Fundamentos de la Matemática/Estructura algebráica de un conjunto y una ley de composición interna

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Operación binaria 1.svg

Sea un conjunto: A y una ley de composición: , definida:

Dado que se cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El par es una estructura definida en un unico conjunto con una sola ley de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: magma, semigrupo, monoide o grupo, según las propiedades que cumpla.

grupo
monoide
semigrupo
magma
conjunto
ley de composición
interna
asociativa
elemento neutro
elemento simétrico

Magma[editar]

Véase también: w:Magma (álgebra)
Algebra 1 ley 11a.svg

Un Magma es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .[1]

Siendo esta ley de composición una operación interna:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El término magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki.[1] Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática (ver grupoide), por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.[2][3]

Magma conmutativo[editar]

Algebra 1 ley 11b.svg

Un Magma conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .

Siendo esta ley de composición una operación interna y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Semigrupo[editar]

Véase también: w:Semigrupo
Algebra 1 ley 12a.svg

Un Semigrupo es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .

Siendo esta ley de composición una operación interna y asociativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

Semigrupo conmutativo[editar]

Algebra 1 ley 12b.svg

Un Semigrupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Monoide[editar]

Véase también: w:Monoide
Algebra 1 ley 13a.svg

Un Monoide es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y elemento neutro:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

Monoide conmutativo[editar]

Algebra 1 ley 13b.svg

Un Monoide conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, elemento neutro y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Grupo[editar]

Véase también: w:Grupo (matemática)
Algebra 1 ley 14a.svg

Un Grupo es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro y elemento simétrico:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación , si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

Un elemento simétrico de en es simétrico por la derecha del elemento y simétrico por la izquierda del elemento . Donde e es el elemento neutro.

Grupo conmutativo[editar]

Véase también: w:Grupo abeliano
Algebra 1 ley 14b.svg

Un Grupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación , si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

Un elemento simétrico de en es simétrico por la derecha del elemento y simétrico por la izquierda del elemento . Donde e es el elemento neutro.

5.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Referencias[editar]