb {H} ^{1/2}=\mathbb {H} ^{1}\oplus \mathbb {H} ^{0}$

$\left\{\left|++\right\rangle ,\left|+-\right\rangle ,\left|-+\right\rangle \left|--\right\rangle \right\};\quad \left\{\left|++\right\rangle ,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+-\right\rangle +\left|-+\right\rangle \right),\left|--\right\rangle \right\}{\text{ y otro más}}$

Es común caracterizar el producto tensorial como la dimensión del espacio

$2\times 2=3+1.$

El cambio de una base a otra se lleva a cabo mediante los coeficientes de Clebsch-Gordan. Ejemplos:

$\left\langle 1\;0{\bigg |}{\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}}\;-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$\left\langle {\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{2}}{\bigg |}1\;1\right\rangle =1$

¿Cuál es el momento angular total de una partícula de espín un medio girando con l=1 alrededor de un potencial central?

$\{|1/2\ 1/2\rangle ,|1/2\ -1/2\rangle \}\ \{|1\ 1\rangle ,|1\ 0\rangle ,|1,\ -1\rangle \}$

$\mathbb {H} ^{1/2}\otimes \mathbb {H} ^{1=l}=$

$\left\{|1/2\ 1/2,\ 1\ 1\rangle ,|1/2\ 1/2,\ 1\ 0\rangle ,\ldots |1/2\ -1/2,1\ -1\rangle |\right\}$

Son 6 vectores en total. Equivalente a

$\mathbb {H} ^{3/2}\oplus \mathbb {H} ^{1/2}=$

$\{|3/2\rangle \ |3/2\rangle ,\ldots |3/2\rangle \ -3/2\rangle \}\qquad \{|1/2\ 1/2\rangle ,|1/2\ -1/2\rangle \}$

Encontremos cómo formar el $|1/2\ 1/2\rangle$ de la segunda base con los coeficientes C-G. Comprueba esto:

$|1/2\ 1/2\rangle ={\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\ 1,1/2\ -1/2\rangle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}|1\ 0,1/2\ 1/2\rangle$

$|3/2\ -1/2\rangle ={\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\ 0,1/2\ -1/2\rangle +{\sqrt {\frac {1}{3}}}|1\ -1,1/2\ 1/2\rangle$

¿Cuál es el momento angular de...?

$|1\ 0,1/2\ 1/2\rangle ={\sqrt {\frac {2}{3}}}|\underbrace {3/2} _{j=3/2}\ 1/2\rangle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}|\underbrace {1/2} _{j=1/2}\ 1/2\rangle$

Hemos analizado el caso de $l$ y $s$ girando en $V(r)$.

Lo más natural son dos partículas con $V(|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|)$. En este caso el centro de masas se mueve como una partícula libre de masa $m_{1}+m_{2}=M$. Es aproximádamente una partícula de masa $1/m=1/m_{1}+1/m_{2}$ sometido a $V(r=|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|)$.