Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Espacios Métricos

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Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos


Introducción[editar]

Un espacio métrico es básicamente un conjunto provisto con una (noción de) distancia, formalmente semejante a aquella de los espacios normados vistos en el capítulo anterior. Los espacios métricos son una abstracción de dichos espacios y de otras situaciones que irán apareciendo en este capítulo y los siguientes.

Daremos primeramente una definición abstracta de espacio métrico, para luego examinar algunas de sus propiedades básicas.

Las Definiciones Básicas[editar]

Definición. (Métrica, Distancia}) Una métrica o distancia en un conjunto E es una función d:E x E → R tal que para todo x, y, z en E se cumple que

D1 d(x,y) ≥ 0. (la distancia entre dos puntos nunca es negativa).
D2 d(x,y) = 0, ssi, x=y.
D3 d(x,y) = d(y,x). (simetría)
D4 d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,x). (desigualdad triangular)

Definición. (Espacio Métrico) Un espacio métrico es un par <E,d> donde E es un conjunto no vacío y d es una distancia (métrica) en E.


Cuando no haya riesgo de confusión sobre la distancia envuelta, podremos hablar simplemente del espacio métrico E, en vez de <E,d>.

Ejemplos de Espacios Métricos[editar]

  1. Los Reales, ℝ con la distancia definida a partir del valor absoluto, d(s,t) := |s -t| . Nos referiremos a este espacio como la línea real.
  2. Los diferentes espacios normados en Rn con la distancia asociada con la norma. Este ejemplo muestra la necesidad de, algunas veces, de usar el par <E,d>, ya que puede haber diferentes métricas en un mismo conjunto. (Convenio.) Cuando no especifiquemos la norma o distancia de Rn, siempre supondremos que se trata del espacio Euclídeo .</math>
  3. Los Complejos y los con la métrica deducida de su norma hermitania.
  4. En general, cualquier espacio normado tiene asociada una distancia que los hace un espacio métrico
  5. (Espacio Discreto) Cualquier conjunto no vacío admite trivialmente una métrica, definiendo para todo , Llamaremos espacio discreto a este espacio métrico. Los espacios discretos tienen importantes aplicaciones a pesar de su aparente carácter artificial. Algunas veces nos referiremos a este espacio como el espacio con la métrica 0--1. Notemos que esta métrica, en el caso de , no puede provenir de una norma, ya que tal norma no cumpliría la propiedad N3,

Subespacios.[editar]

Sea <E,d> un espacio métrico y sea X un subconjunto no vacío de E . Si restringimos la metrica a X obtenemos un espacio métrico <X, d'>, donde d' es la restricción de d a X x X. Diremos que ese espacio es un subespacio (métrico) de E .

  • Cada intervalo (abierto, cerrado, acotado o no acotado) de la línea real es un espacio métrico que es un subespacio de la línea real
  • Los Racionales, Q, determinan un subespacio de los Reales.

Notemos que estos ejemplos, aunque corresponden a subconjuntos de un espacio normado, no determinan un espacio normado. En ambos casos, la multiplicación de un escalar por un elemento del espacio puede acabar fuera del espacio.


En general, las propiedades métricas o topológicas de subespacios pueden ser bastante diferentes de aquellas del espacio total. Por ejemplo, un intervalo [a,b] de los Reales es un espacio métrico acotado, mientras que el conjunto de los reales no lo es.

Veamos, a continuación, una proposición simple, pero con una importante propiedad de las métricas. Proposición 4.2.1. Sean x, y, z, w en E, entonces

|d(x, y) − d(z,w)| ≤ d(x, z) + d(y,w).

Demostración.

Aplicando la desigualdad triangular, tenemos que
(1) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), y
(2) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w).
(1) y (2) ⇒ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w) (*)
(3) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w) ⇒ d(z,w) − d(z, y) ≤ d(y,w).
(4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z,w) ⇒ d(x, y) = d(z,w) ≤ d(x, z).
(3) y (4) ⇒ d(z,w) − d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y,w). (**)
De (*) y (**), concluimos que
−d(x, z) − d(y,w) ≤ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w).
Lo que implica el resultado.

Corolario 4.2.2. Sean x, y, z puntos de un espacio métrico E. Entonces, |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).
Demostración.
Ejercicio.


Isometrías[editar]

Definición. (Isometría) Sean <E,d> y <E',d'> espacios métricos. Llamamos isometría de E en E' a una función biyectiva f de E en E' que preserva la distancia entre puntos. Esto es, para todo x, y en E, se cumple que:

d'(f(x), f(y)) = d(x, y)
.


Ejemplo 4.2.1. Cuando d es una métrica en un espacio, k veces d es también una métrica. Ver ejercicio 2 al final de la sección.

Sean E = R2, d la métrica euclídea y d′ = 6d. La función f :< E, d′ > → < E, d > tal que f(x, y) = (6x, 6y) es una isometría.

d(f(x, y), f(u, v)) = d((6x, 6y), (6u, 6v)) = ||(6x − 6u, 6y − 6v)||
= 6||(x − u, y − v)|| = 6d((x, y), (u, v)) = d′((x, y), (u, v)).

Proposición 4.2.3. La composición de isometrías es una isometría. La inversa de una isometría es una isometría. Demostración.

Sean f : E → E′ y g : E′ → E′′ isometrías. Entonces, para

todo x, y en E se cumple que

d(g(f(x)), g(f(y))) = d(f(x), f(y)) ya que g es isometría
= d(x, y) ya que f es isometría
Lo que prueba que la composición de una isometría.
Sea h la función inversa de f, entonces
d(h(x′), h(y′)) = d′(f(h(x′)), f(h(y′)) = d′(x′, y′).
Lo que prueba que h es una isometría.


Observación 4.1. (♠) En Geometría se denomina grupo de transformaciones de un espacio X a un subconjunto no vacío G de biyecciones del conjunto que es cerrado respecto a la composición (la composición de dos funciones de G está en G) y cerrado respecto a tomar inversos (la inversa de una función de G está en G). La proposición anterior aplicada al conjunto de isometrías de un espacio métrico E en si mismo, Iso(E), muestra que forman un grupo de transformaciones de E. Cuando E = R2, dicho grupo es el grupo de las congruencias o grupo Euclídeo de la Geometría plana clásica.


Traslaciones en un Espacio Normado. Sean un espacio normado y un elemento de . Llamamos traslación por a, a la función de en si mismo que envía cada punto en <m>a+x</math>.

Proposición 4.2.4. Las traslaciones son isometrías en cualquier espacio normado.

    Demostración. Sea ta(x) = a + x, Entonces
    d(ta(x), ta(y)) = ||ta(x) − ta(y)|| = ||(a + x) − (a + y)||= ||x − y|| = d(x, y).

Ejercicios 4.2[editar]

  1. Sea <E,d> un espacio métrico. Sea d'(x,y) := kd(x,y) donde k es un número real positivo. Probar que d' es una métrica en E .
  2. Sea x1, x2, ..., xn una sucesión finita de puntos de un espacio métrico. Probar que
    d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) + ... + d(xn-1,xn).
  3. Probar que la inversa de una isometría es una isometría.
  4. (Geometría de R2) Probar que las funciones siguientes determinan isometrías del plano.
    1. f(x,y) = (x+3, y-5) .
    2. f(x,y) = (ax -by, ax+by) con a2 + b2 = 1 .
  5. (Transporte de Estructura) Sea < E, d > un espacio métrico y sea f : X → E una función biyectiva. Para todo x, y en X definir
    d′(x, y) := d(f(x), f(y)).

    ¿Es d′ una métrica en X? En caso afirmativo, ¿qué tendría de especial la función F?

  6. Sea h(x) = sen(x) + 2. La gráfica de g es el conjunto
    X = {(x, y) ∈ R2 : y = h(x)}.
    Fig04-05.jpg

    Sea f : X → R :: f(x, h(x)) = x. Probar que f es biyectiva. Definir una distancia en X, por d((x, h(x)), (y, h(y)) = |x − y|. ¿Es d una métrica en X?

  7. Una semejanza lineal del plano R2 de razón r es una transformación hr del plano en si mismo, tal que hr(x) = rx.
    1. Si r ≠ 0, hr es biyectiva.
    2. d(hr(x), hr(y)) = |r|d(x, y).
  8. Sea f : E → E′ una isometría.
    1. La imagen por f de una bola abierta (resp. cerrada) es una bola del mismo typo y de igual radio.
    2. La imagen de un conjunto de diámetro D tiene el mismo diámetro. La imagen de un conjunto acotado es acotado.
    3. ¿Qué otras çosas"son preservadas por las isometrías?

Las Funciones Continuas[editar]

Las funciones continuas entre espacios métricos (y, posteriormente, entre espacios topológicos) constituyen la familia más importante de funciones a considerar desde el punto de vista de la proximidad. Una función continua será una función que preserva la proximidad.

Los lectores deben haber encontrado esta noción en sus cursos de Cálculo, donde muchas veces es opacada por las nociones de funciones diferenciables o integrables. Se dice usualmente en los textos de Cálculo que una función de un subconjunto de los Reales en R, es continua en un número a, ssi, para todo ε > 0 hay un δ >0 tal que

|x-a| < δ ==> |f(x) - f(a)| < ε (*)

Digamos, en primer lugar que la notación ε---δ es tradicional, se trata de un par de números reales denominados de esa manera por uso y costumbre. Cualquier otro par de símbolos serviría igual.

Algunas veces la definición no aparece explícitamente de esa forma, sino que se dice que . La transcripción a símbolos de la expresión con límites, es precisamente la ecuación (*).

Lo que nos interesa aquí, es entender por qué esa ecuación representa una preservación de cercanía o proximidad de puntos. En primer lugar, y para conectarla con los espacios métricos, la escribiremos usando la noción de distancia en los Reales.

Tenemos entonces que f es continua en a, ssi, para todo ε >0 hay un δ >0 tal que

(**


Decimos de manera más o menos informal que la ecuación anterior establece que podemos hacer la distancia entre f(x) y f(a) tan pequeña como queramos (menor que ε ), siempre y cuando tomemos la distancia entre x y a lo suficientemente pequeña (menor que δ) .

La proximidad entre f(x) y f(a) está determinada por la distancia usada (espacio métrico) y por la elección de ε. La función será continua en el punto a, cuando no importa que ε escojamos, siempre podremos hallar un valor δ tal que tomando los valores de x adecuados (con distancia a a menor que δ) podremos lograr que d(f(x), f(a)) sea menor que ε;.


Ejemplo 4.3.1.
Mostraremos el significado operacional de la definición de continuidad indicada, probando que la función f : R → R tal que f(x) = 3x + 4 es continua en x = 5.

Resolución. Comenzaremos evaluando |f(x) − f(5)|.
|f(x) = f(5)| = |(3x + 4) − (3 ∗ 5 + 4)| = |3x − 3 ∗ 5| = 3|x − 5|.

La expresión a la derecha es la clave para la demostración, ya que nos dice que si queremos que |f(x) − f(5)| < ε, bastará con hacer 3|x − 5| < ε, lo qual se logra tomando |x − 5| < ε/3. De esta manera, podemos hallar el valor adecuado de δ, que en este caso será cualquier número menor o igual a ε/3. En efecto, cuando |x − 5| < δ se cumplirá que |f(x) = f(5)| = 3|x − 5| < 3δ = 3 ∗ ε/3 = ε. Como el valor de ǫ era arbitrario, concluimos que f es continua en 5.


Ejemplo 4.3.2.
Probaremos, para tener un ejemplo más elaborado, que la función f(t) = t2 es continua en 3.

Resolución. Nuevamente empezamos acotando |f(x) − f(3)|. Tenemos que

( 1


No podemos proceder, sin embargo, de una manera tan simple como en el ejemplo anterior, debido al factor |x + 3|. Como interesa que pasa cerca de 3, limitaremos los valores de x a que |x − 3| < 1(Cualquier otro valor positivo serviría), o sea que 2 < x < 4. Usando la última relación, concluimos que 5 < x + 3 < 7, De donde,

(2


Luego, si queremos que |f(x) − f(3)| < ε, bastará con que |x − 3| < ε/7, lo cual nos da una pista sobre el valor adecuado para δ, ε/7. Una vez obtenido lo anterior, procedemos a la demostración formal. Sea ǫ > 0 dado. Escojamos δ = mín{ε/7, 1} (debemos asegurarnos que el valor de δ sea menor que 1, en caso que ε/7 sea mayor que 1. Sigue entonces de la ecuación (2) que |f(x) - f(3)| < ε, lo que prueba la continuidad de f en 3.


Ejemplo 4.3.3. Veamos ahora una función discontinua. Sea f : R → R tal que f(x) = 1, cuando x > 0, y f(x) = 0, cuando x ≤ 0.

Veremos que f no puede ser continua en 0. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene números positivos, sea x0 uno de ellos, entonces f(x0)−f(0) = 1−0 = 1. Por lo que no importa que δ escojamos la distancia entre esas imágenes será igual a 1, por lo que no puede hacerse tan pequeña como queramos (por ejemplo 1/2).


En el último ejemplo, la gráfica de la función tiene un “salto” en 0. El salto mide 1. Cualquier salto impide, por las mismas razones del ejemplo, la continuidad de la función. Por eso, a veces, hay quienes dicen que una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin tener que levantar el lápiz del papel


Extenderemos la definición de función continua a una función entre espacios métricos.


Daremos, a continuación, una definición formal de continuidad para completar nuestra discusión.

Definición. (Continuidad) Sea f :< E, d > → < E′,d′ > una función.

  • (Local) f es continua en un punto p de E, ssi, para todo ǫ > 0, podemos hallar un δ > 0 tal que
    d(x, p) < δ ⇒ d′(f(x), f(p)).
  • (Global) f es continua en (el espacio) E, ssi, es continua en cada punto de E.

Siempre hay funciones continuas entre dos espacios métricos: las funciones constantes.

Proposición 4.3.1. Cada función constante de un espacio métrico en otro es continua en todo el espacio.

Demostración.

Sea f : E → E′ tal que para todo x en E, f(x) = b. Sea p un punto cualquiera de E. Como para todo x, se cumple que d(f(x), f(p)) = d′(b, b) = 0, vemos que para cualquier ε > 0, podemos usar cualquier δ > 0 y se tendrá que
d(x, p) < δ ⇒ d′(f(x), f(p)) = 0 < ε.


Proposición 4.3.2.
Las isometrías son funciones continuas en todo el dominio.
Demostración.

Sea f : E → E′ una isometría. Como d′(f(x), f(a)) = d(x, a), dado un ε > 0, basta tomar δ = ε para que se cumpla la definición de continuidad en a.


Dejaremos aquí, nuestra excursión a las funciones continuas, a las que dedicaremos un capítulo completo. (Cap 6. Continuidad.) Lo que más nos interesa de la definición, por ahora, es que nos servirá para motivar los conceptos de la próxima sección.


Ejercicios 4.3[editar]

  1. Probar que en R las funciones siguientes son biyectivas y continuas.
    1. f : t ↦ t + a.
    2. g : t ↦ at, a ≠ 0.
    3. h : t ↦ mt + n, m ≠ 0.
  2. Sea f : E → E′ continua en p y g : E′ → E′′ continua en f(p). Probar que la composición g ◦ f es continua en p.
  3. Sean a, b, c y d números reales tales que a < b y c < d. Probar que la función f : [a, b] → [c, d] tal que

    es biyectiva y continua.

  4. Sea f: E → E' una función continua. Sea A un subconjunto no vacío de E. Proanr que la restricción de f a A es continua.
  5. Sean E un espacio métrico y 1E la función identidad, 1E(x) = x; probar que se trata de una función continua.

Bolas Abiertas, Cerradas y Esferas[editar]

Comenzamos en esta sección el estudio de la topología de un espacios métrico. Como parte de la definición de continuidad aparecen x tales que d(x,a) < δ . Por lo que interesa estudiar conjuntos que tienen esa propiedad. Si pensamos geométricamente, tal conjunto será semejante al "interior" de una circunferencia (en un plano) con centro a y radio δ. Generalizaremos las nociones anteriores a espacios métricos cualesquiera.

Bolas y Esferas

Definición. (Bolas y Esferas) Sea E un espacio métrico, p un punto de E y r un número real positivo.

  • Llamamos bola abierta con centro p y radio r al subconjunto de E denotado por Br(p) (o B(p:r)) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es menor que r .


  • Llamamos bola cerrada con centro p y radio r al subconjunto de E denotado por Br[p](o B[p;r]) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es menor o igual que r .


  • Llamamos esfera de centro p y radio r al subconjunto de E denotado por Srr(p) (o S(p;r)) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es igual a r .



Claramente, Br[p] = Br(p) ∪ Sr(p).

    (☩) Intuitivamente, una bola abierta contiene a todos los puntos vecinos próximos a su centro. ¿Cuán próximos?... depende del valor del radio. Cuando decimos que podemos escoger puntos "tan cerca como queramos" de un cierto punto, estamos hablando de los puntos de un bola abierta con centro en el punto y con un radio tan pequeño como queramos.

Observación 4.2. La terminología no es estándar. Algunos autores usan esferas en lugar de bolas. En situaciones planas, se usa también discos (abiertos y cerrados). Nosostros hablaremos, también, de la r–vecindad de un punto p, para referirnos a la bola de radio r y centro p.


Ejemplos 4.4.1.

  1. En el espacio euclídeo R2, las bolas abiertas son los interiores de los círculos con igual centro y radio. Por su parte, las bolas cerradas corresponden al círculo anterior, pero agregando la circunferencia correspondiente, que es la correspondiente esfera. En la geometría plana hablamos de círculo y circunferencia en vez de bola cerrada y esfera (que son más propios de espacios tridimensionales).
  2. En la línea real, la bola abierta Br(a) coincide con el intervalo abierto ]a-r,a+r[. Mientras que la bola cerrada de igual centro y radios es el intervalo cerrado [a-r,a+r]. La esfera Sr(a) es igual al conjunto {a-r, a+r}.


Ejemplo 4.4.2 (Propiedad de Hausdorff) .

Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Probar que hay bolas abiertas B1 y B2 que contienen a x y a y respectivamente y que son disjuntas entre si.

Resolución. Un dibujo puede inspirarnos en la solución.

Propiedad de Hausdorff
Figura 4.2.

Vemos que parece que tomando como r=d(x,y)/3, las bolas de radio r y centros en x y y serán disjuntas.

    Demostración. Como x ≠ y , d(x,y) es un número positivo, por lo que r= d(x,y)/3 también es un número positivo. Sean B1=Br(x) y B2=Br(y). Claramente, x ∈ B1 , y ∈ B2. Falta, tan solo, probar que dichas bolas son disjuntas. Supongamos que no y sea z un punto común a ambas bolas. Entonces,

    3r =d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) < r + r = 2r.

    Como es imposible que 3r < 2r , hemos obtenido una contradicción. Luego, nuestras bolas deben ser disjuntas.


El último ejemplo muestra que buenos dibujos pueden ayudarnos a comprender la situación o a inspirarnos en las demostraciones. Sin embargo, solamente una demostración es la única garantía de que andamos pisando terreno firme.

Ejemplo 4.4.3.

Supongamos que X es un espacio discreto (métrica 0--1). ¿Cómo son las bolas abiertas o cerradas en X? La siguiente tabla muestra algunos resultados.


Bolas y Esferas en Subespacios[editar]

Usualmente, las "formas" más extrañas de bolas y esferas aparecen en los subespacios, aunque esperamos que el lector o lectora descubra que sus dibujos intuitivos son suficientemente buenos para guiar en una demostración.

Sea E un espacio métrico y sea F un subespacio de E. Para precisión en la exposición, simbolizaremos por dE y dF a las distancias en E y F respectivamente, aunque si x,y están en F se cumple que dF(x,y) = dE(x,y), por definición de subespacio. Análogamente, simbolizaremos por BE(p;r) y BF(p;r) a las bolas abiertas en E y F respectivamente.

Sea p un punto de F. Notemos que un punto x está en BF(p;r), ssi, x está en F y dF(p,r) < r, ssi, x está en F y dE(x,p)<r. Es decir que

BF(p;r) = BE(p;r) ∩ F.

El razonamiento es general, por lo que hemos probado que las bolas abiertas de F son la intersección de una bola abierta de E (con igual centro y radio) con el subespacio F. Análogamente, para bolas cerradas y esferas,

Ejemplo 4.4.4.

Sea E = [0,2[ = {x ∈ R: 0 ≤ x < 2}.

Notemos que en el espacio métrico E con la distancia inducida de la distancia usual en los Reales, tenemos que

  • B1(0) = [0,1) (bola abierta).
  • B1[1] = [0,2[ (bola cerrada)
  • S3(1) = ∅.

Ejemplo 4.4.5.

La métrica usada también afecta a las figuras, como se ilustra a continuación; donde podemos ver esferas de igual radio con igual centro, pero para diferentes métricas de R2.

Esferas de Igual Radio, pero diferente norma
Figura 4.3: Esferas.

Observación. El lenguaje de bolas y esferas proviene de la geometría de los espacios euclídeos usuales (Rn con la métrica euclídea). Tal préstamo puede ayudar a desarrollar nuestra intuición de situaciones más abstractas. Sin embargo, cabe advertir que la situación no es tan simple, como se pudo apreciar en el ejemplo 4.4.3 anterior. Situaciones semejantes se hallarán en la próxima sección y en la sección sobre espacios ultramétricos.

Moraleja: es conveniente visualizar las relaciones y propiedades en el modelo euclídeo; pero, es absolutamente necesario probar la validez general de dichas visualizaciones.

Los Espacios de Funciones[editar]

Sea E el espacio de funciones reales acotadas definidas en el intervalo [a,b], o sea el espacio normado B([a,b], R) definido en la sección el espacio normado de todas las funciones acotadas definidas sobre el intervalo [a,b]. Ver la sección 4 del capítulo 3. Basado en dicha norma, tenemos una distancia definida por


Dada una función f por su gráfica, ¿cómo se ve gráficamente una bola de radio r con centro en la función f?

Fig04-04.jpg
Figura 2.4: Bola abierta en un espacio de funciones.

Mirando a la figura vemos un dibujo de tal bola abierta. La linea continua es el centro de la bola y las líneas entrecortadas son la esfera. Una función está en la bola abierta, cuando su gráfica se ubique entre las dos líneas entrecortadas.

Ejercicios 4.4[editar]

  1. Sean r1, r2 números reales tales que 0 < r1< r2. Probar que la bola abierta (resp. cerrada) de radio r1 está contenida en la bola abierta (resp. cerrada) de radio r2.
  2. La distancia entre dos elementos de una misma bola abierta (resp. cerrada) de radio r es menor (resp. menor o igual) que 2r.
  3. Sea B = Br(a) . Probar que para todo punto p de B , hay una bola abierta con centro en p , totalmente contenida en B.
  4. Sean B1, B2 bolas abiertas con intersección no vacía. Probar que dicha intersección contiene a una bola abierta.
  5. Verificar las afirmaciones del ejemplo 4.4.3.

Productos de Espacios Métricos[editar]

Sean <Ei, di>, para i=1, ... , n, una familia de espacios métricos. Sea E el producto cartesiano de los Ei's. Los elementos de E son n-uplas (x1, ... , xi, ... , xn) con xi en Ei.

¿Podremos definir una estructura métrica en E relacionada con los factores?
La respuesta es afirmativa, y daremos dos posibles definiciones.

Definiciones de métricas productos.

(MP-1


(MP-2


Queda de ejercicio, verificar que tenemos métricas.

Ejercicios 4.5.[editar]

  1. Verificar que las funciones MP--1 y MP--2 definidas en el texto, efectivamente proveen métricas al espacio producto. Discutir la relación entre esas definiciones y las métricas ciudad y máxima de Rn. ¿Podría proveerse al espacio producto con una métrica análoga a la euclidiana?
  2. Suponer que E es un espacio métrico con métrica , que es la métrica discreta 0--1. Sea SE el conjunto formado por todas las sucesiones de elementos de E. Definir para dos sucesiones (xn), (yn),


    Verificar que es una métrica en SE. ¿Es d discreta?

Algunas Nociones Métricas[editar]

Veremos, en esta sección, diversas nociones asociadas a subconjuntos de un espacio métrico. (Esta sección hace uso de las nociones de supremo e ínfimo, para un repaso ver la sección correpondiente del Capítulo 2 (Números Reales)..

Diámetro de un Conjunto[editar]

Llamamos diámetro de un subconjunto A de un espacio métrico E al número real

δ(A) := sup{ d(x, y): x, y ∈ A}.

Cuando A no sea vacío y el supremo anterior no exista, diremos que el conjunto tiene un diámetro infinito (+∞).

(☩) El diámetro de un conjunto mide lo más "ancho" del conjunto.

Conjunto Acotado. Decimos que un subconjunto A de un espacio métrico es acotado, cuando su diámetro es finito.

Ejemplo 4.6.1.

Hallar el diámetro de A= ]0,1].

Resolución. Intuitivamente ese diámetro (que aquí coincidirá con el largo intuitivo del intervalo) debe ser 1. Daremos, sin embargo, una demostración formal de ese resultado, para ilustrar como trabajamos con las definiciones. Notemos que cuando x, y son elementos de A, se tiene que

0 < x < y ≤ 1 implica que d(x,y)= |x-y| = y-x < 1-x. Considerando x=1/n, n > 1, vemos que d(x,y) = 1-1/n. Tales valores tienen supremo 1; lo que implica que el diámetro es 1.


Ejemplo 4.6.2.

Sea A igual la cinta {(x,y) ∈ R2: 1 < x ≤ 5}. Hallar el diámetro de A .

Resolución. Notemos que para todo número natural a = (3,0) y b=(3,n) son puntos de A y que . Como los naturales no son acotados superiormente, no hay un supremo finito para las distancias, luego tendremos que δ(A) = +∞ .


Lema 4.6.1. Sean A,B subconjuntos de un espacio métrico.
Cuando A es un subconjunto de B se cumple que δ(A) ≤ δ(B) .
Demostración.

Sean x, y puntos de A y, por lo tanto, de B . Luego, para todo x, y en A , d(x,y) ≤ δ(B) --ya que δ(B) es una cota superior de esos valores. De donde, sup{d(x,y): x,y ∈ A} ≤ δ(B) ---supremo es la menor cota superior.


Ejemplo 4.6.3.

Sean B = Br(a) y B'=Br[a]. Entonces, δ(B) ≤ δ(B') ≤ 2r.

Resolución. Sean x , y en B', entonces

d(x,y) ≤ d(x,a)+d(a,y) ≤ r + r = 2r.

Luego, δ(B') ≤ 2r. La otra desigualdad sigue del lema anterior.


Notemos que, al pasar, hemos probado que bolas, ya sean abiertas o cerradas son conjuntos acotados.

Lema 4.6.2. Un conjunto no vacío es acotado, ssi, está contenido en una bola (ya sea abierta o cerrada) Demostración.

Supongamos que el conjunto X fuera acotado, digamos que su diámetro fuera igual a m. Entonces, cuando a es un punto de X , se tiene para todo x en X que d(x,a) ≤ m. Luego, X está contenido en Bm[a] &subset; B2m(a).
El recíproco sigue del lema anterior y de que las bolas son conjuntos acotados.


Distancia entre conjuntos[editar]

Llamamos distancia entre subconjuntos A y B de un espacio métrico al número

d(A,B) := inf {d(x,y) : x ∈ A, y ∈ B}.

Cuando A = {a} escribimos d(a,B) y hablamos de distancia del punto a al conjunto B.

Ejemplo 4.6.4.

Hallar la distancia euclídea del punto p=(1,1) a la línea L con ecuación cartesiana x+y=1.

Resolución. Sea s la distancia del punto p a un punto (x,y) de la línea L. Tenemos que

m2 = d((x,y), (1,1)))2= (x-1)2 + (y-1)2 = (x-1)2 + (1-x-1)2
= x2 - 2x + 1 + x2 = 2x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x + 1/4 + 1/2.
= 2(x - 1/2)2 + 1/2

Por lo que, m2 tiene como valor mínimo 1/2, luego la distancia buscada es .


Ejercicios 4.6[editar]

  1. Probar los siguientes enunciados.
    1. δ(A) = 0, ssi, A consiste de un único punto.
  2. Hallar el diámetro de los siguientes conjuntos de la línea real. Después de intuir el resultado dar una prueba formal.
    1. ]a,b[),
    2. [a,b],
    3. {números primos}.
  3. ¿Será cierto que δ(A ∩ B) ≤ δ(A) + δ B ? En caso afirmativo, dar una prueba. En caso negativo, dar un contraejemplo. Cuando puede que pase en algunas situaciones, indicar las condiciones con prueba.
  4. (Conjuntos Acotados) Probar lo siguiente:
    1. Un conjunto contenido en un conjunto acotado, es un conjunto acotado.
    2. La reunión de dos conjuntos acotados es un conjunto acotado.
  5. (Rn con la métrica euclídea)
    1. Sea B (resp. B' ) la bola abierta (resp. cerrada) con centro en a y radio r . Probar que cuando la distancia de un punto a B' es s , entonces la distancia del punto a B también es s .
    2. Hallar una fórmula para la distancia entre una bola de radio r1 y una bola de radio r2 . Analizar las posibles posiciones de los centros y valores de los radios.
    3. (*) ¿Son válidos los resultados anteriores en un espacio discreto?
  6. ¿Cierto o falso? Si cierto, dar una demostración o un ejemplo; en caso contrario, dar un contraejemplo?
    1. Un espacio métrico puede consistir de un único punto.
    2. Las bolas abiertas siempre son distintas de las bolas cerradas.
    3. Sea r < ρ. La bola abierta (resp. cerrada) de radio r es diferente a la bola abierta (resp. cerrada) de radio ρ.
    4. Una esfera de radio positivo nunca es vacía.

Los Reales Extendidos, R#[editar]

Definiremos una estructura de espacio métrico en los Reales extendidos, R# = R ∪ {+∞,−∞}.
Sea f : R → ]-1,1[ tal que y sea g :]-1,1[ → tal que g(x) = x/(1 - |x|). Se tiene que

Análogamente, g(f(x)) = x, lo que prueba que f y g son biyectivas. Extendamos f a F : R → [-1,1], poniendo F(x) = f(x) cuando x es un número real, F(+∞) = 1, y ¯ F(−∞) = −1. Claramente, F es también biyectiva. Por lo que la usaremos para definir una métrica d* en R# por d(x, y) := |F(x) − F(y)|. La verificación de que d* es una métrica queda de ejercicio. Con respecto a esta métrica, la función F es una isometría. Notemos que, por ejemplo, d*(1,+∞) = |f(1)−f(+∞)| = 1/2 y que d*(−∞,+∞) = 2. Como [−1, 1] es acotado, tendremos que R# es también acotado y que el subconjunto de los Reales también lo será.

Naturalmente, la restricción de esta métrica a R es bastante diferente a la métrica usual, definida por su valor absoluto, de la línea real.

¿Cuáles son las vecindades de +∞ en R#? Consideremos por ejemplo la bola abierta de radio 1/2 con centro en +∞. Tenemos que

.



Ejercicios 4.6[editar]

  1. Probar que una bola cerrada con radio mayor que 2 es igual a todos los Reales extendidos.
  2. Describir las bolas abiertas centradas en +∞.
  3. Idem. para las bolas centradas en −∞.

Espacios Ultramétricos[editar]

Describiremos, en esta sección, a unos espacios métricos cuya métrica satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular. Dichos espacios tienen interesantes aplicaciones en diversas áreas de matemáticas. Para nosotros servirán de ejemplos de espacios métricos con unas propiedades ``extrañas, lo que quiere decir bastante diferente de lo que pasa en espacios euclídeos.Una ultramétrica en un conjunto E es una métrica que satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular.

d(x, y) ≤ máx {d(x, z), d(z, y).

Claramente, cada ultramétrica es una métrica. Un espacio ultramétrico es un espacio provisto de una ultramétrica.

Antes de dar ejemplos, veremos algunas de las propiedades ``extrañas de los espacios ultramétricos.


Ejemplo 4.8.1. Todos los triángulos en un espacio ultramétrico son isósceles. Es decir que dados tres puntos x, y, z, al menos dos de las distancias entre esos puntos son iguales.

Resolución. Supongamos que hay al menos dosdistancias desiguales (el caso contrario es trivial), digamos que d(x, y) < d(x, z). Entonces, como d(y, z) ≤ máx{d(y, x), d(z, x)} concluimos que d(y, z) ≤ d(x, z). Por su parte, d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)} implica que d(x, z) ≤ d(y, z) (ya que es mayor que la otra alternativa). Luego, d(y, z) = d(x, z).


Ejemplo 4.8.2. En un espacio ultramétrico, cualquier punto de una bola abierta es centro de la bola.

Resolución. Sean B = Br(x), y ∈ B. Probaremos que Br(x) = Br(y). Sea z ∈ B. Entonces, d(z, y) ≤ máx{d(z, x), d(x, y)} < r. Es decir que z ∈ Br(y). Lo que prueba que Br(x) ⊂ Br(y). Comenzando con un punto en Br(y) obtenemos la inclusión inversa.


Los valores absolutos p-ádicos en los Racionales[editar]

En esta sección veremos una familia de valores absolutos para los Racionales que tienen las mismas propiedades formales que el valor absoluto usual, pero con la propiedad adicional de que

la distancia deducida de tal valor absoluto es una ultramétrica.

Sea p un número primo. Es sabido que dado un número primo cualquiera p, cada número entero z no nulo puede representarse como el producto una potencia del primo p con un número relativamente primo con p.

con r ≥ 0 y m no divisble por p.

Diremos que el entero no negativo r de la relación anterior es la p--ponderación de m y la denotaremos por ordp(m). Extenderemos la p--ponderación a los racionales de la manera siguiente: si q=z/w, con z, w tales que ordp(z) = m y ordp(w) = n, entonces

Notemos que si z = pmx y w = pnx , el racional z/w = pm-n (x/y) con x, y no divisibles por p.

Valor absoluto p--ádico. Sea p un número primo y sea | |p definido para un racional x como

cuando x ≠ 0, y |0|p = 0.

Ejemplos 4.8.3. Consideremos el caso cuando p = 5.

  1. 35 = 51 * 7, luego, ord_p(35)=1, por lo que |35|5 = 5-1.
  2. 1/25 = 5-2, luego |1/25|5 = 5\sup2.
  3. 9 = 5^0 , luego |9|5= 1.
  4. 35/100 = (5 * 7)/ (52 * 4) = 5-1 )7/4) , luego |35/100|,sub>5 = 51.


Notemos que para todo x, |x|_p es un número entero, que es una potencia de p cuando x no es nulo. Llamaremos a |x|_p , el valor absoluto p --ádico de >Q. El nombre de valor absoluto proviene de las propiedades mostradas en la siguiente proposición. Comparar con la propiedades del valor absoluto usual---que en este contexto llamaremos el valor absoluto proveniente del orden.

Proposición 4.8.1.(Propiedades del Valor Absoluto p --ádico) Sean x, y números racionales.

  1. |x|_p ≥ 0.
  2. |x|_p = 0 \iff x =0.
  3. |-x|_p = |x|_p.
  4. |x+y|_p ≤ max{|x|_p, |y|_p }.
  5. |xy|_p = |x|_p |y_p|.
    Demostración. Los enunciados UVA1 al UVA3 son triviales. Las propiedades UVA4 y UVA5 ameritan demostraciones explícitas. Sean x, y racionales; si uno de ellos es nulo, los resultados son triviales. Supongamos que ordp(x) = r y ordp(y) = s , o sea que x=p^{r} (z/w) , y = p^s(u/v) con z , w , u , v , enteros no divisibles por p. Luego, |x|_p = p^{-r} y |y|_p = p^{-s}. (UV4) Sin perdida de generalidad, podemos suponer que r ≤ s. Entonces,

    Entonces,

    Claramente, p no divide a vw. Supongamos que ordp(q) = e , con e ≥ 0. Entonces, ordp(x+y) = r+e. Por lo que,

    Lo que prueba la afirmación.
    
    (UV5) Como

    con zu y wu no son divisibles por p , se tiene que |xy|_p= p^{-(r+s)} ; lo que prueba el resultado.


Notemos que la propiedad UV4 implica inmediatamente una desigualdad triangular, ya que

Lo que justifica la nomenclatura de valor absoluto. Asociaremos con este valor absoluto, la distancia p --ádica en Q , definida como d_{(p)}(x,y) = |x-y|_p. Como

vemos que se trata de una ultramétrica.

Observación 8.4. Si llamamos valor absoluto en \Q a cualquier función que asigna a cada racional un número real que cumple las propiedades formales del valor absoluto, se sabe,por un teorema de Ostrowski, que los únicos valores absolutos en Q son esencialmente el valor absoluto usual (asociado al orden) y los p-ádicos de esta sección.

Los Racionales provistos de un valor absoluto p--ádico son ejemplos de cuerpos llamados no arquimedianos, ya que se tiene la siguiente proposición.

Proposición 4.8.2. Sea p un número primo. Los Naturales como subconjunto de los Racionales no son acotados respecto al valor absoluto asociado al orden, pero son acotados respecto a las normas p--ádicas, ya que se cumple para todo n en N que |n|_p ≤ 1.

    Demostración. Notemos que |0|_p= 0 y que |1|_p = 1. Supongamos que k ≥ 1 y que |k|p ≤ 1. Entonces,

    El resultado sigue por inducción.


Se puede hallar, además de los Racionales con los valores absolutos p--ádicos, otros espacios ultramétricos, pero nuestra exploración de tales espacios acaba, por ahora, aquí, ya que nos interesaban principalmente como ejemplo de las consecuencias posibles de los axiomas de espacio métrico.

Ejercicios 4.8[editar]

A. Suponer que el primo p es igual a 5.

  1. Evaluar ord5(100) , ord5(-10!) , ord5(20) , ord5(15/23) .
  2. Evaluar |100|5 , |7-3|5 , |750-625|5 , |1/9 - (-1/6)|5 .
  3. Probar que un número entero z tiene |x|5=1 , ssi, z no es divisible por 5.
  4. Probar que un número entero z tiene |x|5<1 , ssi, z es divisible por 5.
  5. Probar que q=m/n , m y n relativamente primos, tiene |q|5 >1 , ssi, n es divisible por 5 .
  6. Si |x-a|5 < |a|5 entonces |x|5 = |a|5 .

B. Bolas abiertas, cerradas y esferas en Q con el valor absoluto 5 --ádico.

  1. Verificar que los valores posibles del valor absoluto 5 --ádico son las potencias enteras de 5 o 0.
  2. Probar que B(0;8) = B(0,5) = B[0;1] .
  3. Probar que S(0;8) es vacío.
  4. Probar que el diámetro de B(0;1) es 1.

C. Suponer que E es un espacio ultramétrico.

  1. El diámetro de una bola es menor o igual que su radio.
  2. Cuando dos bolas (abiertas o cerradas) tienen un punto en común, entonces una de ellas está contenida en la otra.
  3. Cualquier punto de una bola cerrada es centro de la bola.

Ejercicios del Capítulo 4[editar]

  1. Cuando un punto p pertenece a un conjunto A, entonces d(p,A) = 0. ¿Es válido el recíproco?
  2. . Sea < E, d > un espacio métrico. Sea Probar que d′ es una distancia en E. (Sug. Para la desigualdad triangular, escriba lo que desea probar, luego expanda y simplifique.) Probar, además, que para todo x, y en E, d′(x, y) < 1.
  3. Sea BS(R) el conjunto formado por todas las sucesiones acotadas en E.
    1. Probar que la suma término a término y el producto de constante por cada término proveen a BS(R) de una estructura de espacio vectorial (ver definición en el capítulo 3).
    2. Definir d((xn), (yn)) := sup{d(xn, yn) : n ∈ N}. d en una métrica en BS(R).
  4. Sea X un espacio métrico discreto y E un espacio métrico cualquiera, ¿cuándo una función f : X → E es continua?
  5. Sea f : E → R una función continua en un punto p de E.
    1. f es acotada en una vecindad de p.
    2. Si f(p) ≠ 0, hay una vecindad V de p tal que x en V implica que f(x) tiene igual signo que f(p).
  6. Sea f: E → E' una isometría.
    1. La imagen por f de una bola abierto (resp. cerrada) es una bola del mismo typo y de igual radio.
    2. La imagen de un conjunto de diámetro D tiene el mismo diámetro.
    3. La imagen de un conjunto acotado es acotado.
    4. ¿Qué otras "cosas" son preservadas por las isometrías?