Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuación de segundo grado

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Una ecuación se segundo grado completa es aquella que tiene expresión canónica general:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

Deducción de las soluciones[editar]

Solución mediante cambio de variable[editar]

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (también de los grados tercero y cuarto) consiste en aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo , el cambio de variable se efectúa mediante .

Aplicando el cambio de variable anterior se obtiene la ecuación

Desarrollándola queda (1).

Ahora se debe reducir la ecuación obtenida a un caso conocido del cual se conozca su solución. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven directamente extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos, cuya solución general es .

Para transformar la ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero se debe forzar que , es decir

Sustituyendo en (1) queda . (2)

Esta nueva ecuación está en la forma , que es lo pretendido mediante el cambio de variable, y que −como se expresó− su solución es inmediata, del tipo

Por tanto, despejando la variable en la ecuación (2), queda

Dado que , y que , se obtiene la solución de la ecuación original con variable en , que es

El artificio de esta demostración consiste en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Solución por descomposición de factores[editar]

Un modo fácil y sencillo de resolver una ecuación de 2º grado es mediante el método de factorización o Descomposición en factores. A continuación se explica paso a paso este método, según el libro de Álgebra de A. Baldor.

Pasos

  • Simplificar la ecuación y ponerla en la forma

  • Factorice el primer miembro de la ecuación
  • Iguale a cero los factores obtenidos para obtener el valor de x

Ejemplo: Resolver

      Paso No.1       ---->    
      Paso No.2        
      Paso No.3          --->     
                         --->    

Nota. En caso de que dude del resultado multiplique ambos factores. Ejemplo: (x + 8 )(x - 3 ) = (x)(x) - 3(x) + 8(x) - 24 --> x2 - 3x + 8x - 24 --> x2 + 5x - 24

Obviamente le regresará el valor de la ecuación.