El diseño de estrategias para el control de un sistema dinámico requiere muchas veces de simulaciones numéricas, que deben basarse en un modelo matemático del proceso a controlar. Los modelos surgen al plantear para cada subsistema del proceso, los balances tradicionales de materia, de cantidad de movimiento y de energía, junto con las ecuaciones constitutivas y las leyes fundamentales de los componentes.

El modelo de estados

Un modelo matemático permitirá describir el funcionamiento del sistema a través de un conjunto de ecuaciones de la forma:

Ecuaciones de estado: ${\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{p})$ ; $i\in {1\cdots n}$
Condiciones iniciales: $x_{1}(0)=x_{1(0)};x_{2}(0)=x_{2(0)};\cdots ,x_{n}(0)=x_{n(0)}$
Ecuaciones de salida: $y_{j}=h_{j}(k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{p})$ ; $j\in {1\cdots m}$

Donde:

${k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}}$ son los parámetros del modelo.
${x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ son los estados del sistema.

Normalmente se asumen como estados de un sistema aquellas variables cuya evolución se representa a través de una ecuación diferencial, pero en principio se podrían plantear infinitos modelos de estado para un sistema dinámico. Además, el número de estados del modelo deber ser mayor o igual que el orden del sistema.

Ejemplo

Sea un sistema formado por un tanque de sección uniforme $A$ , alimentado con un caudal variable $q_{1}(t)$ . Se desea conocer la evolución temporal de la altura $h(t)$ de líquido dentro del tanque. El caudal de salida $q_{2}$ depende de $h$ y de la "conductancia" $k$ : $q_{2}=k{\sqrt {h}}$ . La ecuación de balance de materia queda:

$A{\frac {dh}{dt}}=q_{1}(t)-q_{2}(t)=q_{1}(t)-k{\sqrt {h(t)}}$ ; $h(0)=h_{0}$

donde $h_{0}$ es la altura en el tiempo 0.

Este sistema tiene un solo estado: $x=h$ , y una sola variable manipulable: $u=q_{1}$ .

El modelo de estados para este sistema será

Ecuaciones de estado: ${\frac {dh}{dt}}={\frac {1}{A}}u(t)-{\frac {k}{A}}{\sqrt {x(t)}}$
Condiciones iniciales: $x(0)=x_{0}$
Ecuaciones de salida: $y(t)=x(y)$