Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 097b

índice

Lección 096b ← Lección 097b → Lección 098b

Lección 097

Mathematik auf Deutsch - 47

BM2301 - BM2310

BM2301

Division unter Verwendung von Variablen

---

${\begin{aligned}4{,}5a:0{,}5b&={\tfrac {4{,}5a}{0{,}5b}}\\&={\tfrac {4{,}5}{0{,}5}}\cdot {\tfrac {a}{b}}\\&=9\cdot {\tfrac {a}{b}}\\&=9{\tfrac {a}{b}}\end{aligned}}$

---

Treten in Dividenden und Divisor gleiche Variablen auf, so lässt sich der Quotient weiter vereinfachen:

${\begin{aligned}2{,}1x^{2}:0{,}7x&={\tfrac {2{,}1x^{2}}{0{,}7x}}\\&={\tfrac {2{,}1}{0{,}7}}\cdot {\tfrac {x\cdot x}{x}}\\&=3\cdot x\\&=3x\end{aligned}}$

Man berechnet also einen Quotienten, indem man den Quotienten der Koeffizienten mit dem Quotienten der Variablen multipliziert.

---

${\begin{aligned}(-24a^{2}):(-48a^{5})&=+{\tfrac {24a^{2}}{48a^{2}}}\quad \quad (a\neq 0)\\&={\tfrac {24}{48}}\cdot {\tfrac {a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}\\&={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{a\cdot a\cdot a}}\\&={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{a^{3}}}\\&={\tfrac {1}{2a^{3}}}\end{aligned}}$

---

Da ${\tfrac {a}{b}}\cdot c={\tfrac {a}{b\cdot c}}$ bis auf einige Ausnahmefälle NICHT gilt, müssen bei der Verwendung des Doppelpunktes als Divisionszeichen zusätzlich Klammern gesetzt werden.

Es gilt ${\tfrac {a}{b}}\cdot c=(a:b)\cdot c$ und ${\tfrac {a}{b\cdot c}}=a:(b\cdot c)$

---

${\tfrac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

${\tfrac {a^{6}}{a^{2}}}=a^{6-2}=a^{4}$

${\tfrac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}={\tfrac {1}{a^{2}}}$

BM2302

Rechne!

---

a) $m:m$

b) $mn:m$

c) $(-5rs):2s$

---

d) $mn:n$

e) $7m:5m$

f) $(-12a^{2}bc):{\tfrac {1}{12}}abc$

Lösung BM2302

a) $m:m=1$ --- b) ${\begin{aligned}mn:m&={\tfrac {mn}{m}}\\&=n\end{aligned}}$ --- c) ${\begin{aligned}(-5rs):2s&=-{\tfrac {5rs}{2s}}\\&=2{,}5r\end{aligned}}$ --- d) ${\begin{aligned}mn:n&=-{\tfrac {mn}{n}}\\&=m\end{aligned}}$ --- e) ${\begin{aligned}7m:5m&={\tfrac {7m}{5m}}\\&={\tfrac {7}{5}}\\&=1{\tfrac {2}{5}}\\&=1{\tfrac {4}{10}}\\&=1{,}4\end{aligned}}$ --- f) ${\begin{aligned}(-12a^{2}bc):{\tfrac {1}{12}}abc&=(-12a^{2}bc):{\tfrac {abc}{12}}\\&=(-12a^{2}bc)\cdot {\tfrac {12}{abc}}\\&=-{\tfrac {12\cdot 12\cdot a^{2}bc}{abc}}\\&=-{\tfrac {144a^{2}}{a}}\\&=-{\tfrac {144a}{1}}\\&=144a\end{aligned}}$

BM2303

Rechne!

---

a) $2m:m$

b) $m^{2}:m$

c) $(-mn):n$

---

d) $mn:(-n)$

e) $(-5r^{2}s^{2}):(-15r^{2}s)$

f) $(-12a^{2}b^{2}c):(-4ab^{2}c)$

Lösung BM2303

a) ${\begin{aligned}2m:m&={\tfrac {2m}{m}}\\&=2\end{aligned}}$ --- b) ${\begin{aligned}m^{2}:m&={\tfrac {m^{2}}{m}}\\&={\tfrac {m\cdot m}{m}}\\&=m\end{aligned}}$ --- c) ${\begin{aligned}(-mn):n&=-{\tfrac {mn}{n}}\\&=-m\end{aligned}}$ --- d) ${\begin{aligned}mn:(-n)&=-{\tfrac {mn}{n}}\\&=-m\end{aligned}}$ --- e) ${\begin{aligned}(-5r^{2}s^{2}):(-15r^{2}s)&={\tfrac {5r^{2}s^{2}}{15r^{2}s}}\\&={\tfrac {5}{15}}\cdot {\tfrac {r^{2}s^{2}}{r^{2}s}}\\&={\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {s}{1}}\\&={\tfrac {s}{3}}\end{aligned}}$ --- f) ${\begin{aligned}(-12a^{2}b^{2}c):(-4ab^{2}c)&={\tfrac {-12a^{2}b^{2}c}{-4ab^{2}c}}\\&={\tfrac {-12}{-4}}\cdot {\tfrac {a^{2}b^{2}c}{ab^{2}c}}\\&={\tfrac {3}{1}}\cdot {\tfrac {a}{1}}\\&=3a\end{aligned}}$

BM2304

Ausklammern

---

$2a{\color {Brown}b}+3{\color {Brown}b}={\color {Brown}(}2a+3{\color {Brown})}{\color {Brown}b}$

---

Die Summe $2ab+3b$ kann in ein Produkt verwandelt werden, da beide Summanden den gleichen Faktor $b$ enthalten.

$2ab+3b=b(2a+3)$

Zur Begründung wird das Distributivgesetz benutzt, nach dem gilt:

$b(2a+3)=2ab+3b$.

---

Man sagt, dass der gemeinsame Faktor $b$ ausgeklammert wird. Die Glieder in der Klammer ergeben sich, indem die gegebenen Summanden durch den gemeinsamen Faktor, der ausgeklammert werden soll, dividiert werden.

---

Wandle die Summe $4x+16xy$ in ein Produkt um!

1. Schritt:

Wir suchen einen gemeinsamen Faktor, der auszuklammern ist. Ein solcher Faktor ist $4x$.

2. Schritt:

Wir dividieren beide Summen durch $4x$ und bilden aus den Quotienten die Summe.

$4x:4x=1$; $16xy:4x=4y$; $1+4y$ (jeweiles $x\neq 0$)

3. Schritt:

Wir bilden aus dem gemeinsamen Faktor $4x$ und der Summe $1+4y$ das Produkt und erhalten $4x(1+4y)$.

---

$4x+16xy=4x(1+4y)$

---

Wenn wir nur den Faktor $x$ ausklammern, dann erhalten wir:

$4x+16xy=x(4+16y)$

---

Wenn wir nur den Faktor $4$ ausklammern, dann erhalten wir:

$4x+16xy=4(x+4xy)$

---

Wenn wir nur den Faktor $2$ ausklammern, dann erhalten wir:

$4x+16xy=2(2x+8xy)$

---

Man sollte aber immer so viel wie möglich ausklammern:

$4x+16xy=x(4+16y)$

---

Forme die Summe $xy-xv-cx+cz$ um!

1. Schritt:

Aus den ersten beiden Gliedern klammern wir den gemeinsamen Faktor $x$ aus.

$x(y-v)-cx+cz$

2. Schritt:

Aus den letzten beiden Gliedern klammern wir den gemeinsamen Faktor $c$ aus.

$x(y-v)+c(-x+z)$

Wenn wir den gemeinsamen Faktor $-c$ ausklammern würden, dann hätten wir:

$x(y-v)-c(x-z)$

Beides ist möglich.

Es gibt mehrere Möglichkeiten für die Umformung.

BM2305

Wandle in Produkte um!

---

a) $0{,}7a+0{,}7b$

b) $0{,}7a+5{,}2a$

c) $0{,}67a^{2}+2{,}01a$

d) $5a^{2}b-20a^{2}b$

---

e) $6h-18gh-12f$

f) $x^{2}-4x$

g) $z^{2}-z$

h) $1{,}2a+1{,}5a^{2}$

Lösung BM2305
a) $0{,}7a+0{,}7b=0{,}7(a+b)$ b) $0{,}7a+5{,}2a=a(0{,}7+5{,}2)$ c) $0{,}67a^{2}+2{,}01a=a(0{,}67a+2{,}01)$ d) $5a^{2}b-20a^{2}b=5a^{2}b(1-4)$ --- e) $6h-18gh-12f=6(h-3gh-2f)=6h(1-3g)-12f$ (Letzteres ist aber KEIN Produkt.) f) $x^{2}-4x=x(x-4)$ g) $z^{2}-z=z(z-1)$ h) $1{,}2a+1{,}5a^{2}=a(1{,}2+1{,}5a)$

BM2306

Wandle in Produkte um!

---

a) $-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y$

b) $xz+xw$

c) $2{,}8a^{3}r^{2}-3{,}5a^{2}r$

d) $-65ux+39my$

---

e) $-96m^{2}n-24mn^{2}-120m^{2}n^{2}$

f) $y^{2}-0{,}6y$

g) $4x^{2}-6x$

h) $2{,}5a^{2}+12{,}5a$

Lösung BM2306
a) $-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y=-{\tfrac {1}{2}}(x-y)$ b) $xz+xw=x(z+w)$ c) $2{,}8a^{3}r^{2}-3{,}5a^{2}r=0{,}7a^{2}r(4ar-5)$ d) $-65ux+39my=13(5ux+3my)$ --- e) $-96m^{2}n-24mn^{2}-120m^{2}n^{2}=$ f) $y^{2}-0{,}6y=y(y-0{,}6)$ g) $4x^{2}-6x=2x(2x-3)$ h) $2{,}5a^{2}+12{,}5a=2{,}5a(a+5)$

BM2307

Klammere so weit wie möglich gemeinsame Faktoren aus!

---

a) $0{,}5x+0{,}8y-0{,}2xy+0{,}4y^{2}$

b) $3ab-2bc-cd$

c) $7a^{2}b+2ab+4ab^{2}$

---

d) $12xy-9x-15y$

e) $15rs-16t-12r+12st$

f) $22ab-44a-33b+1$

Lösung BM2307

a) ${\displaystyle }$ ${\begin{aligned}0{,}5x+0{,}8y-0{,}2xy+0{,}4y^{2}&=0{,}5x-0{,}2xy+0{,}8y+0{,}4y^{2}\\&=0{,}1x(5-2y)+0{,}4y(2+y)\end{aligned}}$ --- b) ${\displaystyle }$ ${\begin{aligned}3ab-2bc-cd&=3ab-c(2b+d)\\&=b(3a-2c)-cd\end{aligned}}$ --- c) $7a^{2}b+2ab+4ab^{2}=ab(7a+2+4b)$ --- d) $12xy-9x-15y=3(4xy-3x-5y)$ --- e) ${\displaystyle }$ ${\begin{aligned}15rs-16t-12r+12st&=15rs-12r+12st-16t\\&=3r(5s-4)+4t(3s-4)\end{aligned}}$ --- f) $22ab-44a-33b+1=11(2ab-4a-3b+{\tfrac {1}{11}})$ ---

BM2308

Multiplikation unter Verwendung von Variablen

---

Multipliziere die Summe von $(3a+2b-5)$ mit $(0{,}1a^{2})$!

---

${\begin{aligned}(3a+2b-5)\cdot (0{,}1a^{2})&=3a\cdot (0{,}1a^{2})+2b\cdot (0{,}1a^{2})-5\cdot (0{,}1a^{2})\\&=-0{,}3a^{3}-0{,}2a^{2}b+0{,}5a^{2}\end{aligned}}$

---

Einen zweigliedrigen Ausdruck nenne wir ein Binom.

Die Multiplikation zweier Binome ergibt sich aus dem Distributivgesetz und den Kommutativgesetzen.

---

SATZ: Für alle rationalen Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ gilt:

$(a+b)\cdot (c+d)=ac+bc+ad+bd$

---

Beweis:

IN dem Produkt $(a+b)\cdot (c+d)$ setzen wir ${\color {Brown}c+d=m}$.

Nach dem Distributivgesetz gilt:

$(a+b)\cdot m=am+bm$.

Für $m$ setzen wir jetzt wieder das Binom $(c+d)$ ein:

$(a+b){\color {Brown}\cdot (c+d)}=a{\color {Brown}(c+d)}+b{\color {Brown}(c+d)}$.

Wir wenden das Kommutativgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz an und erhalten:

$(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$

Wir wenden schließlich das Kommutativgesetz der Addition an und erhalten:

$(a+b)\cdot (c+d)=ac+bc+ad+bd$

w.z.b.w.

BM2309

SATZ:

Zwei Binome werden miteinander multipliziert, indem jeder Summand des ersten Faktors mit jedem Summanden des zweiten Faktors multipliziert wird und die Produkte addiert (bzw. subtrahiert) werden.

---

Binom

---

Ein Binom (lat. bi „zwei“; nomen „Name“) ist in der Mathematik ein Polynom mit zwei Gliedern. Genauer:

Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome.

Beispielsweise sind

$a+b,\ x-\pi ,\ x^{2}+y^{2},\ 3ab^{5}-4c^{3},\ {\tfrac {p^{2}}{2}}-q$

Binome.

---

Der Term $(a+b)^{2}$ ist kein Binom, sondern das Quadrat eines Binoms.

Die Bezeichnung „Binom“ geht auf Euklid zurück.

Erklärung zur Bezeichnung Binomische Formel: „In Buch X seiner Elemente nennt Euklid eine zweigliedrige Summe $a+b$ ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomáton), aus zwei Namen (bestehend).“

---

Beispiel für ein Polynom:

$y=2x^{4}+9x^{3}+x^{2}+7x-3{,}8$

---

Rechenregeln

---

Für die Multiplikation zweier Binome gelten mittels Assoziativ- und Distributivgesetz die folgenden Regeln:

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

$(a+b)(c-d)=ac-ad+bc-bd$

$(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd$

Verbal formuliert: Multipliziere jeden Term des ersten Binoms (der ersten Klammer) mit jedem Term des zweiten Binoms (der zweiten Klammer).

Folgende Sonderfälle sind als Binomische Formeln bekannt:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

---

Der Binomische Lehrsatz liefert eine Darstellung für beliebig hohe Potenzen eines Binoms:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

(Lies: a plus b hoch n ist gleich die Summe über n über k mal a hoch n minus k mal b hoch k von k gleich Null bis k gleich n.)

(k ist die Laufvariable; Null ist der Startwert; n ist der Endwert)

Die Koeffizienten ${\tbinom {n}{k}}$ (lies: n über k) werden Binomialkoeffizienten genannt und können durch diese Formel definiert werden.

---

Trinom

---

Als Trinom bezeichnet man in der Mathematik die dreigliedrige Entsprechung zu dem bekannteren Binom. Es handelt sich also um ein Polynom, das eine Summe von drei Monomen ist. Auch der Begriff trinomische Formel als Gegenstück zu den binomischen Formeln existiert und wird im Standardfall auf eine Potenz der Art $(a+b+c)^{n}$ bezogen.

Beispiele für Trinome:

$a+b+c$,

$a^{2}+b^{2}-c^{2}$,

$3a^{2}-7ab^{3}+2ab^{4}$

Das Quadrat des Trinoms $a+b+c$ ist:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

BM2310

Multipliziere die Summen $2a+3b$ und $4x-6y$ miteinander!

---

${\begin{aligned}(2a+3b)(4x-6y)&=2a\cdot 4x&+3b\cdot 4x&-2a\cdot 6y&-3b\cdot 6y\\&=8ax&+12bx&-12ay&-18by\end{aligned}}$

---

Multipliziere die Summen $2a-3(x+y)$ und $a-x$ miteinander!

---

${\begin{aligned}[2a-3(x+y)]{\color {Brown}(a-x)}&={\color {Brown}a}[2a-3(x+y)]{\color {Brown}-x}[2a-3(x+y)]\\&=2a^{2}-3a(x+y)-2ax+3x(x+y)\\&=2a^{2}-3ax-3ay-2ax+3x^{2}+3xy\\&=2a^{2}-5ax-3ay+3x^{2}+3xy\end{aligned}}$

BM2311 - BM2320

BM2311

Rechne! Multipliziere aus!

---

a) $(15b+6c)\cdot 4$

b) $({\tfrac {1}{2}}i-{\tfrac {1}{4}}d+0{,}4a)\cdot {\tfrac {3}{5}}p$

c) ${\tfrac {8}{3}}(6a-9y+3z)$

---

d) ${\tfrac {15}{4}}x\cdot (12r-8t+4s)$

e) $(-{\tfrac {3}{5}}ab)\cdot (12a-10b-5)$

Lösung BM2311
a) $(15b+6c)\cdot 4=60b+24c$ b) $({\tfrac {1}{2}}i-{\tfrac {1}{4}}d+0{,}4a)\cdot {\tfrac {3}{5}}p={\tfrac {3}{10}}ip-{\tfrac {3}{20}}dp+{\tfrac {6}{25}}ap$ c) ${\tfrac {8}{3}}(6a-9y+3z)=16a-24y+8z$ --- d) ${\tfrac {15}{4}}x\cdot (12r-8t+4s)=45rx-30tx+15sx$ e) $(-{\tfrac {3}{5}}ab)\cdot (12a-10b-5)=-{\tfrac {36}{5}}a^{2}b+6ab^{2}+3ab$

BM2312

Rechne!

---

a) $(-3x)(0{,}5r-0{,}6t)$

b) ${\tfrac {7}{8}}h\cdot (2g-2{,}1h^{2}+0{,}5hg)$

c) $3ab(5a-4a+3a)$

---

d) $(8a^{3}-4a^{2}b^{2}-3ab^{2}+5b^{2})\cdot (-2a^{2})$

e) $(-7xy)\cdot (-2x+3y-4z)$

Lösung BM2312
a) $(-3x)(0{,}5r-0{,}6t)=-1{,}5rx+1{,}8tx$ b) ${\tfrac {7}{8}}h\cdot (2g-2{,}1h^{2}+0{,}5hg)={\tfrac {7}{4}}gh-{\tfrac {147}{80}}h^{3}+{\tfrac {7}{16}}h^{2}g$ c) $3ab(5a-4a+3a)=15a^{2}b-12a^{2}b+9a^{2}b$ --- d) $(8a^{3}-4a^{2}b^{2}-3ab^{2}+5b^{2})\cdot (-2a^{2})=-16a^{5}+8a^{4}b^{2}+6a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{2}$ e) $(-7xy)\cdot (-2x+3y-4z)=14x^{2}y-21xy^{2}+28xyz$

BM2313

Multipliziere aus und fasse, wenn möglich, zusammen!

---

a) $(r+s)\cdot (m+n)$

b) $(r-s)\cdot (m-n)$

c) $(5m-3n)\cdot (3m-5n)$

---

d) $(r+s)\cdot (m-n)$

e) $(r-3)\cdot (s+1)$

f) $(5x+3y)\cdot (12x-8y)$

---

g) $(r-s)\cdot (m+n)$

h) $(r-2)\cdot (r-1)$

i) $(6p-8q)\cdot (7q-3p)$

Lösung BM2313

a) $(r+s)\cdot (m+n)=rm+rn+ms+ns$ b) $(r-s)\cdot (m-n)=rm-rn-ms+ns$ c) $(5m-3n)\cdot (3m-5n)=15m^{2}-25mn-9mn+15n^{2}=15m^{2}-34mn+15n^{2}$ --- d) $(r+s)\cdot (m-n)=rm-rn+ms-ns$ e) $(r-3)\cdot (s+1)=rs+r-3s-3$ f) $(5x+3y)\cdot (12x-8y)=60x^{2}-40xy+36xy-24y^{2}=60x^{2}-4xy-24y^{2}$ --- g) $(r-s)\cdot (m+n)=rm+rn-2r+2$ h) $(r-2)\cdot (r-1)=r^{2}-r-2r+2=r^{2}-3r+2$ i) $(6p-8q)\cdot (7q-3p)=42pq-18p^{2}-56q^{2}+24pq=66pq-18p^{2}-56q^{2}$

BM2314

Multipliziere aus und fasse, wenn möglich, zusammen!

---

a) $(4x-{\tfrac {1}{2}}y)(4x+{\tfrac {1}{2}}y)$

b) $(x+{\tfrac {1}{3}})(x+{\tfrac {1}{2}})$

c) $(2r-s+{\tfrac {t}{5}})(4s-2t)$

d) $(2ab-3bc-4cd)(a+b)$

---

e) $(3u-{\tfrac {1}{2}}v)(3u-{\tfrac {1}{2}}v)$

f) $(a+0{,}5)(a+0{,}2b+3)$

g) $(5a-4b-3c)(2d-e)$

h) $(-xy+3yz-z)(-x-y)$

Lösung BM2314

a) $(4x-{\tfrac {1}{2}}y)(4x+{\tfrac {1}{2}}y)=16x^{2}+2xy-2xy-{\tfrac {1}{4}}y^{2}=16x^{2}-{\tfrac {1}{4}}y^{2}$ b) $(x+{\tfrac {1}{3}})(x+{\tfrac {1}{2}})=x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{3}}x+{\tfrac {1}{6}}=x^{2}+{\tfrac {5}{6}}x+{\tfrac {1}{6}}$ c) $(2r-s+{\tfrac {t}{5}})(4s-2t)=8rs-4s^{2}+{\tfrac {4}{5}}st-4rt+2st-{\tfrac {2}{5}}t^{2}$ d) $(2ab-3bc-4cd)(a+b)=2a^{2}b-3abc-4acd+2ab^{2}-3b^{2}c-4bcd$ --- e) $(3u-{\tfrac {1}{2}}v)(3u-{\tfrac {1}{2}}v)=9u^{2}-{\tfrac {3}{2}}uv-{\tfrac {3}{2}}uv+{\tfrac {1}{4}}v^{2}$ f) ${\begin{aligned}(a+0{,}5)(a+0{,}2b+3)&=a^{2}+0{,}2ab+3a+0{,}5a+0{,}1b+1{,}5\\&=a^{2}+0{,}2ab+3{,}5a+0{,}1b+1{,}5\end{aligned}}$ --- g) $(5a-4b-3c)(2d-e)=10ad-8bd-6cd-5ae+4be+3ce$ h) $(-xy+3yz-z)(-x-y)=x^{2}y^{2}-3xy^{2}z+xyz+xy^{2}-3y^{2}z+yz$

BM2315

Rechne!

---

a) $(2x-3y)(xy-1)$

b) $(2x-3y)(-x-1)$

c) $(2x-3y)(2-x+3y)$

---

d) $(xy-1)(-x-1)$

e) $(xy-1)(2-x+3y)$

f) $(-x-1)(2-x+3y)$

Lösung BM2315
a) $(2x-3y)(xy-1)=2x^{2}y-2x-3xy^{2}+3y$ b) $(2x-3y)(-x-1)=-2x^{2}-2x+3xy+3y$ c) ${\begin{aligned}(2x-3y)(2-x+3y)&=4x-2x^{2}+6xy-6y+3xy-9y^{2}\\&=4x-2x^{2}+9xy-6y-9y^{2}\end{aligned}}$ --- d) $(xy-1)(-x-1)=-x^{2}y-xy+x+1$ e) $(xy-1)(2-x+3y)=2xy-x^{2}y+3xy^{2}-2+x-3y$ f) ${\begin{aligned}(-x-1)(2-x+3y)&=-2x+x^{2}-3xy-2+x-3y\\&=-x+x^{2}-3xy-2-3yx\end{aligned}}$

BM2316

Zeige, dass für alle rationale Zahlen gilt:

---

a) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

b) $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

---

c) $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

d) $(-a+b)^{2}=(a-b)^{2}$

Lösung BM2316

a) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=(a+b)(a+b)\\&=a^{2}+ab+ab+b^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}\end{aligned}}$ --- b) $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ ${\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a^{2}-ab+ab-b^{2}\\&=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}$ --- c) $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ${\begin{aligned}(a-b)^{2}&=(a-b)(a-b)\\&=a^{2}-ab-ab+b^{2}\\&=a^{2}-2ab+b^{2}\end{aligned}}$ --- d) $(-a+b)^{2}=(a-b)^{2}$ ${\begin{aligned}(-a+b)^{2}&=(-a+b)(-a+b)\\&=a^{2}-ab-ab+b^{2}\\&=a^{2}-2ab+b^{2}\\&=(a-b)^{2}\end{aligned}}$

BM2317

Zeige, dass:

---

a) das Quadrat einer ungeraden Zahl eine ungerade Zahl ist.

b) das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen eine ungerade Zahl ist.

---

c) das Produkt einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl ist. (Kein Faktor darf Null sein.)

d) die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen immer durch Drei teilbar ist.

Lösung BM2317

a) das Quadrat einer ungeraden Zahl eine ungerade Zahl ist. $(2a+1)^{2}=4a^{2}+4a+1$ $(2a)$ ist immer eine gerade Zahl, weil durch 2 teilbar. $(2a+1)$ ist immer eine ungerade Zahl, weil Nachfolger einer geraden Zahl. $(4a^{2}+4a+1)$: gerade + gerade + UNGERADE Zahl ist immer eine UNGERADE Zahl. w.z.b.w. --- b) das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen eine ungerade Zahl ist. $(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1$ $(4ab+2a+2b+1)$: gerade + gerade + gerade + UNGERADE Zahl ist immer eine UNGERADE Zahl. w.z.b.w. --- c) das Produkt einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl ist. $(2a)(2b+1)=4ab+2a$ $(4ab+2a)$: gerade + gerade Zahl ist immer eine GERADE Zahl. w.z.b.w. --- d) die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen immer durch Drei teilbar ist. $(a)+(a+1)+(a+2)=3a+3=3(a+3)=3m$ $3m$: Das Dreifache einer Zahl ist durch 3 teilbar. w.z.b.w.

BM2318

Zeige, dass für den Flächeninhalt $A$ eines Kreisrings mit dem äußeren Durchmesser $d_{1}$ und dem inneren Durchmesser $d_{2}$ die Formel

$A={\tfrac {\pi }{4}}\cdot (d_{1}+d_{2})(d_{1}-d_{2})$

gilt!

Lösung BM2318

Kreisfläche vom großen Kreis $({d_{1}})$ : $A_{g}=\pi r^{2}={\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{1}}^{2}$. Kreisfläche vom kleinen Kreis $({d_{2}})$ : $A_{k}={\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{2}}^{2}$. Kreisfläche vom Ring: $A=A_{g}-A_{k}$ $A=({\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{1}}^{2})-({\tfrac {\pi }{4}}\cdot {d_{2}}^{2})$ $A={\tfrac {\pi }{4}}({d_{1}}^{2}-{d_{2}}^{2})$ (Binomische Formel $(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$ anwenden.) $A={\tfrac {\pi }{4}}({d_{1}}^{2}-d_{1}d_{2}+d_{1}d_{2}-{d_{2}}^{2})$ $A={\tfrac {\pi }{4}}\cdot (d_{1}+d_{2})(d_{1}-d_{2})$

BM2319

Gleichsetzungsverfahren:

---

Löse das folgende Gleichungssystem, bei dem folgende Gleichungen gegeben sind:

I) $5x-2y=1$

II) $6x+6y=18$

---

Vorgehen:

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf!

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf!

Setze danach beide Gleichungsseiten, die NICHT das $x$ enthalten gleich.

Löse nach $y$ auf! Rechne $y$ aus!

Setze den für $y$ ermittelten Wert in die erste Gleichung und rechne dann $x$ aus!

Setze die für $x$ und $y$ ermittelten Werte zur Kontrolle in die zweite Gleichung ein und überprüfe ob die Gleichung mit diesen Werten wahr ist.

Lösung BM2319

I) $5x-2y=1$ Die erste Gleichung nach $x$ umformen: ${\begin{aligned}5x-2y&=1\quad \quad |\quad +2y\\5x&=1+2y\quad \quad |\quad :5\\x&={\tfrac {1+2y}{5}}\\x&={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2y}{5}}\\x&={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y\end{aligned}}$ Wenn wir $y$ hätten, dann hätten wir auch $x$. Haben wir aber nicht. --- II) $6x+6y=18$ Die zweite Gleichung nach derselben Variablen (wie in Schritt Eins) auflösen, also auch nach $x$: ${\begin{aligned}6x+6y&=18\quad \quad |\quad -6y\\6x&=18-6y\quad \quad |\quad :6\\x&={\tfrac {18-6y}{6}}\\x&={\tfrac {18}{6}}+{\tfrac {6y}{6}}\\x&=3-y\end{aligned}}$ Wenn wir $y$ hätten, könnte man $x$ jetzt ausrechnen. --- Die die $x$ in der umgestellten ersten Gleichung und der umgestellten zweiten Gleichung gleich sein müssen, können wir beide Gleichungen gleichsetzen. Dadurch fällt $x$ raus und wir können erste mal in Ruhe $y$ ausrechnen. Und danach können wir mit dem ermittelten $y$ auch das $x$ ausrechnen. Los geht's! I) $5x-2y=1$ I') $x={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y$ II) $6x+6y=18$ II') $x=3-y$ Gleichsetzung: ${\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y=3-y$ Nach $y$ umstellen und ausrechnen: ${\begin{aligned}{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y&=3-y\quad \quad |\quad +y\\{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y+y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y+1y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+({\tfrac {2}{5}}+1)y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+({\tfrac {2}{5}}+{\tfrac {5}{5}})y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+({\tfrac {7}{5}})y&=3\\{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {7}{5}}y&=3\quad \quad |\quad -{\tfrac {1}{5}}\\{\tfrac {7}{5}}y&={\tfrac {15}{5}}-{\tfrac {1}{5}}\\{\tfrac {7}{5}}y&={\tfrac {14}{5}}\quad \quad |\quad :{\tfrac {7}{5}}\\y&={\tfrac {14}{5}}\cdot {\tfrac {5}{7}}\\y&={\tfrac {70}{35}}\\y&=2\end{aligned}}$ Jetzt haben wir schon mal $y$. Nun können wir ganz schnell auch $x$ ausrechnen. --- I) $5x-2y=1$ I') $x={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}y$ und $y=2$ $x={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{5}}\cdot 2$ Da ist ein Bruch drin. Dazu haben wir jetzt keine Lust. Wir setzen unser $y=2$ lieber in die zweite Gleichung ein: II) $6x+6y=18$ II') $x=3-y$ und $y=2$ $x=3-2=1$ Lösung: $x=1$ und $y=2$ --- Nun müssen wir die Lösung nur noch überprüfen. Wie machen wir das?

Natürlich hätte man beide Gleichungen zuerst auch nach $y$ auflösen können, um dann das $y$ durch Gleichsetzung zu eliminieren.

Ob man nach $x$ oder $y$ auflöst ist gehüpft wie gesprungen. Manchmal ist die Gleichung aber bereits schön nach einer Variablen aufgelöst oder die Auflösung nach der einen Variablen ist besonders einfach oder kompliziert.

BM2320

Einsetzungsverfahren

oder Einsetzverfahren

oder Substitutionsverfahren

(substituieren = ersetzen)

---

Löse das folgende Gleichungssystem, bei dem folgende Gleichungen gegeben sind:

I) $5x-2y=1$

II) $6x+6y=18$

Wir nehmen die gleichen Gleichungen, die bei der vorherigen Übung mit dem Gleichsetzungsverfahren, um zu zeigen, dass wir auf das gleiche Ergebnis kommen.

---

Vorgehen:

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf!

Setze danach von dieser umgeformten Gleichung diejenige Seite, die kein $x$ enthält, für die Variable $x$ (also an Stelle der Variablen $x$) in die erste Gleichung ein!

Dadurch fällt das $x$ erst mal unter den Tisch und wir haben nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten, dem $y$. Auch wenn das $y$ zwei mal in der Gleichung auftaucht, so sprechen wir von einer Unbekannten, denn es ist ja jedes Mal das gleiche $y$.

1. Lösung BM2320

I) $5x-2y=1$ II) $6x+6y=18$ Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf! ${\begin{aligned}6x+6y&=18\quad \quad |\quad -6y\\6x&=18-6y\quad \quad |\quad :6\\x&={\tfrac {18-6y}{6}}\\x&=3-y\end{aligned}}$ Damit ist Schritt Eins erfüllt. --- Nun kommt der zweite Schritt: Wegen $x=3-y$ können wir in die erste Gleichung $3-y$ an die Stelle von $x$ einsetzen (daher auch der Name: „Einsetzungsverfahren“). Wir setzen das $x$ in I) ein und formen nach $y$ um: I) $5x-2y=1$ $5\cdot (3-y)-2y=1$ Nun haben wir in der Gleichung nur noch eine Unbekannte $(y)$, die wir relativ einfach ausrechnen können. ${\begin{aligned}5\cdot (3-y)-2y&=1\\15-5y-2y&=1\\15-7y&=1\quad \quad |\quad -15\\-7y&=-14\quad \quad |\quad :(-7)\\y&=2\end{aligned}}$ Mit $y=2$ haben wir die erste Lösung. --- Wenn wir $y$ haben, dann haben wir auch $x$ schon fast. II) $6x+6y=18$ II') $x=3-y$ und $y=2$ Also: $x=3-2=1$ Lösung: $x=1$ und $y=2$ --- Bitte die Lösung überprüfen!

Wir hätten auch die erste Gleichung nach $x$ umstellen können und das Ergebnis dann in die zweite Gleichung einsetzen können. Man stellt immer die eine Gleichung nach $x$ um und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung für $x$ ein.

---

Man hätte genauso gut die eine Gleichung nach $y$ umstellen können und das Ergebnis in die andere Gleichung einsetzen.

Wie viel verschiedene möglich Lösungswege gibt es? Skizziere sie kurz!

2. Lösung BM2320

Es gibt 4 mögliche Rechenwege: 1.) Erste Gleichung nach $x$ umstellen und das Ergebnis in die zweite Gleichung für $x$ einsetzen. 2.) Erste Gleichung nach $y$ umstellen und das Ergebnis in die zweite Gleichung für $y$ einsetzen. 3.) Zweite Gleichung nach $x$ umstellen und das Ergebnis in die erste Gleichung für $x$ einsetzen. 4.) Zweite Gleichung nach $y$ umstellen und das Ergebnis in die erste Gleichung für $y$ einsetzen.

BM2321 - BM2330

BM2321

Additionsverfahren

---

Löse das folgende Gleichungssystem, bei dem folgende Gleichungen gegeben sind:

I) $5x-2y=1$

II) $6x+6y=18$

Es sind wieder die gleichen Gleichungen, wie in den beiden vorhergehenden Übungen.

So können wir zeigen, dass das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren zum gleichen Ergebnis führen.

---

Vorgehen:

Wir multiplizieren die erste Gleichung auf beiden Seiten mit $3$, damit dadurch ein $3y$ in der Gleichung steht.

Dann addieren die erste mit der zweiten Gleichung, wodurch das $y$ erst mal unter den Tisch fällt.

${\begin{aligned}5x-2y&=1\quad \quad |\quad \cdot 3\\(5x-2y)\cdot 3&=3\\15x-6y&=3\end{aligned}}$

Das Zwischenziel ist erreicht, denn nun steht ein $6y$ in unserer Gleichung.

I) $5x-2y=1$

I') $15x-6y=3$

II) $6x+6y=18$

Warum wollen wir ein $6y$ in unserer modifizierten ersten Gleichung haben?

Weil wir ein $6y$ in der zweiten Gleichung haben.

Genau genommen haben wir in der ersten Gleichung ein $-6y$.

Wenn wir nun die erste und zweite Gleichung miteinander addieren, dann fällt das $6y$ raus, also fällt damit unser $y$ weg.

So haben wir dann eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten, die wir einfach lösen können.

---

Wir rechnen jetzt also beide Gleichungen zusammen. Daher kommt auch der Name dieses „Additionsverfahrens“.

I') + II)

${\begin{aligned}{\text{ I')}}\quad \quad &15x&-&6y&=3\\{\text{ II)}}\quad \quad &6x&+&6y&=18\\{\text{ I') + II)}}\quad \quad &21x&+&0&=21\\{\text{ I') + II)}}\quad \quad &21x&&=21\end{aligned}}$

---

Waage; Gleichung

Dürfen wir denn einfach so zwei Gleichungen addieren.

Ja, das dürfen wir.

Wir können uns die Gleichung I') als Waage vorstellen. Links auf der Waagschale liegt $5x-2y$ (also beispielsweise 5 rote Kugeln und 2 grüne Kugeln; das Minuszeichen kann man sich mit dem Waagemodell allerdings nur schwer vorstellen). Rechts auf der Waagschale liegt ein 3-Kilo-Gewicht. Die Waage ist ausbalanciert, also im Gleichgewicht, denn schließlich handelt es sich um ein Gleichung. Wir schwer die roten und grünen Kugeln sind wissen wir noch nicht genau (da sind unsere Unbekannten $x$ und $y$).

Wenn wir jetzt auf jeder Seite der Gleichung das gleiche dazulegen, z. B. eine Banane, dann bleibt die Waage trotzdem im Gleichgewicht und die Gleichung ist weiterhin wahr.

Wir legen nun statt der Banane auf diese Waage $6x+6y=18$ dazu. Auf die linke Seite legen wir $6x+6y$ und auf die rechte Seite legen wir $18$. Da $6x+6y=18$ eine Gleichung ist, haben wir auf die rechte und die linke Seite der Waage das gleiche Gewicht dazu gelegt.

Das Addieren von zwei Gleichungen ist nichts anderes, als auf eine Waage im Gleichgewichtszustand etwas dazu zu legen, was vorher auch schon ausbalanciert war.

---

Als Ergebnis des Additionsverfahrens haben wir also erhalten:

$21x=21$.

Das $x$ können wir im Kopf ausrechnen: $x=1$.

In I) $5x-2y=1$ eingesetzt erhalten wir:

${\begin{aligned}5\cdot 1-2y&=1\\5-2y&=1\quad \quad |\quad -5\\2y&=-4\quad \quad |\quad :2\\y&=-2\end{aligned}}$

---

Komisch:

Mit dem Gleichsetzungsverfahren hatten wir die Lösung $x=1$ und $y=2$.

Mit dem Einsetzungsverfahren ebenso.

Nur mit dem Additionsverfahren haben wir die Lösung $x=1$ und $y=-2$.

---

Könnte es sein, dass wir uns beim Einsetzungsverfahren verrechnet haben?

Lösung BM2321

Ja, natürlich. Es hat sich wieder ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen. Wir haben in der vorletzen Zeile ein Minuszeichen vergessen. Im Folgenden ist es hier rot markiert: ${\begin{aligned}5\cdot 1-2y&=1\\5-2y&=1\quad \quad |\quad -5\\{\color {red}-}2y&=-4\quad \quad |\quad :(-2)\\y&=2\end{aligned}}$ --- Und schon stimmt die Lösung aller drei Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems überein: Lösung $x=1$ und $y=-2$

BM2322

Wie heißen die drei Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems?

Lösung BM2322
Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren

BM2323

Welche Vor- und Nachteile haben die drei Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems?

Lösung BM2323

Das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren funktioniert nur in Gleichungssystemen mit höchstens zwei Unbekannten. Oft ist das Gleichsetzungsverfahren am einfachsten, weil dabei nicht so große Gleichungen entstehen. Das Additionsverfahren kann man auch für Gleichungssysteme mit mehr als drei Unbekannten anwenden. Dann muss allerdings stufenweise mehrmals addiert werden, wobei bei jeder Addition eine Variable wegfällt.

BM2324

Um zu kennzeichnen, dass zwei oder mehr Gleichungen zusammengehören und eine Gleichungssystem bilden, werden die einzelnen Gleichungen mit römischen Zahlen nummeriert.

Umgestellt Formen der Gleichung werden mit einem zusätzlichen Hochkomma versehen

Eine ältere, nicht so gebräuchliche Notation zur Kennzeichnung von Gleichungssystemen sind senkrechte Strichte rechts und links neben den Gleichungen des Gleichungssystems, die alle Gleichungen, ähnlich wie Klammern, zusammenfassen.

---

I) $5x-2y=1$

I') $15x-6y=3$

II) $6x+6y=18$

---

${\begin{vmatrix}5x-2y&=1\\6x+6y&=18\end{vmatrix}}$

---

Löse die Gleichungssysteme:

---

I) $2x+y=1$

II) $y=-2x+1$

---

Lösung:

I) nach $y$ umstellen:

${\begin{aligned}2x+y&=1\quad \quad |\quad +2x\\y&=1-2x\end{aligned}}$

$y$ von I') und II) gleichsetzen

${\begin{aligned}1-2x&=-2x+1\quad \quad |\quad +2x\\1&=1\end{aligned}}$

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, denn egal welchen Wert $x$ hat

$1=1$ stimmt immer.

Bei anderen Gleichungssystemen mit unendlich vielen Lösungen kann auch $0=0$ oder $214=214$ rauskommen.

${\begin{aligned}0&=0\quad \quad |\quad +12\\13&=13\end{aligned}}$

Es gibt also Gleichungssysteme mit einer Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen.

Als dritte Möglichkeit gibt es Gleichungssysteme, die gar keine Lösung haben.

---

Löse die Gleichungssysteme:

---

I) $2x+4y=4$

II) $x+2y=6$

---

I) nach $x$ umstellen:

${\begin{aligned}2x+4y&=4\quad \quad |\quad -4y\\2x&=4-4y\quad \quad |\quad :2\\x&={\tfrac {4}{2}}-{\tfrac {4}{2}}yx&=2-2y\end{aligned}}$

$x$ von I') in II) einsetzen:

${\begin{aligned}x+2y&=6\quad \quad |II)\\(2-2y)+2y&=6\\2-2y+2y&=6\\2&=6\end{aligned}}$

Dieses Gleichungssystem hat KEINE Lösung, denn egal welche Zahl man für $x$ oder $y$ einsetzt, das Endergebnis

$2=6$ ist NIE wahr.

Auch alle anderen Ergebnisse, die mit einer falschen Aussage enden, weisen darauf hin, dass das dazugehörige Gleichungssystem KEINE Lösung hat.

${\begin{aligned}2&=6\quad \quad |\quad +3\\5&=9\quad \quad |\quad \cdot 2\\10&=18\end{aligned}}$

Das sind alles mögliche Ergebnisse für Gleichungssystemen, die KEINE Lösung haben.

Gleichungssysteme die zu einem Widerspruch führen (z. B. $1=3$) haben KEINE Lösung.

Wie schreiben: $L=\{\;\}$ (Lies: Die Lösungsmenge ist die leere Menge.)

BM2325

Löse das Gleichungssystem:

---

I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$

II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$

1. Lösung BM2325

I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$ II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ I) nach $p$ umstellen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q&=-1\quad \quad |\quad -2q\\-{\tfrac {6}{7}}p&=-1-2q\quad \quad |\quad :(-{\tfrac {6}{7}})\\p&=-(1+2q):(-{\tfrac {6}{7}})\\p&=(1+2q)\cdot {\tfrac {7}{6}}\\p&={\tfrac {7(1+2q)}{6}}\\p&={\tfrac {7+14q}{6}}\\p&={\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {14q}{6}}\\p&={\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q\end{aligned}}$ $p$ von I') mit $p$ von II) gleichsetzen: ${\begin{aligned}{\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}+{\tfrac {7}{6}}\quad \quad |\quad -3q\\{\tfrac {7}{3}}q-3q&=-{\tfrac {7}{2}}+{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q-{\tfrac {9}{3}}q&=-{\tfrac {21}{6}}+{\tfrac {7}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {14}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {7}{3}}\quad \quad |\quad :(-{\tfrac {2}{3}})\\q&={\tfrac {7}{3}}:{\tfrac {2}{3}}\\q&={\tfrac {7\cdot 3}{3\cdot 2}}\\q&={\tfrac {7}{2}}\end{aligned}}$ $q$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}p&=3q-{\tfrac {7}{2}}\\p&=3\cdot {\tfrac {7}{2}}-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {21}{2}}-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {14}{2}}\\p&=7\end{aligned}}$ Probe: $q={\tfrac {7}{2}}$ und $p=7$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q&=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {7}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {6}{2}}+14&=-1\\-3+14&=-1\\11&=-1\end{aligned}}$ --- Bedeutet das, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat?

2. Lösung BM2325
Nein, denn dann wäre schon beim Ausrechnen von $p$ und $q$ eine falsche Aussage rausgekommen und nicht erst bei der Probe. Wir haben wohl irgendwo einen Rechenfehler. Aber wo?

3. Lösung BM2325
Die Richtige Lösung muss laut www.wolframalpha.com lauten: $p={\tfrac {20}{3}}$ und $q={\tfrac {61}{18}}$ und $q={\tfrac {7p}{12}}-{\tfrac {1}{2}}$ $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ --- Aber wo lag unser Rechenfehler?

4. Lösung BM2325

Es war ein Vorzeichenfehlr in diesem Abschnitt: $p$ von I') mit $p$ von II) gleichsetzen: ${\begin{aligned}{\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}+{\tfrac {7}{6}}\end{aligned}}$ Das ist natürlich FALSCH. Es muss lauten: ${\begin{aligned}{\tfrac {7}{6}}+{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q&=3q-{\tfrac {7}{2}}{\color {red}-}{\tfrac {7}{6}}\quad \quad |\quad -3q\\{\tfrac {7}{3}}q-3q&=-{\tfrac {7}{2}}-{\tfrac {7}{6}}\\{\tfrac {7}{3}}q-{\tfrac {9}{3}}q&=-{\tfrac {21}{6}}-{\tfrac {7}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {28}{6}}\\-{\tfrac {2}{3}}q&=-{\tfrac {14}{3}}\quad \quad |\quad :(-{\tfrac {2}{3}})\\q&={\tfrac {14}{3}}:{\tfrac {2}{3}}\\q&={\tfrac {14\cdot 3}{3\cdot 2}}\\q&={\tfrac {14}{2}}\\q&=7\end{aligned}}$ Das Ergebnis ist also $q=7$ und nicht $q={\tfrac {7}{2}}$ Nun müssen wir mit dem richtigen Wert für q weiter rechnen: $q$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}p&=3q-{\tfrac {7}{2}}\\p&=3\cdot 7-{\tfrac {7}{2}}\\p&=21-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {42}{2}}-{\tfrac {7}{2}}\\p&={\tfrac {35}{2}}\end{aligned}}$ Probe: $q=7$ und $p={\tfrac {35}{2}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q&=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {35}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {5\cdot 7}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {5\cdot 6}{2}}+2\cdot 7&=-1\\-{\tfrac {30}{2}}+14&=-1\\-15+14&=-1\\-1&=-1\end{aligned}}$ Das sieht doch schon besser aus: Was können wir aus der Probe $-1=-1$ schlussfolgern? --- Dass es unendlich viele Lösungen für unser Gleichungssystem gibt? Können wir schlussfolgern, das es unendlich viele Lösungen für unser Gleichungssystem gibt?

5. Lösung BM2325
Natürllich gibt es NICHT unendlich viele Lösungen für unser Gleichungssystem. Unser Gleichungssystem hat die Lösung $q=7$ und $p={\tfrac {35}{2}}$. Die Probe hat lediglich ergeben, dass die Lösung richtig ist. Denn durch einsetzen der Lösung haben wir eine wahre Aussage erhalten. --- Ist unsere Probe vollständig?

6. Lösung BM2325

Nein, unsere Probe ist noch nicht vollständig, denn wir haben bisher nur gezeigt, dass die gefundene Lösung für die erste Gleichung des Gleichungssystems richtig ist. Wir müssen noch zeigen, das das aus für die zweite Gleichung zutrifft- --- $q=7$ und $p={\tfrac {35}{2}}$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}p&=3q-{\tfrac {7}{2}}\\{\tfrac {35}{2}}&=3\cdot 7-{\tfrac {7}{2}}\\{\tfrac {35}{2}}&=21-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad +{\tfrac {7}{2}}\\{\tfrac {35}{2}}+{\tfrac {7}{2}}&=21\\{\tfrac {42}{2}}&=21\\21&=21\end{aligned}}$ Damit haben wir gezeigt, dass unsere Lösung auch für die zweite Gleichung im Gleichungssystem richtig ist. --- Somit haben wir die Lösung $p={\tfrac {35}{2}}$ und $q=7$ vollständig überprüft. Die Lösungsmenge beträgt $p={\tfrac {35}{2}}$ und $q=7$. $L=\{({\tfrac {35}{2}}|7)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

7. Lösung BM2325
Unser gewählter Lösungsweg ( „I) nach $p$ umstellen.“ ) war übrigens nicht besonders klug gewählt. --- I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$ II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ --- Hier bietet es sich doch geradezu an das $p$ von Gleichung II) direkt für $p$ in Gleichung I) einzusetzen. --- Rechne das mal! Versuch dein Glück!

8. Lösung BM2325

I) $-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1$ II) $p=3q-{\tfrac {7}{2}}$ --- $p$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}-{\tfrac {6}{7}}p+2q=-1\\-{\tfrac {6}{7}}\cdot (3q-{\tfrac {7}{2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {6}{7}}\cdot 3q)+({\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {7}{2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {18}{7}}q)+({\tfrac {6\cdot 7}{7\cdot 2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {18}{7}}q)+({\tfrac {6\cdot 7}{7\cdot 2}})+2q=-1\\(-{\tfrac {18}{7}}q)+({\tfrac {6}{2}})+2q=-1\\-{\tfrac {18}{7}}q+3+2q=-1\quad \quad |\quad -3\\-{\tfrac {18}{7}}q+2q=-4\\-{\tfrac {18}{7}}q+{\tfrac {14}{7}}q=-4\\-{\tfrac {4}{7}}q=-4\quad \quad |\quad :{\tfrac {4}{7}}\\-q=-4:{\tfrac {4}{7}}\\-q=-4\cdot {\tfrac {7}{4}}\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\q={\tfrac {4\cdot 7}{4}}\\q=7\end{aligned}}$ $q=7$ Stimmt das mit unsere Lösung aus dem ersten Lösungsweg überein? Wir schauen bei der 6. Lösung in der letzten Zeile nach! Ja, es stimmt. Der weitere Lösungsweg unterscheidet sich nicht vom ersten Lösungsweg: $q=7$ in I) oder II) einsetzen und $p$ ausrechnen. Das schenken wir uns hier.

9. Lösung BM2325
LEER

10. Lösung BM2325
LEER

BM2326

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $y=x+2$

II) $y=2x+1$

1. Lösung BM2326

I) $y=x+2$ II) $y=2x+1$ --- $y$ in I) gleichsetzen mit $y$ in II) --- ${\begin{aligned}x+2&=2x+1\quad \quad |\quad -2x\\-x+2&=1\quad \quad |\quad -2\\-x&=-1\\x&=1\end{aligned}}$. $x=1$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=x+2\\y&=1+2\\y&=3\end{aligned}}$. --- Probe: $x=1$ und $y=3$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=x+2\\3&=1+2\\3&=3\end{aligned}}$. $x=1$ und $y=3$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}y&=2x+1\\3&=2\cdot 1+1\\3&=3\end{aligned}}$. Damit haben wir gezeigt, dass unsere Lösung auch für die beide Gleichung des gegebenen Gleichungssystems richtig ist. --- Somit haben wir die Lösung $x=1$ und $y=3$ vollständig überprüft. Die Lösungsmenge beträgt $x=1$ und $y=3$. $L=\{(1|3)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

2. Lösung BM2326
LEER

3. Lösung BM2326
LEER

BM2327

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $3x+4=2y$

II) $4y=2x+10$

1. Lösung BM2327

I) $3x+4=2y$ II) $4y=2x+10$ --- Wir wollen I) und II) nach $y$ umstellen und dann beide $y$ gleich setzen. --- I) nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}3x+4&=2y\quad \quad |\quad :2\\{\tfrac {3}{2}}x+{\tfrac {4}{2}}&=y\\{\tfrac {3}{2}}x+2&=y\\y&={\tfrac {3}{2}}x+2\end{aligned}}$ --- II) nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}4y&=2x+10\quad \quad |\quad :4\\y&={\tfrac {2}{4}}x+{\tfrac {10}{4}}\\y&={\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {5}{2}}\end{aligned}}$ --- Beide $y$ von I') und II') gleich setzen: ${\begin{aligned}y&=y\\{\tfrac {3}{2}}x+2&={\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {5}{2}}\quad \quad |\quad -{\tfrac {1}{2}}x\\{\tfrac {3}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}x+2&={\tfrac {5}{2}}\quad \quad |\quad -2\\{\tfrac {3}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}x&={\tfrac {5}{2}}-2\\{\tfrac {2}{2}}x&={\tfrac {5}{2}}-{\tfrac {4}{2}}\\x&={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}$ --- $x={\tfrac {1}{2}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+4&=2y\\3\cdot {\tfrac {1}{2}}+4&=2y\\{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {8}{2}}&=2y\\{\tfrac {11}{2}}&=2y\quad \quad |\quad :2\\{\tfrac {11}{2}}:{\tfrac {2}{1}}&=y\\{\tfrac {11}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}&=y\\{\tfrac {11\cdot 1}{2\cdot 2}}&=y\\{\tfrac {11}{4}}&=y\end{aligned}}$ --- Probe: $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}3x+4&=2y\\3\cdot {\tfrac {1}{2}}+4&=2\cdot {\tfrac {11}{4}}\\{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {8}{2}}&={\tfrac {22}{4}}\\{\tfrac {11}{2}}&={\tfrac {11}{2}}\end{aligned}}$ $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$ in II) einsetzen: ${\begin{aligned}4y&=2x+10\\4\cdot {\tfrac {11}{4}}&=2\cdot {\tfrac {1}{2}}+10\\11&=1+10\\11&=11\end{aligned}}$ Damit haben wir gezeigt, dass unsere Lösung auch für die beide Gleichung des gegebenen Gleichungssystems richtig ist. --- Somit haben wir die Lösung $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$ vollständig überprüft. Die Lösungsmenge beträgt $x={\tfrac {1}{2}}$ und $y={\tfrac {11}{4}}$. $L=\{({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {11}{4}})\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

2. Lösung BM2327
LEER

BM2328

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $y-1=2x+3$

II) $2y-2=5x-1$

1. Lösung BM2328
Wir wollen $y$ gleich setzen. Deshalb stellen wir zuerst mal I) und II) jeweils nach $y$ um.

2. Lösung BM2328

I) nach $y$ auflösen: ${\begin{aligned}y-1&=2x+3\quad \quad |\quad +1\\y&=2x+3+1\\y&=2x+4\end{aligned}}$ --- II) nach $y$ auslösen: ${\begin{aligned}2y-2&=5x-1\quad \quad |\quad +2\\2y&=5x+1\quad \quad |\quad :2\\y&={\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}$ --- Nun können wir $y$ in I') und II') gleichsetzen und weiter rechnen. Dadurch eliminieren wir zeitweilig das $y$, um das $x$ auszurechnen.

3. Lösung BM2328

${\begin{aligned}y&=y\\2x+4&={\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}\quad \quad |\quad -4\\2x&={\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}-4\quad \quad |\quad -{\tfrac {5}{2}}x\\2x-{\tfrac {5}{2}}x&={\tfrac {1}{2}}-4\\{\tfrac {4}{2}}x-{\tfrac {5}{2}}x&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {8}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}x&=-{\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\{\tfrac {1}{2}}x&={\tfrac {7}{2}}\quad \quad |\quad \cdot 2\\{\tfrac {1}{2}}x\cdot 2&={\tfrac {7}{2}}\cdot 2\\x&=7\end{aligned}}$ --- Jetzt könne wir $y$ ausrechnen.

4. Lösung BM2328
Wir setzen $x=7$ in I) ein. Oder noch besser: Wir setzen $x=7$ in I') ein, weil in I') unser $y$ schon isoliert ist. ${\begin{aligned}y&=2x+4\\y&=2\cdot 7+4\\y&=14+4\\y&=18\end{aligned}}$ --- Lösung: $x=7$; $y=18$ --- Nun brauchen wir noch eine Probe.

5. Lösung BM2328

Zuerst setzen wir die Lösung $x=7$ und $y=18$ in I) ein: ${\begin{aligned}y-1&=2x+3\\18-1&=2\cdot 7+3\\17&=14+3\\17&=17\end{aligned}}$ $17=17$ - Also stimmt die Probe für die 1. Gleichung. --- Nun noch die Probe für die 2. Gleichung: ${\begin{aligned}2y-2&=5x-1\\2\cdot 18-2&=5\cdot 7-1\\36-2&=35-1\\34&=31\end{aligned}}$ $34=34$ - Die Probe für die 2. Gleichung stimmt also ebenfalls. --- Damit ist unsere Lösung $x=7$ und $y=18$ korrekt. Die Lösungsmenge beträgt $x=7$ und $y=18$ . $L=\{(7;18)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

6. Lösung BM2328
LEER

BM2329

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $5-4x=y$

II) $7x-3y=51,5$

1. Lösung BM2329
Zur Abwechslung setzen wir mal $y$ aus I) für das $y$ in II) ein.

2. Lösung BM2329

${\begin{aligned}7x-3y&=51,5\\7x-3(5-4x)&=51,5\\7x-15+12x&=51,5\quad \quad |\quad +15\\7x+12x&=51,5+15\\19x&=66,5\quad \quad |\quad :19\\x&=66,5:19\\x&={\tfrac {135}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\\x&={\tfrac {135}{2}}\cdot {\tfrac {1}{19}}\\x&={\tfrac {135}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {3^{3}\cdot 5}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {135}{38}}\\x&\approx 3{,}55\end{aligned}}$ Das war also nicht sehr clever mit dem Einsetzen von $y$, da wir so einen ziemlich großen und unhandlichen Bruch bekommen haben, den wir leider nicht weiter kürzen können. Mit Hilfe der Zerlegung in Primfaktoren wollen wir einen gemeinsamen Faktor finden. Leider gibt es keinen. Also rechen wir mit $x={\tfrac {135}{38}}$ weiter. --- Wir setzen $x={\tfrac {135}{38}}$ in I) ein, um $y$ auszurechnen: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-4({\tfrac {135}{38}})&=y\\y&=5-4({\tfrac {135}{38}})\\y&=5-{\tfrac {4\cdot 135}{38}}\\y&=5-{\tfrac {2\cdot 135}{19}}\\y&=5-{\tfrac {270}{19}}\\y&={\tfrac {5\cdot 19}{19}}-{\tfrac {270}{19}}\\y&={\tfrac {95}{19}}-{\tfrac {270}{19}}\\y&={\tfrac {95-270}{19}}\\y&={\tfrac {-175}{19}}\\y&=-{\tfrac {175}{19}}\\y&=-{\tfrac {5^{2}\cdot 7}{19}}\\y&=-{\tfrac {175}{19}}\\y&=\approx 9{,}21\end{aligned}}$ Wir haben also als Lösung: $x={\tfrac {135}{38}}$ und $y={\tfrac {175}{19}}$. -- Na wenn wir uns da mal nicht irgendwo verrechnet haben. Also machen wir die Probe.

3. Lösung BM2329

$x={\tfrac {135}{38}}$ und $y={\tfrac {175}{19}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-4({\tfrac {135}{38}})&={\tfrac {175}{19}}\\5-{\tfrac {4\cdot 135}{38}}&={\tfrac {175}{19}}\\5-{\tfrac {2\cdot 135}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\5-{\tfrac {270}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\{\tfrac {5\cdot 19}{19}}-{\tfrac {270}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\{\tfrac {95}{19}}-{\tfrac {270}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\\-{\tfrac {175}{19}}&={\tfrac {175}{19}}\end{aligned}}$ Der Zahlenwert stimmt, aber wir haben ein falsches Vorzeichen. Hatten wir irgendwo einen Vorzeichenfahler?

4. Lösung BM2329

Beider 2. Lösung ist uns ein kleiner Fehler unterlaufen: ${\begin{aligned}7x-3y&=51,5\\7x-3(5-4x)&=51,5\\7x-15+12x&=51,5\quad \quad |\quad +15\\7x+12x&=51,5+15\\19x&=66,5\quad \quad |\quad :19\\x&=66,5:19\\x&={\tfrac {135}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\end{aligned}}$ Von der vorletzen zur letzten Zeile ist uns ein Fehler unterlaufen, denn ${\tfrac {135}{2}}$ ist nicht ${\tfrac {135}{2}}$ ${\begin{aligned}x&=66,5:19\\x&={\tfrac {66,5\cdot 2}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\\x&={\tfrac {133}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\end{aligned}}$ Es muss also ${\tfrac {133}{2}}$ statt ${\tfrac {135}{2}}$ heißen. --- Also müssen wir alles noch mal rechnen. Wir rechnen weiter: ${\begin{aligned}x&={\tfrac {133}{2}}:{\tfrac {19}{1}}\\x&={\tfrac {133}{2}}\cdot {\tfrac {1}{19}}\\x&={\tfrac {133}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {7\cdot 19}{2\cdot 19}}\\x&={\tfrac {7}{2}}\end{aligned}}$ Jetzt ist der Bruch auch nicht mehr so fürchterlich lang, da wir kürzen konnten. Mit $x={\tfrac {7}{2}}$ lösen wir auch das $y$, indem wir $x={\tfrac {7}{2}}$ in I) einsetzen: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-4({\tfrac {7}{2}})&=y\\5-{\tfrac {4\cdot 7}{2}}&=y\\5-{\tfrac {2\cdot 7}{1}}&=y\\5-14&=y\\y&=-9\end{aligned}}$ --- Unsere Lösung ist also $x={\tfrac {7}{2}}$ und $y=-9$. --- Hoffentlich ist damit die Probe richtig. Wollen wir hoffen, dass damit die Probe klappt.

5. Lösung BM2329

I) $5-4x=y$ II) $7x-3y=51,5$ $x={\tfrac {7}{2}}$ und $y=-9$ --- Probe mit der 1. Gleichung: ${\begin{aligned}5-4x&=y\\5-{\tfrac {4\cdot 7}{2}}&=-9\\5-{\tfrac {28}{2}}&=-9\\5-14&=-9\\-9&=-9\end{aligned}}$ --- Probe mit der 2. Gleichung ${\begin{aligned}7x-3y&=51,5\\{\tfrac {7\cdot 7}{2}}-3\cdot (-9)&=51,5\\{\tfrac {49}{2}}+27&=51,5\\({\tfrac {48}{2}}+{\tfrac {1}{2}})+27&=51,5\\(24+{\tfrac {1}{2}})+27&=51,5\\(24+0{,}5)+27&=51,5\\24,5+27&=51,5\\51,5&=51,5\end{aligned}}$ --- Die Probe hat mit beiden Gleichungen unseres Gleichungssystems ergeben, dass unsere Lösung richtig ist. --- Die Lösungsmenge beträgt $x={\tfrac {7}{2}}$ und $y=-9$. $L=\{({\tfrac {7}{2}};-9)\}$ --- Schreibweise (Notation): Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Geordnete Zahlenpaare werden in runden Klammern geschrieben, getrennt durch einen senkrechten Strich oder ein Semikolon. Die Reihenfolge der Zahlen ergibt sich aus der alphabetischen Reihenfolge der Variablen.

6. Lösung BM2329
LEER

BM2330

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $2x-4y=-12$

II) $-3x+6y=18$

1. Lösung BM2330
Wir wollen als Lösungsweg beide Gleichungen nach $y$ umstellen und dann gleichsetzen.

2. Lösung BM2330

I) $2x-4y=-12$ nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}2x-4y&=-12\quad \quad |\quad -2x\\-4y&=-2x-12\quad \quad |\quad :(-4)\\y&={\tfrac {-2x}{-4}}-{\tfrac {12}{-4}}\quad \quad |\quad :(-4)\\y&={\tfrac {x}{2}}+3\\y&={\tfrac {1}{2}}x+3\end{aligned}}$ --- II) $-3x+6y=18$ nach $y$ umstellen: ${\begin{aligned}-3x+6y&=18\quad \quad |\quad +3x\\6y&=3x+18\quad \quad |\quad :6\\y&={\tfrac {3}{6}}x+{\tfrac {18}{6}}\\y&={\tfrac {1}{2}}x+3\end{aligned}}$ --- Nun können wir $y$ aus den beiden nach $y$ umgestellen Gleichungen gleichsetzen. ${\begin{aligned}y&=y\\{\tfrac {1}{2}}x+3&={\tfrac {1}{2}}x+3\quad \quad |\quad -3\\{\tfrac {1}{2}}x&={\tfrac {1}{2}}x\quad \quad |\quad :{\tfrac {1}{2}}\\x&=x\end{aligned}}$ $x=x$ - Das ist IMMER wahr. Wir können $x=3$ einsetzen und es ist wahr. Auch für $x=13$ oder $x=101$ ist es wahr. Es ist einfach für jedes $x$ wahr. Es ist für jedem Wert von $x$ wahr. Schlussfolgerung: Es gibt unendlich viele Lösungen für das gegebenen Gleichungssystem. Wir können aus dem Lösung („Es gibt unendlich viele Lösungen“) nicht ableiten, dass wir für $x$ und $y$ beliebige Zahlen einsetzen können, denn durch das Gleichungssystem ist ein Zusammenhang zwischen den Werten für $x$ und $y$ vorgegeben. Wie können also jeden beliebigen Wert für $x$ nehmen, dann geht aber dazu jeweils nur ein konkreter Wert für $y$ dazu. --- $L=\{(x;y)|y={\tfrac {1}{2}}x+3\}$ Lies: Die Lösungsmenge sind alle Zahlenpaare x-y, für die gilt: „$y={\tfrac {1}{2}}x+3$“.

3. Lösung BM2330
LEER

4. Lösung BM2330
LEER

BM2331 - BM2340

BM2331

Löse das Gleichungssystem!

---

I) $2x+3y=4x-5$

II) $3x-2y=2y+8$

1. Lösung BM2331
Lösungsweg: Wir stellen beide Gleichungen nach $x$ um und setzen sie dann gleich. Wir könnten auch nach $y$ umstellen, aber wir haben uns hier - ohne einen besonderen Grund - für die Umstellung nach $x$ entschieden.

2. Lösung BM2331

I) $2x+3y=4x-5$ II) $3x-2y=2y+8$ --- I) nach $x$ umstellen: ${\begin{aligned}2x+3y&=4x-5\quad \quad |\quad -3y\\2x&=4x-3y-5\quad \quad |\quad -4x\\2x-4x&=-3y-5\\-2x&=-3y-5\\-2x&=-(3y+5)\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\2x&=3y+5\quad \quad |\quad :2\\x&={\tfrac {3}{2}}y+{\tfrac {5}{2}}\end{aligned}}$ --- II) nach $x$ umstellen: ${\begin{aligned}3x-2y&=2y+8\quad \quad |\quad +2y\\3x&=2y+2y+8\\3x&=4y+8\quad \quad |\quad :3\\x&={\tfrac {4}{3}}y+{\tfrac {8}{3}}\end{aligned}}$ --- $x$ gleichsetzen: