Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Teoría de Control/Representación de sistemas dinámicos lineales continuos en variables de estado

El diseño de estrategias para el control de un sistema dinámico requiere muchas veces de simulaciones numéricas, que deben basarse en un modelo matemático del proceso a controlar. Los modelos surgen al plantear para cada subsistema del proceso, los balances tradicionales de materia, de cantidad de movimiento y de energía, junto con las ecuaciones constitutivas y las leyes fundamentales de los componentes.

El modelo de estados

Un modelo matemático permitirá describir el funcionamiento del sistema a través de un conjunto de ecuaciones de la forma:

• Ecuaciones de estado: ${\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{p})$; $i\in {1\cdots n}$
• Condiciones iniciales: $x_{1}(0)=x_{1(0)};x_{2}(0)=x_{2(0)};\cdots ,x_{n}(0)=x_{n(0)}$
• Ecuaciones de salida: $y_{j}=h_{j}(k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{p})$; $j\in {1\cdots m}$

Donde:

• ${k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}}$ son los parámetros del modelo.
• ${x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ son los estados del sistema.

Normalmente se asumen como estados de un sistema aquellas variables cuya evolución se representa a través de una ecuación diferencial, pero en principio se podrían plantear infinitos modelos de estado para un sistema dinámico. Además, el número de estados del modelo deber ser mayor o igual que el orden del sistema.

Ejemplo

Sea un sistema formado por un tanque de sección uniforme $A$, alimentado con un caudal variable $q_{1}(t)$. Se desea conocer la evolución temporal de la altura $h(t)$ de líquido dentro del tanque. El caudal de salida $q_{2}$ depende de $h$ y de la "conductancia" $k$: $q_{2}=k{\sqrt {h}}$. La ecuación de balance de materia queda:

$A{\frac {dh}{dt}}=q_{1}(t)-q_{2}(t)=q_{1}(t)-k{\sqrt {h(t)}}$; $h(0)=h_{0}$

donde $h_{0}$ es la altura en el tiempo 0.

Este sistema tiene un solo estado: $x=h$, y una sola variable manipulable: $u=q_{1}$.

El modelo de estados para este sistema será

• Ecuaciones de estado: ${\frac {dh}{dt}}={\frac {1}{A}}u(t)-{\frac {k}{A}}{\sqrt {x(t)}}$
• Condiciones iniciales: $x(0)=x_{0}$
• Ecuaciones de salida: $y(t)=x(y)$