Fundamentos de la Matemática/Texto completo

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Fundamentos de la Matemática[editar]

Los fundamentos de las matemáticas, independientemente de las divisiones y subdivisiones de esta materia, e independientemente de la evolución histórica que ha tenido, se fundamenta claramente en la intuición, definiendo intuición como la capacidad para entender conceptos.

El concepto más básico en matemáticas es el concepto de conjunto, y entendido este concepto, es la relación y particularmente la relación binaria, lo que define la base de las matemáticas, las matemáticas no tiene que hablar de números necesariamente, si bien los números son una parte importante.

Teoría intuitiva de conjuntos[editar]

La teoría intuitiva de conjuntos, se basa en la capacidad intuitiva, innata, para poder entender esta parte de las matemáticas, según unos conceptos básicos sin una base teórica previa. La teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor[1] [2] entre otros autores, aquí no plantearemos teoría de ningún tipo, sino conceptos intuitivos.

Definiciones[editar]

UnConjunto00.svg

Que es un conjunto: un conjunto es una agrupación de elementos hecho con cualquier criterio, por ejemplo: las cosas que hay encima de una mesa en un momento dado, los coches de una ciudad, las letras del alfabeto, las piezas de un motor, etc. son conjuntos.

Los conjuntos suelen representarse con letra mayúscula: A, B, C, ...

Que es un elemento: un elemento de un conjunto tiene carácter único, que tiene propiedades que lo hace diferénciale de los demás elementos del conjunto, puede haber propiedades que varios elementos de un mismo conjunto puede cumplir o no.

Los elementos suelen representarse con letras minúsculas: a, b, c ...

Que es el conjunto universal: el conjunto universal o de referencia es el conjunto que abarca todos los elementos que en cada caso podamos tratar, todos los conjuntos que en cada caso estemos tratando son subconjuntos de ese conjunto universal.

El conjunto universal suele representarse con la letra: U

Que es el conjunto vacío: el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento, suele representarse así:

Definición por extensión[editar]

Un conjunto se define por extensión cuando se enumeran todos sus elementos, por ejemplo, podemos definir el conjunto de las vocales V:

o de días de la semana S:

Definición por comprensión[editar]

Cuando el conjunto se define por una o mas propiedades o condiciones que los elementos del conjunto cumplen, el conjunto de las vocales V:

El conjunto V se define como el conjuntos x tal que x sea una vocal. El conjunto de días de la semana S:

El conjunto S se define como el de los elementos x, tal que x sea un día de la semana.

Diagramas de Venn[editar]

Un diagrama de Venn es una representación grafica plana en la cual define un conjunto por una superficie cerrada, un circulo, un ovalo, un rectángulo etc, que delimita el conjunto y la relación entre varios conjuntos.

DosConjuntos00.svg

Se define el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

El conjunto A:

El conjunto B:


DosConjuntos100.svg

Con el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

El conjunto A:

El conjunto B:


DosConjuntos200.svg

Otro ejemplo con el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

El conjunto A:

El conjunto B:


Relaciones de conjuntos[editar]

DosConjuntos210.svg

Dado el conjunto universal U:

Que señala que el conjunto esta formado por los elementos: a, b, c, d, e, f. Los elementos del conjunto se representan ente llaves y se separan por comas.

Los conjuntos A y B se representan:

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de él y se representa:

Que se puede leer: b es un elemento de U, b es un elemento de A, b no es un elemento de B.

Subconjunto, un conjunto A es subconjunto de otro B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Todo conjunto es subconjunto de si mismo, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

Que se puede leer: U es un subconjunto de U, A es un subconjunto de U, B es un subconjunto de U, el conjunto vació es un subconjunto de U, A no es un subconjunto de B.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, es equivalente a que A y B son iguales.

Operaciones entre conjuntos[editar]

Dados unos conjuntos se pueden definir algunas operaciones:

UnConjunto02.svg

Complemento de un conjunto: Dado un conjunto universal U y un conjunto A de U, el complemento de A es el formado por los elementos de U que no perteneces a A. Que se representa:

Se puede ver también que:

El complemento del complemento de un conjunto es el mismo conjunto.

El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío.

Del mismo modo:

El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal.


DosConjuntos02.svg

La unión de dos conjuntos: A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. y se representa:

La operación unión es conmutativa:

La unión de A con B es igual a la unión de B con A.

La unión del conjunto universal con otro conjunto da como resultado el conjunto universal:

La unión de un conjunto con el conjunto vacío da como resultado el mismo conjunto:


DosConjuntos08.svg

La intersección de dos conjuntos: A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. y se representa:

La operación intersección es conmutativa:

La intersección de A con B es igual a la intersección de B con A.

La intersección del conjunto universal con otro conjunto da como resultado ese conjunto:

La intersección de un conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío:

Producto cartesiano[editar]

El producto cartesiano de dos conjuntos: A y B es una operación, que da como resultado otro conjunto: A*B, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

y

su producto cartesiano es:

Que se expresa:

Cada uno de los elementos:

Un par ordenado: (x,y) de A*B, cumple que x pertenece a A e y pertenece a B.

El producto cartesiano no es conmutativo:

Y por tanto:

El par ordenado (a,b) es distinto del par ordenado (b,a).

Producto cartesiano, caso general[editar]

El caso general de producto cartesiano con n conjuntos, que designaremos como:

Cada uno de los elementos del producto cartesiano de n conjuntos se denomina tupla:

Referencias[editar]

  1. Georg Cantor (2005). «Introducción» (en español). Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Grupo Planeta. p. 9. ISBN 84-8432-695-0. 
  2. Ferreirós, José (2004). «Introducción» (en español). Matemáticas y matemáticos (1 edición). Universidad de Sevilla. p. 9. ISBN 84-472-0810-9. 

Bibliografía[editar]

  1. Dávila Cervantes, Claudio Alberto; Pardo Montaño, Ana Melisa (2016) (en español). Teoría de conjuntos (1 edición). FLACSO. 

Enlaces externos[editar]

  1. Teoría de Conjuntos
  2. Capítulo 7: TEORIA DE CONJUNTOS

Relación matemática[editar]

Una relación matemática entre los elementos, de uno o más conjuntos, es el conjunto de las tuplas de elementos de esos conjuntos que cumplen una determinada condición.

El caso más general de relaciones matemáticas es el de relaciones binarias, donde intervienen dos elementos en la relación:

La relación es el conjunto de pares ordenados (a,b) que pertenecen al producto que cumplen la propiedad [1]

Claramente:

La relación es un subconjunto de

Notación caso general[editar]

Dada una relación entre los elementos de n conjuntos:

La relación: se define como las tuplas: , del producto de conjuntos: , que cumplen la condición: .

Si una tupla es de la relación se expresa:

Si la tupla no es de la relación:

Tipos de relaciones por el número de elementos[editar]

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unaria: un solo conjunto
Relación binaria: con dos conjuntos
Relación ternaria: con tres conjuntos
Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos
Relación n-aria: caso general con n conjuntos

Tipos de relaciones por la igualdad de los conjuntos[editar]

Si el producto cartesiano es del mismo conjunto:

La relación se denomina relación homogénea y se representa:

Si no todos los conjuntos son iguales, se denomina: relación heterogénea y se representa:

Referencias[editar]

  1. Campos Sandoval, Juan Manuel (2018). «4.1» (en español). Matemáticas discretas. Editorial Digital. 

Relación binaria[editar]

Un caso particular de relación matemática, y el más ampliamente estudiado y de mayor interés matemático en cuanto a su interés generalizado, el la relación binaria.

Una relación matemática es binaria si la relación es entre dos elementos[1], del mismo o de distintos conjuntos, si los dos elementos de la relación son del mismo conjunto[2] se dice homogénea, si los dos conjuntos son distintos o los tomamos como distintos la relación se dice heterogénea, que comúnmente se denomina correspondencia

Relación binaria 001.svg
Relación binaria 11.svg

Dado el conjunto A:

y la relación binaria homogénea definida entre sus elementos:

Que se representa en la figura de la derecha.

Relación binaria 12.svg

Esta misma relación puede representarse como heterogénea o correspondencia:

La relación R definida de A sobre A.

El producto cartesiano se puede representar como un cuadrante, y la relación se señala con un signo: +, y en blanco si no existe relación. Los elementos del primer conjunto se ponen en el eje horizontal y los elementos del segundo conjunto en el vertical.

Correspon 0102.svg

Los conjuntos de una correspondencia no tienen que ser iguales, como se indica en la definición de relación binaria heterogénea, sino que pueden ser de distinto tipo, a la derecha se puede ver una correspondencia entre un conjunto de pinceles: P, con otro de caras pintadas: C, asociando cada pincel de P, con la cara de C, que esta pintada del mismo color.

Referencias[editar]

  1. Díaz Martín, José Fernando; Arsuaga Uriarte, Eider; Riaño Sierra, Jesús M. (2005). «2.3» (en español). Introducción al álgebra (1 edición). Netbiblo. p. 43. ISBN 84-9745-128-7. 
  2. Goberna, Miguel Ángel; Jornet, Valentín; Puente, Rubén (2000). «1.4» (en español). Álgebra y fundamentos (1 edición). Editorial Ariel, S.A.. p. 26. ISBN 84-344-8026-3. 

Relación binaria homogénea[editar]

Relación binaria 11.svg

En matemáticas, una relación binaria [1] homogénea es una relación matemática entre dos elementos que pertenecen al mismo conjunto. Una relación de se puede representar mediante pares ordenados para los cuales se cumple una propiedad , de forma que , y se anota:

Que se lee: la relación binaria es el conjunto de pares ordenados pertenecientes al producto cartesiano , y para los cuales se cumple la propiedad que los relaciona.

Por oposición a la relación binaria heterogenia, o correspondencia matemática donde los dos elementos de la relación binaria son de conjuntos diferentes.

Referencias[editar]

  1. Richard Johnsonbaugh (2005). «3» (en español). Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 117. ISBN 9789702606376. 

Propiedades de las relaciones binarias homogéneas[editar]

Una relaciones binarias homogéneas, puede cumplir o no una determinada propiedad de la relación binaria homogénea según estas propiedades se determina una determinada estructura en el conjunto respecto a la relación binaria definida.

Dada la definición de relación binaria homogénea de un conjunto A y una propiedad P como el conjunto de pares ordenado R de A que cumple la propiedad P, ha de tenerse en cuenta que la relación binaria es ese conjunto de pares ordenados, que además puede cumplir otras propiedades, reflexiva, simétrica, transitiva, etc, normalmente se dice relación reflexiva, relación simétrica, etc.

Aquí diferenciaremos la relación de sus propiedades, y llamaremos relación al conjunto de pares ordenados de forma general o a sus subtipos, y llamaremos como propiedades a las que una relación puede o no cumplir, por lo tanto diremos: propiedad reflexiva, propiedad simétrica, propiedad transitiva, etc. Ayudando a diferenciar de este modo lo que una relación y sus subtipos de lo que son propiedades de una relación

Reflexividad[editar]

Propiedad reflexiva 00.svg

En una relación binaria homogénea la reflexividad determina la posible relación de un elemento con sigo mismo, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad reflexiva[editar]

Propiedad reflexiva 01.svg

Una relación es reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación reflexiva, si cumple:

  • Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

Para todo a de A se cumple que (a,a) pertenece a R

Propiedad no reflexiva[editar]

Propiedad reflexiva 06.svg

Una relación es no reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no reflexiva, si cumple:

  • Relación no reflexiva: la relación R es no reflexiva si existen elementos a de A que no está relacionados con sigo mismo.

Existe a de A que cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad irreflexiva[editar]

Propiedad reflexiva 02.svg

Una relación es irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación irreflexiva, si cumple:

  • Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si ningún elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

Para todo a de A se cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad no irreflexiva[editar]

Propiedad reflexiva 08.svg

Una relación es no irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no irreflexiva, si cumple:

  • Relación no irreflexiva: la relación R es no irreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo.

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R

Propiedad arreflexiva[editar]

Propiedad reflexiva 03.svg

Una relación es arreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación arreflexiva, si cumple:

  • Relación arreflexiva: la relación R es arreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo y existen elementos b de A que no están relacionados con sigo mismo.

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R y existen elementos b de A que cumplen que (b,b) no pertenece a R

Simetría[editar]

Propiedad simétrica 00.svg

En una relación binaria homogénea la simetría determina la posible de que si un elemento a esta relacionado con otro b el b este relacionado con el a, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad simétrica[editar]

Propiedad simétrica 01.svg

Una relación es simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación simética, si cumple:

  • Relación simétrica: la relación R es simétrica si el elemento a esta relacionado con b, entonces b esta relacionado con a.

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) también pertenece a R.

Propiedad no simétrica[editar]

Propiedad simétrica 06.svg

Una relación es no simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no simética, si cumple:

  • Relación no simétrica: la relación R es no simétrica si existe el elemento a que esta relacionado con b y b no esta relacionado con a.

Existen a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) no pertenece a R.

Propiedad antisimétrica[editar]

Propiedad simétrica 02.svg

Una relación es antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación antisimética, si cumple:

  • Relación antesimétrica: la relación R es antisimetrica si el elemento a esta relacionado con b, entonces b no esta relacionado con a.

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) no pertenece a R.

Propiedad no antisimétrica[editar]

Propiedad simétrica 08.svg

Una relación es no antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no antisimética, si cumple:

  • Relación no antesimétrica: la relación R es no antisimetrica si existe el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionado con a.

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R.

Propiedad asimétrica[editar]

Propiedad simétrica 03.svg

Una relación es asimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación asimética, si cumple:

  • Relación asimétrica: la relación R es asimetrica si existe el elemento a que esta relacionado con b y b esta relacionado con a y existe el elemento c que esta relacionado con d y d no esta relacionado con c.

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R y existe c, d de A que cumple que (c,d) pertenece a R y (d,c) no pertenece a R.

Transitividad[editar]

Propiedad transitiva 00.svg

En una relación binaria homogénea, la transitividad, determina la posible relación de un elemento con un segundo, la de este segundo con un tercero y la del primero con el tercero, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad transitiva[editar]

Propiedad transitiva 01.svg

Una relación es transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación transitiva, si cumple:

  • Relación transitiva: la relación R es transitiva si el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a esta relacionado con c.

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) pertenece a R.

Propiedad no transitiva[editar]

Propiedad transitiva 06.svg

Una relación es no transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no transitiva, si cumple:

  • Relación no transitiva: la relación R es no transitiva si existen los elementos a que esta relacionado con b y b que esta relacionad con c y a no esta relacionado con c.

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) no pertenece a R.

Propiedad intransitiva[editar]

Propiedad transitiva 02.svg

Una relación es intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación intransitiva, si cumple:

  • Relación intransitiva: la relación R es intransitiva si el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a no esta relacionado con c.

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) no pertenece a R.

Propiedad no intransitiva[editar]

Propiedad transitiva 08.svg

Una relación es no intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no intransitiva, si cumple:

  • Relación no intransitiva: la relación R es no intransitiva si existen los elementos a que esta relacionado con b y b que esta relacionad con c y a esta relacionado con c.

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) pertenece a R.

Propiedad atransitiva[editar]

Propiedad transitiva 03.svg

Una relación es atransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

Se dice que una relación binaria homogénea es relación atransitiva, si cumple:

  • Relación atransitiva: la relación R es atransitiva si existen los elementos: a que esta relacionado con b y b que esta relacionado con c y a esta relacionado con c, y existen los elementos d que esta relacionado con e y e esta relacionado con f y d no esta relacionado con f.

Existen a, b, c de A que cumplen que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertenece a R y (a,c) pertenece a R y existen d, e , f de A que cumplen que (d,e) pertenece a R y (e,f) pertenece a R y (d,f) no pertenece a R.

Relación parcial o total[editar]

Propiedad total 00.svg

En una relación binaria homogénea es total si todo par de elementos: a', b del conjunto o a esta relacionado con b o b esta lelacionado con a.

La relación es parcial si existen un par de elementoa: a, b del conjnto y ni a esta relacionado con b, ni b esta relacionado con a. A este par de elementos se dice no comparables.

Relación total[editar]

Propiedad total 01.svg

Una relación binaria R en un conjunto A es una relación total (o relación conexa) cuando se cumple que para cada dos elementos a y b de A, o a está relacionado con b o b está relacionado con a, esto es:

Para todo a, b de A, se cumple que a esta relacionado con b o b esta relacionado con a.

Tenga en cuenta que esto implica una relación reflexiva.

Dos elementos a, b del conjunto A, que estan relacionados a con b o b con a, se dicen comparables.

Relación parcial[editar]

Propiedad total 02.svg

Una relación binaria R en el conjunto A es una relación parcial cuando se cumple que existen al menos dos elementos a, b que no estan relacionado:

Existen a, b de A que cumplen que a no esta relacionada con b y b no esta relacionada con a.

Dos elementos a, b del conjunto A, que no estan relacionados ni a con b ni b con a se dicen no comparables.

Conjunto parcialmente ordenado y acotado[editar]

Propiedad acotado 00.svg

Es necesario que cumpla las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo tanto un conjunto parcialmente ordenado, para que el conjunto pueda estar acotado.

Dado un conjunto A y una relación binaria definida entre el conjunto A, que expresaremos y la relación se representa:

que se lee: siendo x e y elementos de A, x antecede a y.

La no relación se representa:

que se lee: siendo x e y elementos de A, x no antecede a y

Conjunto acotado inferior[editar]

Propiedad acotado 05.svg

Diremos que el conjunto A está acotado inferiormente respecto a si:

se cumple que existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A.

A los elementos z del conjunto se les denomina minimales.

Conjunto no acotado inferior[editar]

Propiedad acotado 06.svg

Diremos que el conjunto A no está acotado inferiormente respecto a si:

se cumple que no existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A.

Conjunto acotado superior[editar]

Propiedad acotado 07.svg

Diremos que el conjunto A está acotado superiormente respecto a si:

se cumple que existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A.

A los elementos y del conjunto se les denomina maximales.

Conjunto no acotado superior[editar]

Propiedad acotado 08.svg

Diremos que el conjunto A no está acotado superiormente respecto a si:

se cumple que no existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A.

Conjunto acotado[editar]

Propiedad acotado 04.svg

Diremos que un conjunto está acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Comjunto no acotado[editar]

Propiedad acotado 03.svg

Diremos que un conjunto es no acotado, si no está acotado superior ni inferiormente.

Elemento maximal y minimal[editar]

Acotado A067.svg

Dado el conjunto A formado por los elementos:

en el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto parcialmente ordenado, los elementos y de A que cumplen:

y de A es maximal si para todo x de A que cumple que y anteceda a x entonces y es igual a x.

Los elementos y de A se denominan maximales y definen una cuota superior en A, los elementos maximales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo a, c y g son maximales de A.

Del mismo modo los elementos z de A que cumplen:

z de A es minimal si para todo x de A que cumpla que x anteceda a z entonces z es igual a x.

se denominan minimales y definen una cuota inferior en A, los elementos minimales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo d, g y h son minimales de A.

Se puede ver que el elemento g es maximal y minimal en A. Un elemento que es maximal y minimal al mismo tiempo se un elemento aislado.

Elemento máximo y mínimo[editar]

Acotado A027.svg

Dado el conjunto A formado por los elementos:

en el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto parcialmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:

se denomina máximo y define una cuota superior en A, el elemento máximo es único, en el ejemplo c es el máximo de A. El elemento máximo de un conjunto es el maximal unico en ese conjunto.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

se denomina mínimo y define una cuota inferior en A, el elemento mínimo es único, en el ejemplo g es mínimo de A. El elemento mínimo de un conjunto es el minimal unico en ese conjunto.

Referencias[editar]

Tipos de las relaciones binarias homogéneas[editar]

RelaRef 03.svg

Una relación binaria homogéneas puede cumplir o no una serie de propiedades:

reflexiva
simétrica o antisimétrica
transitiva
acotada
total

Esto da lugar a que se pueda clasificar por tipos según las propiedades que cumpla. Normalmente desde un punto de vista matemático se estudian unos tipos de relaciones binarias homogéneas muy concretas que podemos ver en el esquema.

Relación binaria 101.svg

Relaciones binarias homogéneas[editar]

Relación homogénia 012.svg

Dado un conjunto A y una relación R entre los elementos de ese conjunto, dado que el conjunto inicial y final de esa relación es el mismo conjunto, esta relación se dice homogénea, a diferencia de la correspondencia (o relación binaria heterogenia) en las que los conjuntos inicial y final son diferentes o los consideramos como diferentes.

Partiendo de este tipo de relación matemática podemos considerar los siguientes casos:

Relación reflexiva[editar]

Relación homogénia 010.svg

Una relación binaria homogénea, que cumple la propiedad reflexiva, se dice relación reflexiva.

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, si se cumple que:

Para todo elemento x de A, se cumple que el par ordenado (x,x) pertenece a la relación, esta relación es reflexiva.

En el ejemplo, representado en el diagrama sagital de la derecha, tenemos el conjunto:

Y la relación:

Su representación cartesiana seria:

Donde puede verse la relación R, entre los elementos del conjunto A, en el eje horizontal el conjunto A como conjunto inicial (de donde salen las flechas) y en el eje vertical el conjunto A como conjunto final (donde llegan las flechas). Representando con una estrella si esa relación se cumple y con un punto si no se cumple, puede verse que la diagonal todo son estrellas, lo que indica que la relación es reflexiva, cada elemento está relacionado consigo mismo.

Relación no reflexiva[editar]

Relación homogénia 011.svg

Una relación binaria homogénea, que no cumple la propiedad reflexiva, se dice relación no reflexiva.

No para todo elemento x del conjunto A, se cumple que el par ordenado (x,x) pertenece a la relación R.

Lo que es lo mismo que: Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, si se cumple que:

Si existe x de A, y se cumple que el par ordenado (x,x) no pertenece a la relación, esta relación es no reflexiva.

Dado el conjunto:

Y la relación representada en el diagrama de la derecha:

Su representación cartesiana seria:

Se puede ver que el elemento c no está relacionado con sigo mismo, y por tanto no se cumple la propiedad reflexiva. Es suficiente con que un único elemento del conjunto no cumpla la propiedad reflexiva para que la relación sea no reflexiva.


Relación homogénia 012.svg

La relación representada en el diagrama de la derecha:

Su representación cartesiana seria:

Los elementos a y c no cumplen la relación reflexiva.


Relación homogénia 013.svg

La relación representada en el diagrama de la derecha:

Su representación cartesiana seria:

Los elementos a, c y d no cumplen la relación reflexiva.


Relación homogénia 014.svg

La relación representada en el diagrama de la derecha:

Su representación cartesiana seria:

Los elementos a, b, c y d no cumplen la relación reflexiva. que son todos los elementos del conjunto A.

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, se cumple que:

Para todo elemento x del conjunto A, se cumple que el par ordenado (x,x) no pertenece a R. Esto es la relación R definida en A cumple la propiedad irreflexiva, que es un caso particular de las relaciones no reflexivas en la que ningún elemento del conjunto está relacionado con sigo mismo.

Las relaciones que son no reflexivas y no irreflexivas simultáneamente se dicen arreflexivas.

Referencias[editar]

Galería de relación binaria homogénea[editar]

Fundamentos de la Matemática/Galería de relación binaria homogénea

Correspondencia[editar]

Correspondencias N0000.svg

Dado un conjunto A y otro B y una relación donde algunos elementos de A están asociados con algunos elementos de B, es una correspondencia [1].

Definiciones[editar]

Correspondencias 0000.svg

En una correspondencia de A sobre B donde el elemento a de A esta relacionado con el elemneto b de B, al elemento a se le llama origen de b y al elemento b se le llama imagen de a.

En una correspondencia podemos distinguir cuatro conjuntos:

Conjunto inicial: es el conjunto desde el que se define la correspondencia. En la figura el conjunto inicial es el conjunto A, siendo A el formado por los siguientes elementos:

Conjunto final: es el conjunto sobre el que esta definida la correspondencia. El la figura es el conjunto B, formado por los siguientes elementos:

Conjunto origen: o conjunto de origenes, es el formado por los elemento de conjunto inicial que tienen imagen, los que son origen de la relación, en la figura es el formado por los siguientes elementos:

Conjunto imagen: o conjunto de imagenes, es el formado por los elementos del conjunto final que tienen origen, los que son imagenes de la relación. En la figura es el formado por los siguientes conjuntos:

Galería de ejemplos[editar]

A fin de ilustrar lo anterior podemos ver una galería de ejemplos de los tipos de correspondencia que pueden darse.

Habiendo cuatro propiedades independientes: unicidad de imagen, ui; unicidad de origen, uo; existencia de imagen, ei; existencia de origen, eo, se pueden dar 16 posibles combinaciones.


Correspondencias 0000.svg
1
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
Correspondencias 1000.svg
2
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
Correspondencias 0100.svg
3
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
Correspondencias 1100.svg
4
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Correspondencias 0010.svg
5
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
Correspondencias 1010.svg
6
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
Correspondencias 0110.svg
7
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
Correspondencias 1110.svg
8
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Correspondencias 0001.svg
9
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
Correspondencias 1001.svg
10
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
Correspondencias 0101.svg
11
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
Correspondencias 1101.svg
12
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Correspondencias 0011.svg
13
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
Correspondencias 1011.svg
14
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
Correspondencias 0111.svg
15
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
Correspondencias 1111.svg
16
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Referencias[editar]

  1. Valentín Gregori; J. C. Ferrando (1995). «2.2.2» (en español). Matemática discreta (2 edición). Editorial Reverte. p. 40. ISBN 978-84-291-5179-4. 

Propiedades de las correspondencias[editar]

Una correspondencia puede tener cuatro propiedades:

Unicidad de imagen, ui: si se cumple que los elementos del cinjunto inicial que tienen imagen tienen una sola imagen.
Unicidad de origen, uo: si se cumple que los elementos del conjumto final que tienen origen tienen un solo origen.
Existencia de imagen, ei: si se cumple que todos los elementos del conjunto inicial tienen imagen.
Existencia de origen, eo: si se cumple que todos los elementos del conjunto final tienen origen.

Referencias[editar]

Tipos de correspondencias[editar]

Relación binaria 203.svg

Los tipos de correspondencia

Como ya se ha dicho una correspondencia puede tener cuatro propiedades:

Unicidad de imagen: ui
Unicidad de origen: uo
Existencia de imagen: ei
Existencia de origen: eo

Estas propiedades son independientes, el cumplimiento de una de ellas no implica el cumplimiento o no cumplimiento de las demás, esta da lugar a 16 casos tipo de correspondencia, pero no todas tienen importancia matemática, estos 16 casos se agrupan en 7 que tienen nombre propio y se estudian por separado.

Se pueden diferenciar los siguientes casos.

Dados dos conjuntos A y B, donde algunos elementos de A esta asociados con algunos elementos de B, esta relación es una correspondencia.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen, se denomina correspondencia unívoca.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen y la unicidad de origen, se denomina correspondencia biunívoca. Una correspondencia biunívoca es previamente correspondencia unívoca.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen y existencia de imagen se llama aplicación matemático.

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen se denomina aplicación inyectiva.

Una aplicación matemática que cumple la existencia de origen se denomina aplicación sobreyectiva.

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen y la existencia de origen se denomina aplicación biyectiva.

Referencias[editar]

Tipos de correspondencias[editar]

Para centrar ideas, veremos un caso con valores numéricos concreto, así definiremos una correspondencia entre dos conjuntos de números naturales A y B de modo que los elementos a de A están asociados con elementos b de B de modo que b sea un múltiplo de a.

R es la relación de pares ordenados (a,b) del producto cartesiano de A por B, tal que b sea un múltiplo de a.

Caso: 1

Correspondencias N0000.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

La correspondencia se define asociando el elemento a de A con el elemento b de b si b es múltiplo de a, su representación cartesiana seria la siguiente.

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 2

Correspondencias N1000.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 3

Correspondencias N0100.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 4

Correspondencias N1100.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 5

Correspondencias N0010.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 6

Correspondencias N1010.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 7

Correspondencias N0110.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 8

Correspondencias N0001.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 9

Correspondencias N1001.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 10

Correspondencias N0101.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 11

Correspondencias N1101.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 12

Correspondencias N0011.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 13

Correspondencias N1011.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 14

Correspondencias N0111.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 15

Correspondencias N0111.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 16

Correspondencias N1111.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Referencias[editar]

Aplicación matemática[editar]

Relación binaria 203.svg

Una aplicación matemática: (f), es un caso particular de correspondencia, entre dos conjuntos, que cumple la unicidad de imagen y la existencia de imagen, eso es: para cada elemento del conjunto inicial: (A), existe un único elemento de conjunto imagen: (B), que es su imagen.

Una aplicación matemática: (f), se representa:

Los siguientes ejemplos de correspondencia son aplicaciones matemáticas:

Correspondencias N1010.svg
Correspondencias N1110.svg
Correspondencias N1011.svg
Correspondencias N1111.svg

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen se dice: aplicación inyectiva. Los siguientes ejemplos son aplicaciones inyectivas:

Correspondencias N1110.svg
Correspondencias N1111.svg

Una aplicación matemática que cumple la existencia de origen se dice: aplicación sobreyectiva. Los siguientes ejemplos son aplicaciones sobreyectivas:

Correspondencias N1011.svg
Correspondencias N1111.svg

Una aplicación matemática que cumple la unicidad y la existencia de origen se dice: aplicación biyectiva. El siguiente ejemplo es aplicacion biyectivas:

Correspondencias N1111.svg

Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

Referencias[editar]

Operación matemática[editar]

Fundamentos de la Matemática/Operación matemática

Operación binaria[editar]

Operación binaria 1.svg

Se define como operación binaria [1] aquella operación matemática, que necesita el dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria, representando la operación por el signo , es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:[2]

Podemos expresar la operación:

Tipos de operaciones binarias[editar]

Según los conjuntos que intervienen en la operación binaria podemos diferenciar los siguientes casos:

AL Operacion binaria.svg

Si solo interviene un conjunto la operación de dice interna, si interviene más de uno se dice externa.

Las operaciones internas las representaremos con los signos:

y las externas:

ejemplo de operación interna:

ejemplo de operación externa:

Referencias[editar]

  1. Sigler, L. E. (1981). «2». Álgebra (1 edición). Editoria Reverté S.A.. p. 35. ISBN 9788429151299. 
  2. Castañeda Hernández, Sebastián; Barrios Sarmiento, Agustín; Rafael, Martínez Solano (2004). «4». Notas de álgebra lineal (2 edición). Ediciones Uninorte. p. 198. ISBN 958-8133-89-0. 

Ley de composición[editar]

Fundamentos de la Matemática/Ley de composición

Estructura algebraica[editar]

Fundamentos de la Matemática/Estructura matemática

GNU Free Documentation License[editar]


Version 1.2, November 2002

Copyright (C) 2000,2001,2002  Free Software Foundation, Inc.
51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies
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0. PREAMBLE[editar]

The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other functional and useful document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others.

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1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS[editar]

This License applies to any manual or other work, in any medium, that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-free license, unlimited in duration, to use that work under the conditions stated herein. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". You accept the license if you copy, modify or distribute the work in a way requiring permission under copyright law.

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The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. If a section does not fit the above definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none.

The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A Front-Cover Text may be at most 5 words, and a Back-Cover Text may be at most 25 words.

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Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML, PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparent image formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced by some word processors for output purposes only.

The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text.

A section "Entitled XYZ" means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a specific section name mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" of such a section when you modify the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" according to this definition.

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2. VERBATIM COPYING[editar]

You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.

You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.

3. COPYING IN QUANTITY[editar]

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If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.

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It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.

4. MODIFICATIONS[editar]

You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:

A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.
B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.
C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.
D. Preserve all the copyright notices of the Document.
E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.
F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.
H. Include an unaltered copy of this License.
I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.
J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.
L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.
M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.
N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.
O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.

You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.

5. COMBINING DOCUMENTS[editar]

You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.

The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.

In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements."

6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS[editar]

You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.

You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.

7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS[editar]

A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.

8. TRANSLATION[editar]

Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.

9. TERMINATION[editar]

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.

10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE[editar]

The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.

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