Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 068b

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Lección 068
Mathematik auf Deutsch - 18

BM851 - BM860[editar]

BM851

Kürze folgende Brüche, wenn es möglich ist! Gib die Zahl an, durch die du gekürzt hast!
---
Lösung BM851
= (Zähler und Nenner durch 13 teilen)
= = (durch 4 kürzen)
lässt sich nicht kürzen, denn = ; 25 und 36 sind teilerfremd
lässt sich nicht kürzen, denn = ; 12 und 25 sind teilerfremd


BM852

Man kürzt einen Bruch (b ≠ 0) durch eine natürliche Zahl n (n ≠ 0), indem man Zähler und Nenner durch n dividiert.
---
= (b ≠ 0; n ≠ 0)


BM853

kürzen durch 35
Erweitern und Kürzen von Brüchen
---
Bruch
erweitern mit 35
= =
---
Bruch
kürzen durch 35
= =


BM854

Es gibt Brüche, die man durch mehrere Zahlen kürzen kann.
Den Bruch können wir durch 2, 3, 4, 6 und 12 kürzen.
= (durch 2 kürzen)
= (durch 3 kürzen)
= (durch 4 kürzen)
= (durch 6 kürzen)
= (durch 12 kürzen)
---
Manchmal ist es erforderlich, einen Bruch erst durch eine Zahl zu kürzen und ihn dann mit einer anderen Zahl zu erweitern.
So könenn wir zum Beispiel vom Bruch zum Bruch gelangen, indem wir erst den Bruch durch 2 kürzen: wir erhalten . Dann erweitern wir den Bruch mit 3: wir erhalten so .


BM855

Für Brüche und gilt:
Wenn a * d = b * c, so gehen die Brüche und entweder durch Kürzen oder durch Erweitern oder durch Kürzen mit anschließendem Erweitern auseinander hervor.
---
Beispiel:
a * d = b * c
1 * 8 = 2 * 4
und
und


BM856

Für Brüche und gilt:
Wenn a * d ≠ b * c, so gehen die Brüche und NICHT durch Kürzen mit anschließendem Erweitern auseinander hervor.
---
Beispiel:
a * d = b * c
5 * 8 = 7 * 5
und
und


BM857

Bild 1
Gebrochene Zahlen
---
Wir können auf einem Zahlenstrahl die Folge der natürlichen Zahlen beliebig weit darstellen, wenn wir den Maßstab genügend klein oder die Zeichenfläche genügend groß wählen.
Jeder natürliche Zahl kann auf einem Zahlenstrahl genau ein Punkt zugeordnet werden.
---
Bild 2
Es sollen auch Brüche auf einem Strahl dargestellt werden. Wir tragen vom Anfangspunkt eines Strahls eine beleibige Einheitsstrecke ab. An den Endpunkten dieser Strecke schreiben wir den Bruch . Von dem Endpunkt aus tragen wir die Einheitsstrecke fortlaufend ab. An die erhaltenen Punkte schreiben wir der Reihe nach die Brüche , , ...



BM858

Wir bilden Bruchteile der Einheitsstrecke und tragen diese Bruchteile ebenfalls aufdem Strahl ab. An den Endpunkten eines jeden Bruchteils schreiben wir dann den Bruch, der durch diesen Teil der Einheitsstrecke dargestellt wird.
---
Jedem Bruch kann auf einem STrahl genau ein Punkt zugeordnet weden.
Natürlich ist das Eintragen vvon Brüchen mti großem Nenner, z. B. , bei dem gleichen Maßstab, wie im gezeigtern Bild, viel schwieriger.
Zahlenstrahl v3 02-11-2016 PD.svg



BM859

Wir zeichen einen Strahl und wählen als Einheit 3 cm.
Wir tragen folgende Brüche ein:
, , , , , , , , , , , ,
---
Dabei stellen wir fest, dass mehreren Brüche ein und derselbe Punkt des Strahls zugeordnet ist.
Dabei stellen wir fest, dass mehrere Brüche auf ein und demselben Punkt des Strahls liegen.
Dabei stellen wir fest, dass mehreren Brüche ein und derselbe Punkt des Strahls zugeordnet sein kann.
Dabei stellen wir fest, dass mehrere Brüche auf ein und demselben Punkt des Strahls liegen können.
---
Das sind dann immer solche Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen:
= =
= =
= =
= = =
Zahlenstrahl v4 02-11-2016 PD.svg



BM860

Ordne die folgenden Brüche der Größe nach! (Beginne mit dem kleinesten!)
---
, , , , , , ,
Lösung BM860
= = 0,75
= = 1,25
= = 2,5
= 2,5
= 3,5

BM861 - BM870[editar]

BM861

Alle Brüche, denen der gleiche Punkt eines Strahls zugeordnet ist, die also durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, fasst man zu einer Klasse zusammen.
Jede Klasse heißt „gebrochene Zahl“.
Dadurch wird die Gesamtheit aller Brüche in Klassen eingeteilt.
Ein Strahl, auf dem gebrochene Zahlen dargestellt werden, heißt „Zahlenstrahl“.
---
Die Brüche , , , , , , liegen alle in der gleichen Klasse.
Sie gehen durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervor. Ihnen ist derselbe Punkt des Zahlenstrahls zugeordnet.
Es gibt unendlich viele Brüche, die in einer Klasse liegen.
Zahlenstrahl v5 02-11-2016 PD.svg



BM862

Da Brüchen ein und derselben Klasse genau ein Punkt des Zahlenstrahls zugeordnet ist, fasst man die ganze Klasse als eine Zahl auf. Zum Unterschied zu den natürlichen Zahln bezeichnet man diese Zahlen als gebrochene Zahlen.
Jeder Bruch gehört genau einer Klasse an. Er bezeichnet eine gebroche Zahl. Verschiedene Brüche, die verschiedenen Klassen angehören, bezeichnen verschiedene gebrochene Zahlen. Verschiedene Brüche, die derselben Klasse angehören, bezeichnen dieselbe gebrochene Zahl.
Zur Bezeichnung einer gebrochenen Zahl kann man also jeden Bruch verwenden, der der entsprechenden Klasse angehört.
---
Die gebrochene Zahl kann man auch mit oder mit oder mit beliebigen anderen Brüchen dieser Klasse bezeichnen.


BM863

Prüfe nach, ob die folgenden Brüche dieselbe gebrochene Zahl darstellen! (Begründe deine Antwort!)
---
, , , , , ,
Lösung BM863
= =


BM864

Zehnerbrüche können wir als Dezimalbrüche schreiben. Damit erhalten wir eine weitere Möglichkeit, gebrochene Zahlen dazustellen.
So bezeichnen die Brüche und 0,5 die selbe gebrochene Zahl,
denn es ist = 0,5.


BM865

Zusammenfssung
---
Jedem Bruch ist genau ein Punkt eines Strahles zugeordnet. jedem Punkt eines Zahlenstrahls sind sogar unendlich viele Brüche zugeordnet. Diese Brüche gehen durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervor.
Brüche, die durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, fasst man zu einer Klasse zusammen. Jede solche Klasse heißt gebrochenen Zahl. Gebrochenen Zahlen kann man auf einem Zahlenstrahl darstellen.


BM866

Der Zahlenstrahl für die natürlichen Zahlen besteht nur aus Punkten - dort wo die natürlichen Zahlen sind.
Zahlenstrahl mit natürlichen Zahlen



BM867

Der Zahlenstrahl für die gebrochenen Zahlen besteht nur aus Punkten - dort wo die Bruchzahlen sind. Aber weil es unendlich viele kleine Bruchzahlen gibt, besteht der Zahlenstrahl aus unendlich vielen Punkten. Deshalb ist der Zahlenstrahl praktisch eine durchgehende Linie. Später (Lektion 080b oder so) werden wir sehen, dass es auch im Zahlenstrahl der gebrochenen Zahlen „Löcher“ gibt.
Zahlenstrahl mit Bruchzahlen



BM868

Wie viel ist von 36 kg?
Wie viel ist von 27 m?
Wie viel ist von 25 Euro?
---
Wie viel ist von 3.000 m?
Wie viel ist von 27 m?
Wie viel ist von 400 km?
---
Rechne die Angaben erst in eine kleinere Einheit um! Löse die Aufgaben erst dann!
Wie viel ist von 2 kg?
Wie viel ist von 2 km?
Wie viel ist von einem Euro?


BM869

Rechne in Zentimeter um!
m
m
m
m
---
Rechne in Meter um!
km
km
km
km
---
Rechne in Minuten um!
h
h
h
h
---
Gib in der nächstkleineren Einheit an!
ha
m3
m2
cm3
km3


BM870

Von einem Rechteck sind die Seiten a=8cm und b=a bekannt.
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
---
Bei einer Wanderung über 12 km soll bis zur ersten Rast bereits der Gesamtstrecke zurückgelegt sein. Bis zur Mittagspause will die Wandergruppe vom verbleibenden Rest wandern. Wie viel Kilometer verbleiben für den Rückweg?
---
Wie viel Grad sind eines rechten Winkels?
Wie viel Grad sind eines rechten Winkels?

BM871 - BM880[editar]

BM871

Vergleiche!
---
und
und
und
und
und
---
von 72 m und von 48 m
von 78 m und von 66 km
von 14 und von 12
von 21 und von 17
---
von 225 kg und von 180 kg
von 144 h und von 144 h
von 82 kg und von 77 km


BM872

Rechne!
---
+ + +
+ + +
-
- -


BM873

Welche Brüche erfüllen folgende Gleichungen? (b ≠ 0)
---
+ =
+ =
+ =
- =
+ + =
- =
---
+ =
+ =
+ =
+ + =
- =
- =


BM874

Mit dem Bus dauert die Fahrt zur Arbeit eine Stunde. Mit dem Auto eine Viertel Stunde weniger. Wie viel Minuten dauert die Fahrt zur Arbeit mit dem Auto.
---
Wie viel Zentimeter bleiben übrig, wenn man von einem 1 m langen Band m abschneidet?
Wie viel Zentimeter bleiben übrig, wenn man von einem 3 m langen Band m abschneidet?


BM875

Verwandle die nachfolgenden unechten Brüche in Summen!
---
kg
h
min
---
m
km
L
---
kg
h
min
---
m
km
g
---
5 m + m
6 m + 2 m
24 km + km
9 km + 21 km


BM876

Rechne!
23 + 32 + 31 + 26
1 + 1 + 2
---
+ + +
+ + (n ≠ 0)
+ + + + (x,y ≠ 0)
---
+ +
+ + +
+ +
---
8
105
12
7
12
8
21


BM877

Rechne!
---
x * =
8 * =
7 * =
x * =
---
x * =
x * = 1
13 * =
x * =


BM878

Schreibe folgende Zehnerbrüche als Dezimalbrüche!
---
---
---
---


BM879

Schreibe folgende Dezimalbrüche als Zehnerbrüche!
---
0,234
2,07
34,6
---
0,0005
12,004
456,7
---
0,04
3,007
4,083
---
1,34
7,013
1,010


BM880

Schreibe folgende Dezimalbrüche als Zehnerbrüche!
---
1,1
2,22
33,33
---
40,04
500,06
15,150
---
1,01
20,2
200,22
---
0,00007
31,105
14,41

BM881 - BM890[editar]

BM881

a * = = = b *
---
a * = = b
---
+ =
---
- =


BM882

Bilde aus dem Dezimalbruch 0,436 durch Vertauschen der Ziffern hinter dem Komma den größten möglichen und den kleinsten möglichen gleichnamigen Dezimalbruch!


Lösung BM882
0,436 =
Der größte mögliche Dezimalbruch ist:
Der kleinste mögliche Dezimalbruch ist:


BM883

Welcher gleichnamige Dezimalbruch liegt
a) zwischen 0,998 und 1,000
b) zwischen 9,9 und 10,1
Lösung BM883
0,998 =
1 =
< <
a)
---
0,9 =
1,1 =
< <
b) = 1


BM884

Rechne!
---
0,7 + 0,2
0,38 + 0,27
2,4 + 1,6
0,48 + 0,34
1,3 + 0,9
0,83 + 0,26
---
1,36 + 0,58
0,7 + 0,03
2,37 + 0,48
0,65 + 0,5
1,8 + 0,78


BM885

Rechne!
---
a)
  0,657
  1,342
  0,006
 13,870
+ 1,050
-------
---
b)
  3,8769
  0,0004
 24,0970
  1,0303
+ 0,4031
--------


BM886

a)
Welche Dezimalbrüche mit einer Dezimalstelle liegen zwischen folgenden Dezimalbrüchen?
0,0 und 1,0
1,0 und 1,5
1,5 und 2,0
---
b)
Welche Dezimalbrüche mit zwei Dezimalstelle liegen zwischen folgenden Dezimalbrüchen?
2,20 und 2,25
4,40 und 4,42
0,99 und 1,01
Lösung BM886
a)
Welche Dezimalbrüche mit einer Dezimalstelle liegen zwischen folgenden Dezimalbrüchen?
0,0 und 1,0: 0,1; 0,2; 0,3; ... ; 0,8; 0,9
1,0 und 1,5: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4
1,5 und 2,0: 1,6; 1,7; 1,8; 1,9
---
b)
Welche Dezimalbrüche mit zwei Dezimalstelle liegen zwischen folgenden Dezimalbrüchen?
2,20 und 2,25: 2,22; 2,22; 2,23; 2,24
4,40 und 4,42: 4,41
0,99 und 1,01: 1,00


BM887

Rechne!
---
3,01 - 0,54
2,9 - 0,6
7,08 - 0,21
4,7 - 0,7
6,55 - 3,80
5,5 - 2,8
---
0,34 - 0,19
0,70 - 0,38
6,646 - 3,21
7,04 - 4,56
8,72 - 5,69
9,26 - 6,19


BM888

Addiere zu jeder der folgenden Zahlen die Zahl 0,75!
---
0,25
1,67
9,75
1,00
1,59
---
0,01
2,5
8,25
0,75
3,38
---
1,26
3,08
0,5
9,75
8,00


BM889

Der Umfang eines Dreiecks beträgt 26,5 cm.
Die Seite a ist 8,4 cm lang.
Die Seite b ist 2 mm kürzer als die SEite a.
Wie lang ist die Seite c?
Rechne in Zentimeter!


BM890

Die Montage eines Motors dauert 3,6 Stunden. Durch Verwendung besserer Werkzeuge, geht die Montage nun 12 Minuten schneller. Wie lange dauert jetzt die Montage eines Motors?

BM891 - BM900[editar]

BM891

Jens ist beim Schulsportfest 3,50 m weit gesprungen. Das war mehr als im Vorjahr. Wie weit sprang Jens im Vorjahr?
---
Christian warf den Ball 37,40 m weit. Er erreicht 250 cm mehr als Jochen. Wie weit warf Jochen den Ball?


BM892

Rechne!
---
7 * 0,6
6 * 1,7
13 * 0,4
34 * 1,12
387 * 0,1
224 * 1,7
0,2
---
9 * 2,45
8 * 34,55
26 * 0,245
54 * 2,3
356 * 0,007
115 * 0,06


BM893

In ein leeres Becken fließen durch ein Rohr je Sekunde 2,1 Liter Wasser zu und durch ein anderes Rohr in der gleichen Zeit 1,6 Liter Wasser ab. Wie viel Liter Wasser sind nach Minute im Becken?


BM894

Erweitere den Bruch nacheinander mit folgenden Zahlen!
---
4
9
11
15
24
35


BM895

Der Bruch wurde mit verschiedenen Zahlen erweitert. Dabei entstanden folgende Brüche:
Kennzeichne die Brüche, bei denen beim Erweitern Fehler gemacht wurden!


BM896

Kürze die folgenden Brüche so weit wie möglich!
---
---


BM897

Kürze die folgenden Brüche so weit wie möglich!
---
---


BM898

Kürze das Ergebnis, wenn es möglich ist!
---
+ + +
+ + +


BM899

Vergleiche folgende Brüche miteinander!
---
und
und
und
und
---
und
und
und
und


BM900

+ = + = =
---
+ = + = + =
---
+ = + = = + =


BM900a

* =
---
* = =
---
* = = =
---
* = =
---
* = = =


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