Implementación de algoritmos de teoría de números/Algoritmo de factorización en números primos
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Un Algoritmo de factorización en números primos es un algoritmo que dado un número natural mayor que 1 genera la lista de números primos que componen la factorización del mismo; los más obvios son los siguientes.
Algoritmos comunes[editar]
Sea N el número compuesto a factorizar
Sea Ps la lista de números primos actualmente obtenida
Si N = 1, entonces el número no es factorizable (es 1).
Si no es 1:
i = 2
mientras i < (N+1) y N no sea 1
si i es primo, y N es divisible por i
agregamos i a Ps
Hacemos N = N/i
sino
incrementamos i
fin-si
fin-mientras
devolvemos Ps
Otro, similar pero que consiste en iterar hasta la raíz cuadrada de N[1]
Si N = 1, entonces el número no es factorizable.
si N = 2, o N = 3: agregamos N a Ps, devolvemos Ps
i=2
mientras i < (raizcuad(n)+1) y N no sea 1
si i es primo, y N es divisible por i
agregamos i a Ps
Hacemos N = N/i
sino
incrementamos i
fin-si
fin-mientras
Agregamos N a Ps
devolvemos Ps
Otro, que combina ambos, consiste en, además, ir incrementando i de a 2, 4, 2, 4..[2]
aumentar=2
Si N = 1, entonces el número no es factorizable.
si N = 2, o N = 3: agregamos N a Ps, devolvemos Ps
i=5
si N es divisible por 2, agregar 2 a Ps, hacer N = N/2
si N es divisible por 3, agregar 3 a Ps, hacer N = N/3
limite=raizcuad(N)+1
mientras i < limite y N no sea 1
si i es primo, y N es divisible por i
agregamos i a Ps
Hacemos N = N/i
sino
si aumentar=2 entonces aumentar=4 sino aumentar=2 fin-si
i = i + aumentar
fin-si
fin-mientras
devolvemos Ps
Notas[editar]
- ↑ Un número compuesto (llamemoslo C) no puede tener más de un factor primo que sea mayor a su raíz cuadrada
Dem: Supongamos que sí puede haber más de uno. Llamemos A y B a esos dos números primos. Llamemos P1, P2,.. Pn al resto de los números primos factores de C.
Sea dA = A - raizcuad (C)
Sea dB = B - raizcuad (C)
Si A y B son mayores que la raíz cuadrada de C, entonces dA y dB serán positivos
Entonces C = A*B*P1*P2... = (raizcuad (C)+dA)*(raizcuad (C)+dB)*P1*P2... = (raizcuad (C)*raizcuad (C) + dA*raizcuad (C) + dB*raizcuad (C) + dA*dB)*P1*P2... = (C + (dA+dB)*raizcuad (C) + dA*dB)*P1*P2...
C*P1*P2.. + (dA+dB)*raizcuad (C)*P1*P2... + dA*dB*P1*P2...
Obviamente, toda esa suma es mayor a C. Como partimos diciendo que C era igual a esa suma llegamos a una contradicción
Por lo tanto, a lo sumo un factor puede ser mayor que la raíz cuadrada de C.
- ↑ Los números primos (mayores que 3) pueden expresarse de la siguiente forma: 6n±1 (siendo esta la más eficiente para soluciones iterativas de programación).
Dem: Todo número natural puede expresarse como 6n±r, para algún n. R variara solo entre 0 y 5.
6n+0 es divisible por 6 SIEMPRE
6n+2 es divisible por 2 SIEMPRE
6n+3 es divisible por 3 SIEMPRE
6n+4 es divisible por 2 SIEMPRE
6n+1 y 6n-1 (o lo que es lo mismo a efectos del análisis, 6n+5), no proporcionan ninguna garantía de divisibilidad, por lo tanto los números primos solo pueden encontrarse entre ellos).