Fundamentos de la Matemática/Correspondencia

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Correspondencia AB01.svg

Dado un conjunto A y otro B y una relación donde algunos elementos de A están asociados con algunos elementos de B, es una correspondencia [1].

Definiciones[editar]

Correspondencia sagital AB01.svg

En una correspondencia de A sobre B donde el elemento a de A esta relacionado con el elemneto b de B, al elemento a se le llama origen de b y al elemento b se le llama imagen de a.

En una correspondencia podemos distinguir cuatro conjuntos:

Conjunto inicial: es el conjunto desde el que se define la correspondencia. En la figura el conjunto inicial es el conjunto A, siendo A el formado por los siguientes elementos:

Conjunto final: es el conjunto sobre el que esta definida la correspondencia. El la figura es el conjunto B, formado por los siguientes elementos:

Conjunto origen: o conjunto de origenes, es el formado por los elemento de conjunto inicial que tienen imagen, los que son origen de la relación, en la figura es el formado por los siguientes elementos:

Conjunto imagen: o conjunto de imagenes, es el formado por los elementos del conjunto final que tienen origen, los que son imagenes de la relación. En la figura es el formado por los siguientes conjuntos:

Una correspondencia puede tener cuatro propiedades:

Unicidad de imagen, ui: si se cumple que los elementos del cinjunto inicial que tienen imagen tienen una sola imagen.
Unicidad de origen, uo: si se cumple que los elementos del conjumto final que tienen origen tienen un solo origen.
Existencia de imagen, ei: si se cumple que todos los elementos del conjunto inicial tienen imagen.
Existencia de origen, eo: si se cumple que todos los elementos del conjunto final tienen origen.

Galería de ejemplos[editar]

A fin de ilustrar lo anterior podemos ver una galería de ejemplos de los tipos de correspondencia que pueden darse.

Habiendo cuatro propiedades independientes: unicidad de imagen, ui; unicidad de origen, uo; existencia de imagen, ei; existencia de origen, eo, se pueden dar 16 posibles combinaciones.


Correspondencia sagital AB01.svg
1
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
Correspondencia sagital AB02.svg
2
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
Correspondencia sagital AB03.svg
3
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
Correspondencia sagital AB04.svg
4
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Correspondencia sagital AB05.svg
5
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
Correspondencia sagital AB06.svg
6
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
Correspondencia sagital AB07.svg
7
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
Correspondencia sagital AB08.svg
8
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Correspondencia sagital AB09.svg
9
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
Correspondencia sagital AB10.svg
10
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
Correspondencia sagital AB11.svg
11
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
Correspondencia sagital AB12.svg
12
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Correspondencia sagital AB13.svg
13
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
Correspondencia sagital AB14.svg
14
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
Correspondencia sagital AB15.svg
15
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
Correspondencia sagital AB16.svg
16
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Ejemplo numérico[editar]

Para centrar ideas, veremos un caso con valores numéricos concreto, así definiremos una correspondencia entre dos conjuntos de números naturales A y B de modo que los elementos a de A están asociados con elementos b de B de modo que b sea un múltiplo de a.

R es la relación de pares ordenados (a,b) del producto cartesiano de A por B, tal que b sea un múltiplo de a.

Caso: 1

Correspondencia sagital n AB01.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

La correspondencia se define asociando el elemento a de A con el elemento b de b si b es múltiplo de a, su representación cartesiana seria la siguiente.

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 2

Correspondencia sagital n AB02.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 3

Correspondencia sagital n AB03.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 4

Correspondencia sagital n AB04.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 5

Correspondencia sagital n AB05.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 6

Correspondencia sagital n AB06.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 7

Correspondencia sagital n AB07.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 8

Correspondencia sagital n AB08.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 9

Correspondencia sagital n AB09.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 10

Correspondencia sagital n AB10.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 11

Correspondencia sagital n AB11.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 12

Correspondencia sagital n AB12.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 13

Correspondencia sagital n AB13.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 14

Correspondencia sagital n AB14.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 15

Correspondencia sagital n AB15.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 16

Correspondencia sagital n AB16.svg

En la figura de la derecha tenemos que:

Representación cartesiana:

Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Tipos de correspondencia[editar]

Relación binaria es 21.svg

Como ya se ha dicho una correspondencia puede tener cuatro propiedades:

Unicidad de imagen: ui
Unicidad de origen: uo
Existencia de imagen: ei
Existencia de origen: eo

Estas propiedades son independientes, el cumplimiento de una de ellas no implica el cumplimiento o no cumplimiento de las demás, esta da lugar a 16 casos tipo de correspondencia, pero no todas tienen importancia matemática, estos 16 casos se agrupan en 7 que tienen nombre propio y se estudian por separado.

Se pueden diferenciar los siguientes casos.

Dados dos conjuntos A y B, donde algunos elementos de A esta asociados con algunos elementos de B, esta relación es una correspondencia.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen, se denomina correspondencia unívoca.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen y la unicidad de origen, se denomina correspondencia biunívoca. Una correspondencia biunívoca es previamente correspondencia unívoca.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen y existencia de imagen se llama aplicación matemático.

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen se denomina aplicación inyectiva.

Una aplicación matemática que cumple la existencia de origen se denomina aplicación sobreyectiva.

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen y la existencia de origen se denomina aplicación biyectiva.

Referencias[editar]

  1. Valentín Gregori; J. C. Ferrando (1995). «2.2.2» (en español). Matemática discreta (2 edición). Editorial Reverte. p. 40. ISBN 978-84-291-5179-4.