Mecánica cuántica/Matriz densidad y evolución temporal

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Ecuación de Schrödinger: evolución temporal[editar]

¿Cuál es la dinámica? ¿Cómo cambia mi sistema con el tiempo?

Postulado 5: La evolución temporal del vector viene dada por la ecuación de Schrödinger

donde es el operador Hamiltoniano asociado a la energía del sistema (es hermítico, ).

  • La ecuación de Schrödinger es determinista. Si se conoce el estado en un instante , el estado queda completamente determinado en cualquier instante posterior (la indeterminación cuántica aparece al medir, no en la dinámica).
  • La ecuación de Schrödinger para los bras es

por lo que, considerando que el operador A puede depender del tiempo,

obtendremos una bellísima ecuación

En el último paso solo hemos usado la definición de suma (o resta) de operadores. Tenemos por tanto que

Si el operador A no depende explícitamente del tiempo ,

Es decir, la derivada temporal del valor esperado del operador A será, salvo constante, el conmutador . Si A conmuta con H, , entonces, necesariamente

.

Esto es formalmente idéntico a lo que ocurre en Mecánica Clásica, donde la derivada temporal de cualquier función dinámica A (los observables en dicha formulación, donde no hay valores esperados ya que su valor está siempre deterministamente concretado) viene dada por los corchetes de Poisson de A con la función Hamiltoniana


  • .

El operador evolución temporal[editar]

¿Cómo evolucionan los estados propios de ?

¿Cómo es la ecuación de Schödinger para un estado propio?

  • La energía se repite.
  • La ecuación de Schrödinguer es lineal: sus soluciones pueden componerse linealmente (si y son soluciones también es solución)
  • La evolución entre un sistema inicial y uno final se puede describir mediante un operador lineal, el operador de evolución temporal tal que

tiene las siguientes propiedades:

Podemos obtener la forma explícita del operador sustituyendo en la ecuación de Schrödinguer

de donde obtenemos la igualdad de operadores

Si no depende de (sistema conservativo), al igual que con las ecuaciones diferenciales de funciones, se tiene que

En general, el desarrollo en serie de Taylor de es pero, en la base en la que la representación matricial del operador es diagonal

se tiene que

De manera más más compacta

  • ya que

Ahora, veremos como a primer orden de su desarrollo de Taylor, el operador evolución temporal es unitario ()

Seguimos tras esta última nota

  • Cualquier tranformación de simetría viene descrita por un operador unitario

Estados estacionarios y constantes del movimiento[editar]

Un estado conservativo es aquel que no depende del tiempo En un estado conservativo los estados propios de se denominan estados estacionarios.

Si un observable conmuta con (se sobreentiende que nos referimos al operador hermítico asociado al observable ) y como habitualmente el observable no depende explícitamente del tiempo,

se denomina entonces una constante del movimiento.

Ejemplo[editar]

Supongamos que nuestro sistema en un tiempo t=0 se encuentra en el estado

y que el operador Hamiltoniano se encuentra definido por la siguiente combinación lineal de operadores proyección

¿Cuál es ?

Usando la base , estos dos vectores son obviamente,

Expresado en dicha base, el Hamiltoniano toma la forma matricial

que es diagonal. Como vimos anteriormente, ya que

y como demostramos, al ser la matriz que representa diagonal en dicha base, la exponencial de también es diagonal y tiene la forma

Reglas de cuantización[editar]

¿Cómo construir los operadores que representan a los observables físicos?

El sistema físico más simple es una partícula escalar sometida a un potencial central.

Los observable físicos más evidentes son la posición y su momento .

Postulado 4: Si en un sistema físico las coordenadas son y sus momentos conjugados son , entonces los operadores y que representan a dichos observables deben satisfacer las reglas de conmutación

¿Qué forma tiene un operador arbitrario?

Si el sistema tiene un observable cuya expresión clásica es entonces el operador correspondiente se obtiene sustituyendo de manera adecuada las variables y por los operadores y asociados.

El operador Hamiltoniano[editar]

¿Qué es el (operador) Hamiltoniano clásico? Realmente una función, la función Hamiltoniana.

Formulación Lagrangiana[editar]

Para cualquier sistema físico se puede definir una función que depende de las posiciones y de las velocidades tal que toda la física del sistema dependa de dicha función. Dicha función es la llamada función Lagrangiana y se define como .

En cada estado la lagrangiana toma un valor.

Se define la acción como la siguiente integral de línea entre y

La naturaleza elige el camino con acción más pequeña (principio de mínima acción).

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Es equivalente a la formulación Newtoniana y no menos extraña.

Se define el momento conjugado a la variable como

Formulación de Hamilton[editar]

Principio de mínima acción

Normalmente se cumple que

Cuánticamente[editar]

donde es un operador vectorial (3 operadores).

Se tiene que

Los paréntesis de Poisson se definen como

A los franceses les gusta mucho la asociación

Reglas de superselección[editar]

Supongamos que existe un observable que conmuta con todos los observables

Si simultáneamente tengo un estado propio de tras cualquier medida de otro observable, el estado continuará siendo propio de con el mismo valor propio.

Demostración (suponiendo que no son degenerados)

se mide ,

con probabilidad

en la base de autoestados de , es diagonal y también

Se dice que es un operador de super-selección, y los estados "físicos" tendrán siempre un valor de bien definido.

Es algo que no me permite mezcla cuántica, combinación lineal, con vectores con distintos valores de q. (Viven en espacios de Hilbert distintos (?)).

Imagen de Heisenberg[editar]

Lo que hemos visto hasta ahora se llama imagen de Schrödinger.

(Uno construye una metodología distinta pero de forma que los autovalores evolucionen de la misma forma (?)).