Condición de alineación de tres puntos
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Expresaremos algebraicamente la condición de alineación de tres puntos
(
,
),
(
,
),
(
,
) pertenecientes a una recta
no paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sean
',
' y
' las proyecciones ortogonales sobre el eje
de los puntos
,
y
, y
",
" y
" las proyecciones ortogonales sobre el eje
de los puntos
,
y
. Cada una de las proyecciones mencionadas tienen asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.
Como las rectas (
'), (
') y (
') son paralelas, podemos aplicar el teorema de Thales en las rectas secantes
y
resulta:
|
De igual forma, las rectas (
"), (
") y (
") son paralelas, entonces aplicando nuevamente el teorema de Thales en las rectas secantes
y
Resulta :
|
En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad:
|
Considerando el orden de los puntos de la recta
, se cumple que la proporción expresada anteriormente es igual a:
|
ya que cada uno de los componentes de la proporción es positivo, y en consecuencia coincide con la distancia. Sin embargo esta relación es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta
.
Si por ejemplo se ubican los puntos tal que P2< P< P1 la relación :
quedará como : 
Lo anterior es equivalente a:
|