Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Espacios Normados

En este capítulo presentamos varios ejemplos de espacios provistos de una noción de distancia. Uno de los ejemplos más importantes es toda una familia de espacios que nos acompañará a lo largo de este texto: los espacios Euclídeos n--dimensionales, $\mathbb {R} ^{n}$. Además de la métrica o distancia euclídea tradicional, veremos que hay otras posibles distancias en esos conjunto.

Usaremos la noción de norma (generalización del valor absoluto de los Reales) para definir la noción abstracta de espacios normados, que incluirán como ejemplos a los $\mathbb {R} ^{n}$, y a algunos espacios de funciones. La distancia en esos espacios está definida en total analogía a la distancia en los Reales a partir del valor absoluto.

Nuestro principal interés reside en los espacios vectoriales $\Rn$ con la norma euclídea, pero también exploraremos otros espacios, especialmente algunos espacios de funciones.

Los Espacios Rⁿ

Los espacios Rⁿ aparecen inicialmente en los cursos de Cálculo Vectorial (o de varias variables) y en los cursos de Álgebra Lineal.

El conjunto Rⁿ está formado por todas las n--uplas ordenadas de números reales, a las que, usualmente representaremos como (x₁,x₂, ... , x_n), o simplemente por (x_i), o $(x_{i})_{1\leq i\leq n}$ cuando necesitemos especificar el valor de n.

Cuando x = (x_i), los números que aparecen en la n--upla se llaman las coordenadas de x, recibiendo los nombres de primera, segunda, ... , i--ésima, ... , n--ésima coordenada para x₁, x₂, ... , x_i, ... , x_n respectivamente.

El caso más simple es R¹, que identificaremos con los Reales. Por su parte, R² se puede identificar con el plano cartesiano usual; etc.

La regla de oro en el trabajo con los espacios Rⁿ es considerar el caso n = 2. Si uno entiende lo que pasa en ese caso, resultará, a menudo, fácil de entender el caso general.

Ilustración de un vector del plano

Vector de R²

Observemos, de partida, que las n--uplas presentan una doble personalidad: puntos y vectores. Consideremos el caso de R²; allí un par ordenado representa,

por una parte, a un punto del plano y, por la otra, a la punta de una flecha que comienza en el origen, en cuyo caso hablamos de vector. Los vectores a diferencias de los puntos tiene largos asociados (el largo de la flecha). Normalmente, hablamos de puntos cuando se trata de nociones geométricas, mientras que hablamos de vectores para consideraciones algebraicas. En consecuencia, en este texto la mayoría del tiempo hablaremos de puntos.

La Estructura de Espacio Vectorial

Podemos proveer a los conjuntos Rⁿ con dos operaciones algebraicas: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar (en este contexto, se llama escalares a los números reales). Las operaciones se definen como operaiones en las coordenadas.

Recordemos que cuando x=(x_i), y=(y_i) son vectores de Rⁿ, decimos que x=y, cuando se cumple que x_i=y_i, para todo i=1, ... , n.

Sean x=(x_i), y=(y_i) dos vectores de Rⁿ, a un escalar.

${\begin{array}{rcl}x+y&\ :=\ &(x_{i}+y_{i})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,x_{n}+y_{n})\\ax&\ :=\ &(ax_{i})=(ax_{1},ax_{2},...,ax_{n}).\end{array}}$

Ejemplo 3.1.1. En R³ tenemos que:

• (3,-2,0,1) + (4,3,-2,5) = (7,1,-2,6).
• 4(3,-2,0,1) = (12,-8,0,4).

Propiedades Básicas de la Suma. La suma es asociativa, conmutativa, tiene neutro al vector nulo o cero u origen (el vector cuyas coordenadas son todas cero), y para cada vector x = (x_i) hay un opuesto aditivo, -x=(-x_i) tal que x + (-x) =0.

Propiedades básicas de la multiplicación por escalar. Sean x, y vectores, a y b escalares. Se cumple que:

1. (a+b)x = ax +bx.
2. (ab)x = a(bx)
3. 1x = x.
4. a(x+y) = ax + ay.

Las propiedades son fáciles de recordar y de aplicar, ya que semejan a las propiedades usuales de la suma y la multiplicación. En los ejercicios, al final de la sección, se pide probar formalmente dichas propiedades. Para ilustrar como proceder, probaremos la asociatividad de la suma de vectores.

Para todo x=(x_i), y=(y_i) y z=(z_i) se cumple que (x + y) + z = x + (y + z).

Demostración. (Idea: Evaluar ambos lados y comparar) ${\begin{array}{rcl}(x+y)+z&=((x_{i})+(y_{i}))+(z_{i})=(x_{i}+y_{i})+(z_{i})=((x_{i}+y_{i})+z_{i})\\x+y)+z&=(x_{i})+((y_{i})+(z_{i}))=(x_{i})+(y_{i}+z_{i})=(x_{i}+(y_{i}+z_{i})).\end{array}}$

Por la asociatividad de la suma de los números reales, los dos vectores al final de las líneas son iguales—ya que tienen iguales coordenadas, lo que prueba que los vectores al comienzo de las líneas son iguales. Lo que concluye la prueba de la asociatividad de la suma

---

Las propiedades indicadas de suma y multiplicación en Rⁿ se abstraen en la siguiente definición.

Definición. (Espacio Vectoriales) Llamamos espacio vectorial a un trio $\scriptstyle <E,+,\cdot >$ donde E es un conjunto, + es una suma en E, y $\cdot$ es una multiplicación por escalares, tales que satisfacen las propiedades básicas de la suma y de la multiplicación por escalar dadas más arriba.

• Los espacios Rⁿ con las operaciones definidas arriba son espacios vectoriales.
• Sea $\scriptstyle M_{m\times n}(\mathbb {R} )$ el conjunto de todas las matrices de tamaño m x n con entradas números reales. La suma de matrices junto con la multiplicación por constante (escalar) proveen a dicho conjunto con una estructura de espacio vectorial. Poniendo las filas una tras otra, vemos que podemos considerar a $\scriptstyle M_{m\times n}(\mathbb {R} )$ como $\scriptstyle \mathbb {R} ^{mn}.$ Cuando m = n (matrices cuadradas) hay definida, además, una multiplicación que es distributiva respecto a la suma; por lo que hablamos de una álgebra de las matrices. (álgebra = espacio vectorial + multiplicación distributiva)

El Álgebra Lineal es el área de las matemáticas que estudia a los espacios vectoriales. En este texto, necesitaremos solamente algunas propiedades elementales que recordaremos oportunamente, aunque es recomendable tener un texto de Álgebra Lineal a mano, para consultas.

Definición. (Subespacio vectorial) Sea E un espacio vectorial. Un subconjunto no vacío H de E determina un subespacio de E cuando con las operaciones restringidas a H tiene una estructura de espacio vectorial. Tal evento pasa cuando H es cerrado respecto a la suma (suma de vectores en H están en H) y a los múltiplos por escalares ( producto de cualquier escalar por elementos de H) están en H. Notación: H < E.

Ejemplo 3.1.2. Sea E = R³ y H = {(x₁,x₂,x₃) : x₃ = 2x₁ + 3x₂ }. Probar que H es un subespacio vectorial de R³.

Resolución. El subconjunto H no es vacío porque (0,0,0) es claramente un elemento de H. Sean x = (x₁,x₂,x₃) y y=(y₁,y₂,y₃) elementos de H, o sea que x₃ =2x₁+3x₂, y y₃=2y₁+3y₂. Entonces, x + y = (x₁ +y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃) y x₃ + y₃ = 2x₁+3x₂ + 2y₁+3y₂ = 2(x₁+y₁) + 3(x₂+y₁), lo que prueba que x + y está en H. Análogamente, como ax₃ = a(2x₁+3x₂) = 2(ax₁)+3(ax₂), tenemos que ax está en H. Conclusión: H < R³.

---

Ejemplo Trabajaremos en R³. Sean e₁ := (1,0,0), e₂:=(0,1,0) y e₃:=(0,0,1). Sea x=(x₁,x₂,x₃) un vector cualquiera de R³, entonces,

${\begin{array}{rcl}x\ &=&\ (x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},0,0)+(0,x_{2},0)+(0,0,x_{3})\\&=&\ x_{1}(1,0,0)+x_{2}(0,1,0)+x_{3}(0,0,1)\\&=&\ x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}.\end{array}}$

El resultado del cómputo anterior se expresa diciendo que cualquier vector de R³ es una combinación lineal de e₁, e₂, e₃.

---

El ejemplo anterior se generaliza de la siguiente manera.

Combinaciones lineales, Bases. Sea E un espacio vectorial cualquiera. Sea {f₁, f₂, ... , f_k} una familia finita de vectores.

• Decimos que un vector x de E es una combinación lineal de los f_i's, cuando hay escalares a_i, con 1 ≤ i ≤ k, tales que: $x=\sum _{i=1}^{k}a_{k}f_{k}=a_{1}f_{1}+\dots +a_{k}f_{k}.$
• Decimos que la familia f₁, ... , f_k es una base del espacio E, ssi, cada vector del espacio puede representarse como una combinación lineal de los f_k's, de una única manera.

El ejemplo anterior muestra que {e₁, e₂, e₃} es una base de R³.

---

Resultados del Álgebra Lineal

• Cada espacio vectorial tiene una base.
• Dos bases de un mismo espacio tienen igual cantidad de elementos. Dicha cantidad se llama la dimensión del espacio.
• Los espacios Rⁿ tienen a los vectores e₁, ... , e_i, ... e_n como una base, donde e_i es un vector cuyas coordenadas son todas nulas, excepto la i--ésima que es 1. Luego, la dimensión de Rⁿ es n.
• Nuestro interés principal reside en los espacios vectoriales Rⁿ, que son el modelo de todos los espacios cuya dimensión es finita. Hay, sin embargo, espacios vectoriales que no tienen dimensión finita, por lo que decimos que tiene dimensión infinita. Más adelante encontraremos ejemplos de tales espacios.

---

Transformaciones Lineales. Una transformación lineal de un espacio vectorial E en un espacio vectorial F es una función L : E → F tal que

• (i) L(x + y) = L(x) + L(y)
• (ii) L(αx) = αL(x),

para todo x, y en E, y escalares α, β.

Cuando una transformación lineal es biyectiva como función, se verifica que su inversa es lineal. En tal situacíón, llamamos isomorfismo lineal a la transformación.

Resultados del Álgebra Lineal

• La imagen por una transformación lineal de un subespacio es un subespacio,
• La preimagen por una transformación lineal de un subespacio es un subespacio.
• La preimagen de {0} se llama el núcleo de la transformación. Notación: ker(L).
• La composición de transformaciones lineales es una transformación lineal .
• La imagen por un isomorfismo de la base de un espacio es una base de la imagen del espacio.
• Cualquier espacio de dimensión n es isomórfico a Rⁿ.

Teorema 3.1.1 (Teorema Fundamental del Álgebra Lineal). Sea L : E → F lineal. Entonces,

dim(ker(L)) + dim(L(E)) = dim(E).

---

Ejercicios 3.1.

1. Probar las propiedades básicas de la suma de vectores en Rⁿ
2. Probar las propiedades básicas de la multiplicación por escalar en Rⁿ.
3. Sea H = {(x,y) ∈ R² : y=x}. Probar que H es un subespacio de R².
4. Sea E un espacio vectorial cualquiera. Usar las propiedades básicas de espacio vectorial para probar los enunciados siguientes.
   1. Si x + x = x entonces x = 0 (vector nulo).
   2. Si a = 0 entonces ax = 0.
   3. Si ax = 0 entonces a = 0 o x = 0.
   4. Si x + y = 0 entonces y = -x.
   5. a(-x) = -ax.
5. Probar que los e_i's forman una base de Rⁿ.
6. Sean f₁ = (1, 1, 0), f₂ = (1, 0, 1) y f₃ = (0, 1, 1). Sea v = (−1, 6, 1). Hallar escalares t₁, t₂, t₃ tales que v = t₁f₁ + t₂f₂ + t₃f₃.
7. Probar que L : R²_{s,t} → R³ tal que L(s, t) = (3s−2t, 2s+t, 5s−t) es una transformación lineal.
8. La imagen de una combinación lineal por una transformación lineal es una combinación lineal.

Los Espacios Euclídeos

Los espacios euclídeos son las generalizaciones n–dimensionales del plano y Del espacio tridimensional de la Geometría Clásica. Las nociones principales son: norma, distancia y producto interior.

La Norma Euclídea

Usando el teorema de Pitágoras para computar largo

Consideremos el plano R² y un vector v = (a,b) del plano. Mirando a la figura, vemos que podemos computar el "largo" de la flecha usando el teorema clásico de Pitágoras. Así, obtendremos que

Largo(v) = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Inspirados en la relación anterior definiremos "largo" para vectores en Rⁿ.

Definición. (Norma de un Vector) Sea x=(x_i) un vector de Rⁿ. Llamamos norma de x o largo del vector x al número real denotado por $||x||$ y definido como

$||x||\ :=\ {\sqrt {x_{1}^{2}+...+x_{i}^{2}+...+x_{n}^{2}}}.$

Claramente, la definición es una generalización de lo que obtuvimos para R². Notemos, además, que si aplicamos la definición con n=1, o sea a los Reales, obtenemos que

$||a||\ =\ {\sqrt {a^{2}}}\ =\ |a|.$

Es decir que podemos considerar a la norma como una generalización del valor absoluto usual. Dicha consideración se ve reforzada por las siguientes propiedades, que se cumplen para todo vector x y escalar a:

Proposición 3.2.1. (Propiedades de la Norma)

N1. $||x||\ \geq \ 0$, para todo vector x.

N2. $||x||\ =\ 0$, ssi, x=0.

N3. $||ax||\ =\ |a|\,||x||$.

N4. $||x+y||\leq ||x||+||y||$.

Las propiedades siguen de forma inmediata de la definición. Por ejemplo para N3 tenemos que

${\begin{array}{rcl}||ax||\ &=&{\sqrt {(ax_{1})^{2}+(ax_{2})^{2}+...+(ax_{n})^{2}}}\\&=&{\sqrt {a^{2}x_{1}^{2}+a^{2}x_{2}^{2}+...+a^{2}x_{n}^{2}}}\\&=&{\sqrt {a^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2})}}\\&=&|a|\,{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}\\&=&|a|\,||x||.\end{array}}$

Para completar el parecido con el valor absoluto necesitamos que se cumpla la desigualdad en N4 $||x+y||\ \leq \ ||x||+||y||$, llamada desigualdad de Minkowski.

Verificaremos que esa desigualdad es válida. Una demostración usará la noción de producto interior que veremos en la próxima sección.

El Producto Interior

Introduciremos la noción de producto interior que nos ayudará a desarrollar una variedad de cosas interesantes.

Definición. (Producto Interior) Sea E un espacio vectorial. Un producto interior en E es una función $E\times E\rightarrow \mathbb {R}$ que envía el par (x,y) en el número real simbolizado por $<x|y>,$ que es bilineal, simétrica y positivamente definida. Es decir que

PI1. $<x+x'|y>\ =\ <x|y>+<x'|y>.$

PI2. $<ax|y>\ =\ a<x|y>.$

PI3. $<y|x>\ =\ <x|y>.$ (Simetría)

PI4. $<x|x>\ >\ 0$, cuando $x\neq 0.$ (Definición positiva)

Las condiciones PI1 y PI2 especifican la linealidad en el primer argumento; por la simetría se tiene la linealidad en la segunda variable; de donde lo bilineal.

Producto Interior Canónico

Es posible definir varios productos interiores para Rⁿ, sin embargo para nuestos propósitos bastará con aquel llamado producto interior canónico que definiremos a continuación. Además, en los cursos de Álgebra Lineal se prueba que todos los productos interiores son, en un cierto sentido, equivalentes a dicho producto interior.

$x\cdot y:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+...+x_{n}y_{n}.$

(Tradicionalmente, se usa $x\cdot y$ en vez de $<x|y>$ para el producto interior canónico, por lo que algunas veces se le llama también el "producto punto".)

Notemos inmediatamente que $x\cdot x=x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$ coincide con el cuadrado de la norma de x definida arriba.

Para probar la desigualdad de Minkowski, desarrollaremos algunos resultados previos.

3.2.2 (Cuadrado del Binomio). Sean x, y vectores de Rⁿ,

$||x+y||^{2}\ =\ ||x||^{2}+2x\cdot y+||y||^{2}.$

Demostración. ${\begin{array}{rcl}(x+y)y\cdot (x+y)&=&x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)\\&\ =\ &x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y\\&\ =\ &||x||^{2}+2x\cdot y+||y||^{2}.\end{array}}$

---

Corolario 3.2.3. El producto interior puede expresase en términos de los largos.

$x\cdot y={\frac {1}{2}}(||x+y||^{2}-||x||^{2}-||y||^{2}).$

Proposición 3.3.4 (Desigualdad de Cauchy—Schwarz). Sean x, y vectores de Rⁿ.

$|x\cdot y|\ \leq \ ||x||\,||y||.$

Demostración. Sea w = tx + y, t un número real. Usando el tenemos que $||tx+y||^{2}=t^{2}||x||^{2}+2t\,x\cdot y+||y||^{2}.$

Observemos que la expresión de la derecha se puede considerar como una expresión cuadrática en t. Como las normas nunca son negativas, tal expresión cuadrática nunca es negativa, lo que implica que su discriminante nunca es positivo, es decir que

$(2x\cdot y)-4||x||^{2}\,||y||^{2}\ \leq \ 0.$

de donde, $4(x\cdot y)^{2}\ \leq \ 4||x||^{2}\,||y||^{2}$.

Dividiendo por 4 y tomando raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad, obtenemos el resultado deseado.

---

Proposición 3.2.5 (Desigualdad de Minkowski). Sean x, y vectores de Rⁿ.

$||x+y||\ \leq \ ||x||+||y||.$

Demostración. ${\begin{array}{rclcl}||x+y||^{2}&\ =\ &||x||^{2}+2x\cdot y+||y||^{2}&&{\text{ anterior}}\\&\leq &||x||^{2}+2||x||\,||y||+||y||^{2}&&{\text{Cauchy--Schwarz}}\\&\ =\ &=(||x||+||y||)^{2}.\end{array}}$

Tomando raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos el resultado deseado.

---

Norma y Distancia Euclídea

Norma Euclídea. Llamamos norma euclídea de Rⁿ a la norma $||\cdot ||$ estudiada arriba, esto es

$||x||\ =\ {\sqrt {x\cdot x}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}.$

La distancia Euclídea en Rⁿ

Usando la norma euclídea, podemos definir "distancia"" entre puntos x, y en total analogía a la distancia en R , o sea como la norma de la diferencia entre x y y. Es decir que la distancia euclídea entre x y y será

$(x,y)\ =\ {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\dots +(x_{n}-y_{n})}}.$

$\spadesuit$ Geométricamente, la distancia de x a y es el largo de x-y, o sea el largo del segmento que une x con y.

Usando las propiedades de norma, se verifica que la definición anterior tiene formalmente las propiedades de la distancia en los Reales ( la demostración de lo anterior es totalmente análoga a la proposición 2.3.3, reemplazando valor absoluto por norma).

Propiedades de la Base Canónica.
Notemos que los vectores de la base canónica de Rⁿ, {e_1, e₂, ... , e_n}, satisfacen lo siguiente:

• cada e_i es un vector unitario, o sea $||e_{i}||\ =\ 1$.
• el producto interior entre dos vectores diferentes es 0.

Bases con esas propiedades se llaman bases ortonormales.

Algunos nociones de la Geometría Euclídea

Revisaremos brevemente algunas nociones de la Geometría Euclídea. Sea E = Rⁿ (se prueba que cualquier espacio vectorial de dimensión n es esencialmente (isomórfico) a Rⁿ).

Sea L : E → F una trasformación lineal. Sea b un elemento de F, se prueba en cursos de Álgebra Lineal que la ecuación L(x) = b tiene como conjunto solución, cuando hay al menos una solución x_p a un conjunto de la forma

x_p + ker(L).

La solución x_p es una solució particular y los elementos del núcleo son las soluciones de la ecuación homogénea asociada L(x) = 0. Tales conjuntos soluciones son llamados variedades (afines). Variedades. Una variedad lineal de dimensión r de E es un subconjunto V de la forma

a + H, donde H es un subespacio vectorial de E de dimensión r. Esto equivale a decir que hay una base {v₁, ... , v_r} de H, tal que que cada elemento x de V = a + H puede escribirse de la forma

$x=a+\alpha _{1}v_{1}+\dots +\alpha _{r}v_{r},$

para escalares únicos α₁, ... , α_r.

Cuando V = a + H decimos que H es la dirección de V y a es un punto por donde pasa la variedad.

Paralelismo, Dos variedades son paralelas cuando la dirección de una está contenida en la otra.

Variedades especiales. Una variedad de dimensión 1 (resp.2) se llama línea (resp. plano).
Sea L una línea, digamos que L = {x ∈ E : x = a + αv, v ≠ 0,α en R }. Entonces, una línea M := {x ∈ E : x = b + βw,w ≠ 0} es paralela a L, ssi, w es un múltiplo escalar de v. Simbolizaremos a la línea L superior como L : a + αv.

Notemos que cuando b es un punto de L diferente de a, b = a + αv, para algún vector no nulo v. Entonces, b−a = αv, lo que nos dice que la línea L′ : a+β(b−a) es paralela a L y pasa por a, lo que implica que L = L′. Es decir que la única línea que pasa por a y b es L_a,b : a + α(b − a).

Notemos que z ∈ L_a,b ⇐⇒ z = a + t(b − a), para un cierto escalar t, o sea, ssi, z = (1 − t)a + tb.

Observemos que si ponemos x(t) = (1−t)a+tb podemos pensar la ecuación de definición de L_{a, b} como especificando la trayectoria de un móvil que está al tiempo t en x(t). Notemos que x(0) = a y x(1) = b. Por lo que a tiempos 0 < t < 1, x(t) está entre a y b. El segmento que une a con b es

{x ∈ E : x = (1 - t)a + tb, 0 ≤ t ≤ 1. }

Perpendicularidad.
Decimos que dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Dos variedades son ortogonales, cuando cada vector de la dirección de una es perpendicular a un vector de la dirección de la otra.

Por ejemplo, los vectores de la base canónica de Rⁿ son mutuamente ortogonales

Ángulo entre vectores
Sigue de la desigualdad de Cauchy, ver 3.2.2. que

−||x|| ||y|| ≤ x · y ≤ ||x|| ||y||.

De donde, cuando x y y no son nulos se tiene que

−1 ≤ x · y ||x|| ||y|| ≤ 1.

Luego, podemos definir el ángulo entre el vector x y el vector y como

$\angle (x,y):=\arccos({\frac {x\cdot y}{||x||\ ||y||}})$

Finalmente, revisemoos un resultado clásico.

Proposición 3.2.6 (Teorema de Pítágoras). Sean A, B y C los vértices de un triángulo tal que los lados B-A y C-B son ortogonales. Entonces,

$||C-A||^{2}=||B-A||^{2}+||C-B||^{2}.$

Demostración. Aplicando el teorema del binomio, tenemos que ${\begin{array}{rcl}||C-A||^{2}&=&||(C-B)+(B-A)||^{2}\\&=&||C-B||^{2}-2(C-B)\cdot (B-A)+||B-A||^{2}\\&=&||C-B||^{2}-2(C-B)\cdot (B-A)+||B-A||^{2}.\end{array}}$

---

Ejercicios 3.2

1. Hallar la distancia (en R³ del punto (1, 1, 1) a (3, 4, 5).
2. Mostrar que si y = tx, t escalar no nulo (o sea geométricamente, ambos son vectores en una línea que pasa por el origen), entonces ||x+y|| = ||x||+||y||. ¿Es válido el recíproco?
3. Probar que | ||a|| − ||b|| ≤ | ≤ ||a − b||.
4. Probar, usando cuadrado del binomio, que en Rⁿ se cumple que
   1. $2||x||^{2}+2||y||^{2}\ =\ ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}$ (Ley del Paralelogramo)
   2. $||x+y||\,||x-y||\ \leq \ ||x||^{2}+||y|^{2}$.
   3. $x\cdot y\ =\ {\frac {1}{4}}(||x+y||^{2}-||x-y||^{2}.$
5. Sea d la distancia euclídea de Rⁿ. Probar las siguiente afirmaciones usando solamente las propiedades de la norma euclídea. Para todo x, y y z.
   

   (D1) d(x, y) ≥ 0.

   (D2) d(x, y) = 0, ssi, x = y.

   (D3) d(y, x) = d(y, x).

   (D4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Desigualdad Triangular.

6. Sean $(x_{i}),(y_{i}),1\leq i\leq n$ sucesiones finitas de números
   1. $\sum _{i}(x_{i}+y_{i})^{2}=\sum _{i}x_{i}^{2}+2\sum _{i}x_{i}y_{i}+\sum y_{i}^{2}$.
   2. $|\sum _{i}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$.
   3. ${\sqrt {\sum _{i}(x_{i}+y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$.
      (Sug: Después de lo hecho en esta sección, los resultados deben ser fáciles de probar.)

Los Espacios Normados

Generalizaremos la noción de norma vista para Rⁿ, usando como base las propiedades de la prroposición 3.2.1

Definición. (Espacio Normado) Llamamos espacio normado a un espacio vectorial E provisto de una función $x\mapsto ||x||$ de E en los Reales, tal que para todo x, y vectores, a escalar, se cumple que

N1. $||x||\ \geq \ 0.$

N2. $||x||\ =\ 0$, ssi, x=0.

N3. $||ax||\ =\ |a|\,||x||$.

N4. $||x+y||\ \leq \ ||x||+||y||$.

Asociamos con cada norma, una distancia $d(x,y):=||x-y||$.

Proposición 3.3.1. Sea E un espacio normado. La distancia $d(x,y)=||x-y||$ tiene las siguientes propiedades, para todo x, y se cumple que:

D1. $d(x,y)\ \geq \ 0$.

D2. $d(a,b)\ =\ 0$, ssi, a=b.

D3. $d(b,a)\ =\ d(a,b)$. (Simetría)

D4: $d(a,b)\ \leq \ d(a,c)+d(c,b)$. (Desigualdad Triangular)

Demostración. Ejercicio.

---

El ejemplo básico de espacio normado es Rⁿ con la norma euclídea. Sin embargo, como veremos más adelante hay otros espacios normados. A continuación, veremos otras normas posibles para Rⁿ.

Es posible que, por nuestra experiencia con la geometría elemental, nos parezca que la norma y la distancia euclídea son la manera más natural de definir esas nociones. Sin embargo, como veremos en esta sección, es posible definir otras normas y distancias asociadas con ellas, que son diferentes del caso euclídeo, pero que son útiles en algunas consideraciones.

La Norma--ciudad

La norma (no euclídea) ciudad o del taxi.

Consideremos la situación ilustrada en la figura lateral, que Consideraremos como la representación del plano de una ciudad. ¿Cuál es la distancia entre el punto A y el punto B? Computando la distancia euclídea obtenemos una posible respuesta, que es correcta desde el punto de vista de la geometría euclídea; pero, si preguntáramos cuántos bloques debo caminar para ir de A hasta B, la distancia euclídea no sería la respuesta correcta. Una mejor respuesta consistiría en sumar la cantidad de bloques caminando (en la dirección horizontal del mapa) más la cantidad de bloques caminando verticalmente. Es decir,

$|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|.$

Inspirados en estas consideraciones, definiremos una nueva norma en Rⁿ, a la que nos referiremos como norma--ciudad.

$||x||_{c}:=\sum _{i}|x_{i}|=|x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|$

Es fácil probar que se cumplen las propiedades N-1 a N-4 de normas. La desigualdad de Minkowski proviene de la desigualdad triangular del valor absoluto. Asociada con esa norma, tendremos una distancia

$d_{c}(x,y):=||x-y||_{c}=\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|+...+|x_{n}-y_{n}|.$

La Norma--maxima

Pensemos en un rectángulo y los vértices de una de sus diagonales. La distancia euclídea es el largo de esa diagonal. La distancia--ciudad (d_c) es la suma del largo más el ancho. Ahora introduciremos una distancia a la que solamente le interesa cuál es es el lado más largo. Comenzamos con la definición de una norma, para luego pasar a la distancia asociada.

Sean x, y vectores de Rⁿ.

$||x||_{\text{max}}:={\text{max}}\{|x_{i}|:1\leq i\leq n\}.$

Nuevamente, tenemos que se cumplen trivialmente las propiedades N-1 a N-3 de normas. Para N4, tenemos que

$|x_{i}+y_{i}|\leq |x_{i}|+|y_{i}|\leq ||x||_{\text{max}}+||y||_{\text{max}};$

de donde obtenemos que

$\max\{|x_{i}+y_{i}|\ :\ 1\leq i\leq n\}\leq \ ||x||_{\text{max}}+||y||_{\text{max}}.$

Como consecuencia, tenemos también una distancia (máxima)

$d_{\text{max}}(x,y)\ :=\ {\text{max}}\{|x_{i}-y_{i}|:1\leq i\leq n\}$

Notación. En este contexto, cuando estemos considerando varias normas o distancias en Rⁿ, denotaremos por ||*||_e a la norma euclídea definida anteriormente, d_e será la correspondiente distancia.

Ejemplo 3.1.3. Sean x = (1,2,3), y = (3,-2,4). Entonces,

• $\scriptstyle d_{e}(x,y)={\sqrt {(1-3)^{2}+(2-(-2))^{2}+(3-4)^{1}}}={\sqrt {21}}$.
• $\scriptstyle d_{c}(x,y)=|1-3|+|2-(-2)|+|3-4|=8$.
• $\scriptstyle d_{\text{max}}(x,y)=\max {|1-3|,|2-(-2)|,|3-4|}=4$.

---

Ejercicios 3.3

1. Sean x₁, x₂, ... , x_n, y₁, y₂, ... , y_n, z₁, z₂ , ... ,. z_n sucesiones finitas de números reales. Probar que
   1. $|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$.
   2. ${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$
2. Sea E = Rⁿ. Probar que para todo x en Rⁿ se cumple que:

   a) ||x||_max ≤ ||x||_ciudad ≤ n||x||_max.

   b) ||x||_max ≤ ||x||_euclídea ≤ √n||x||_max.

3. (La distancia d_p) Se puede verificar que la siguiente definición provee a Rⁿ con una norma. Sea p un entero positivo, $||x||_{p}:={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}}}.$

   Verificar que cuando p=1 (resp. p=2) obtenemos la norma--ciudad (resp. norma euclídea) vista anteriormente. Los detalles (para la desigualdad de Minkowski) son eleborados, por lo que no los incluimos aquí. Ver Kolmogoroff [7].

Espacios de Funciones

El objetivo de esta sección es mostrar que además de los Rⁿ, hay otros espacios normados. En cursos de Cálculo y otros previos, considerábamos funciones desde un intervalo [a,b] en los Reales. Para tales funciones había definidas sumas, productos y multiplicación por constantes; tales operaciones aparecían en teoremas tales como "la derivada de la suma de dos funciones es igual a ... ",.

Generalizaremos esas consideraciones a funciones con valores reales, pero con un dominio cualquiera.

Sea X un conjunto no vacío. Simbolizaremos por F(X,R ) al conjunto formado por todas las funciones de X en R . Se definen operaciones de suma, multiplicación y multiplicación por constantes (números reales) punto a punto. Es decir tales que

${\begin{matrix}(f+g)(x):=f(x)+g(x)&&(fg)(x):=f(x)g(x)&&(af)(x):=af(x).\end{matrix}}$

F(X,R ) con las operaciones indicadas tiene una estructura de espacio vectorial con multiplicación (álgebra de funciones).

Una función f: X → R es acotada cuando hay un número M (cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| ≤ M. Las funciones constantes siempre son acotadas. Simbolizaremos por B(X,R ) el subconjunto de F(X,R) formada por las funciones acotadas. Sean f y g funciones acotadas con cotas M_f y M_g respectivamente. Entonces, para todo x en X se cumple que

• $|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq M_{f}+M_{g}$, lo que muestra que f+g es acotada.
• $|af(x)|=|a||f(x)|\leq aM_{f}$, lo que prueba que af es acotada.

Los resultados anteriores implican que B(X,R) es un espacio vectorial, subespacio de F(X,R).

Una propiedad fundamental de los Reales es que cada conjunto no vacío acotado superiormente tiene un supremo (= cota superior estricta o menor cota superior). Definiremos, para f en B(X,R),

$||f||:=\sup\{|f(x)|:x\in X\}.$

Proposición 3.4.1. La función $f\mapsto ||f||$ es una norma en B(X,R).

Demostración. Sean f y g funciones en B(X,R). (N1)Como tomamos supremos de un conjunto de números no negativos, dicho supremo nunca negativo, por lo que se cumple N-1, ||f|| ≥ 0.
(N2)Si ||f||= 0, quiere decir que todos los |f(x)| son nulos, es decir que f(x) \equiv 0. o sea que f=0. La otra mitad de N-2, es trivial.
(N3) |af(x)| = |a| |f(x)| ≤ |a| ||f(x)|| y |a| |f(x) = |af(x)| ≤ ||af|| implican que ||af|| = |a| ||f(x)||.
(N4) |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ ||f|| + ||g||, luego ||f+g|| ≤ ||f|| + ||g||.

---

Sucesiones. Una sucesión (de números reales) es una familia de números reales con conjunto de índices igual a los Naturales. Una sucesión es, por lo tanto, una función de N en R tal que tradicionalmente, escribimos $s_{n}$ en lugar de s(n). Luego, el conjunto de todas las sucesiones de números reales es F(N,R).

$(s_{n})=(s_{0},s_{1},...,s_{n},...).$

sigue de lo anterior que las sucesiones acotadas determinan un subespacio que es un espacio normado para la norma ||(s_n)|| := sup{|s_n|:n \in R}.

Se puede verificar qu el espacio de las sucesiones no tiene una base finita., por lo que es un espacio de dimensión infinita.

Ejercicios 3.4

1. Verificar que F(X,R ) es un espacio vectorial con una multiplicación distributiva con respecto a la suma.
2. Hallar la norma de las siguientes funciones en F([0,1],R ).
   1. $f(t)=t^{2}-t$
   2. $g(t)=\sin(2\pi t)$
   3. $h(t)=t-2t^{2}$.
3. Sea X = R, ¿cuáles de las siguientes funciones son acotadas sobre X? En caso afirmativo, ¿cuál es su norma?
   1. $f(t)={\dfrac {t}{1+t^{2}}}$.
   2. $f(t)=e^{t}.$
   3. $f(t)=\arctan(t).$
4. Hallar la norma de las siguientes sucesiones, cuando sean acotadas.
   1. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ....
   2. 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....
   3. 1, 2, 4, 8, 16, ....
   4. 0.9, 0.99, 0.999, ...

Los Números Complejos

Los números complejos son expresiones de la forma $a+bi$ donde $a$ y $b$ son reales, el número $i$ es tal que $i^{2}=-1$ (la unidad imaginaria). La correspondencia $a+bi\rightleftarrows (a,b)$ permite identificar al conjunto de los complejos, $\mathbb {C}$, con $\mathbb {R} ^{2}$, lo que será útil para muchas consideraciones acerca de los complejos.

Hay definidas operaciones de suma y multiplicación en $\mathbb {C}$ que lo proveen con una estructura de cuerpo; pero tal cuerpo no es ordenado, ya que hay cuadrados de complejos que son negativos.

Se define una valor absoluto en los complejos, también llamado \textit{módulo} en este contexto, por

$|a+bi|_{\mathbb {C} }:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Notemos que usando la identificación anteriormente mencionada, dicho valor absoluto coincide con la norma euclídea en $\mathbb {R} ^{2}$.

Hay toda una teoría de espacios vectoriales con escalares complejos cuyos prototipos de dimensión finita son los espacios $\mathbb {C} ^{n}$, $n$-uplas de números complejos. Dichos espacios pueden identificarse de manera natural con $\mathbb {R} ^{2n}$

$(a_{1}+b_{1}i,\dots ,a_{j}+b_{j}i,\dots ,a_{n}+b_{n}i)\rightleftarrows (a_{1},b_{1},\dots ,a_{j},b_{j},\dots ,a_{n},b_{n}).$

Cada número complejo $z=a+bi$, tiene asociado un conjugado, ${\overline {z}}=a-bi$.

Se cumple, para todo par de complejos $z$, $w$ que

a)\ ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},$

b)\ ${\overline {zw}}={\overline {z}}\,{\overline {w}},$

c)\ $z{\overline {z}}=|z|_{\mathbb {C} }.$

Notemos que cuando $z=a+bi$ es real, o sea cuando $b=0$, se cumple que $|z|_{\mathbb {C} }=|a|$, por lo que se puede eliminar el subíndice $\mathbb {C}$, sin problemas.

Hay un producto "interior" definido en $\mathbb {C} ^{n}$ llamado producto hermitiano,

$\langle {z|w}\rangle :=z_{1}{\overline {w_{1}}}+\dots +z_{n}{\overline {w_{n}}}$

cuyos valores son números complejos y tiene propiedades básicas análogas al producto interior de los espacios reales, excepto que

$\langle {w|z}\rangle ={\overline {\langle {z|w}\rangle }}.$

Cada $\mathbb {C} ^{n}$, $n\geq 1$, es un espacio normado con norma $||x||:=\langle {z|z}\rangle$. Cuando identificamos $\mathbb {C} ^{n}$ con $\mathbb {R} ^{2n}$ dicha norma coincide con la norma euclídea de $\mathbb {R} ^{2n}$.

Ejercicios del Capítulo 3

1. Sea E un espacio normado para todo a en E, sea τ_a la función de E en si mismo que envía x en a+x (traslación por a). Probar que τ_a preserva distancia entre puntos, $d(\tau _{a}(x),\tau _{a}(y)=d(x,y).$
2. Sea E=R². La línea que pasa por p y q es el conjunto de puntos x tales que x = p + t(p-q), t \in R . Esta es la trayectoria de un móvil que al tiempo t=0 está en p y que se mueve con velocidad dada por q-p. El punto x está entre p y q cuando 0 < t < 1.
   1. Probar que cuando x está entre p y q se cumple que d(p,q) = d(p,x) + d(x,q), para cualquier norma de R².
   2. Cuando la norma es euclídea, si x no está entre p y q, la desigualdad triangular con punto intermedio x es estricta, d(p,q) < d(p,x) + d(x,q). (Sug. Usar teorema de Pitágoras.)
   3. (Norma--ciudad) Sean A=(0,0) y B=(4,3). Probar que si C=(x,y) tal que 0 ≤ x ≤ 4 y 0 ≤ y ≤ 3, entonces d_c(A,B) = d_c(A,C) + d_c(C,B).
   4. (Norma--max) Sean A=(0,0) y B=(4,3). Hallar puntos C tales que $\scriptstyle d_{\max }(A,B)=d_{\max }(A,C)+d_{\max }(C,A).$. Verificar que (2,1) es uno de esos puntos.
   5. ¿Qué pasa si reemplazamos R² por Rⁿ o por un espacio normado cualquiera?

   
   

3. Probar la identidad de Lagrange

   $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\,=\,\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i})^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\sum _{1\leq i<j\leq \leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}.$

   
   (Sug: la prueba es puramente algebraica,tratar primero el caso n = 2.)

4. Sean a₁ ≥ a₂ ≥ ··· ≥ a_n y b₁ ≥ b₂ ≥ ··· ≥ b_n. Probar que

   $(\sum _{i=1}^{n}a_{n})(\sum _{i=1}^{n}b_{n})\ \leq \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$