Condición de alineación de tres puntos[editar]
Expresaremos algebraicamente la condición de alineación de tres puntos 
(
, 
), 
(
, 
), 
(
, 
) pertenecientes a una recta 
no paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sean ', ' y ' las proyecciones ortogonales sobre el eje 
de los puntos , y , y ", " y " las proyecciones ortogonales sobre el eje 
de los puntos , y . Cada una de las proyecciones mencionadas tienen asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.
Como las rectas ('), (') y (') son paralelas, podemos aplicar el teorema de Thales en las rectas secantes y resulta:
|
De igual forma, las rectas ("), (") y (") son paralelas, entonces aplicando nuevamente el teorema de Thales en las rectas secantes y Resulta :
|
En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad:
|
Considerando el orden de los puntos de la recta , se cumple que la proporción expresada anteriormente es igual a:
|
ya que cada uno de los componentes de la proporción es positivo, y en consecuencia coincide con la distancia. Sin embargo esta relación es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta .
Si por ejemplo se ubican los puntos tal que P2< P< P1 la relación :
quedará como : 
Lo anterior es equivalente a:
|
