Fundamentos de la Matemática/Estructura algebráica de un conjunto y dos leyes de composición internas

En este capitulo veremos las estructuras algebraicas en un conjunto y con dos leyes de composición internas.^[1]

Sea un conjunto: A y dos leyes de composición: $\circledcirc ,\odot$ , definida:

- 1º ley:

{\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}

Dado que se cumple:

\forall (a,b)\in A\times A\,,\quad \exists !c\in A\;:\quad c=a\circledcirc b

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b con esta 1º ley.

- 2º ley:

{\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &d=a\odot b\end{array}}

Dado que se cumple:

\forall (a,b)\in A\times A\,,\quad \exists !d\in A\;:\quad d=a\odot b

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único d en A, tal que d es el resultado de operar a con b con esta 2º ley.

La terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura definida en un unico conjunto: A, con dos leyes de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: semianillo, semianillo unitario, anillo, anillo unitari o cuerpo, entre otras estructuras según las propiedades que cumplan.

Semianillo

Véase también: w:Semianillo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo^[2] ^[3] si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es semigrupo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Senianillo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo conmutativo si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es semigrupo conmutativo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Semianillo unitario

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo unitario si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es monoide.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Senianillo unitario conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de semianillo unitario conmutativo si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es semigrupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es monoide conmutativo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Anillo

Véase también: w:Anillo (matemática)

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es semigrupo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Anillo conmutativo

Véase también: w:Anillo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo conmutativo si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es semigrupo conmutativo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Anillo unitario

Véase también: w:Anillo unitario

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo unitario si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es monoide.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Anillo unitario conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de anillo unitario conmutativo si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es monoide conmutativo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Cuerpo

Véase también: w:Cuerpo (matemáticas)

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de cuerpo si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es grupo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Cuerpo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de cuerpo conmutativo si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es grupo conmutativo.
$(A,\odot )$ es grupo conmutativo.
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Álgebra de Boole

Véase también: w:Álgebra de Boole

Véase también: w:Álgebra de Heyting

Véase también: w:Retículo distributivo

Véase también: w:Conjunto parcialmente ordenado

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley: $\circledcirc$ , 2ª ley: $\odot$ , definidas en A, la terna $(A,\circledcirc ,\odot )$ es una estructura álgebraica de álgebra de Boole si se cumple que:

$(A,\circledcirc )$ es monoide conmutativo.
$(A,\odot )$ es monoide conmutativo.
$\circledcirc$ es distributiva sobre $\odot$ .
$\odot$ es distributiva sobre $\circledcirc$ .

Referencias

↑ Sigler, L.E. (1981). Álgebra (1ª. edición). Barcelona: Editorial Reverté. pp. 476. ISBN 9788429151299. http://www.reverte.com/isbn/9788429151299.
↑ García Rua, J.,; Martínez Sánchez, J. M. (1977). «3». En Ministerio de Educación (en español). Matemática básica elemental. pp. 56. ISBN 9788436902167.
↑ Fernandez Nvoa, Jesús (1991). «1» (en español). Análisis matemático I (4 edición). UNED. pp. 15. ISBN 978-84362-1668-4.

[1] Sigler, L.E. (1981). Álgebra (1ª. edición). Barcelona: Editorial Reverté. pp. 476. ISBN 9788429151299. http://www.reverte.com/isbn/9788429151299.

[2] García Rua, J.,; Martínez Sánchez, J. M. (1977). «3». En Ministerio de Educación (en español). Matemática básica elemental. pp. 56. ISBN 9788436902167.

[3] Fernandez Nvoa, Jesús (1991). «1» (en español). Análisis matemático I (4 edición). UNED. pp. 15. ISBN 978-84362-1668-4.

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