Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Sucesiones

Introducción

Cada número real α tiene asociada una expansión decimal

α = a₀.a₁a₂a₃...

Las truncaciones sucesivas producen una sucesión de números racionales

a₀,    a₀.a₁,    a₀.a₁a₂,    a₀.a₁a₂a₃, ...

cuyos valores se aproximan más y más a α. Cuando α es un número irracional, dichas aproximaciones constituyen la manera práctica de computar con esos números. Las sucesiones (y sus asociadas, las series) aparecen como maneras de evaluar números y funciones, aunque sea de forma aproximada. Recordemos, también, que en los cursos de Cálculo, se ve que podemos expresar ciertas funciones como series de potencias. Por ejemplo

$\operatorname {sen}(x)=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n}{\frac {1}{(2n-1)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3!}}x^{3}+{\frac {1}{5!}}x^{5}-\cdots$

Dicha serie sirve para evaluar la función seno con tanta exactitud como queramos, ya que para series de potencias podemos computar estimados acerca del error en la aproximación. Al valor computacional de las sucesiones, se agrega su valor teórico. Probaremos que cada punto de acumulación de un conjunto es el límite de una sucesión de puntos del conjunto. Suponemos relativa familiaridad con las sucesiones y series de un primer curso universitario de Cálculo, por lo que nos preocuparemos más de los aspectors teóricos que de los computacional.

Definiciones y Propiedades Básicas

Una sucesión s en un conjunto X es una familia de elementos de X cuyo conjunto de índices son los Naturales. Es decir que se trata de una función de los Naturales en X, donde lo más interesante son los valores que toma la función. Cuando s es una sucesión, como es usual con las familias, simbolizamos por s_n a s(n)—término énésimo. Podemos simbolizar a una sucesión s de diversas maneras, tales como

s = (s_n) = (s₀, s₁, . . . , s_n, ... ).

La importancia de que el conjunto de índices sean los Naturales reside en que podemos transportar el orden de los números naturales a los correspondientes términos de la sucesión. Así que podemos hablar del segundo término de la sucesión, que está antes que el quinto, etc. En la práctica, podemos tener sucesiones s cuyo primer término no es s₀, sino que es s_n0 donde n₀ > 0. Por ejemplo, a_n = 1/n, n > 0. Sin embargo, para efectos teóricos, siempre podremos suponer, por una simple traslación de los índices, que el primer términio corresponde al 0. Por ejemplo, respecto al ejemplo mencionado, s_n = 1/(n + 1), n ≥ 0.

Sean E un espacio métrico, A un subconjunto de E y p un punto de acumulación de A. Suponiendo que p no está en A, mostraremos que hay una sucesión de puntos de A que se acercan más y más a p. Más adelante, diremos que esa sucesión converge a p. El argumento que usaremos es igual al usado en la demostración de la proposición 5.3.2.

Supongamos que p no está en A, pero que está en su clausura, o sea que es un punto de acumulación de A. Entonces, por definición de punto de acumulación, cada vecindad de p contiene al menos un punto de A diferente de p. Usaremos bolas abiertas como vecindades. Sea r₁ = 1, entonces la bola B(p; r₁) contiene un punto, digamos p₁ de A que no es igual a p. Como p₁ ≠ p, tenemos que 0 < r₂ = d(p₁, p) < r₁. Considerando ahora la bola B(p; r₂), vemos que hay un p₂ en A, diferente de p, y también de p₁, tal que d(p₂, p) < d(p₁, p). Supongamos generada de la manera anterior la sucesión finita, p₁, p₂, . . . , p_n de puntos de A diferentes de p y tales que

d(p1, p) > d(p2, p) > . . . > d(p, pn)>0.

Generamos un punto p_n+1 de igual forma que los anteriores, es decir que p_n+1 es un punto de la bola B(p; d(p_n, p) diferente de p. Obtenemos así una sucesión cuyos términos p_n, a medida de que n crece ,se aproximan cada vez más a p. Tal situación es un ejemplo de convergencia de una sucesión a un límite, nociones que definiremos a continuación. Notemos que cuando m ≥ n, B(p; r_m) ⊂ B(p ; r_n), lo que implica que p_m está en B(p; r_n). La situación anterior se abstrae en la siguiente definición.

Definición. (Convergencia, Límite) Sea E un espacio métrico, p un punto de E. Decimos que una sucesión (s_n) converge a p, ssi, para todo vecindad V de p hay un natural n₀ tal que

n ≥ n₀ ⇒ s_n ∈ V.

Cuando (s_n) converge a p, decimos que la sucesión es convergente y que p es un límite de la sucesión. Una sucesión que no converge es una sucesión divergente.

En términos métricos, tenemos que
(Versión métrica del límite) Una sucesión (s_n) converge a p, ssi, para todo ε > 0 hay un n₀ tal que

n ≥ n₀ ⇒ d(x_n, p) < ε.

Otra manera de expresar la convergencia.
(Versión cardinal del límite.) Una sucesión (s_n) tiene un límite p, ssi, para cada vecindad V de p, hay a lo más una cantidad finita de términos de la sucesión fuera de V .

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Observación 7.1. Sea P(n) una propiedad de los términos de una sucesión (x_n). Cuando la propiedad P se cumpla para todos los n a partir de un cierto n₀, diremos que la propiedad se cumple para casi todo n, o que la sucesión finalmente alcanza esa propiedad.

Por ejemplo, la última versión de límite se puede expresar como, la sucesión (x_n) converge a p, ssi, para cada vecindad de p, casi todos los términos de la sucesión están en V.

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Proposición 7.2.1 (Unicidad de Límites). Sea E un espacio métrico. Cuando una sucesión converge, su límite es único.

Demostración. Supongamos que p y q fueran límites diferentes de la sucesión (x_n). Sean U una vecindad de p y V una vecindad de q tales que U ∩ V = ∅ (propiedad de Hausdorff). Por definición de convergencia aplicada a p hay un n₁ tal que n ≥ n₁ implica que x_n está en U. Análogamente, hay un n₂ tal que n ≥ n₂ implica que x_n está en V . Sea n₀ = máx{n₁, n₂}. Entonces, n ≥ n₀ ≥ n₁, n₂ ⇒ x_n ∈ U y x_n ∈ V ⇒ x_n ∈ U ∩ V. Como U y V son disjuntas, lo anterior es imposible. Luego, no puede haber límites diferentes.

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Notación Cuando una sucesión (s_n) converge a un punto p, podemos, por lo tanto, decir que p es el límite de la sucesión. Representaremos esta situación, simbólicamente, por una cualquiera de las expresiones siguientes.

• lím_n s_n = p (el limite de la sucesión (s_n) es p);
• $\lim _{n}s_{n}=p;$
• lím_{n → ∞} s_n = p;
• s_n → p (s_n converge a p).

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Ejemplo 7.2.1. La sucesión a_n = 1/n en R es convergente a 0.

Resolución. La prueba sigue de la propiedad arquimediana de los Reales (ver la sección 2.4.3). En efecto, dado un ε > 0, hay un n tal que 1/n < ε (2.4.6). Luego,

$m\geq n\implies |{\frac {1}{m-0}}|={\frac {1}{m}}\leq {\frac {1}{n}}<\varepsilon .$

lo que prueba que lím_n (1/n) = 0.

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Ejemplo 7.2.2. Sea s la sucesión de números reales tal que s_n = (−1)ⁿ. Es decir que s_n = 1, cuando n es par, y s_n = -1, en caso contrario.

Notemos que para cualquier bola abierta con centro 1 (resp. −1) y radio 1/2, hay infinitos términos que quedan fuera de esa vecindad. Por lo que ni 1 ni −1 pueden ser límites de la sucesión. Sea a un número real diferente de 1 o −1 y sea r = (1/2) mín{d(a, 1), d(a,−1)}. Entonces, una bola con centro a y radio r no contiene puntos de la sucesión, están todos fuera. Conclusión, la sucesión no es convergente, ya que no tiene límite posible.

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Ejemplo 7.2.3 (La sucesión de distancias). Notemos que dados una sucesión (x_n) y un punto p, podemos asociarles una sucesión de números reales (a_n) cuyos

términos son a_n = d(x_n, p). Sigue directo de la variante métrica de la definición de convergencia que

x_n → p ⇐⇒ d(x_n, p) → 0.

Una sucesión converge a un punto p, cuando la sucesión asociada con la distancia de los términos a p converge a 0.

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La discusión previa a la definición muestra que en un espacio métrico, un punto de acumulación de un conjunto es un límite de una sucesión cuyos términos pertenecen todos al conjunto, pero que son diferentes del límite. Tenemos que lo anterior caracteriza a los puntos de acumulación.

Proposición 7.2.2. Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Un punto p es punto de acumulación de A, ssi, hay una sucesión de elementos de A diferentes de p que convergen a p.

Demostración. La existencia de tal sucesión fue probada arriba. Supongamos que (x_n) fuera una sucesión de puntos de A, pero diferentes de p, que converge a p. Sea V una vecindad cualquiera de p, entonces hay un n₀ tal que m ≥ n₀ implica que x_m está en V. Luego, V contiene puntos de A diferentes a p, es decir que, p es un punto de acumulación de A.

Corolario 7.2.3. Sea E un espacio métrico y A un subconjunto de E. A es cerrado, ssi, cada sucesión convergente de puntos de A tiene su límite en A.

Demostración. Un conjunto es cerrado, ssi, contiene a todos sus puntos de acumulación.

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El conjunto de términos de una sucesión

Cuando (x_n) sea una sucesión, denotaremos por {x_n} al conjunto formado por todos los términos de la sucesión. Dicho conjunto puede ser infinito o finito. Analizaremos los posibles comportamientos de las sucesiones con respecto al cardinal (cantidad de elementos) de su conjunto de términos.

El conjunto de términos es finito. Sea (x_n) tal que S = {x_n} = {x_n : n ∈ N} es un conjunto finito. La finitud de S implica que hay al menos un término cuyo valor se debe repetir infinitas veces. Cuando haya exactamente un único valor que se repita infinitas veces, dicho valor será el límite de la sucesión. Al contrario, cuando haya más de un valor que se repite infinitas veces, razonando como en el ejemplo 7.2.2, concluiremos que la sucesión no converge.

El conjunto de términos es infinito. Supongamos ahora que S = {x_n} es infinito y que la sucesión converge a p. Supongamos que p no fuera un punto de acumulación de S. Entonces, habría una vecindad V de p que no tendría puntos de S diferentes de p. Como x_n → p, hay un n₀ tal que n ≥ n₀ implica que s_n está en V. Como p es el único punto de S en V. se debe tener que para n ≥ n₀ se cumple que x_n = p; lo que implica que S es finito. Luego, cuando {x_n} es infinito y x_n → p, p debe ser un punto de acumulación de S.

Si S tiene más de un punto de acumulación, razonando como en la prueba de que hay un único límite, vemos que la sucesión no puede converger. Resumimos la discusión en la siguiente proposición.

Proposición 7.2.4. Sea (x_n) una sucesión y {x_n} el conjunto formado por sus términos.

(a) Cuando {x_n} es finito la sucesión converge, ssi, hay un único término cuyo valor se repite infinitas veces.

(b) Cuando {x_n} es infinito la sucesión converge, ssi, el conjunto {x_n} tiene un único punto de acumulación. En tal caso, dicho punto de acumulación es el límite de la sucesión.

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Ejemplo 7.2.4. Sea (x_n) la sucesión con términos x_n = 1 − (1/n) para n par y x_n = −1 + 1/n si n es impar. Es fácil verificar que todos los términos son diferentes entre si para todo n > 1, por lo que hay infinitos términos. Además que 1 y −1 son puntos de acumulación de {x_n}. Por lo que la sucesión no converge.

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Observación. Sea $(x_{n})$ una sucesión convergente a un punto $p$. Sigue de la proposición que cuando $S=\{x_{n}\}$ es infinito, $p$ es un punto de acumulación de $S$. Esto implica que para cualquier reordenamiento de los términos de la sucesión produce una sucesión que también es convergente a $p$. Es decir que, en tal caso, el orden de los términos no es importante. En particular, cuando la sucesión convergente tiene sus términos dos a dos diferentes, la convergencia solamente depende de la ``topogeometría de sus términos. \end{rem}

Subsucesiones

Sea s =(s_n) una sucesión. Una subsucesión de s es una sucesión cuyos términos son términos de (s_n) preservando el orden relativo. En forma más precisa, sea j : N → N una función que preserva el orden, o sea tal que m < n implica que j(m) < j(n), entonces una subsucesión de (s_n) asociada a la función j es la sucesión (t_n) tal que t_n = s_j(n) . Una sucesión puede ser divergente y tener una subsucesión convergente. La sucesión del ejemplo 7.2.2, s_n = (−1)ⁿ, tiene subsucesiones convergentes, por ejemplo, la sucesión de los términos pares converge a 1.

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Proposición 7.2.5. Cuando una sucesión converge, todas sus subsucesiones convergen al mismo límite.

Demostración. Sea (s_n) tal que s_n → p y sea (t_n) una subsucesión con t_n = s_j(n) donde j :N → N es una función estrictamente creciente (o sea que preserva el orden).
Aserto: para todo n se cumple que j(n) ≥ n. Si n = 0, claramente j(0) ≥ 0 ya que es un número natural. Supongamos que j(k) ≥ k ≥ 0 para un k natural. Entonces, como k + 1 > k se debe tener que j(k+1) > j(k) ≥ k, lo que implica que j(k+1) ≥ k+1. Por inducción, tenemos la afirmación. Sea V una vecindad de p. Como s_n → p, hay un natural n tal que m ≥ n implica que s_m está en V . En particular, como j(n) ≥ n se cumple que para todo m ≥ n, t_m = s_j(m) está en V, ya que j(m) ≥ j(n) ≥ n.

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Corolario 7.2.6. Cuando una sucesión tiene una subsucesión divergente, la sucesión es divergente.

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Convergencia y Continuidad

La siguiente proposición muestra otra posible definición de continuidad en un punto.

Proposición 7.2.7 (Convergencia y Continuidad). Sea f : E → F una función entre espacios métricos. Sea p un punto de E. Las afirmaciones siguientes son equivalentes.

(a) f es continua en p.

(b) Para cada sucesión (x_n) en E, x_n → p ⇒ f(x_n) → f(p).

Demostración.
((a)⇒(b)). Supongamos que f es continua en p y que x_n → p. Tenemos que probar que f(x) → f(p). Por la continuidad de f en p, tenemos que para cada ε > 0 hay un δ > 0 tal que f(B_δ(p)) ⊂ B_ε(f(p)). Como x_n → p, hay un natural n₀ tal que n ≥ n₀ implica que x_n está en B_δ(p). Luego, para n ≥ n₀, f(x_n) está en B_ε(f(p)); lo que prueba que f(x_n) → f(p).
((b) ⇒ (a).) Supondremos que f no es continua en p y probaremos que hay una sucesión (x_n) que converge a p, pero tal que f(x_n) no converge a f(p). Si f no es continua en p, entonces hay una vecindad V de f(p) tal que para todo vecindad U de p se cumple que f(U) no está contenida en V . Escojamos una sucesión U_n de vecindades de p, U_n = B_1/n(p) y formemos una sucesión con x_n ∈ U_n tal que f(x_n) no pertenece a V . Entonces, x_n → p, pero f(x_n) no converge a f(p).

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Propiedades Métricas

Proposición 7.2.8. Una sucesión convergente en un espacio métrico es acotada, es decir hay un M tal que el conjunto de puntos de la sucesión está contenido en una bola de radio M alrededor del límite.

Demostración. Ejercicio. Sugerencias: (i) Aplicar la definición de convergencia a la ε–vecindad del punto límite p con ε = 1. (ii) Definir M como el máximo entre 1 y los d(x_m, p), para aquellos m tales que x_m no esta en la ε–vecindad.

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Ejercicios 7.2

1. Probar que las diferentes versiones de límite (vecindad, métrica y cardinal) son equivalentes.
2. Sea (s_n) una sucesión convergente de un espacio métrico. Probar que para todo ε > 0 hay un n₀ tal que m, n ≥ n₀ implica que d(x_m, x_n) < ε.
3. Probar que la sucesión en R, s_n = (n−1)/n converge.
4. Probar que la sucesión en R, s_n = 1/n² converge. (no hay mucho que calcular, basta con mencionar un ejemplo y una proposición).

Las Sucesiones Reales

Una sucesión real es una sucesión cuyos términos son números reales. El conjunto formado por todas esas sucesiones es $F(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$ (todas las funciones de los Naturales en los Reales, que es un caso especial del espacio introducido en la sección 3.4/.

En ese conjunto hay definidas operaciones de suma, multiplicación y producto por constantes, que para las sucesiones son operaciones término a término. Es decir que cuando x = (x_n) y y = (y_n) son sucesiones reales y α una constantes (número real), se cumple que

$(x+y)_{n}=x_{n}+y_{n},\quad (xy)_{n}=x_{n}y_{n},\quad (\alpha x)_{n}=\alpha x_{n}.$

Sucesiones constantes. Notemos que cada número real α produce una sucesión s = (α), cuyos términos son todos iguales a α y que podemos identificar con el número α. Con esa identificación, la multiplicación por constante es un caso particular de la multiplicación de dos sucesiones.

Sucesiones Acotadas. Una sucesión x = (x_n) es acotada, cuando hay un número real tal que M tal que, para todo n en N, se cumple que |x_n| ≤ M. M es una cota de la sucesión.

Se verifica (ver los ejercicios) que la suma y el producto de sucesiones acotadas es una sucesión acotada. Si denotamos por B(N, R) al conjunto de las funciones acotadas, se tiene entonces que se trata de una subalgebra de F(N, R). Sigue de la proposición 7.2.8 que cada sucesión convergente es acotada, por lo que SC(R) (sucesiones reales convergentes) es un subconjunto de las sucesiones acotadas. La próxima proposición muestra que se trata de una subálgebra del álgebra de las sucesiones acotadas.

Proposición 7.3.1 (Operaciones y Convergencia). Sean x = (x_n), y = (y_n) sucesiones de números reales tales que x_n → a y y_n → b. Entonces,

(a) La sucesión x + y converge a a + b.

(b) La sucesión xy converge a ab,

(c) La sucesión αx converge a αa, α número real.

Es decir que SC(R) es una subálgebra de F(N,R).

Demostración. Sea ε dado. Como x_n → a (resp. y_n → b) hay un entero n₁, (resp n₂) tales que

(1) n ≥ n₁ ⇒ |x_n − a| < ε/2,

(2) n ≥ n₂ ⇒ |y_n − b| < ε/2.

1. Sea n₀ = m´ax{n₁, n₂}. Entonces, n ≥ n₀ ⇒ |(x_n − y_n) − (a + b)| = |(x_n − a) + (y_n − b)| ≤ |x_n − a| + |y_n − b| < ε/2 + e/2 = ε.
2. Debemos probar que hay un natural n₀ tal que para todo m,m ≥ n₀ se cumple que |x_my_m − ab| < ε. Sea δ un número positivo, cuyo valor específico determinaremos más adelante; por ahora simplemente supondremos que es menor o igual a 1. Se tiene la siguiente identidad (que los lectores deberán verificar) |x_ny_n − ab| = |x_n − a| |y_n − b| + |a| |y_n − b| + |b| |x_n − a|. (*)

   Veremos a continuación, como acotar cada sumando en el lado derecho de (*) en términos de δ, para finalmente expresar δ en términos de ε.

   Procediendo como en la parte (a) podemos hallar un n₀ tal que

   ${\begin{array}{rcl}m\geq n_{0}&\implies &|x_{n}-a|<\delta \\m\geq n_{0}&\implies &|y_{n}-b|<\delta .\end{array}}$

   Luego, cuando m ≥ n₀ se tiene que

   ${\begin{array}{rcl}|x_{n}y_{n}-ab|&=&|x_{n}-a|\,|y_{n}-b|+|a|\,|y_{n}-b|+|b|\,|x_{n}-a|\\&<&\delta *\delta +|a|\delta +|b|\delta \\&<&\delta *1+|a|\delta +|b|\delta =\delta (1+|a|+|b|).\end{array}}$

   Por lo tanto, si escojemos a δ = mín {jε/(1 + |a| + |b|), 1} obtendremos que
   m ≥ n₀ ⇒ |x_ny_n − ab| < ε.

   (c) Sigue de (b),

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Observación 7.2. Comparar la demostración anterior con la demostración del teorema 6.5.6

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. Proposición 7.3.2. Sean (x_n) una sucesión real tal que para todo n, x_n ≠ 0. Si x_n → a, a ≠ 0, entonces 1/x_n → 1/a.

Demostración. Ejercicio.

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Proposición 7.3.3 (Teorema del Sandwich). Sean (x_n), (y_n) y (z_n) sucesiones tales que para todo n se cumple que x_n ≤ y_n ≤ z_n. Si x_n → a y z_n → a, entonces y_n → a.

Demostración. Ejercicio

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. Proposición 7.3.4. Sean (x_n), (y_n) sucesiones reales tales que y_n = x_n+k, k un entero positivo. Ambas sucesiones convergen o divergen simultáneamente.

Demostración. Ejercicio.

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Notemos que en la proposición anterior, (y_n) se obtiene de (x_n) eliminando los primeros k términos. El resultado implica que lo único importante para la convergencia es, entonces, la “cola” de la sucesión. Es decir que en las hipótesis de proposiciones o teoremas donde aparece “para todo n”, podemos generalmente poner en sustitución “para casi todo n” (ver la observación 7.1).

Las Sucesiones en Espacios Normados

Sea $E$ un espacio normado, en particular uno de los espacios Euclídeos $\mathbb {R} ^{n}$. La siguiente proposición resume los resultados sobre las sucesiones en $E$.

Proposición 7.3.5. Sea $E$ un espacio normado y sean $x=(x_{n})$, $y=(y_{n})$ sucesiones de puntos de $E$.

1. Cuando $x_{n}\to p$ y $y_{n}\to q$ entonces $x_{n}+y_{n}\to p+q$ y el producto $\alpha x_{n}\to \alpha p$, $\alpha$ real.
2. Cuando la sucesión $x$ es convergente, también lo es la sucesión de normas, $(||x_{n}||)$.
3. Cuando $E=\mathbb {R} ^{m}$, una sucesión en $E$ es convergente, ssi, las sucesiones de sus componentes lo son.

La demostración queda de ejercicio.

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Las Series

En cualquier espacio normado podemos definir series (informalmente, sumas infinitas). La definición general de serie es la misma que en los Reales.

Dada una sucesión $(a_{n})$, le asociamos la sucesión de sumas parciales $s_{n}$, tal que

$s_{n}=a_{0}$ cuando $n=0$,

$s_{n}=s_{n-1}+a_{n}$cuando $n>0.$

Es decir que $s_{0}=a_{0}$, $s_{1}=a_{0}+a_{1}$, $s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}$, etc.

Decimos que la sucesión $a_{n}$ es sumable, cuando la sucesión asociada de sumas parciales es convergente. Denotamos al límite, cuando exista, por

$\sum _{n}a_{n}$ o $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$

y le llamamos serie definida por los $a_{n}$ Por abuso de lenguaje, llamamos serie a la suma infinita y decimos que la serie converge o diverge dependiendo de que el límite mencionado exista o no.En cualquier espacio normado podemos definir series (o sea sumas infinitas).

Los siguientes resultados deberían ser conocido de los cursos de Cálculo. Sea

$S=\sum _{n\geq 0}a_{n}$

• Cuando S converge, su termino enésimo an tiende a 0;
• La serie geométrica a + ar + · · · + arⁿ + ... , a ≠ 0, converge cuando |r| < 1, diverge si r ≥ 1. Cuando converge su límite es a/(1 − r).
• La serie de potencias ∑_n a_nxⁿ converge cuando ρ = lím_n |an+1/an| < 1, diverge cuando ρ > 1. El caso ρ = 1 es ambiguo.

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Ejercicios 7.3

1. Sea f : R→ R continua. Sea (x_n) una sucesión convergente. Entonces (f(x_n)) l es una sucesión convergente y lím_n f(x_n) = f(lím_n x_n).
2. Probar la proposición 7.3.2.
3. Probar la proposición 7.3.3.
4. Si (a_n) es una sucesión de números reales que es creciente (a_n ≤ a_n+1) y acotada superiormente, entonces (a_n) es convergente.
5. La suma y el producto de sucesiones reales acotadas son sucesiones acotadas.
6. Considerar las sucesiones reales cuyos términos se indican a continuación. ¿Cuáles de esas sucesiones reales son acotadas?¿Cuáles son convergentes? En caso de convergencia, si fuera posible hallar el límite. Indicar los teoremas o proposiciones usadas para obtener la respuesta.

   a) $(5/n).$	b) $(1+(-1)^{n}).\quad$	c) $(1/{\sqrt {n^{3}}})$
   d) ${\dfrac {n-1}{n}}\quad \quad$	e) ${\dfrac {2n-3}{3n+2}}.\quad \quad$	f) ${\dfrac {1}{n^{2}}}.$
   g) ${\dfrac {2^{n}}{3^{n}}}.$	h) ${\dfrac {3^{n}}{2^{n}}}.$	i) ${\dfrac {3^{n}-2^{n}}{3^{n}+2^{n}}}.$
   j) $\operatorname {sen}((n+1)\pi /2n).\quad$	k) $e^{1/n}.$	l)$(1+1/n)^{3}.$

7. Probar la proposición 7.3.4.
8. Probar que cada expansión decimal de un número real positivo define una sucesión de números racionales, la sucesión de las truncaciones, que es acotada superiormente. Aplicar el postulado del supremo para concluir que dicha expansión tiene un límite.
9. Sea u una sucesión en R² tal que u_n = (x_n, y_n), Entonces, la sucesión (u_n) es acotada (resp. convergente), ssi, las sucesiones (x_n) y (y_n) lo son. Usar ese resultado para evaluar
   lím_n (3 + 1/n, 2+1/n) en R². Generalizar para sucesiones en Rⁿ.
10. Sea E un espacio normado cualquiera.
    1. Las sucesiones en E convergentes son acotadas.
    2. La suma y el producto de sucesiones acotadas (resp.convergentes) es una sucesión acotada (resp. convergente).
11. Sean (x_n), (y_n) y (z_n) sucesiones de un espacio métrico E. Suponer que hay un n₀ tal que y_n = z_n cuando n < n₀, y y_n = x_n cuando n ≥ n₀. Las sucesiones (x_n), (y_n) convergen o divergen simultáneamente. Es decir que podemos alterar una cantidad finita de términos de una sucesión sin afectar su convergencia o divergencia.
12. Sea E un espacio métrico con métrica discreta. Probar que cuando una sucesión (x_n) es convergente, hay un n₀ tal que m ≥ n₀ implica que x_m = x_n0.

Las Sucesiones de Cauchy

¿Podemos saber que una sucesión es convergente, aunque no sepamos su límite?

Sea (x_n) una sucesión convergente a x en un espacio métrico E. Entonces, para todo ε > 0, hay un n₀ tal que n ≥ n₀ implica que d(x_n, x) < ε/2. Luego, para todo m, n ≥ n₀, tenemos que

$d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x)+d(x_{m},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

La condición anterior es, en consecuencia, una condición necesaria para la convergencia de una sucesión. Podemos usarla para probar que una sucesión no es convergente (por ejemplo en la sucesión del ejemplo 7.2.2, los términos pares mantienen distancia de 2 de los términos impares, por lo que es imposible que tal sucesión converja). La condición se llama condición de Cauchy, y la definiremos formalmente a continuación.

Condición de Cauchy Una sucesión (xn) en un espacio métrico satisface la condición de Cauchy, ssi, para todo ε > 0 hay un n0 tal que m, n ≥ n0 ⇒ d(xm, xn) < ε. Una sucesión de Cauchy es una sucesión que satisface la condición de Cauchy.

Sigue de la discusión inicial la siguiente proposición.

Proposición 7.4.1. Cada sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

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La convergencia de una sucesión depende tanto de la sucesión como del espacio adonde está la sucesión. Por ejemplo, en los Reales, la sucesión 1/n es convergente a 0 y es, por lo tanto, una sucesión de Cauchy. Sin embargo, la misma sucesión no es convergente en ]0, 1], aunque continúa siendo una sucesión de Cauchy. Es decir que la condición de Cauchy aunque necesaria, no es suficiente. Por lo que, espacios adonde la condición de Cauchy sea suficiente para la convergencia merecen un nombre especial.

Definición. (Espacio Métrico Completo) Decimos que espacio métrico es un espacio (métrico) completo, ssi, toda sucesión de Cauchy es convergente. Un subespacio es completo, cuando toda sucesión de Cauchy del subespacio converge a un punto del subespacio.

Observación 7.3. Cuando un espacio normado es completo respecto a la métrica inducida, se dice que es un espacio de Banach.

Probaremos, más adelante que los Reales son un espacio completo. De hecho, se puede mostrar que suponer que la condición de que toda sucesión de Cauchy de números reales sea convergente, es equivalente a la completitud de los Reales vía postulado del supremo.

La condición de Cauchy es estrictamente métrica, no hay formulación de la misma en términos solamente de abiertos. No obstante lo anterior, hay relaciones con la topología del espacio.

Ejemplo 7.4.1. El ejemplo anterior de la sucesión en X =]0, 1] sugiere que para “completar” ese espacio deberíamos agregar 0, es decir un punto de acumulación del conjunto que no está en el conjunto. La validez de esa intuición está contenida en la siguiente proposición.

Proposición 7.4.2. Sea E un espacio métrico. Cualquier subespacio completo X de E es cerrado.

Demostración. Supongamos que X fuera completo. Sea p un punto de acumulación de X. Por la proposición , hay una sucesión de puntos propLimPA de X que converge a p. Como X es completo, p está en X; lo que implica que X es cerrado.

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Tenemos, también, casi un converso de lo anterior.

Proposición 7.4.3. Sea E un espacio métrico completo. Un subespacio X de E cerrado es completo.

Demostración. Supongamos que X fuera cerrado y que (x_n) fuera una sucesión de Cauchy en X. Al ser (x_n) una sucesión de Cauchy en X, también lo es en E. Como E es completo, la sucesión converge, digamos a p. Mostraremos que p está en X. Consideremos el conjunto de términos de la sucesión. Si dicho conjunto tiene finitos elementos, el límite de la sucesión es uno de ellos y, por lo tanto, el límite está en X. En caso de que el conjunto sea infinito, tendremos que p es un punto de acumulación del conjunto de términos y, en consecuencia, de X. Como X es cerrado, dicho punto está en X. Es decir que la sucesión converge a un punto de X.

Las sucesiones de Cauchy son sucesiones que casi convergen, solamente les falta el límite, por lo que comparten algunas de las propiedades de las sucesiones convergentes.

Proposición 7.4.4. Las sucesiones de Cauchy son acotadas.

Demostración. Sea (x_n) una sucesión de Cauchy. Tomando ε = 1 en la condición de Cauchy. hallamos un n₀ tal que para m, n ≥ n₀ se tiene que d(x_m, x_n) < ε. En particular tomando n₁ = n₀ + 1, tenemos que para todo m > n₁, d(x_m, x_n1) < 1. Sea M = máx{1, d(x_k, x<subn₁) : k < n₁}. Entonces, para todo n se cumple que d(x_n.x_n1) ≤ M. Lo que muestra que el conjunto de términos de la sucesión es acotado.

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Vimos antes que hay sucesiones divergentes que pueden tener subsucesiones convergentes. Tal situación no ocurre con las subsucesiones de Cauchy (al igual que con las sucesiones convergentes).

Proposición 7.4.5. Cuando una sucesión de Cauchy (a_n) en un espacio métrico tiene una subsucesión convergente a q, entonces la sucesión converge a q.

Demostración. Sea ε > 0 dado. Sea (a_ni) la subsucesión convergente a q. Como (a_n) es sucesión de Cauchy, hay un natural k₁ tal que d(a_m, a_n) < ε/2, cuando m, n ≥ k₁. Como lím_ni a_ni = q, podemos hallar un k₂ tal que d(a_ni , q) < ε/2, cuando n_i ≥ k₂. Escogiendo k ≥ k₂ tal que n_k > k₁, tenemos que para m ≥ k se cumple que d(a_m, q) ≤ d(a_m, a_nm) + d(a_nm, q) < ε/2 + ε/2 = ε.

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Ejercicios 7.4

1. Sea E un espacio métrico. Probar que la suma, resta, multiplicación y cociente de sucesiones de Cauchy son sucesiones de Cauchy.

La Completitud de los Reales

En el capítulo 2, introducimos la “completitud” de los Reales vía el postulado del supremo; “cada conjunto no vacío acotado superiormente tiene una supremo (cota superior estricta)”. En esta sección, mostraremos que R también es completo en el sentido de este capítulo, es decir que toda sucesión real de Cauchy es convergente. Daremos una prueba usando solamente resultados acerca de los Reales y de las sucesiones de Cauchy. Necesitaremos algunos resultados previos que nos mostrarán importantes propiedades adicionales de los números reales.

Proposición 7.5.1. Si (a_n) es una sucesión de números reales que es creciente (a_n ≤ a_n+1) y acotada superiormente, entonces (a_n) es convergente. Resultado análogo para una sucesión decreciente y acotada inferiormente.

Demostración. Sea S el conjunto de términos de la sucesión, o sea S = {a_n : n ∈ N}. Como S es no vacío y acotado superiormente, tiene un supremo, digamos, a. Probaremos que a es un límite de la sucesión. Supongamos dado ε > 0, entonces a − ε no es una cota superior de S, por lo que hay un n₀ tal que a_n0 > a − ε. Luego, para todo m ≥ n₀ se cumple que a_m > a − ε, de donde |a − a_m| = a − a_m < ε, lo que implica que lím_n a_n = a. El resto de la proposición queda al cuidado del lector o lectora.

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El siguiente lema nos ayudará en nuestro trabajo posterior.

Lema 7.5.2. Cualquier sucesión real (a_n) tiene una subsucesión que es o creciente o decreciente.

Demostración. (Spivak) Llamemos “punto cumbre” de la sucesión a un n tal que m > n implica a_m < a_n.
Caso 1. La sucesión tiene infinitos puntos cumbres. Digamos n₀ < n₁ < n₂ < Entonces la subsucesión a_n0 > a_n1 > a_n2 > ... es una sucesión decreciente.
Caso 2. La sucesión tiene una cantidad finita de puntos cumbres. Sea n₀ un natural mayor que todos los puntos cumbres. Como n₀ no es punto cumbre, hay un n₁ > n₀ tal que an₁ ≥ an₀ . Como n₁ no es punto cumbre, hay un n₂ > n₁ tal que an₂ ≥ an₁. Continuando de esta manera (formalmente, por inducción) obtenemos una subsucesión (ani) que es creciente.

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Corolario 7.5.3 (Bolzano–Weierstrass). Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

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Teorema 7.5.4 (Completitud de Cantor). Toda sucesión de Cauchy es convergente. Es decir que R es un espacio métrico completo.

Demostración. Las sucesiones de Cauchy son acotadas (proposición 7.4.4) Por la propiedad de Bolzano–Weierstrass (corolario anterior) tiene entonces una subsucesión convergente. Pero, cuando una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, la sucesión es convergente (ver la proposición 7.4.5).

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Espacios de Sucesiones

Introduciremos dos espacios normados y, por lo tanto, métricos basados en sucesiones reales especiales. El primero de esos espacios consistirá de los sucesiones acotadas con norma definida por

||(x_n)||_sup := sup{x_n : n ∈ N}.

Tal espacio es un caso particular del espacio de funciones acotadas introducido en la sección 3.4.

El espacio ℓ₂: espacio de Hilbert

Definiremos otro espacio de sucesiones reales, denotado por ℓ₂ y formado por todas las sucesiones reales (x_n) tales que

$\sum _{n}x_{n}^{2}<+\infty .$

Se verifica fácilmente que la suma de sucesiones y multiplicación por un real de sucesiones en ℓ₂ son también sucesiones de ese espacio, lo que dice que ℓ₂ tiene una estructura de espacio vectorial. Se define una norma en ℓ₂, por

$||(x_{n})||_{\ell _{2}}:={\sqrt {\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}^{2}}}.$

Ejemplo 7.6.1. Sea e_i, la sucesión cuyos términos son todos nulos, excepto el i–ésimo que es igual a 1. Entonces,

• $||e_{i}||_{\text{sup}}=1$ y $d_{\text{sup}}(e_{i},e_{j})=1$, cuando i ≠ j.
• $||e_{i}||_{\ell _{2}}=1$ y $d_{\ell _{2}}(e_{i},e_{j})={\sqrt {2}}$, cuando i ≠ j.

Se puede verificar que ℓ₂ con la distancia inducida por la norma definida arriba es un espacio métrico completo (ver Kolmogorov & Fomin [4]), o sea que es un espacio de Banach.

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Ejercicio 7.6

1. ¿Cuándo un espacio métrico no es completo? Dar un ejemplo de un espacio métrico que no sea completo.
2. Suponer que R es un espacio completo. Probar que R² es completo. Generalizar a Rⁿ.
3. Probar que un espacio métrico E es completo, ssi, cada sucesión decreciente de bolas cerradas cuyos radios tienden a cero tiene intersección no vacía.

Completación de un Espacio Métrico

Suponer que tenemos un espacio métrico X que no es completo. Las sucesiones de Cauchy son sucesiones que “casi” convergen; si no convergen es porque el límite no se halla en el espacio métrico X. Si X es un subconjunto de un espacio métrico E entonces, la clausura de X es un candidato para un espacio métrico cerrado que contiene a X. Sea Cl(X) dicha clausura, entonces se cumple que X es un subconjunto denso en Cl(X).

La siguiente proposición esteblece que para cada espacio métrico (sea o no subespacio de otro), podemos hallar un espacio métrico completo que contiene una imagen isométrica de X (que identificaremos con X).

Proposición 7.7.1. Sea X un espacio métrico. Hay un espacio métrico completo Cl(X) y hay una isometría ϕ : X → X^* tal que ϕ(X) es denso en bX . Identificando X con su imagen, podemos decir que cada espacio metrico está contenido en un espacio métrico completo.

Indicaremos, a continuación, los pasos de una construcción de bX a partir de X. Las demostraciones de las afirmaciones acerca de los pasos o detalles quedan como ejercicios.

Procedimiento para la construcción de la completación de un espacio métrico.

Sea X un espacio métrico, posiblemente incompleto.

1. Formar un conjunto con todas las sucesiones de Cauchy en X al que denotaremos por SCy(X).
2. Definir una relación ∼ entre las sucesiones de Cauchy, por (x_n) ∼ (y_n) ⇐⇒ lím_n d(x_n, y_n) = 0. La relación así definida es de equivalencia.
3. Simbolizar por X^* al conjunto cociente SCy(X)/ ∼, es decir al conjunto formado por las clases de equivalencia de la relación anterior, Simbolizar por [x_n] a la clase de equivalencia de la sucesión (x_n).
4. Definir una distancia d^*([x_n], [y_n]) = lím_n d(x_n, y_n). Probar que la sucesión (d(x_n,y_n))esuna sucesión de Cauchy.
5. <X^*, d^*> es un espacio métrico completo que contiene un subconjunto identificable con X (las sucesiones constantes) y tal que la clausura de X es X^*. Tal construcción es total análogo a una de la construcciones de los Reales a partir de los Racionales. Ver por ejemplo Fundamentos del Análisis en el sitio [1].

Ejercicios del Capítulo 7

1. Para cada uno de los siguientes enunciados decidir si son válidos o falsos. En caso de válidos dar una demostración, en caso contrario producir un contraejemplo.
   1. Cuando una sucesión converge, cualquier subsucesión converge al mismo límite.
   2. Cuando una sucesión tiene dos subsucesiones que convergen a límites diferentes la sucesión no tiene límite.
   3. Cuando una sucesión tiene dos subsucesiones convergentes es convergente.
   4. Cada sucesión tiene una subsucesión acotada.
2. Sea (x_n) una sucesión acotada. Entonces, para todo número real a, (x_n−a) y (ax_n) son sucesiones acotadas.
3. Sea (x_n) una sucesión de números reales. Decimos que diverge a infinito, x_n → +∞, ssí, para todo número real positivo a, el intervalo ]a,+∞[ contiene a casi todos los elementos de la sucesión (es decir todos, excepto por una cantidad finita). Enunciar y probar teoremas con respecto a esta noción,
4. Sea E un espacio métrico y E′ un subespacio de E. Probar que cada sucesión convergente en E′ es convergente en E al mismo límite. Dar un ejemplo de una sucesión convergente en un espacio, pero que no es convergente en un subespacio.
5. Probar que d_e(x,y) := |e^x - e^y| es una métrica en R y que respecto a esta métrica R ni es completo. ðescribir la completación de este espacio.