Fundamentos de la Matemática/Grupo
Sea un conjunto: A y una ley de composición interna: , definida:
Dado que se cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
El par es una estructura definida en un único conjunto con una sola ley de composición. Si ademas cumple la propiedad asociativa, tiene elemento neutro y tiene elemento simétrico, se denomina grupo. Si este grupo cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo conmutativo o abeliano.
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Suma de números enteros
[editar]Dado el conjunto: de los números enteros y la ley de composición interna: , suma, definida como:
1) - se cumple que:
Para todo par ordenado (a,b) en , se cumple que existe un único c en , tal que c = a + b. La operación suma de números enteros es interna.
2) - se cumple que:
Para todo a, b, c números enteros, sumar a y b y el resultado sumarlo con c es igual a sumar a al resultado de sumar b y c. La operación suma de números enteros es asociativa.
3) - se cumple que:
Para todo a número entero, existe un 0, cero, número entero que cumple que: 0 + a = a + 0 = a. La operación suma de números enteros tiene elemento neutro y este elemento neutro es el 0, el cero.
4) - se cumple que:
Para todo a número entero, existe -a número entero, que cumple que a más -a es igual a -a más a e igual a 0, siendo 0 el elemento neutro, todo número entero tiene elemento simétrico para la suma, el elemento simétrico para la suma se suele llamar elemento opuesto.
Por lo tanto la suma de números enteros: es un grupo.
5) - se cumple que:
Para todo a, b números enteros se cumple que la suma de a más b es igual a la suma de b más a, cumpliendo la propiedad conmutativa. La suma de números enteros es un grupo conmutativo o abeliano.
Multiplicación de números racionales
[editar]Dado el conjunto: de los números racionales menos el 0, , y la ley de composición interna: , producto, definida como:
Véase también
[editar]Bibliografía
[editar]- Paul Dubreil (1975) (en Español). Teoría de grupos. Reverte. ISBN 978-84-291-5071-1.
- Pavel Sergeevich Alexandrov (2005) [1980]. Domingo Martín Ricoy. ed (en Español). Introducción a la teoría de grupos. Editorial URSS. ISBN 5-354-01129-9.