Fundamentos de la Matemática/Relación matemática

Una relación matemática entre los elementos, de uno o más conjuntos, es el conjunto de las tuplas de elementos de esos conjuntos que cumplen una determinada condición.

El caso más general de relaciones matemáticas es el de relaciones binarias, donde intervienen dos elementos en la relación:

${\mathcal {R}}=\left\{\left(a,b\right)\in A\times B\mid {\mathcal {P}}\left(a,b\right)\right\}$

La relación ${\mathcal {R}}$ es el conjunto de pares ordenados (a,b) que pertenecen al producto $A\times B$ que cumplen la propiedad ${\mathcal {P}}(a,b)$

Claramente:

${\mathcal {R}}\subseteq A\times B$

La relación ${\mathcal {R}}$ es un subconjunto de $A\times B$

Notación caso general

Dada una relación entre los elementos de n conjuntos:

${\mathcal {R}}=\left\{(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\in A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times \ldots \times A_{n}\mid {\mathcal {P}}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\right\}$

La relación: ${\mathcal {R}}$ se define como las tuplas: $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})$, del producto de conjuntos: $A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times \ldots \times A_{n}$, que cumplen la condición: ${\mathcal {P}}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})$.

Si una tupla es de la relación se expresa:

${\mathcal {R}}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\quad o\quad (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\in {\mathcal {R}}$

Si la tupla no es de la relación:

${\cancel {\mathcal {R}}}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\quad o\quad \lnot {\mathcal {R}}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\quad o\quad (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\notin {\mathcal {R}}$

Tipos de relaciones por el número de elementos

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unaria: un solo conjunto $R\subseteq A\times 1,\;R(a)$

Relación binaria: con dos conjuntos $R\subseteq A_{1}\times A_{2},\;R(a_{1},a_{2})$

Relación ternaria: con tres conjuntos $R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3},\;R(a_{1},a_{2},a_{3})$

Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos $R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times A_{4},\;R(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$

Relación n-aria: caso general con n conjuntos $R\subseteq A_{1}\times A_{2}\ldots \times A_{n},\;R(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

Tipos de relaciones por la igualdad de los conjuntos

Si el producto cartesiano es del mismo conjunto:

$A\times A\times A\times \ldots \times A=A^{n}$

La relación se denomina relación homogénea y se representa:

${\mathcal {R}}=\left\{(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\in A^{n}\mid {\mathcal {P}}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\right\}$

Si no todos los conjuntos son iguales, se denomina: relación heterogénea y se representa:

${\mathcal {R}}=\left\{(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\in A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times \ldots \times A_{n}\mid {\mathcal {P}}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\right\}$