Fundamentos de la Matemática/Estructura algebráica de un conjunto y dos leyes de composición internas

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En este capitulo veremos las estructuras algebraicas en un conjunto y con dos leyes de composición internas.[1]

Sea un conjunto: A y dos leyes de composición: , definida:

- 1º ley:

Operación 01abc2.svg

Dado que se cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b con esta 1º ley.

- 2º ley:

Operación 02abc4.svg

Dado que se cumple:

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único d en A, tal que d es el resultado de operar a con b con esta 2º ley.

La terna es una estructura definida en un unico conjunto: A, con dos leyes de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: semianillo, semianillo unitario, anillo, anillo unitari o cuerpo, entre otras estructuras según las propiedades que cumplan.

Semianillo[editar]

Véase también: w:Semianillo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de semianillo[2] [3] si se cumple que:

  1. es semigrupo conmutativo.
  2. es semigrupo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 0a Semianillo.svg

Senianillo conmutativo[editar]

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de semianillo conmutativo si se cumple que:

  1. es semigrupo conmutativo.
  2. es semigrupo conmutativo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 0b Semianillo conmutativo.svg

Semianillo unitario[editar]

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de semianillo unitario si se cumple que:

  1. es semigrupo conmutativo.
  2. es monoide.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 1a Semianillo unitario.svg

Senianillo unitario conmutativo[editar]

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de semianillo unitario conmutativo si se cumple que:

  1. es semigrupo conmutativo.
  2. es monoide conmutativo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 1b Semianillo unitario conmutativo.svg

Anillo[editar]

Véase también: w:Anillo (matemática)

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de anillo si se cumple que:

  1. es grupo conmutativo.
  2. es semigrupo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 2a Anillo.svg

Anillo conmutativo[editar]

Véase también: w:Anillo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de anillo conmutativo si se cumple que:

  1. es grupo conmutativo.
  2. es semigrupo conmutativo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 2b Anillo conmutativo.svg

Anillo unitario[editar]

Véase también: w:Anillo unitario

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de anillo unitario si se cumple que:

  1. es grupo conmutativo.
  2. es monoide.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 3a Anillo unitario.svg

Anillo unitario conmutativo[editar]

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de anillo unitario conmutativo si se cumple que:

  1. es grupo conmutativo.
  2. es monoide conmutativo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 3b Anillo unitario conmutativo.svg

Cuerpo[editar]

Véase también: w:Cuerpo (matemáticas)

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de cuerpo si se cumple que:

  1. es grupo conmutativo.
  2. es grupo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 4a Cuerpo.svg

Cuerpo conmutativo[editar]

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de cuerpo conmutativo si se cumple que:

  1. es grupo conmutativo.
  2. es grupo conmutativo.
  3. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 4b Cuerpo conmutativo.svg

Álgebra de Boole[editar]

Véase también: w:Álgebra de Boole
Véase también: w:Álgebra de Heyting
Véase también: w:Retículo distributivo
Véase también: w:Conjunto parcialmente ordenado

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: , 2ª ley: , definidas en A, la terna es una estructura álgebraica de álgebra de Boole si se cumple que:

  1. es monoide conmutativo.
  2. es monoide conmutativo.
  3. es distributiva sobre .
  4. es distributiva sobre .
Algebra 2 leyes 9a Álgebra de Boole.svg

Referencias[editar]

  1. Sigler, L.E. (1981). Álgebra (1ª. edición). Barcelona: Editorial Reverté. pp. 476. ISBN 9788429151299. http://www.reverte.com/isbn/9788429151299. 
  2. García Rua, J.,; Martínez Sánchez, J. M. (1977). «3». En Ministerio de Educación (en español). Matemática básica elemental. pp. 56. ISBN 9788436902167. 
  3. Fernandez Nvoa, Jesús (1991). «1» (en español). Análisis matemático I (4 edición). UNED. pp. 15. ISBN 978-84362-1668-4.