Fundamentos de la Matemática/Estructura algebráica de un conjunto y una ley de composición interna

Sea un conjunto: A y una ley de composición: $\circledcirc$, definida:

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Dado que se cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,,\quad \exists !c\in A\;:\quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El par $(A,\circledcirc )$ es una estructura definida en un unico conjunto con una sola ley de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: magma, semigrupo, monoide o grupo, según las propiedades que cumpla.

grupo monoide semigrupo magma conjunto ley de composición interna asociativa elemento neutro elemento simétrico

Magma

Véase también: w:Magma (álgebra)

Un Magma es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El término magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki. Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática (ver grupoide), por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.

Magma conmutativo

Un Magma conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna $\circledcirc$, que se representa: $(A,\circledcirc )$, se dice que $\circledcirc$ tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

$\forall a,b\in A\;:\quad a\circledcirc b=b\circledcirc a$

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Semigrupo

Véase también: w:Semigrupo

Un Semigrupo es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna y asociativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\circledcirc c=a\circledcirc (b\circledcirc c)$

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

Semigrupo conmutativo

Un Semigrupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\circledcirc c=a\circledcirc (b\circledcirc c)$

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna $\circledcirc$, que se representa: $(A,\circledcirc )$, se dice que $\circledcirc$ tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

$\forall a,b\in A\;:\quad a\circledcirc b=b\circledcirc a$

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Monoide

Véase también: w:Monoide

Un Monoide es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y elemento neutro:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\circledcirc c=a\circledcirc (b\circledcirc c)$

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en $(A,\circledcirc )$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

$\forall a\in A\;:\quad \exists e\in A\;\vert \quad e\circledcirc a=a\circledcirc e=a$

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

Monoide conmutativo

Un Monoide conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, elemento neutro y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\circledcirc c=a\circledcirc (b\circledcirc c)$

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en $(A,\circledcirc )$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

$\forall a\in A\;:\quad \exists e\in A\;\vert \quad e\circledcirc a=a\circledcirc e=a$

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna $\circledcirc$, que se representa: $(A,\circledcirc )$, se dice que $\circledcirc$ tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

$\forall a,b\in A\;:\quad a\circledcirc b=b\circledcirc a$

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Grupo

Véase también: w:Grupo (matemática)

Un Grupo es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro y elemento simétrico:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\circledcirc c=a\circledcirc (b\circledcirc c)$

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en $(A,\circledcirc )$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

$\forall a\in A\;:\quad \exists e\in A\;\vert \quad e\circledcirc a=a\circledcirc e=a$

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación $\circledcirc$, si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$\forall a\in A\;:\quad \exists {\bar {a}}\in A\;\vert \quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e$

Un elemento simétrico ${\bar {a}}$ de $a\,$ en $(A,\circledcirc )$ es simétrico por la derecha del elemento $a\,$ y simétrico por la izquierda del elemento $a\,$. Donde e es el elemento neutro.

Grupo conmutativo

Véase también: w:Grupo abeliano

Un Grupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma $(A,\circledcirc )$ donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: $\circledcirc$.

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ es interna si cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\circledcirc b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(A,\circledcirc )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\circledcirc c=a\circledcirc (b\circledcirc c)$

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en $(A,\circledcirc )$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

$\forall a\in A\;:\quad \exists e\in A\;\vert \quad e\circledcirc a=a\circledcirc e=a$

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación $\circledcirc$, si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$\forall a\in A\;:\quad \exists {\bar {a}}\in A\;\vert \quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e$

Un elemento simétrico ${\bar {a}}$ de $a\,$ en $(A,\circledcirc )$ es simétrico por la derecha del elemento $a\,$ y simétrico por la izquierda del elemento $a\,$. Donde e es el elemento neutro.

5.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna $\circledcirc$, que se representa: $(A,\circledcirc )$, se dice que $\circledcirc$ tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

$\forall a,b\in A\;:\quad a\circledcirc b=b\circledcirc a$

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.