Ecuación de Schrödinger: evolución temporal

¿Cuál es la dinámica? ¿Cómo cambia mi sistema con el tiempo?

Postulado 5: La evolución temporal del vector $|\alpha (t)\rangle$ viene dada por la ecuación de Schrödinger

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\alpha (t)\rangle =H|\alpha (t)\rangle$

donde $H$ es el operador Hamiltoniano asociado a la energía del sistema (es hermítico, $H=H^{\dagger }$ ).

La ecuación de Schrödinger es determinista. Si se conoce el estado en un instante $|\alpha (t_{0})\rangle$ , el estado queda completamente determinado en cualquier instante posterior $|\alpha (t)\rangle$ (la indeterminación cuántica aparece al medir, no en la dinámica).
La ecuación de Schrödinger para los bras es

$-i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle \alpha (t)|=\langle \alpha (t)|H,$

por lo que, considerando que el operador A puede depender del tiempo,

${\frac {\partial }{\partial t}}A\neq 0,$

obtendremos una bellísima ecuación

${\begin{matrix}i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }&=&i\hbar {\frac {d}{dt}}\left[\langle \alpha |A|\alpha \rangle \right]\\&=&i\hbar {\frac {d}{dt}}\left[\langle \alpha |\right]A|\alpha \rangle +i\hbar \langle \alpha |A{\frac {d}{dt}}\left[|\alpha \rangle \right]+i\hbar \langle \alpha |{\frac {d}{dlt}}\left[A\right]|\alpha \rangle \\&=&i\hbar \left[{\frac {-1}{i\hbar }}\langle \alpha |H\right]A|\alpha \rangle +i\hbar \langle \alpha |A\left[{\frac {1}{i\hbar }}H|\alpha \rangle \right]+i\hbar \left\langle {\frac {dA}{dt}}\right\rangle _{\alpha }\\&=&-\langle \alpha |HA|\alpha \rangle +\langle \alpha |AH|\alpha \rangle +i\hbar \left\langle {\frac {dA}{dt}}\right\rangle _{\alpha }\\&=&\langle \alpha |\underbrace {(A\,H-H\,A)} _{[A,H]}|\alpha \rangle +i\hbar \left\langle {\frac {dA}{dt}}\right\rangle _{\alpha }.\end{matrix}}$

En el último paso solo hemos usado la definición de suma (o resta) de operadores. Tenemos por tanto que

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle _{\alpha }+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle _{\alpha }$

Si el operador A no depende explícitamente del tiempo $A\neq A(t)$ ,

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle _{\alpha }.$

Es decir, la derivada temporal del valor esperado del operador A será, salvo constante, el conmutador $[A,H]$ . Si A conmuta con H, $[A,H]=0$ , entonces, necesariamente

$\langle A\rangle _{\alpha }={\text{cte}}$ .

Esto es formalmente idéntico a lo que ocurre en Mecánica Clásica, donde la derivada temporal de cualquier función dinámica A (los observables en dicha formulación, donde no hay valores esperados ya que su valor está siempre deterministamente concretado) viene dada por los corchetes de Poisson de A con la función Hamiltoniana

{\dot {A}}={\frac {d}{dt}}A=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\quad {\text{(en Mecánica Clásica)}}.

$i\hbar {\frac {d\rho }{dt}}=[H,\rho (t)]$
$\langle H\rangle _{\alpha }={\text{cte}}\Rightarrow \left({\frac {\partial H}{\partial t}}=0\Leftrightarrow {\text{Sistema conservativo}}\right)$ .

El operador evolución temporal

¿Cómo evolucionan los estados propios de $H$ ?

$H|E\rangle =E|E\rangle$

¿Cómo es la ecuación de Schödinger para un estado propio?

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|E\rangle =H|E\rangle =E|E\rangle$

$\Rightarrow |E(t)\rangle =|E(0)\rangle \underbrace {exp\left(-{\frac {i}{\hbar }}E(t-t_{0})\right)} _{fase\,temporal}$

La energía se repite.
La ecuación de Schrödinguer es lineal: sus soluciones pueden componerse linealmente (si $|\alpha _{1}\rangle$ y $|\alpha _{2}\rangle$ son soluciones $\Rightarrow$ $a_{1}|\alpha _{1}\rangle +a_{2}|\alpha _{2}\rangle$ también es solución)
La evolución entre un sistema inicial y uno final $t$ se puede describir mediante un operador lineal, el operador de evolución temporal $U(t,t_{0})$ tal que

$|\alpha (t)\rangle =U(t,t_{0})|\alpha (t_{0})\rangle$

$U(t,t_{0})$ tiene las siguientes propiedades:

$U(t_{0},t_{0})={\mathcal {I}}\quad {\text{(operador identidad)}}$

Podemos obtener la forma explícita del operador sustituyendo $|\alpha (t)\rangle =U(t,t_{0})|\alpha (t_{0})\rangle$ en la ecuación de Schrödinguer

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{U(t,t_{0})}|\alpha (t_{0})=HU(t,t_{0})|\alpha (t_{0})\rangle$

de donde obtenemos la igualdad de operadores

${\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})={\frac {1}{i\hbar }}HU(t,t_{0})=-{\frac {i}{\hbar }}HU(t,t_{0}).$

Si $H$ no depende de $t$ (sistema conservativo), al igual que con las ecuaciones diferenciales de funciones, se tiene que

$U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}$

En general, el desarrollo en serie de Taylor de $e^{A}$ es $e^{A}={\mathcal {I}}+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ pero, en la base en la que la representación matricial del operador $A$ es diagonal

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&0\\0&a_{22}\end{pmatrix}},\quad A^{n}\equiv AA\cdots A={\begin{pmatrix}a_{11}^{n}&0\\0&a_{22}^{n}\end{pmatrix}}$

se tiene que

$e^{A}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a_{11}&0\\0&a_{22}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{\frac {a_{11}}{2!}}&0\\0&{\frac {a_{11}}{2!}}\end{pmatrix}}+\cdots ={\begin{pmatrix}e^{a_{11}}&0\\0&e^{a_{22}}\end{pmatrix}}.$

De manera más más compacta

$\left(e^{A}\right)_{ij}=e^{A_{ij}}={\begin{pmatrix}e^{a_{11}}&0\\0&e^{a_{22}}\end{pmatrix}}.$

$U^{-1}(t,t')=U(t',t)$ ya que

$U(t,t')U(t',t)|\alpha (t)\rangle =|\alpha (t)\rangle$

Ahora, veremos como a primer orden de su desarrollo de Taylor, el operador evolución temporal es unitario ( $U=U^{-1}$ )

$U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\Rightarrow U(t+dt,t)\approx {\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}Hdt$

$U^{-1}(t,t_{0})=e^{{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\Rightarrow U^{-1}(t+dt,t)\approx {\mathcal {I}}+{\frac {i}{\hbar }}Hdt={\mathcal {I}}+{\frac {i}{\hbar }}H^{\dagger }dt$

$UU^{-1}={\mathcal {I}}+{\mathcal {O}}\left(dt^{2}\right).$

Seguimos tras esta última nota

$U(t+dt,t)={\mathcal {I}}^{\dagger }+{\frac {i}{\hbar }}H^{-1}dt={\mathcal {I}}+{\frac {i}{\hbar }}Hdt$

$U(t+dt,t)=U^{-1}(t+dt,t)$

$\Rightarrow U^{\dagger }=U^{-1}\;(es\,unitario).$

Cualquier tranformación de simetría viene descrita por un operador unitario

$U|\alpha \rangle \rightarrow \langle \alpha |\underbrace {U\,U^{\dagger }} _{\mathcal {I}}|\alpha \rangle .$

Estados estacionarios y constantes del movimiento

Un estado conservativo es aquel que no depende del tiempo $H\neq H(t).$ En un estado conservativo los estados propios de $H$ se denominan estados estacionarios.

$H|\alpha (t_{0})\rangle =E|\alpha (t_{0})\rangle$

$|\alpha (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t-t_{0})}|\alpha (t_{0})\rangle$

$H|\alpha (t)\rangle =E|\alpha (t)\rangle .$

Si un observable $A$ conmuta con $H$ (se sobreentiende que nos referimos al operador hermítico asociado al observable $A$ ) y como habitualmente el observable no depende explícitamente del tiempo,

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }=0\Rightarrow \langle A\rangle _{\alpha }={\text{cte}}.$

$A$ se denomina entonces una constante del movimiento.

Ejemplo

Supongamos que nuestro sistema en un tiempo t=0 se encuentra en el estado

$\mathbb {H} \ni |\alpha \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle +i|-\rangle \right)$

y que el operador Hamiltoniano se encuentra definido por la siguiente combinación lineal de operadores proyección

$H=\hbar \omega \left(|+\rangle \langle +|-|-\rangle \langle +|\right).$

¿Cuál es $|\alpha (t)\rangle$ ?

Usando la base $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ , estos dos vectores son obviamente,

$|+\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

$|-\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Expresado en dicha base, el Hamiltoniano toma la forma matricial

${\begin{aligned}H&\doteq \hbar \omega \left[{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right]\\&=\hbar \omega \left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\right]\\&=\hbar \omega {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

que es diagonal. Como vimos anteriormente, ya que $H\neq H(t)$

$U(t,0)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}$

y como demostramos, al ser la matriz que representa $H$ diagonal en dicha base, la exponencial de $H$ también es diagonal y tiene la forma

$U(t,0)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}\doteq {\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}&0\\0&e^{+i\omega t}\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}|\alpha (t)\rangle &=U(t,0)|\alpha (t_{0})\rangle \\&\doteq {\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}&0\\0&e^{+i\omega t}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}&0\\0&e^{+i\omega t}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}\\ie^{+i\omega t}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Reglas de cuantización

¿Cómo construir los operadores que representan a los observables físicos?

El sistema físico más simple es una partícula escalar sometida a un potencial central.

Los observable físicos más evidentes son la posición ${\vec {r}}=(x,y,z)$ y su momento ${\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})$ .

Postulado 4: Si en un sistema físico las coordenadas son $x_{1},\ldots ,x_{n}$ y sus momentos conjugados son $p_{1},\ldots p_{n}$ , entonces los operadores $X_{i}$ y $P_{i}$ que representan a dichos observables deben satisfacer las reglas de conmutación

$[X_{i},X_{j}]=0;\qquad [P_{i},P_{j}]=0;\qquad [X_{i},P_{j}]=i\hbar \delta _{ij}{\mathcal {I}}$

¿Qué forma tiene un operador arbitrario?

Si el sistema tiene un observable cuya expresión clásica es $A(x_{i},p_{i},t)$ entonces el operador correspondiente se obtiene sustituyendo de manera adecuada las variables $x_{i}$ y $p_{i}$ por los operadores $X_{i}$ y $P_{i}$ asociados.

El operador Hamiltoniano

¿Qué es el (operador) Hamiltoniano clásico? Realmente una función, la función Hamiltoniana.

Formulación Lagrangiana

Para cualquier sistema físico se puede definir una función que depende de las posiciones y de las velocidades tal que toda la física del sistema dependa de dicha función. Dicha función es la llamada función Lagrangiana y se define como $L=T-V$ .

En cada estado la lagrangiana toma un valor.

Se define la acción como la siguiente integral de línea entre $x_{1}$ y $x_{2}$

$S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}dtL(x_{i},{\dot {x}}_{i}).$

La naturaleza elige el camino con acción más pequeña (principio de mínima acción).

$\Rightarrow$ Ecuaciones de Euler-Lagrange

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0$

Es equivalente a la formulación Newtoniana y no menos extraña.

Se define el momento conjugado a la variable $x_{i}$ como

$p_{i}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{j}}}$

Formulación de Hamilton

$H=H(x_{i},p_{i},t)={\dot {x}}_{i}p_{i}-L(x_{i},{\dot {x}}_{i},t)$

Principio de mínima acción $\Rightarrow$

${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}$

Normalmente se cumple que $H=E_{T}=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})$

Cuánticamente

$H={\frac {P^{2}}{2m}}+V(X_{i})$ donde $P=(P_{1},P_{2},P_{3})$ es un operador vectorial (3 operadores).

Se tiene que

$P^{2}=\sum _{i}P_{i}^{2}.$

Los paréntesis de Poisson se definen como

$\left\{A(x_{i},p_{j}),B(x_{i},p_{j})\right\}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum \left[{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial x_{i}}}\right]$

$\{x,p_{x}\}=1$

$[X,P]=i\hbar {\mathcal {I}}$

A los franceses les gusta mucho la asociación

$\{,\}\rightarrow {\frac {[\;,\;]}{i\hbar }}.$

Reglas de superselección

Supongamos que existe un observable $Q$ que conmuta con todos los observables $A_{i}$

$[Q,A_{i}]=0$

$\Rightarrow$ Si simultáneamente tengo un estado propio de $Q$ tras cualquier medida de otro observable, el estado continuará siendo propio de $Q$ con el mismo valor propio.

Demostración (suponiendo que no son degenerados)

$|\alpha \rangle {\text{ propio de Q}}$

$Q|\alpha \rangle =q|\alpha \rangle$

se mide $A$ ,

$|\alpha \rangle {\stackrel {a}{\rightarrow }}|a\rangle$

con probabilidad $|\alpha _{a}|^{2}$

$Q|a\rangle =Q{\frac {P_{a}|\alpha \rangle }{\left|P_{a}|\alpha \rangle \right|}}$

en la base de autoestados de $A$ , $Q$ es diagonal y $P_{a}$ también

${\frac {P_{a}}{|P_{a}|}}=Q|\alpha \rangle =q|a\rangle \;(?)\;\bullet$

Se dice que $Q$ es un operador de super-selección, y los estados "físicos" tendrán siempre un valor de $Q$ bien definido.

Es algo que no me permite mezcla cuántica, combinación lineal, con vectores con distintos valores de q. (Viven en espacios de Hilbert distintos (?)).

Imagen de Heisenberg

Lo que hemos visto hasta ahora se llama imagen de Schrödinger.

$\langle A\rangle _{\alpha }=\langle \alpha |A|\alpha \rangle =\langle \alpha _{0}|U^{\dagger }A|\alpha _{0}\rangle$

(Uno construye una metodología distinta pero de forma que los autovalores evolucionen de la misma forma (?)).