Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones exponenciales

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Caso A[editar]

Teniendo que ambos miembros de la ecuación se pueden expresar como potencia de la misma base, se resuelven poniendo ambos miembros como potencias de la misma base e igualando los exponentes. Ejemplo de este caso: resolver la ecuación . Se siguen los siguientes pasos:

  • 2x + 3 puede expresarse como 23 · 2x:

  • se opera con todos los exponentes posibles:

  • En este caso se puede simplificar ambos términos dividiendo entre 9:

  • Ahora es sencillo resolver la ecuación factorizando el segundo término y sustituyendo:

Caso B[editar]

En este caso puede realizarse un cambio de variable. Es el caso de . Se siguen los siguientes pasos:

  • Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x:
  • Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que 32x = z2, y tenemos:
  • Se deshace el cambio de variable:

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x = - 2 no puede cumplirse.

Caso C[editar]

Cuando la ecuación no puede realizarse por medio de ninguna de las dos maneras anteriores, se pueden aplicar logaritmos. Tal es el caso de .

Lo que sucede acá es que hay una igualdad, es decir, ambos lados de la ecuación tienen el mismo valor o son lo mismo, si a un lado de la igualdad se le resta -3^x y al otro lado también entonces la igualdad se mantiene, de esta forma se realizan los despejes de variables para conocer el valor de la incógnita (x) en la ecuación.

  • Se transponen términos (en este caso el término negativo pasa al otro lado sumando):
  • Se aplican logaritmos decimales a los dos términos:
  • Se opera con las propiedades de los logaritmos y se transponen términos: