Fundamentos de la Matemática/Ley de composición

Un ley de composición es un tipo de operación binaria que define una estructura algebraica, si la ley de composición relaciona dos elementos de un mismo conjunto y el resultado es de ese mismo conjunto la ley de composición se denomina interna, si la ley de composición relaciona dos elementos de dos conjuntos distintos se denomina externa.

Convenio de representación

Adoptaremos como convenio de representación para expresar, las cuestiones relacionadas con las estructuras algebraicas, lo siguiente:

Los conjuntos los llamaremos con letras mayúsculas:

$A,B,C,\dots$

Los elementos los representaremos con letras minúsculas:

$a,b,c,\dots$

Las leyes de composición internas las representaremos:

$\circledcirc ,\odot ,\circledast ,\oplus ,\ominus ,\otimes ,\oslash ,\dots$

Las leyes de composición externas las representaremos:

$\circ ,\cdot ,\ast ,+,-,\times ,\diagup ,\dots$

Ley de composición interna

Dado un conjunto A y una operación $\odot$, que representaremos como el par $(A,\odot )$, se dice que $\odot$ es una ley de composición interna u operación interna en A cuando es una aplicación de la forma siguiente.

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

Una ley de composición interna asigna a cada par ordenado (a, b), cuyas componentes pertenecen ambas al conjunto A, un tercer elemento c, también contenido en A. Este elemento c es único para cada par (a, b) determinado, lo cual se expresa en símbolos de la siguiente manera.

$\forall (a,b)\in A\times A\;,\quad \exists !c\in A\;:\quad c=a\odot b$

Ley de composición externa

Si los dos elementos operados no pertenecen al mismo conjunto la ley de composición es externa, pudiendo diferenciar:

Ley de composición externa por la derecha

Dado dos conjunto A y B, y una operación: $\cdot$, que representaremos $(A,B,\cdot )$:

${\begin{array}{rccl}\cdot :&A\times B&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\cdot b\end{array}}$

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de A por B, le asigna un c de A.

$\forall (a,b)\in A\times B\,,\quad \exists !c\in A\;:\quad c=a\cdot b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la derecha.

Ley de composición externa por la izquierda

Del mismo modo también se considera ley de composición externa, que se denota: $(A,B,\circ )$:

${\begin{array}{rccl}\circ :&A\times B&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circ b\end{array}}$

Donde a cada par de valores (a, b) de A por B se le asigna un valor c de B.

$\forall (a,b)\in A\times B\,,\quad \exists !c\in B\;:\quad c=a\circ b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la izquierda.

Cualquier operación distinta de las anteriores no se considera ley de composición.

Enlaces externos

• w:Ley de composición
• Ley de composición
• LEYES DE COMPOSICION INTERNAS